Образец решения задач

Контрольная работа по математике.
2 курс.1 семестр.
Образец решения задач
Задача 1. Дано: АА1 – перпендикуляр,
АВ и АС – наклонные,  АВС = 90,  АСА1 = 30,
АА1 = 2, ВС =3, СМАВ.
Найдите: СМ
Решение:
1. Рассмотрим САА1:
 А1 = 90, т.к. АА1 плоскости α
 С = 30, АС – гипотенуза. АС = 2, АА1=22=4
2. Рассмотрим АВС:
 С = 90(по условию), по теореме Пифагора АВ2=ВС2+АС2, АВ=
3. В АВС СМ – высота
Пусть ВМ = х, то АМ = 5-х
СМ2=СВ2 – ВМ2; СМ2 = 9-х2 в СВМ
СМ2=АС2 – АМ2; СМ2 = 16-(5-х2 ) в АСМ
9-х2=16-(5-х)2; 9-х2=16-25+10х-х2;10х=18; х=1,8
ВМ = 1,8; то АМ = 5-1,8 = 3,2
СМ2=16-(3,2)2=16-10,24=5,76; См = 2,4
Ответ: СМ = 2,4
Задача №2
Дано: MN – проекция отрезка АВ на плоскость α,
АD: DB =3:2, АМ = 8, BN = 12.
Найдите: DE
Решение:
1. Построим АК MN
2. BK= MN+NK = 12 + 8 = 20
3. Рассмотрим АDP и АВК,
 А – общий,
Р = К, т.к. АК  MN
4.
 ADP  ABK
AD DP 3 DP
60

; 
; DP 
 12
AB BK 5 20
5
=5
DE = DP – EP = 12 – 8 = 4
Ответ: DE = 4
Задача 3. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости α,
АС и АD – наклонные,  АВС = 30,  АDB = 60,
 C B D= 90,
АB = 1
Найдите: P СAD
Решение:
1. P = CA +CD +DC:
2. Рассмотрим АВD: АBBD, т.к. АB α
 D = 60   A = 30
AD= AB:sin 60 = 1 :
=
3. Рассмотрим АВC: АBBC, т.к. АB α
АB = 1 (лежит против угла в 30)  АС = 2 АВ = 2
ВС = 1  ctg 30 =
4. АВD: ВD =
5. ВCD: CD=
=
=
6. P =
Ответ: Р=
Задача 4. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и АD – наклонные, CBD – равносторонний АВ = ВС =
BD
Найдите:
Решение:
1. Пусть ВС = BD= CD = АВ = а
2.  АВС = АBD т.к. АB α, то АBBD и АBBC и АВ = BD; АВ = BC  АC = AD
3. по теореме Пифагора AC =
4. P AСD=AC +AD +CD; P AСD=
5. CВD – равносторонний, т.к. ВС = CD = BD, то r =
6.
Ответ:
Задача 5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 34 см. высота – 32 см. Через большее
основание проведена плоскость α, образующая с
высотой трапеции угол в 60. Определить проекцию
боковой стороны трапеции на плоскость α.
Дано: АВCD – трапеция, BКAD,
АD= 34 см BС = 10 см, BK= 32 см, AD α,  BKO =
60
Найдите: AO – проекция наклонной АВ/
Решение:
1. Рассмотрим АBСD – трапецию  АВК: АК=
=12
2.  АВK:
3.  ВОК: BO α BO KO,  BKO = 60, BO= BK sin 60 = 32
4.  АВO: BO α  BO AO, AO=
Ответ: AO = 20
Контрольная работа
Вариант 1
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,
 АСВ = 30, АС =16, BD = 6.
Найдите: AD
2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=2, ВС:АС =1:4
Найдите: КВ
3. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости , проведены наклонные АС и BD, проекции
которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9 см и лежат по разные стороны от проекции
отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями наклонных, если АВ =16 см и АС  АВ, ВD 
АВ. Сделайте чертеж.
4.
Из точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6, и наклонная
длиной 9. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.
Вариант 2
1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости ,
 АСВ =  АDВ =30, СD = 2 2 АВ.
Найдите:  САD
2. Дано: АВС, D – точка в пространстве,
DA = DC, DO  (ABC)
Найдите:  ACB
3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости  и параллельны прямой EF,
лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямыми АВ и CD, если они удалены от прямой
EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.
Сделайте чертеж.
4. Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите расстояние от его плоскости до точки,
которая отстоит от каждой из его вершин на 2.
Вариант 3
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,
 АСВ = 45, АС = 8 2 16, BD = 6.
Найдите: AD
2. Дано: DE– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АD=6, АС =12, ВЕ = 2.
Найдите: АВ
3. В точках А и В плоскости  восстановлены к ней перпендикуляры АС =2,4 см и BD = 12 см.
Через концы перпендикуляров проведены прямая DE до пересечения в точке Е с плоскостью .
Найти длину отрезка DE, если расстояние между перпендикулярами равно 28 см. Сделайте
чертеж.
4. К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен
60, а угол между их проекциями – прямой. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.
Вариант 4
1. Дано: АВС, О – центр окружности,
АВС, ОD(АВС),
DA+DB+DC = 3.
Найдите: 2DA + 4 DB +5 DC.
2. Дано: АВС,  ACB =90,
О – центр описанной окружности,
АМ = МC, OD  (ABC), АВ = 5,
АС = 3, DO = 2 3
Найдите: MD
3. Даны плоскость  и АВС. Сторона АВ параллельна плоскости , а продолжения сторон АС и
ВС пересекают плоскость  в точках D и Е. Определить DE, если АВ = 15 см и расстояние точек
А и С от плоскости равны соответственно 6 см и 18 см.
4. К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен
60, а угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее
В
проекцией.
A
Вариант 5
1. Дано: CD – проекция отрезка АВ на плоскость,
АС =5, BD = 11, CD =8.
5
11
Найдите: АВ

С
2. Дано: СD– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АВ= 28, АС=4, ВD =10.
Найдите:  1
D
28
C
10
1
D
M
4

A
3. Равнобедренная трапеция расположена на плоскости так, что основания ее параллельны
плоскости. Проекция трапеции на плоскость  есть также трапеция описанная около круга.
Определить угол между боковой стороной данной трапеции и перпендикуляров к плоскости ,
если основания трапеции равны 2 дм и 6 дм, а боковая сторона 8 дм. Сделайте чертеж.
4. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 4. Данная точка находится на
расстоянии 6 от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это
расстояние.
D
Вариант 6
1. Дано: АВС, О – центр вписанной окружности,
ОD(АВС),
АС = ВС – 5, АВ =6, DО = 1, АМ = МВ.
Найдите: DМ.
A
C
O
6
2. Дано: АВС,  ACB =90,
DO  (ABC), DА = DВ=DC,
АО+СО+ВО =3ВС, DO = 4,
DС =8
Найдите:  1 + 2
D
5
B
4
8
A
2
1
O
B
C
3
дм и острый угол равен 60, лежит одной стороной на плоскости
3. Ромб, высота которого равна
2
. Проекция ромба на эту плоскость есть четырехугольник, один из углов которого равен 45. Найти
площадь этого четырехугольника и расстояние второй стороны ромба от плоскости .
Сделайте чертеж.
4. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 3 и 4. Из вершины прямого угла С проведен к
плоскости этого треугольника перпендикуляр CD=1. Найдите расстояние от точки D до
гипотенузы AB.
Вариант 7
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС = AD – наклонные,
 АСВ = 60, АС =4, BD = 13 .
Найдите: AD
2. Дано: МN– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=6, ВN =8, АО=ОВ, ОК 
Найдите: ОК
3. Определить форму сечения треугольной пирамиды плоскостью, параллельной двум
скрещивающимся ребрам, если эти ребра взаимно перпендикулярны. Сделайте чертеж.
4. Стороны треугольника относятся как10:17:21, а его площадь равна 84. Из вершины большего
угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15. Найдите
расстояние от его концов до большей стороны.
Вариант 8
1. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости ,
АС и AD – наклонные,
 АСВ =  АDВ =30,  САD = 60,
R= 3 ( радиус окружности, описанной
около треугольника АСD).
Найдите: АВ
2. Дано: АВС,  АСВ = 90, AО = ОВ,
DO  (ABC), DС = 5, DO =3.
Найдите: S– площадь круга, описанного вокруг АВС.
3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Через точку М, делящую сторону АВ
основания в отношении 1:3, провели плоскость, параллельную стороне AD основания и боковому
ребру SB. Вычислить площадь сечения, если AD = 36 см и SB = 30 см.
Сделайте чертеж.
4.К вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АМ, конец М
которого отстоит от других вершин на расстоянии 6, 7, и 9. Найти длину перпендикуляра АМ.
Вариант 9
1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,
 АСВ = 30, АС =16, BD =6.
Найдите: AD
2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости ,
АМ=2, ВС:АС = 1:4
Найдите: КВ
3. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости проведены наклонные АС и BD,
перпендикулярные отрезку АВ, проекции которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9
см и лежат по разные стороны от проекции отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями
наклонных, если АВ = 16 см. Сделайте чертеж.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
, апофема наклонена к плоскости
основания под углом 30. Найдите боковые ребра.
Вариант 10
1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости ,
 АСВ =  АDВ =30, СD = 2 2 АВ.
Найдите: САD
2. Дано: АВС, D- точка в пространстве
DA=DB=DC, DO  (ABC),
 АОВ = 60,
Найдите:  АСВ.
3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости  и параллельны прямой EF,
лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямой АВ и CD, если они удалены от прямой
EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.
Сделайте чертеж.
4. В параллелограмме АВCD вершина А и D находятся на плоскости М, а В и С – вне ее. Сторона AD
= 10, сторона АВ = 15, проекции диагоналей АС и DD на плоскость М соответственно равны 13,5
и 10,5. Найдите диагонали.