OZ - 1553fm.ru

Условие
Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни
на 7?
Решение
Ответ: 686 чисел. Сначала вычеркнем из набора чисел 1, 2, ..., 999 числа, кратные 5; их
количество равно
= 199. Затем из того же набора чисел 1, 2, ..., 999 вычеркнем
числа, кратные 7; их количество равно
вычеркнуты дважды. Их количество равно
= 142. При этом числа, кратные 35, будут
= 28. Значит, всего мы вычеркнули 199
+ 142 - 28 = 313 чисел, а осталось 999 - 313 = 686 чисел.
Условие
Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три подряд стоящих солдата не
стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных
шеренг можно построить из n солдат разного роста, если
а) n=4;
б) n=5?
Решение
Рассмотрим самого высокого солдата в некоторой неправильной шеренге. Докажем, что
после него могут стоять не более двух солдат. Для этого предположим противное, что
после него стоят по крайней мере трое. Если они стоят по росту в порядке возрастания, то
это противоречит условию неправильности шеренги. Если же какие-то двое из них стоят в
порядке убывания, то они вместе с самым высоким солдатом образуют тройку стоящих по
росту солдат, что опять противоречит условию неправильности шеренги. Полученное в
обоих случаях противоречие доказывает сформулированное утверждение. Аналогичные
рассуждения показывают, что и перед самым высоким солдатом в неправильной шеренге
могут стоять не более двух солдат, и что то же самое верно для самого низкого солдата.
а) Обозначим солдат буквами A, B, C и D (по росту). Приведенное выше рассуждение
показывает, что в неправильной шеренге солдаты A и D должны стоять в середине, а
солдаты B и C, тем самым, по краям. Таким образом, мы можем получить 4 неправильных
шеренги: BADC, BDAC, CADB и CDAB.
б) Из приведенного выше рассуждения следует, что в неправильной шеренге из пяти
солдат самый высокий должен стоять посередине (на третьем месте), то же самое можно
утверждать и про самого низкого. Значит, неправильной шеренги из пяти солдат
построить нельзя.
Условие
Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и
приведения подобных членов в выражении
(1 + x5 + x7)20.
Решение
Число 18 нельзя представить в виде суммы чисел 5 и 7, поэтому коэффициент при x18
будет равен нулю. Число 17 представляется в виде суммы чисел 5 и 7 следующим
образом: 17 = 7 + 5 + 5; с точностью до перестановки слагаемых это представление
единственно. В одном из 20 выражений 1 + x5 + x7 мы должны выбрать x7, а в двух из 19
оставшихся таких выражений мы должны выбрать x5. Поэтому коэффициент при x17 равен
20 .
= 3420.
Условие
На прямоугольном листе клетчатой бумаги размером m×n клеток расположено несколько
квадратов, стороны которых идут по вертикальным и горизонтальным линиям бумаги.
Известно, что никакие два квадрата не совпадают и никакой квадрат не содержит внутри
себя другой квадрат. Каково наибольшее число таких квадратов?
Решение
Ответ: mn. Отметим для каждого квадрата левый верхний угол. По условию для разных
квадратов отмеченные точки разные. Поэтому число квадратов не превосходит mn. Ясно
также, что mn клеток обладают требуемым свойством, поэтому число квадратов может
быть равно mn.
Условие
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8 × 8 × 8, чтобы они не били
друг друга?
Решение
Очевидно, что в каждом столбике из 8 кубиков-клеток может стоять только одна ладья,
поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введем систему
координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела
координатами тройку (x,y,z) чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат
которых делится на 8. Эта расстановка является искомой.
Докажем сначала, что эти ладьи не бьют друг друга. Предположим противное — какие-то
две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третья
— различна (обозначим ее z1 и z2 соответственно). По построению суммы x + y + z1 и
x + y + z2 делятся на 8. Значит, на 8 делится и их разность z1 – z2, что невозможно, так как z1
и z2 — различные неотрицательные числа, меньшие 8.
Докажем теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы
поставили 64 ладьи. Каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y.
Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием x + y + z ≡ 0( 8). А
именно, если x + y делится на 8, то z = 0, в противном случае z равно 8 минус остаток от
деления на 8 суммы x + y.
Условие
Шалтай-Болтай ходит по стене, проходя за минуту либо на 37 шагов влево, либо на 47
шагов вправо. За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее
исходной точки?
Решение
Фактически, нам требуется найти решение уравнения
в целых неотрицательных числах с наименьшей суммой x + y. Одно из решений этого
уравнения — x = 26, y = 33. Покажем, что приведенное решение имеет минимальную
сумму x + y. Пусть (x,y) — другое целочисленное решение этого уравнения. Вычтя из
равенства (*) равенство 47 • 26 – 37 • 33 = 1, получаем 47(x – 26) = 37(y – 33). Отсюда
следует, что x – 26 делится на 37, а y – 33 — на 47. Значит, (26,33) — решение с
минимальным положительным значением как x, так и y. Ответ в задаче — 59 минут.
Условие
В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка — ровно с
тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в
этом классе?
Решение
Обозначим количество мальчиков в классе через M, а девочек — через D. Из условий
следует, что 31 ≤ D + M ≤ 38 и 3D = 2M. Последнее равенство показывает, что количество
девочек четно, а количество мальчиков делится на 3. Более того,
, откуда
D + M = 5n. Существует единственное целое число, заключенное между 31 и 38,
делящееся на 5. Поэтому можно утверждать, что в классе 35 учеников — 14 девочек и 21
мальчик.
Условие
Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из
остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?
Ответ
Такой набор чисел существует. Перемножим какие-нибудь 10 различных простых чисел
p1, p2, ..., p10: P = p1p2 ... p9p10. Набор, удовлетворяющий условию задачи, можно построить
так: a1 = Pp1, a2 = Pp2, ..., a10 = Pp10.
Условие
Докажите, что выпуклый 13-ти угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Решение
У выпуклого многоугольника с нечётным числом сторон есть сторона, не параллельная ни
одной из остальных его сторон, поскольку параллельные стороны выпуклого
многоугольника разбиваются на пары. А если многоугольник можно разрезать на
параллелограммы, то для каждой его стороны найдётся сторона, ей параллельная.
Условие
а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечетное число делителей (в число
делителей включается единица и само число).
б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие
числа.
Решение
Если x — делитель числа A, то
— тоже его делитель. Это простое наблюдение
показывает, что каждому делителю числа A можно поставить в соответствие
двойственный делитель (так, что произведение любого делителя на свой двойственный
равно A). При этом очевидно, что делитель x является двойственным себе тогда и только
тогда, когда x² = A. Таким образом, если число A не является полным квадратом, то все его
делители разбиваются на пары двойственных друг другу, тем самым их количество четно.
Если же число A является полным квадратом, то при разбиении его делителей на пары
двойственных без пары останется единственный делитель
. Значит, в этом случае
количество делителей нечетно. Итак, натуральное число имеет нечетное число делителей
тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом. Первые десять таких чисел —
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.