Урок № 5

Конспект занятия №5
Решение логических задач с помощью подсчета энтропии и
количества информации
У: Добрый день!
На прошлых занятиях мы с вами рассмотрели определенный класс
логических задач и сегодня мы продолжим совершенствовать свои навыки
логических рассуждений при решении задач, где применяется метод графов
для логических рассуждений и метод энтропии для математических гипотез.
Для этого сначала я предлагаю выполнить задание в 3 парах (Даша +
Настя), (Ира + Настя), (Марк +Саша). Ваша задача через 5 минут представить
схему одного из изученных вопросов и ее прокомментировать.
Все группы получают карточки, которые затем распределяют в виде схемы.
1 группа. События и вероятность
2 группа Энтропия – степень неопределенности опытов
3 группа – Логические задачи. Методы их решения
У: Остальные работают все вместе, отвечая на вопросы
1. Как называется событие, в наступлении которого не сомневаются
(Достоверное)
2. Чему равна вероятность такого события (Р(А) = 1)
3. Какова степень неопределенности такого события (Н(А) = 0)
4. Приведите пример достоверного события….
5. Как называется событие, наступление которого может состояться, а
может и нет (Случайное)
6. Чему равна вероятность такого события (0 Р(А) 1)
7. Приведите примеры таких событий
8. Какова степень неопределенности таких событий
9. Продолжите мысль: Чем больше количество равновероятностных
исходов, тем…..(больше степень неопределенности)
У: Слово представителям групп.
(Докладывают, предварительно составив схемы на магнитной доске)
Когда все 3 группы выступят – вопросы
У: Как вы думаете, что объединяет все эти схемы?
1 схема – говорит о том, в какой науке мы сейчас находимся, 2 схема – о
том, что не только вероятность может быть характеристикой случайных
событий, но и мера неопределенности того или иного события; 3 схема –
обобщает блок задач, которые могут быть решены через логические
рассуждения, а могут через математические вычисления, которые
снимают неопределенность: а вдруг есть меньшее число вопросов для
угадывания или меньшее число взвешиваний.
И таким математическим способом является подсчет энтропии, т.е. меры
неопределенности.
У: Вспомним, за какое наименьшее число вопросов можно отгадать
задуманное натуральное число не превышающее 20?
(5)
У: А месяц рождения кого-то из вас
(4)
У: Объясните.
Вопросов будет столько, в какую натуральную степень надо возвести
число 2, чтобы получить угадываемое число или ближайшее к нему
большее)
У: Продемонстрируйте на примере……
О:
У: Почему степень именно числа 2?
О: 2 равновероятных исхода.
У: Сегодня мы продолжаем решать задачи на взвешивание. Сколько
равновероятных исхода возможно при решении задач на взвешивание?
О: ТРИ: легче, тяжелее и равно
У: Значит, ….
О: будем искать натуральную степень числа 3.
У: Вспомним, что обозначают введенные нами на прошлом занятии символы
при решении задач на взвешивание.
л.ч. , пр.ч., Мi
У: Как называется метод решения задач на взвешивание, которым
пользуемся на данном этапе?
О: С помощью графа
У: Предлагаю решить следующую задачу. Найти фальшивую монету среди 6
монет, зная, что она легче остальных, и сделать это за меньшее количество
взвешиваний
на
чашечных
весах.
Сначала
гипотеза.
(Сколько
равновероятностных исхода возможно)
О: 6
У: Что-то вы говорили про степень числа 3?
О: 6 монет: 31=3, 32=9, значит за 2 взвешивания
Разбирают граф с помощью магнитной доски все возможные
варианты.
У: Следующая задача:
За
какое
наименьшее
количество
взвешиваний
можно
определить
фальшивую монету среди 9 монет, зная, что она тяжелее. Гипотеза!
О: 9 монет – за 2 взвешивания
Построить граф - дома
У: Итак, мы с вами решили две задачи.
Теперь я попрошу вас прокомментировать решение следующей задачи по
готовому решению. На слайдах будут появляться определенные шаги, ваша
задача – дать им объяснение.
Надо найти фальшивую монету среди девяти монет и при этом сказать легче
она или тяжелее. Гипотеза!
О: 9 монет и еще 2 условия, т.е. 18 – значит 33=27. Ответ 3.
Разбирают
У: Как вы думаете, сколько времени займет у нас построение графа для
ответа на аналогичный вопрос, если монет будет 27, 35 и т.д.
О:МНОГО.
У: Сегодня вы приобрели опыт прикладного применения математики к
решению логических задач на взвешивание. Как называется характеристика,
позволяющая дать точный ответ без громоздких рисунков графов?
О: Энтропия
У: А как вы думаете, если равновероятностных исходов будет 5, то как будет
решаться такая задача?
О: Будем работать со степенью числа 5.
У: Т.Е. Будем искать меру неопределенности или ….
О: Энтропию.
У: А если вы затруднитесь
О: Тогда будем строить граф.
Итак, более подробно с понятием энтропия вы познакомитесь на элективном
курсе в 10-11 классе, когда познакомитесь с понятием логарифма. Научитесь
решать задачи следующего содержания
1. Имеются две урны. В первой содержится 20 шаров – 10 белых, 5 черных и
5 красных. Во второй – 16 шаров: 4 белых, 4 черных и 8 красных. Из каждой
урны вытаскивают по одному шару. Исход какого опыта следует считать
более неопределенным?
А также рассмотренные задачи сегодня и ранее, но граф – будет выполнять
роль иллюстрации, а все решение займет 2-3 строки математических
вычислений.
До встречи. Всем спасибо.
Занятие.
Вашему вниманию было предложено занятие элективного курса по
математике в 9 классе: Энтропия. Решение логических задач.
Из содержания занятия понятно, о каких задачах идет речь. Вам были
предложены 2 способа решения: с помощью графа и с помощью понятия
энтропии. Но использование понятия энтропии на данном этапе обучения
происходит на интуитивном уровне, без строгих формул, свойств, поскольку
они связаны с понятием логарифма.
Далее я хочу предложить вашему вниманию вариант элективного курса
в 10-11 классе. «Энтропия и информация. Решение логических задач»
Данный элективный курс базируется на изученном курсе теории
вероятностей в основной школе. Мы помним, что задачи могут быть решены
комбинаторным методом, требующим запоминания ряда формул, но могут
быть решены и с помощью графов. Рассмотрим на примерах 2 задач.
(Приложение №1. - прокомментировать)