С.В. ВЛАСОВА Научный руководитель – В.А. ВЛАСОВ, д.т.н., профессор

УДК 681.5(06) Автоматика
С.В. ВЛАСОВА
Научный руководитель – В.А. ВЛАСОВ, д.т.н., профессор
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
СОКРАЩЕНИЕ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Рассматривается возможность и необходимость сокращения нулей и полюсов
при определении передаточной функции замкнутой системы.
При появлении в передаточной функции динамической системы одинаковых полиномов в числителе и знаменателе возникает вопрос о возможности сокращения таких полиномов и упрощении аналитического
вида передаточной функции.
Простейшие примеры показывают, что при необоснованном сокращении полиномов могут быть потеряны важные свойства рассматриваемой
динамической системы. Пусть передаточная функция имеет вид
w( s ) 
x( s ) Ts  1

,
u ( s ) Ts  1
s
–
аргумент
передаточной
функции,
x – выходная величина, u - управляющее воздействие, T – постоянная,
характеризующая динамические свойства объекта. Сокращение числителя
и знаменателя приведет к результату x( s )  y ( s ) , и, казалось бы, можно
сделать вывод, что выходной сигнал совпадает с управляющим воздействием. Однако потеряно главное свойство, заключающееся в том, что
объект является динамическим. В данном примере, кроме того, объект
является неустойчивым.
Известно, что передаточная функция wЗ (s ) замкнутой системы нахо-
w( s )
, где w(s ) – передаточная
1  w( s )
функция разомкнутой системы. Если w(s ) является отношением двух
P( s)
P( s) / Q( s)
полиномов w( s ) 
, то wЗ ( s ) 
и возникает воQ( s)
1  P( s) / Q( s)
прос о возможности сокращения числителя и знаменателя на Q (s ) , причем Q (s ) может содержать не минимально фазовые звенья. Ответ на этот
дится согласно правилу wЗ ( s ) 
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 17
18
УДК 681.5(06) Автоматика
вопрос следует искать с помощью анализа дифференциальных уравнений
динамических объектов.
Пусть
объект
описывается
дифференциальным
уравнением
d nx
dx
d mu
an n  ...  a1  a0 x  bm m  ...  .b0u , и его передаточная
dt
dt
dt
n
a s  ...  a0 P( s)
функция имеет вид w( s )  n m
. Введение единичной

bm s  ...  b0 Q( s)
обратной связи (замыкание объекта) означает, что справедливы соотно-
d nx
dx
d m

...

a

a
x

b
 ...  .b0 ,
1
0
m
dt n
dt
dt m
 (t )  u (t )  x(t ) . Исключая  (t ) из последних соотношений, получим
шения
x (t )  an
дифференциальное
n
m 1
уравнение,
описывающее
замкнутый
m
объект
m
d x
d x
d x
d u
 ...  am 1 m 1  (am  bm ) m  ...  (a0  b0 ) x  bm m  ...  .b0u ,
dt n
dt
dt
dt
которому
соответствует
передаточная
функция
an
bm s m  ...  b0
.
an s n  ...am 1s m 1  (am  bm ) s m  ...  (a0  b0)
Эта
передаточная
P( s) / Q( s)
, где
1  P( s) / Q( s)
необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя на Q (s ) . В
K
K /(Ts  1)
K
w( s ) 
w( s ) 

частности,
если
,
то
Ts  1
1  K /(Ts  1) Ts  K  1
/(Ts  1)
K

(произведено сокращение на Ts-1).
K /(Ts  1) Ts  K  1
функция так же получается по формуле wЗ ( s ) 
Все вопросы, связанные с возможностью сокращения нулей и полюсов
в передаточных функциях следует решать с помощью анализа дифференциальных уравнений.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 17
19