L2-4

Примеры решения обратных задач
Приведенные ниже примеры поясняют общую методику решения обратной задачи.
Исследуем движение частицы в поле тяжести Земли.
Галилей опытным путем показал, что в поле тяжести все тела падают с одинаковым
ускорением
g  9,8 м / с2
(теорема Галилея). Следовательно,
F  mg
и уравнения (2.21а)
переходят в кинематические соотношения
dv
dr
 g  const ; v  .
dt
dt
(2.26)
Интегрируя уравнения (2.26) с начальными условиями (2.22), получим
1
v  t   v0  gt ; r  t   r0  v0t  gt 2 .
2
(2.27)
В зависимости от выбора начальных условий ( r0 , v0 ), уравнения (2.27) описывают разные
движения – частица может подниматься вверх, опускаться вниз по прямой, или по
параболическим траекториям.
В координатном методе для решения обсуждаемой задачи направим ось X прямоугольной
системы координат горизонтально, а ось Y – вертикально вверх, так, чтобы точке бросания
соответствовало значение по оси Y координата y0 (рис. 2.8). В выбранной системе координат
начальные условия движения примут следующий вид:
x  0   0; y  0   0
vx  0   v0 x ; v y  0   v0 y
(2.28)
а уравнения движения
рис.2.8
dvx
dx
 0; vx  ;
dt
dt
dv y
dy
  g; vy  .
dt
dt
(2.29)
С учетом начальных условий, интегрирование последних соотношений дает
vx  t   v0 x  const ,


vy  t   v0 y  gt


x  t   v0 x  t ,


t2 
y  t   y0  v0 y  t  g 
2
;
.
(2.30)
Полученные решения, которые можно получить, проектируя векторные решения (2.27) на
выбранные оси X и Y, дают полное описание движения частицы.
Исключив из законов движения (2.40) время, получим уравнение траектории в явном
виде:
y  x   y0 
v0 y
v0 x
x
g 2
x ,
2v0 x 2
(2.31)
что представляет параболу (рис. 2.8).
Математические решения, получаемые из физических уравнений, как правило, имеют смысл
в ограниченных областях значений входящих в них параметров. Например, для
рассматриваемого движения (2.30) соотношения имеют смысл лишь в промежутке времени 0,
tmax, где tmax – это момент падения частицы на поверхность Земли. Последующее движение
частицы не описывается этими формулами, т.к. из-за столкновения с поверхностью Земли,
частица подвергается воздействию дополнительных сил, которые не учитываются в уравнениях
(2.36а).
Максимальную высоту полета (ymax) можно определить, исследуя функцию (2.31):
ymax  y0 
v02y
2g
.
(2.32)
Дальность полета можно определить из условия y(xmax) = 0:
xmax 
v0 x v0 y 
ymax
1
g 
ymax  y0



.
(2.33)
Радиус кривизны траектории в произвольной точке определится по формуле
2
2
v 2 vx  v y
R t   
g n g sin 
где α – угол между векторами
v
и
g
cos 
,
(2.34)
в рассматриваемой точке траектории (рис. 2.8):
gv
vy  t 
gv
v02x  t   v02y  t  .
Из последних двух соотношений для радиуса кривизны можно получить:
3/ 2
R  t   v02x   v0 y  gt   gv0 x .


(2.35)
Движение заряда в продольном электрическом поле в релятивистской механике.
Пусть заряд q массой покоя m помещен в постоянное электрическое поле, направленное по
оси Х. Получим уравнение движения заряда в релятивистской механике при следующих
начальных условиях:
x  0   0; vx  0   0
(2.36)
Так как сила, действующая со стороны электрического поля, направлена по оси Х, а по осям
Y и Z движение отсутствует (vx=vy=0), то основное уравнение релятивистской динамики имеет
следующий вид


d
mvx
dt
1 vx2 c 2  qEx  Fx .
(2.37)
Опуская индекс х, и интегрируя это уравнение по времени, учитывая начальное условие
v(0)=0, получим
v
1 v 2 c 2

F
t,
m
откуда определим скорость
v t  
В начальный период движения, когда
t
Ft / m
1  Ft / mc 
mc / F
2
.
(2.38)
подкоренное выражение можно заменить
единицей. В этом случае получим результат динамики Ньютона:
пределе
t
v  Ft / m .
В обратном
mc / F , из (2.49) получим релятивистское выражение скорости
 1  mc 2  
v  t   c 1  

 2  Ft  
.
Как видно, скорость частицы стремится к скорости света при
на рис. 2.9 представляет зависимость скорости от времени,
рис.2.9
t   . График, изображенный
из которого следует, что при приближении к скорости света возрастание скорости сильно
замедляется, хотя на частицу действует та же самая постоянная сила. Это обусловлено
возрастанием инертности частицы.
Интегрируя (2.38) по времени и учитывая начальное условие x(0)=0, получим
релятивистический закон движения частицы
2

mc 2 
 Ft 
 1 

x t  

1

F 
mc 



Заметим, что в случае
t
mc / F
получаем
x  ct .
.
(2.39)