Задачи по курсам высшей математики и математической физики

КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Фонд заданий для контроля остаточных знаний студентов
Дисциплина “МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ”
Найти предел последовательности:
1.
а) lim
n 
100n
n2  2
2  5n
; б) lim
n 10  5n
Найти предел функции:
2.
а) lim
x 2
x2  4
x  5x  6
2
2
; в) lim
n 

1 2x  3
; б) lim
x 2
x4
lim

n2  3n  n .
; в) lim
ln( x 2  1)
x  2 ln( x 4
 1)
cos x  cos 2 x
x 0
x
2
; г)
.
Найти производную функции:
3.
а) y 
x x ;
б) y  ln sin x ;
в) y  sin(ln x) ;
г) y  arctge ;
x
д)
y  x cos x ; е) y  cos xtgx .
4.
Определить промежутки непрерывности и точки разрыва функции,
указать тип точек разрыва
а) у 
x
sin x
, б) y 
x
x
5.
Изобразить траекторию точки, движение которой на плоскости ( x,
задано уравнениями:
y)
а) x  t , y  t ,  1  t   ; б) x  a cos t , y  b sin t , 0  t   ;
2
в) x  e , y  e ,    t   .
Найти абсолютную величину скорости точки в момент t  0 .
6.
Найти дифференциал функции:
t
2t
а) y  sin x в точке x 
2

; б) а) y  arc sin x в точке x 
1
.
2
4
7.
Найти производную n -го порядка функции:
10
x
x
2
а) y  cos 2 x ; б) y  x ; в) y  2 для n  10 ; г) y  xe ; д) y  x sin x ;
е) y  sin x sin 3x .
8.
Найти интеграл:
а)
x 1
dx
x
x
2

3
dx ; г)
dx ; б) 
;
в)

x
(2 x  3)10


dx
2x  3
;

xdx
е) 
; ж) 
1  x2
д) sin(3 x  1) dx ;
л)
dx
 x( x  1) ; м)
dx
x (1  x)
dx
; з)
 x2  5x  6

3
1  5x ; и)  xe 2x dx ; к)  x sin xdx ;
; н)
dx

2x  1
2
.
Вычислить определённый интеграл:
9.
2
а)

0
10.
1
dx
x cos xdx ; б) 
; в)
(
x

1)(
x

2)
0

1

2
x dx ; г)
1
 sin x dx .


2
Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями:

а) x  x 2 , 0  t  4 ; б) x  R cos t , y  R cos t , 0  t  ;
3
2
в) x  e , y 
t
11.
2 ( 3 2 )t
e
,
3
0  t  ln 3 .
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:
а) y  x , x  y  2 ; б) x  a cos t , y  b sin t , 0  t  2 .
12. Найти объём тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением
заданных кривых:
2
а) y  a x (0  x  1) , x  1 вокруг оси Ox ;
б) y  sin x (0  x   ) , вокруг оси Ox ;
в) y  x (0  x  1) , вокруг оси Oy .
13. Найти координаты центра тяжести:
2
а) дуги окружности x  a cos  ,
б)
однородной
y  a sin  , 
плоской
фигуры,

2
 

2
;
ограниченной
параболами
ax  y 2 , ay  x 2 (a  0) ;
в) однородного полушара x  y  z  a ,
14. Построить график функции:
2
а) y  ( x  1) x ; б) y 
2
15.
1
1 x
2
2
; в) y  xe
2
z  0.
2
 x2
.
Найти частные производные первого и второго порядков функции:
x
а) u  x  y  sin y ; б) u  xe  ye ; в) u  x .
2
3
y
y
16. Вычислить второй дифференциал функции в точке (1,1)
y2
a) z  xe ; б) z  x ln y  y ln x
17. Найти точки локального экстремума функции:
а) u  x  xy  y ; б) u  x  xy  y ;
2
2
2
2
в) u  x  2 y  z  2 x  4 y  6 z  1.
18. Найти точки условного экстремума функции:
2
2
2
а) u  x  y при условии связи x  y  1 ;
2
2
б) u  x  y при условии связи x  y  1 .
19. Преобразовать дифференциальное уравнение:
2
2
а) x y " xy ' y  0 , введя новую независимую переменную t по формуле
2
x  et ;
z
z
б) x
 y  z , введя новые независимые переменные u и v по формулам
x
y
y
u  x, v  .
x
Вычислить двойной интеграл:
20.
а)
 xdxdy , где G - область, ограниченная кривыми y  3x
2
, y  6  3x ;
G
б)
 x
2
dxdy , где G - круг: x 2  y 2  1 .
G
Вычислить тройной интеграл:
21.
 ( x  y  z )dxdydz ,
а)
T
x  y  z  1 , x  0,
б)
где T
- область ограниченная поверхностями
y  0, z  0 ;
2
2
2
2
2
x

y

z

R
x
dxdydz
,
где
шар:
.
T

T
Вычислить криволинейный интеграл первого рода:
22.
а)
 ( x  y)dl , где L - отрезок, соединяющий точки A(1, 0) и B(0, 1) ;
L
б)
2
 y dl , где L - дуга окружности x  R cos t б y  R sin t , 0  t 
L
23.
а)
Вычислить криволинейный интеграл второго рода:

2
.
 xdy  ydx , где OA , отрезок, соединяющий точки O(0, 0) и A(1, 2) ;
OA
б)
 xdx  ydy,
x2
где L - эллипс
a2
L

часовой стрелки.
24. Вычислить площадь:
а) части поверхности z  x  2 y ,
y2
 1, пробегаемый против хода
b2
расположенной
внутри
цилиндра
заключённой
внутри
цилиндра
x2  y 2  a2 ;
б)
части
x2  y 2  z 2  a2 ,
сферы
x 2  y 2  b2 , если 0  b  a .
25.
Вычислить поток вектора:
через
внешнюю
сторону
поверхности
a  xi  2 y j  3zk ,
x2  y 2  z 2  a2 ;
б) a  xi  y j  3zk , через внешнюю сторону части цилиндрической
2
2
2
поверхности x  y  a , 0  z  1.
а)
26.
Вычислить работу векторного поля:
а)
F  xi  y j  zk
по
x
окружности
2

 y 2  z 2  R2 , x  2 y ,
пробегаемой против хода часовой стрелки, если смотреть из точки
M (2R, 0, 0) ;

2
2
2
б) F  xi  y j  z k по эллипсу x  y  a ,
2
3

z  x  y , пробегаемому
против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной полуоси z .
27.
Исследовать на сходимость ряд:


1
а) 
; б)
n  0 2n  3
28.
10
 n2  1 .
n2
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

а)

2
dx
; б)
x ln x

dx
 x3  1

; в)
0

0
dx
x (1  x 2 )
.
29. Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке [-π, π]:
а) f ( x)  1, если x<0, f ( x)  1, если x>0; б). f ( x)  0 , если x<0, f ( x)  1,
если x>0.
30.
1
 
2
 
Найти значение Г-функции, если  
a) Г(2.5), б) Г(-3.5)