Тема «Построение графика функции y=f(kx)».

Построение графика функции 𝑦 = 𝑓 (𝑘𝑥 )
Покажем, как, зная график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), построить график
1.
функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), где 𝑘 ∈ ℝ и 𝑘 ≠ 0. При этом нам достаточно
рассмотреть только положительные значения 𝑘 > 0, поскольку, для
построения, например, графика функции 𝑦 = 𝑓(−2𝑥), достаточно построить
график функции 𝑦 = 𝑓(2𝑥), а затем симметрично отразить его относительно
оси ординат.
Построим график функции 𝑦 = √2𝑥 путем преобразования графика
функции 𝑦 = √𝑥.
При x = 6 функция 𝑦 = √𝑥. принимает значение √6. То же самое
значение √6 функция 𝑦 = √2𝑥 принимает при x = 3. Значение 1 функция
1
𝑦 = √𝑥. принимает при x = 1, а функция 𝑦 = √2𝑥 - при x = .
2
Оба раза оказалось, что то же значение, что и 𝑦 = √𝑥, функция 𝑦 =
√2𝑥 принимает при в два раза меньшем значении аргумента. Это верно и в
общем случае: то значение, которое функция 𝑦 = √𝑥 принимает при x = 𝑥0 ,
то есть √𝑥0 , функция 𝑦 = √2𝑥 принимает при x =
при x =
𝑥0
2
значение функции √2𝑥 равно √2
𝑥0
2
𝑥0
2
(рис. 1). Действительно,
= √𝑥0 .
Рисунок 2
Рисунок 1
Это означает что, если на графике функции 𝑦 = √𝑥 выбрана точка
𝑥
𝐹(𝑥0 ; √𝑥0 ), то тогда точка плоскости 𝐹 ′ ( 0 ; √𝑥0 ) принадлежит графику 𝑦 =
2
√2𝑥 (рис. 2). Эта точка имеет такую же ординату, что и точка 𝐹, а абсциссу
в два раза меньшую.
Точку
𝐹′
можно
получить,
взяв середину
перпендикуляра, опущенного из точки 𝐹 на ось ординат. Такой переход от
точки 𝐹 к точке 𝐹 ′ называют сжатием вдоль оси Ox с коэффициентом 2.
Проделав аналогичное преобразование со всеми точками графика функции
𝑦 = √𝑥, получаем точки графика функции 𝑦 = √2𝑥 (рис.2).
Следует убедиться, что таким способом мы получим все точки этого
графика. Возьмем точку графика функции 𝑦 = √2𝑥 с абсциссой с, то есть
точку (с; √2с). Эта точка получается из точки (2с; √2с), принадлежащей
графику функции
𝑦 = √𝑥,
в
результате
сжатия
вдоль
оси
с
Ox
коэффициентом 2точки.
1
1
2
2
Возьмем теперь 𝑘 = , то есть построим график функции 𝑦 = √ 𝑥.
Рассуждения,
аналогичные
предыдущим,
приводят
Рисунок 3
к
выводу,
что
Рисунок 4
то значение, которое функция 𝑦 = √𝑥 принимает при x = 𝑥0 , то есть
1
√𝑥0 , функция 𝑦 = √2 𝑥 принимает при x = 2𝑥0 . Таким образом, график
1
функции 𝑦 = √ 𝑥 получается из графика функции 𝑦 = √𝑥 растяжением
2
вдоль оси Ox с коэффициентом 2.
2.
В общем случае при построении графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) на
основе графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) применимы те же рассуждения, что и в
предыдущем примере. Пусть 𝐹 точка графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) с
абсциссой 𝑥0 , тогда ее ордината равна 𝑓(𝑥0) (рис.4). Точка плоскости
1
𝐹 ′ ( 𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 ))
𝑘
принадлежит
графику
функции
𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥),
так
как
1
𝑓 (𝑘 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 ). Точка 𝐹 ′ имеет такую же ординату, что и точка 𝐹, а
𝑘
1
абсциссу равную 𝑥0 . Это значит, что из каждой точки графика функции 𝑦 =
𝑘
𝑓(𝑥) «получается» точка графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), причем
таким
образом можно построить все точки графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥)(п.1).
Отметим, что, если коэффициент 𝑘 > 1, то точка 𝐹 ′ лежит ближе к оси
𝑂𝑦 в сравнение с точкой 𝐹, а если 0 < 𝑘 < 1, то – дальше (рис.4). Поэтому в
первом случае говорят о сжатии графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), а во втором – о
его растяжении.
Таким образом, правило построения графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) из
графика функции y = f(x) формулируется следующим образом:
𝒇(𝒌𝒙)
𝒇(𝒙)
График функции 𝒚 = 𝒇(𝒌𝒙),где
𝒌 > 𝟎, получается сжатием
графика функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) вдоль
оси абсцисс Ox в 𝒌 раз
Если 𝟎 < 𝐤 < 𝟏, то вместо выражения «сжатие графика в 𝐤 раз » предпочтительнее
𝟏
употребить выражение «растяжение графика в 𝒌 раз»
Множество значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥)
совпадает с множеством
значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Область определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥)
1
составляет множество чисел 𝑐, где 𝑐 ∈ 𝐷(𝑓) (рис.5).
𝑘
Рисунок 5
3. Пример. Дан график функции y = 𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥) = x 2 − 2x − 1. С
помощью преобразования графиков построить график функции y =
𝑓(2𝑥 + 1).
Формулу функции представим в виде y = 𝑓(2(𝑥 + 0,5)), тогда
последовательность преобразований графиков будет выглядеть следующим
образом:
𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑓(2𝑥) ⟹ y = 𝑓(2(𝑥 + 0,5)).
Первое
преобразования представляет собой сжатия в два раза вдоль оси абсцисс, а
второе – сдвиг полученного графика вправо на 0,5 единиц тоже вдоль оси
абсцисс (рис.6).
Рис. 6
Упражнения
1. Уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет корни 1; −2; 5. Решите уравнение 𝑓(2𝑥) =
0; 𝑓(0,3𝑥) = 0.
2. Постройте график функции.
a) 𝑦 = (2𝑥)3
b) 𝑦 = |3𝑥 + 1|
𝑥 2, x < 1
c) 𝑦 = 𝑓(−0,5𝑥), где 𝑓(𝑥) = {
2𝑥, x ≥ 1
d) 𝑦 = |−2𝑥 + 1|
3. На рисунке изображен график функции y = f(x). Постройте график
функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), где 𝑘 = 2; −2; 0,5, −0,5. Сравните области
определения и множество значений функций.
b)
a)
Постройте график функции y = f(2x − 4); y = f(−0,5x + 2).
4. Найдите область определения функции 𝑦 = f(kx), если известна
область определения функции 𝑦 = f(x).
D(f)
a) (1; 2]
c) (−∞; 0]
e) (−∞; −2) ∪ (2; ∞)
k
2
-2
0,5
D(f)
b) (−∞; ∞)
d) [−6; 2]
f) [−2; −1]
K
3
-0,2
-3
5. Пусть функция 𝑦 = f(x) – периодическая с периодом 𝑇. Докажите, что
1
функция 𝑦 = f(𝑘x) также является периодической с периодом 𝑇.
𝑘
6. Будет ли обратимой функция 𝑦 = f(𝑘x), если функция 𝑦 = f(x)
обратима?