Кружок по математике, 218 школа, 10 класс

Кружок по математике, 218 школа,
10 класс, 1 ноября 2003 г.
Кружок по математике, 218 школа,
10 класс, 1 ноября 2003 г.
“Солянка” из неравенств.
“Солянка” из неравенств.
1. Пусть a, b, c - неотрицательные числа, такие, что a + b + c =1.
Докажите, что (1+a)(1+b)(1+c)  8(1–a)(1–b)(1–c)
1. Пусть a, b, c - неотрицательные числа, такие, что a + b + c =1.
Докажите, что (1+a)(1+b)(1+c)  8(1–a)(1–b)(1–c)
2. Докажите для положительных чисел, что
2. Докажите для положительных чисел, что

 9
1
1
1
 .
( xy  yz  zx )


2
2
2 
(y  z)
(z  x )  4
 (x  y )

 9
1
1
1
 .
( xy  yz  zx )


2
2
2 
(y  z)
(z  x )  4
 (x  y )
3. a1, a2, …, an- неотрицательные числа, такие, что a1+ a2 +…+an=1.
Докажите, что
a1
1  a1
 ... 
an
1  an

4. Доказажите неравенство
3. a1, a2, …, an- неотрицательные числа, такие, что a1+ a2 +…+an=1.
Докажите, что
a1
n
n 1
a
b


bc
ca
1  a1
c
2
ab
для
положительных чисел.
 ... 
an
1  an

4. Доказажите неравенство
n
n 1
a
b


bc
ca
c
2
ab
для
положительных чисел.
5. Выпуклый n-угольник помещен внутрь квадрата со стороной,
равной 1. Докажите, что найдутся три вершины А, В, С этого nугольника, такие, что площадь АВС меньше 8/n2.
5. Выпуклый n-угольник помещен внутрь квадрата со стороной,
равной 1. Докажите, что найдутся три вершины А, В, С этого nугольника, такие, что площадь АВС меньше 8/n2.
6. Докажите, что для любого натурального n>2 число
6. Докажите, что для любого натурального n>2 число
 3 n  3 n  2 3   1 делится на 8, где [x] – целая часть


 3 n  3 n  2 3   1 делится на 8, где [x] – целая часть




7. Докажите, используя неравенство Мюрхеда, что для любых
положительных a, b и c
3
(a  b)(b  c)(c  a)

8
ab  bc  ca
3


7. Докажите, используя неравенство Мюрхеда, что для любых
положительных a, b и c
3
(a  b)(b  c)(c  a)

8
ab  bc  ca
3