Вариант № 54 г 1. B 6 № 311455. Найдите угол ABC

Вариант № 54 г
1. B 6 № 311455.
Найдите угол ABC равнобедренной
трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD
углы, равные 30° и 80° соответственно.
Решение.
Сумма углов треугольника ACD равна 180°, поэтому
. Так как основания трапеции
параллельны, углы CAD и BCA равны как накрестлежащие. Так как трапеция равнобедренная, сумма её противоположных углов равна 180°, поэтому
.
Ответ: 110.
2. B 7 № 311483.
Точки A и B делят окружность на две дуги,
длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося
на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Дуги окружности относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. Поэтому длина меньшей
дуги составляет от всей окружности, тем самым, она равна
. Так как угол
AOB — центральный, то он равен той дуге на которую он опирается. Таким образом,
.
Ответ: 162.
3. B 8 № 314882.
В равнобедренной трапеции основания равны
3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь
трапеции.
Решение.
Введём обозначения, как показано на рисунке. Тогда
Треугольник
тогда высота
прямоугольный и равнобедренный,
равна 3. Откуда
Ответ:
4. B 9 № 316285.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ
выразите в сантиметрах.
Решение.
Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно шести сторонам клетки, или 6 см.
Ответ: 6.
5. B 10 № 93. Укажите номера верных утверждений.
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Существует квадрат, который не является прямоугольником» — некорректное утверждение, корректное — «Существует прямоугольник, который не является квадратом».
2) «Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны» — верно,
т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причём равные стороны лежат напротив равных углов.
3) «Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и
секущей, равны» — верно, это теорема планиметрии.
Ответ: 2; 3.
6. B 13 № 132767. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого
равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Пусть x м — длина одной стороны, тогда длина второй стороны — 2x. Так как площадь
прямоугольника равна произведению его смежных сторон, имеем:
откуда
Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Таким образом,
Ответ: 120.
7. C 2 № 315123.
Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит угол ВАС пополам. Найдите сторону АВ, если сторона
АС равна 4.
Решение.
Рассмотрим треугольники
и
, они прямоугольные, катет
— общий,
равно
следовательно, эти треугольники равны по
двум катетам, значит,
Вспомним, что
— медиана:
Ответ: 2.
8. C 4 № 340297. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B,
причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
Решение.
Проведём медиану
Стороны
и
равны как радиусы окружности, поэтому треугольник
— равнобедренный, следовательно, медиана
является также высотой. Проведём медиану
Стороны и равны как радиусы
окружности, поэтому треугольник
— равнобедренный, следовательно, медиана
является также высотой. прямые
и
перпендикулярны одной и той же прямой
, следовательно они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку значит,
они совпадают. Таким образом прямая
перпендикулярна прямой
9. C 6 № 314967.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?
Решение.
Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь
— плечи "журавля" до опускания,
— после,
— высота, на которую поднялся конец короткого плеча,
— высота, на
которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники
и
углы
и
равны, как вертикальные, следовательно равны и углы при основаниях:
Следовательно, треугольники
и
подобны по двум углам, то есть
Рассмотри прямые
и
их пересекает секущая
углы, обозначенные на рисунке 1 и
2 накрест лежащие и равны друг другу, следовательно прямые
и
параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно они равны.
Рассмотрим треугольники
тельно они подобны, значит:
и
они прямоугольные, имеют равные углы, следова-
Ответ: 3.
Примечание
Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников
и
. На
приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные
и
,
они прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно они подобны.
Затем, можно заметить, что у треугольников
и
соответственные углы, не важно
какие, равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично с треугольниками
и
Из трёх пар подобий этих треугольников следует, что треугольники
и
подобны.