КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (5-й семестр) 1. Квантовая природа света. Фотоэффект, эффект Комптона.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(5-й семестр)
профессор Владимир Фёдорович Дмитриев
1. Квантовая природа света. Фотоэффект, эффект Комптона.
2. Волновые свойства частиц. Опыт Резерфорда, стабильность и стандартность атомов.
Дифракция электронов. Волна де Бройля. Вероятностная интерпретация. Фазовая и
групповая скорости.
3. Соотношение неопределённостей. Оценки.
4. Координатное и импульсное представления. Операторы физических величин,
собственные функции и собственные значения.
5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера. Непрерывность и однозначность
волновой функции. Собственные функции и собственные значения, квантование
энергии. Нормировка волновой функции. Свойства волновой функции финитного
движения. Чётные и нечётные решения. Вариационный принцип и прямой
вариационный метод. Осцилляционная теорема.
6. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, взаимная
ортогональность и полнота собственных функций. Вырожденный случай. Обозначения
Дирака.
7. Линейный осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Операторы рождения и
уничтожения.
8. Временное уравнение Шрёдингера. Стационарные решения. Задача с начальными
условиями.
9. Одномерное рассеяние. Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение.
10. Коммутаторы. Измеримость величин. Соотношение неопределённостей. Квантовые
скобки Пуассона.
11. Гейзенберговское представление. Уравнения движения для операторов. Теорема
вириала.
12. Оператор сдвига. Движение в периодическом поле. Теорема Блоха.
13. Квазиклассическое приближение. Критерий применимости. Правила сшивки. Правило
квантования Бора –Зоммерфельда. Нормировка квазиклассической волновой функции.
Эквидистантность спектра в квазиклассике. Плотность состояний в фазовом
пространстве. Двойная яма, задача с начальными условиями.
14. Квазистационарные состояния. α-распад.
15. Сдвиг и поворот. Момент импульса. Собственные значения и собственные функции.
Повышающие и понижающие операторы. Чётность.
16. Разделение переменных в центральном поле. Радиальная волновая функция,
граничные условия в нуле. Свободное движение. Фаза рассеяния.
17. Атом водорода. Собственные функции. Спектр. Кулоновское вырождение. Основное и
первое возбужденное состояния.
18. Стационарная теория возмущений. Поправки к энергии первого и второго порядка.
Литература
[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика, М.: Наука, 1989.
[2] В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган Задачи по квантовой механике.
М.: Наука, 1992.
[3] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика. Новосибирск: НГУ, 2000.
[4] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.
[5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая
электродинамика. М.: Наука, 2001.
[6] В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика (конспект лекций, части I и II).
Программа семинаров
Сентябрь
Волны де Бройля, потенциальный ящик, соотношение неопределённостей ............. 2,5 сем.
Прямоугольные и δ-ямы ................................................................................................. 3,5 сем.
Октябрь
Линейный осциллятор ..................................................................................................... 2 сем.
Потенциальные барьеры ................................................................................................. 2 сем.
Операторы ........................................................................................................................ 1 сем.
Периодическое поле ........................................................................................................ 2 сем.
Ноябрь– декабрь
Квазиклассика .................................................................................................................. 3 сем.
Момент импульса ............................................................................................................. 3 сем.
Центральное поле, атом водорода ................................................................................. 3 сем.
Стационарная теория возмущений ................................................................................ 2 сем.
Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.
Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.
Задания
ЗАДАНИЕ №1
(сдать до 25 октября)
1. Биллиардный шар подпрыгивает над упругой горизонтальной плитой в поле
тяжести. Оценить с помощью соотношения неопределённостей энергию
основного состояния шара и неопределённость в его положении по вертикали в
этом состоянии. Провести такую же оценку для нейтрона (ответ довести до чисел).
2. В начальный момент времени свободная частица массы m находится в состоянии,
описываемом волновой функцией
2

ip
xx
1 
0





x
,
0
 1
exp

.
/
4
2


2
2
a
a


При t>0 найти средние значения координаты и импульса, неопределённости Δx(t)
и Δp(t) , а также распределения по координате dW(x,t)/dx , импульсу dW(p,t)/dp и
энергии dW(E,t)/dE .


3. Частица движется в поле трёх дельта функционных ям U(x)=-G [δ(x-a) + δ (x)+δ
(x+a)]. Найти, при каком значении параметра а в этом поле появляется второе
(третье) связанное состояние. Найти уровни энергии и волновые функции
/2 
1
.
связанных состояний при условии mGa
4. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний частицы
(
)G
(),G>0,
массы m, движущейся по окружности радиуса R0 в поле U
для которой соответствующее уравнение Шредингера гласит:
 

2
2


d


G
(
)

(
)

E

(
)
 2 2

.
2
mR
d
 0

2
/2 
1
Какова энергия основного состояния для случая, когда mR
?
0G
ЗАДАНИЕ №2
(сдать до 25 ноября)
5. При t=0 состояние линейного осциллятора с частотой ω задано волновой
2
2


x
,
0
)

A

Bx
exp(

x
/
2
a
)
функцией (
, a /m. Определить средние
значения координаты и импульса, а также распределение по координате, импульсу
и энергии при t>0 .


ˆ H
ˆ H
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ


(
a
a
1
/2
)
x
y, где H
6. Гамильтониан двумерного осциллятора H
x
x
x

ˆ
ˆ
ˆ
2


(
a
a
1
/2
)
y
y
y
и H
. Определить кратность вырождения уровней энергии и
построить обязанный существовать дополнительный к Ĥ x и Ĥ y интеграл (или
интегралы) движения.
7. Найти операторы, сопряженные операторам
d
d
d
A
,B

i ,C

m
x
.
d
x d
x
d
x
Для оператора C найти собственные функции и собственные значения. Проверить,
что собственные значения этого оператора могут быть комплексными, а
собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, не
обязательно ортогональны.
8. Оценить в квазиклассическом приближении число связанных состояний в
2
(
r
)

g
e
x
p
(

r
/)
ar
/ . (см. ЛЛ §48.)
потенциале Юкавы U
9. Найти в квазиклассическом приближении энергии и ширины квазистационарных

 x
0



x 0
0x
a
состояний в поле U
2

/x xa

ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 декабря)
10. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 ,
Y10 , Y11 при повороте системы координат на угол  вокруг оси y .
Указание: представить сферические функции в виде
3x

iy
3 z
3 x
iy
Y


, Y
, Y
11
10
1

1
8
 r
4
r
8
 r .
Найти также среднее значение проекции момента на повёрнутую ось z ' для
каждого из указанных состояний.
11. Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для
состояний, описываемых сферическими функциями Yll (, ) и Yl 0 (,) , считая
l >> 1.
12. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно
использовать модельный гамильтониан вида

2
ˆ
p
1
a
~


2
ˆ
H

Z
e



,
2
2
m
r
2
r


Я
где m Я - приведённая масса ядер, a - равновесное межатомное расстояние
2
2
~
порядка  / mee , а Ze / 2a - энергия диссоциации молекулы. Найти
энергии связанных состояний E
и при не слишком больших радиальных и
2
nr
l
орбитальных квантовых числах, т.е. при nr   и l   , где  mЯ / me ,
получить колебательный и вращательный спектр двухатомной молекулы.
13. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый атомом водорода в
основном состоянии
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(6-й семестр)
профессор Владимир Фёдорович Дмитриев
1. Теория возмущений при наличии вырождения.
2. Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в электромагнитном поле.
Калибровочная инвариантность. Плотность тока.
3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
4. Спин. Волновые функции частиц спина ½. Матрицы Паули. Уравнение Паули.
Движение спина в магнитном поле.
5. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша – Гордана. Преобразование
волновых функций и операторов при поворотах. Правила отбора для тензорных
операторов. Векторная модель.
6. Тождественность частиц в квантовой механике. Волновые функции систем
бозонов и фермионов. Принцип Паули.
7. Атом гелия. Вариационный метод. Самосогласованное поле, уравнения ХартриФока.
8. Атомные термы. LS-связь. Правила Хунда. Таблица Менделеева. Понятие о jjсвязи.
9. Модель Томаса-Ферми.
10. Сверхтонкая структура. Изотопический сдвиг.
11. Атом в постоянном внешнем поле. Эффекты Зеемана, Штарка.
12. Нестационарная теория возмущений. Адиабатическое и внезапное возмущения.
13. Периодическое возмущение. Фотоэффект.
14. Структура молекул. Молекулярные термы. Двухатомные молекулы,
колебательные и вращательные спектры.
Литература
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.3,
Квантовая механика.
[2] В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.
[3] Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике,
М: Наука, 1992.
[4] Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике,
Новосибирск, НГУ, 1999.
[5] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лившиц, Л. П. Питаевский. Квантовая
электродинамика. М.: Наука, 2001.
Программа семинаров
1. Теория возмущений. Влияние вырождения.
2. Заряженная частица в магнитном поле. Степень вырождения.
3. Спин 1/2. Матрицы Паули. Спин в постоянном и переменном магнитном поле.
Спектр уравнения Паули в однородном магнитном поле.
4. Сложение моментов. Волновые функции частиц со спином. Примеры вычисления
коэффициентов Клебша-Гордана.
5. Прямой вариационный метод. Метод Томаса-Ферми.
6. Периодическая система. Правило Хунда. Структура атомных термов.
7. Эффекты Зеемана, Пашена-Бака. Эффект Штарка.
8. Нестационарные возмущения. Адиабатическое и внезапное возмущения.
9. Вероятности переходов при периодическом возмущении.
10. Структура молекул. Оценка колебательных и вращательных уровней энергии.
Задания
ЗАДАНИЕ №1 (сдать до 25 марта)
1.
Найти поправки к трем нижним уровням энергии двумерного осциллятора со

2
m
2

2 2
2
(
x
,
y
)
 [(
4

)
x

y
]

xy
слабой нелинейностью: U
, где
  1 . Проанализировать предельные случаи: 1)   0 и 2)

(

/m

)



3
/2
Найти поправки к двум нижним уровням энергии атома водорода,
2
e
2 2 2
V
(
r
)

(
xyz

)
,R
a
.
помещённого в поле
B
3
R
3. Пучок нейтронов, движущийся вдоль оси x и поляризованный по направлению
движения, переходит из области x<0 , где нет магнитного поля, в область x>0
с постоянным однородным магнитным полем Hz . Найти зависимость от x
средних значений проекций вектора спина на оси z, x и y при x>0 .
4. Ядро со спином s  1 находится в состоянии с проекцией спина на ось
z, sz 1. Найти вероятности проекций +1, 0, -1 на ось z ' , находящейся под
углом  к оси z .
5. Построить волновые функции, возникающие при сложении моментов j1=1 и
j2=2 . Используя “векторную модель”, а также непосредственно, используя


ˆ
ˆ
полученные волновые функции, найти средние значения операторов j1 и j2 ,
например, в состоянии с полным моментом j=3 и его проекцией jz= -1.
Указание: см. С.Х., п. 28.
2.
ЗАДАНИЕ №2 (сдать до 25 апреля)
6. Гамильтониан атома гелия без релятивистских поправок имеет вид :
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
p
e
2
e
e
1 p
2 2
ˆ
H




. Доказать, что полный орбитальный
2
m
2
m
r
r

r
1
2 r
1
2
момент и полный спиновый момент системы двух электронов коммутируют с
Ĥ и являются, тем самым, интегралами движения. Рассматривая
взаимодействие между электронами, как возмущение, рассчитать
энергетические уровни для конфигурации 1s2s
и убедиться в том, что,
3
благодаря обменному взаимодействию, энергия триплетного терма S1 ниже
1
энергии синглетного S 0 . Указание: см. Г. Бете, Квантовая механика, гл. 8
(1965 год); Л.Л., III, п. 62, задача 1; Г.К.К., 11.13, 11.14, 11.27 (1981 год) или
Г.К.К., 11.10, 11.16 (1992 год).
7. Атом Бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s22s22p . Оценить спинорбитальное расщепление в этом состоянии. Как выглядит здесь эффект
Зеемана в слабом и в сильном поле? Указание: см. Л.Л., пп. 71, 72, 113.
8. Определить основные термы элементов C, N, O, Cl, Fe . Парамагнитные
или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном поле атом углерода,
находящийся в нормальном состоянии? Указание: см. Л.Л., III, пп. 66, 67, 113.
ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 мая)
9. На атом водорода, находящийся при t  0 в основном состоянии, действует
однородное периодическое электрическое поле EE0sint . Определить
минимальную частоту поля, необходимую для ионизации атома, и, пользуясь
теорией возмущений, вычислить вероятность ионизации в единицу времени
(электрон в конечном состоянии считать свободным).
10. Определить термы двухатомных молекул N 2 , LiH , HCl , NO , которые могут
получиться при соединении соответствующих атомов, находящихся в основном
состоянии.