Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25

Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25 октября 2003 г.
Вектора и неравенства. Итерации.
Вектора и неравенства. Итерации.
1. Докажите, что если x  y  z  1  4 x  1  4 y  1  4 z  1  21
1
a
1
b
Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25 октября 2003 г.
1
c
1. Докажите, что если x  y  z  1  4 x  1  4 y  1  4 z  1  21
1
a
2. Доказажите неравенство ( a3  b3  c3 )(   )  ( a  b  c )2 для
1
b
1
c
2. Доказажите неравенство ( a3  b3  c3 )(   )  ( a  b  c )2 для
положительных чисел.
положительных чисел.
3. Докажите неравенство
3. Докажите неравенство
a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2  ( a1  a2  ...  an )2  ( b1  b2  ...  bn )2 .
a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2  ( a1  a2  ...  an )2  ( b1  b2  ...  bn )2 .
4. Решите уравнение x 3  1  23 2x  1 .
4. Решите уравнение x 3  1  23 2x  1 .
5. Решите систему уравнений x4+y4+z4=1, x2+y2+2z2= 7 .
5. Решите систему уравнений x4+y4+z4=1, x2+y2+2z2= 7 .
6. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр. Докажите
неравенства: p  p  a  p  b  p  c  3 p .
6. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр. Докажите
неравенства: p  p  a  p  b  p  c  3 p .
7. Известно, что x2+3y2+z2=2. Найдите наибольшее и наименьшее значение
выражения 2x+y-z .
7. Известно, что x2+3y2+z2=2. Найдите наибольшее и наименьшее значение
выражения 2x+y-z .
Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25 октября 2003 г.
Вектора и неравенства. Итерации.
Вектора и неравенства. Итерации.
1. Докажите, что если x  y  z  1  4 x  1  4 y  1  4 z  1  21
1
a
1
b
1
c

 b22
 ... 
1
c
положительных чисел.
3. Докажите неравенство
a22
1
b
2. Доказажите неравенство ( a3  b3  c3 )(   )  ( a  b  c )2 для
положительных чисел.
 b12
1. Докажите, что если x  y  z  1  4 x  1  4 y  1  4 z  1  21
1
a
2. Доказажите неравенство ( a3  b3  c3 )(   )  ( a  b  c )2 для
a12
Кружок по математике, 218 школа, 10 класс, 25 октября 2003 г.
3. Докажите неравенство
an2
 bn2
 ( a1  a2  ...  an )  ( b1  b2  ...  bn ) .
2
2
a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2  ( a1  a2  ...  an )2  ( b1  b2  ...  bn )2 .
4. Решите уравнение x 3  1  23 2x  1 .
4. Решите уравнение x 3  1  23 2x  1 .
5. Решите систему уравнений x4+y4+z4=1, x2+y2+2z2= 7 .
5. Решите систему уравнений x4+y4+z4=1, x2+y2+2z2= 7 .
6. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр. Докажите
неравенства: p  p  a  p  b  p  c  3 p .
6. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр. Докажите
неравенства: p  p  a  p  b  p  c  3 p .
7. Известно, что x2+3y2+z2=2. Найдите наибольшее и наименьшее значение
выражения 2x+y-z .
7. Известно, что x2+3y2+z2=2. Найдите наибольшее и наименьшее значение
выражения 2x+y-z .