Домино-17-21.11

Игра «Домино». 6-7 класс. Решения. 17-21 ноября 2014 года.
0–0. Любитель игры «Морской бой» Вася однажды решил поиграть на
треугольном поле. Для этого он равносторонний треугольник со
стороной 9 разбил на 81 равный треугольник отрезками,
параллельными
сторонам. Какое наибольшее количество
однопалубных (1 маленький треугольничек) несоприкасающихся
между собой кораблей можно разместить на таком поле? Приведите
ответ и пример. (18 кораблей. Заметим, что на доске
1+2+3+…+10=55 узлов клетчатой решётки, а каждый корабль
занимает 3 узла. Значит, можно разместить не более [55:3]=18
кораблей. Пример на 18 кораблей  см. рисунок, как раз один
свободный узел окажется в центре.)
0–1. Каждое из трёх слагаемых на 3 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? (Из условия ясно, что
все слагаемые равны между собой. Тройка, на которую одно слагаемое меньше суммы всех
трёх, равна сумме двух других слагаемых. Поэтому каждое слагаемое равно 3/2.)
0–2. Есть 24 гирьки весами 1 г, 2г, …, 24 г. На какое наибольшее число кучек равного веса можно их
разложить? (12 кучек. Суммарная масса всех гирек равна 1+2+3+….+24=25∙24/2=300. Значит,
вес каждой кучки есть делитель 300. В то же время вес кучки не может быть меньше веса
самой большой гири, то есть 24 г. Но 300 не делится нацело на 24, поэтому вес кучки не менее
25 г, а количество кучек не больше 30025=12. Можно сформировать 12 кучек: 1+24, 2+23,
3+22,…12+13.)
0–3. Расставьте по кругу натуральные числа от 1 до 8 так, чтобы любое число делилось на разность
соседних с ним чисел. (например, 8, 7, 1, 6, 4, 2, 3, 5)
0–4. По кругу стоят 22 человека, каждый из них – рыцарь (который всегда говорит только правду) или
лжец (который всегда лжёт). Каждый из них произнёс фразу: «Следующие 10 человек по часовой
стрелке после меня – лжецы». Сколько среди этих 22 людей могло быть лжецов? (20 лжецов. Если
более 10 лжецов стоят подряд, то один из них говорит правду, значит, такое невозможно.
Всего 22 человека, поэтому среди них есть рыцарь. Рассмотрим рыцаря, он говорит правду,
значит, 10 следующих за ним людей – лжецы. Так как 11 лжецов подряд стоять не могут, то
за 10 лжецами обязан стоять рыцарь, за которым опять стоят 10 лжецов. Всего получается 2
рыцаря и 20 лжецов.)
0–5. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором сумма любых четырёх
подряд идущих цифр делится на 7. (9874210. Должна быть цикличность остатков по модулю 7,
т.е. цифры, стоящие через три, должны быть сравнимы по модулю 7, а все цифры
разбиваются на 3 таких пары (0, 7), (1, 8), (2, 9), и ещё остаются четыре цифры. Значит, в
нашем числе не может быть два полных цикла 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
остатков и в нём не более 4+3=7 цифр. Эти 6 2 7 3 8 4 0 5 1 6 2 7 3
соображения дадут нам число 9874210.)
0–6. Барон Мюнхгаузен каждый день ходил на охоту, а возвратившись, говорил: «Сегодня я добыл
уток больше, чем позавчера, но меньше, чем неделю назад». Какое наибольшее число дней подряд
эти слова могли быть правдой? Приведите ответ и пример. (6 дней. Например, барон мог добыть
в первые 13 дней месяца по такому количеству уток, как показано в таблице. Легко
убедиться, что с 8-го по 13-е барон говорил правду. Добавим к «правдивым» дням
предыдущую неделю и будем считать, что правдивые дни начинаются с 8-го дня. Соединим
каждый правдивый день стрелками с «позавчера» и с днем
неделю назад, каждый раз направляя стрелку от дня с
большим (по словам барона) числом добытых уток к дню с
меньшим. Получится ориентированный граф (см. рис.).
Теперь ясно, что 14-й день уже не может быть правдивым. Пример нетрудно построить,
считая, что можно 7-го числа добыть минимум уток (например, 0), а дальше идти против
стрелок, увеличивая каждый раз число добытых уток на 1.)
1–1. В ряд выписаны все натуральные числа от 1 до 11 и в десяти промежутках между ними
расставляются произвольным образом знаки + и . Какое наименьшее положительное значение
может принимать полученное числовое выражение? Приведите ответ и пример. (2. Т.к. в данной
целочисленной знакопеременной сумме будет чётное (6) количество нечётных слагаемых, то
вся сумма будет чётной. Значит, минимальное положительное значение, которое она может
принимать, равно 2. При этом значение 2 можно получить, например, расставив знаки
следующим образом: 12+345678+9+10+11=3432=2.)
1–2. Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника, если известно, что при уменьшении
этого большего острого угла на 20% получится меньший острый угол. (50, т.к. больший острый
угол и меньший острый угол в сумме составляют 90 или 180% от большего. Значит, 1
соответствует 2% большего угла, тогда он равен 100:2=50 градусам. Комментарий: Будьте
внимательны и не путайте градусы с процентами.)
1–3. Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. В настоящее время сумма их возрастов
составляет 74 года, а 10 лет назад эта сумма составляла 47 лет. Сколько лет сейчас отцу, если он
старше сына на 28 лет? (35 лет. Из того, что (7447)210 =7, следует, что сейчас сыну 7 лет.)
1–4. В классе – 17 человек. Известно, что среди любых десяти есть хотя бы одна девочка, а мальчиков
больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе? (8. Так как мальчиков в классе больше,
чем девочек, то мальчиков – не менее девяти. Если мальчиков больше девяти, то не будет
выполняться условие: среди любых десяти человек есть хотя бы одна девочка. Значит,
мальчиков – ровно 9, тогда девочек – 8.)
1–5. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. При этом периметр
прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится периметр
прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на 10%? (На 18%.
Пусть длина равна a, а ширина  b. По условию 2(0,1a+0,2b) = 0,12(2a+2b), откуда a = 4b. Если
длину уменьшить на 20%, а ширину на 10%, то периметр уменьшится на 2(0,2a+0,1b) = 1,8b, а
равен он был 10b. Следовательно, периметр уменьшится на 18%.)
1–6. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10
цифр. (1023457896)
2–2. В бассейн ведут две одинаковых трубы. Одна труба заполняет бассейн за 3 часа. Сначала
включили обе трубы, но через час одна из труб засорилась и через нее вода стала поступать вдвое
медленнее. Через сколько времени бассейн заполнится? (Через 1 час 40 минут. Каждая труба за
час заполняет треть бассейна. За первый час две трубы заполнили 2/3 бассейна. После этого
вторая труба стала заполнять бассейн со скоростью 1/6 бассейна в час, стало быть, две трубы
вместе — со скоростью 1/6+1/3 = 1/2 бассейна в час. Поэтому оставшуюся треть бассейна они
заполнят за 1/3:1/2 = 2/3 часа.)
2–3. Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между
которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть покрашены в разные цвета.
Каким наименьшим количеством различных красок он сможет обойтись? (Тремя красками.
Заметим, что между первой и четвёртой, четвёртой и седьмой досками  по две доски, а
между первой и седьмой досками  пять досок. Поэтому первая, четвёртая и седьмая доски
забора должны быть раскрашены в различные цвета, значит, Тому понадобятся хотя бы три
различные краски. С другой стороны, трёх цветов ему хватит, если красить, например, так:
AAABBBCCCAAABBBCCC…: тут между любыми двумя одноцветными досками не менее 6
досок.)
2–4. Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится N лет в N2 году. А
сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдет в России? (38 лет. В
условии задачи говорится о будущем времени, при этом футболист уже играет (или играл),
поэтому достаточно оценить квадраты натуральных чисел, лежащие в промежутке от 2013 до
2100. Так как 442 = 1936, 452 = 2025, 462 = 2116, то возможен единственный вариант: N = 45.
Следовательно, в 2018 году Роналдиньо будет на 7 лет меньше, т.е. 38 лет.)
2–5. Квадрат 99 разбит на квадратики 11. Из этих квадратиков выбрали несколько, и в каждом из
выбранных провели одну или две диагонали. Оказалось, что никакие две проведенные диагонали
не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено? Приведите
ответ и пример. (50 диагоналей. Занумеруем по порядку строки и столбцы квадрата числами
от 1 до 9 и проведём по две диагонали в клетках, стоящих на пересечении нечётных строк с
нечётными столбцами. Таких клеток 25, то есть диагоналей будет проведено 50. С другой
стороны, у диагоналей не должно быть общих концов, а вершин клеток (узлов решётки) в
квадрате 99 у нас всего 1010 = 100. Поэтому диагоналей можно провести не более 100:2=50.)
2–6. Найдите какое-нибудь четырёхзначное число из различных ненулевых цифр такое, что если взять
любую из его цифр и прибавить к ней 1, то получится делитель исходного числа. Ответ обоснуйте.
(Например, 3612. Это число делится на 2, 3, 4 и 7.))
3–3. На доске выписаны несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них чётны.
Какое количество нечётных чисел выписано на доске? (12. Пусть на доске выписано n нечётных
чисел, но их 48%, т.е. меньше половины, значит, чётных чисел выписано больше, а ряд
начинается и заканчивается чётными числами в силу того, что выписаны подряд идущие
числа. Значит, чётных чисел больше ровно на 1 и их количество равно n+1. Тогда чётные
числа составляют (n+1)/(2n+1)=0,52 всего количества чисел. Из полученного уравнения
найдём n=12.)
3–4. Когда у двух дробей с натуральными числителями и знаменателями поменяли числители
местами, сумма дробей не изменилась. Найдите все пары таких дробей. (Это все пары дробей, в
которых либо числители, либо знаменатели равны. Обозначив дроби соответственно за p и
q
a
, получим равенство p  a  a  p , откуда сразу следует, что p  a  p  a . Если p=a, то
b
q b q b
q
b
числители равны, если же p≠a, можно сократить на ненулевые равные числители, и
получим, что равны знаменатели.)
3–5. Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди
любых пяти из них нашлись две, образующие угол в 90? (8. Пример: 4 параллельных прямых и
4 прямых, перпендикулярных им. Докажем оценку. Пусть есть n прямых, обладающих
указанным в задаче свойством. Покрасим одну из них в синий цвет, все перпендикулярные
ей  в красный, а все параллельные  в синий. Если после этого остались непокрашенные
прямые  будем повторять процедуру, пока все прямые не будут покрашены. Заметим, что
перпендикулярными могут быть только разноцветные прямые. Если n9, у нас найдутся 5
одноцветных прямых. Поэтому n не превосходит 8.)
3–6. На горизонтальной прямой расставлено 2015 точек. Каждая из этих точек окрашена в красный
или синий цвет. На каждой точке написана сумма количества синих точек слева от неё и красных
точек справа. Оказалось, что все написанные числа чётны. Какое наибольшее количество точек
красного цвета могло быть? (Условие задачи некорректно. Если бы рядом стояли две точки
одного цвета, то соответствующие им по условию суммы отличались бы ровно на 1 (у пары
синих точек сумма для правой точки больше на 1, у пары красных точек сумма для левой
точки больше на 1), значит, эти суммы были бы разной чётности. Значит, точки чередуются
по цвету. Но при этом в обоих случаях чередования (крайние точки  либо синие, либо
красные) требуемая сумма будет равна 1007, т.е. не окажется чётной. Следовательно,
описанная в условии невозможна.)
4–4. Какое наибольшее количество сторон может быть у выпуклого многоугольника, все углы
которого принимают целые значения? (360. Сумма углов n-угольника равна (n2)180, что не
должно превосходить 179n, т.к. каждый целочисленный угол выпуклого n-угольника не
превосходит 179. Тогда из неравенства (n2)180179n найдём, что n360. При этом у
правильного 360-угольника все углы как раз будут равны 179.)
4–5. Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 100 можно выбрать, чтобы
ни одно из этих чисел не делилось на разность никаких двух других? Приведите ответ и пример.
(50. Пример на 50 чисел — все нечётные числа, меньшие 100: все их разности чётны, поэтому
ни на одну из них ни одно нечётное число делиться не может. Если же мы возьмём хотя бы 51
число, то среди них обязательно найдутся два, отличающиеся на 1.)
ab
46. Взаимно простые числа a и b таковы, что число
 целое. Какие значения может принимать
a b
ab
2a
1 
разность ab? (1, 2.
 целое число, но a и (ab) также в силу условия будут
a b
a b
взаимно просты, значит, на (ab) будет делиться число 2, что возможно только в случаях 1,
2, причём каждый из них возможен, например, при парах (2, 1), (1, 2), (3, 1) и (1, 3).)
ab ab

5–5. Известно, что числа а, b, c и d – целые и
. Укажите ближайшее натуральное число N,
cd cd
большее 2014, для которого может выполняться равенство аbcd = N. (2025. Преобразуем данное
равенство
по
свойству
ряда
равных
отношений:
a  b a  b ( a  b)  ( a  b) 2a a ( a  b)  a b



 
 . Тогда ad=bc, тогда abcd=(ad)2, а
c  d c  d (c  d )  (c  d ) 2c c (c  d )  c d
ближайшим точным квадратом после 2014 будет число 2025=452.)
5–6. По кругу выложены черные и белые шары, причем чёрных в два раза больше, чем белых.
Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое больше, чем разноцветных. Какое
наименьшее число шаров могло быть выложено? (24 шарика. Т.к. чёрных шаров в два раза
больше, чем белых, то общее количество шаров делится на три. Обозначим его через n. Все
шары разбиваются на чередующиеся группы подряд идущих одноцветных шаров (группа
может состоять и из одного шара). Так как цвета групп чередуются, то общее количество
групп четно. Пусть количество групп каждого цвета равно k. Тогда разноцветных пар
соседних шаров будет 2k, а одноцветных n – 2k. Из условия задачи получаем, что n – 2k = 32k.
Отсюда n = 8k. Таким образом общее количество шаров делится и на 3, и на 8. Значит, n
делится на 24, поэтому n  24. Примером может служить любой круг из 8 белых и 16 чёрных
шаров, в котором по три чёрных и белых группы. Например, белый – чёрный – белый –
чёрный – 6 белых – 14 чёрных.)
6–6. Палиндромическим разбиением натурального числа назовём его представление в виде суммы
натуральных слагаемых, порядок которых одинаков при чтении и слева направо, и справа налево,
например, 20=1+18+1=3+3+8+3+3=20=10+10  палиндромические разбиения числа 20. Найдите
количество палиндромических разбиений числа 2014. (21007 разбиений. Каждому
палиндромическому разбиению соответствует расстановка плюсов в первых 1007 местах в
ряду из 2014 единиц. На остальных 1006 местах плюсы ставятся симметрично плюсам
относительно середины ряда. При этом количество единиц между соседними плюсами равно
слагаемому нашего разбиения. Но в каждое из 1007 первых мест плюс либо ставится, либо не
ставится, т.е. всего 21007 вариантов.)