Творческая работа Применение производной при решении задач с практическим содержанием выполнила учитель математики Артемовской общеобразовательной школы №18 I-III ступеней Евтехова Валентина Григорьевна 2012г. Задача 1 Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы вычитается 40 рублей за каждый час погрузки. Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по стаканов которому они получают премию в 10 v рублей, 𝑣 − – час скорость погрузки. При какой скорости предприятие получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли? Решение Заметим, что скоростьѵпогрузки, станков предполагается постоянной. За час погружается 100/ѵ станков. Поэтому прибыль Ρ предприятия такова: 𝑃(𝑣 ) = 1000 − 40 ∙ 100 400 − 10𝑣 = 1000 − 10 (𝑣 + ); 𝑣 𝑣 𝑃/ (𝑣 ) = −10 (1 − 400 ) ; 𝑃/ (𝑣 ) = 0, 𝑣 𝑣 2 −400 отсюда – 10 ( 20 стаконов час 𝑣2 ) = 0; 𝑣 2 − 400 = 0; 𝑣 = ±20; 𝑣 > 0; 𝑣 = . По смыслу задачи видно, что 𝑣 = 20 – точка наибольшего значения для функции 𝑃(𝑣 ). При этом 𝑃(𝑣 ) = 𝑃(20) = 1000 − 40 ∙ Ответ: 20 100 20 − 10 ∙ 20 = 600руб. стаканов час ; 600руб. Задача 2 Для конструкторского бюро строится зал в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80м². Известно, что 1м² стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной 50 руб. Какими должны быть размеры зала, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей? Решение Пусть стеклянная стена представляет собой прямоугольный, одно измерение, которого рано 4м, а другое примем за xм. Тогда площадь стеклянной стены равна 4хм². Суммарная площадь остальных стен равна4 ∙ (𝑥 + 2 ∙ аих стоимость𝐾2 = 50 ∙ 4 ∙ (𝑥 + 80 𝑥 )м², 160 𝑥 ) руб. Общая стоимость всех стен K=K₁+K₂. То получим функцию 𝐾(𝑥 ) = 75 ∙ 4𝑥 + 50 ∙ 4 ∙ (𝑥 + 500𝑥 + 32000 𝑥 = 500 (𝑥 + 160 32000 𝑥 𝑥 ) = 300𝑥 + 200𝑥 + = 64 𝑥 ). Минимум которой требуется найти. / 64 64 /( ) 𝐾 𝑥 = (500 (𝑥 + )) = 500 (1 − 2 ) ; 𝐾 / (𝑥 ) = 0; 𝑥 𝑥 𝑥 2 −64 50 ( 𝑥2 ) = 0; 𝑥 2 − 64 = 0; 𝑥 = 8 и 𝑥 = −8; 𝑥 > 0. Следовательно,𝑥 = 8м. Поскольку 𝐾 / (𝑥 ) < 0 при 0 < 𝑥 < 8и 𝐾 / (𝑥 ) < 0при𝑥 > 8, то𝑥 = 8, тогда наименьшего значения функции. Т.О. 𝐾(𝑥 ) = 𝐾(8) = 500 ∙ (8 + 8000руб.min При этом размеры зала 8x10x4 64 8 ) = 500 ∙ 16 = Задача 3 Прямоугольный участок площадью 900м² необходимо огородить забором, две смежные стороны которого каменные, а две другие – деревянные. Один погонный метр деревянного забора стоит 10руб., а каменного – 25руб. На строительство забора выделено 2000руб. Хватит ли этой суммы? Решение Пусть xм – ширина участка. Тогда 900 𝑥 м его длина. Стоимость забора: 𝑃 (𝑥 ) = 10 ∙ (𝑥 + 𝑃/ (𝑥 ) = 35 ∙ (1 − ( 𝑥 2 −900 𝑥2 ) = 0; 900 𝑥 + 900 900 ) = 25 ∙ ( ) = 35 ∙ (𝑥 + ). 𝑥 𝑥 𝑥 900 ); 𝑥2 𝑃/ (𝑥 ) = 0; 𝑥 2 − 900 = 0; 35 ∙ (1 − 𝑥 = 30и 900 𝑥2 ) = 0; 35 ∙ 𝑥 = −30𝑥 > 0;значит 𝑥 = 30м. Поскольку𝑃/ (𝑥 ) < 0при0 < 𝑥 < 30 и𝑃/ (𝑥 ) > 0при 𝑥 > 30, то 𝑥 = 30точка наименьшего значения функции𝑃(𝑥 ). Следовательно, min 𝑃(𝑥 ) = 𝑃(30) = 35 ∙ (30 + 900 30 ) = 35 ∙ 60 = 2100руб. Таким образом, для постройки забора не хватит 2000руб. Ответ: не хватит Задача 4 Определить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее количество материала. Решение Обозначим длину стороны квадрата xм, а высоту бассейна yм. Тогда 𝑉 (𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 = 32 м3. Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна равна𝑆 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦.Найдем𝑦 = 𝑥2 + 128 𝑥 32 2 м, 𝑥2 тогда𝑆(𝑥 ) = 𝑥 2 + 4∙𝑥∙32 𝑥2 = . Найдем производную этой функции: 𝑆(𝑥 ) = (𝑥 2 + 2𝑥 3 −128 𝑥2 = 0; 128 128 𝑥 𝑥 ) = 2𝑥 − ; 𝑆(𝑥 ) = 0; 2𝑥 3 = 128; 𝑥 3 = 64; 2𝑥 − 128 𝑥 = 0; 𝑥 = 4. Поскольку𝑆 / (𝑥 ) < 0 при0 < 𝑥 < 4 , а 𝑆 / (𝑥 ) > 0при 𝑥 > 4, то 𝑥 = 4 – точка минимума (наименьшего знания функции). Значит наименьше размеры бассейна, заданного объема V=32м³ такие𝑥 = 4;y=𝑦 = Ответ: 2м; 2м и 4м 32 4² = 2м. Задача 5 Пусть электрическая лампочка перемещается (например на блоке) вдоль вертикальной прямой OB. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости нужно её расположить, чтобы в точке A этой плоскости освещенность была наибольшей (OA=a)? B Решение φ O A a Из курса физики известно, что освещенность прямо пропорциональна sinL и обратно пропорциональна квадрату расстояния AB=r т.е. E=r*sinL/r², где R-коэффициент пропорциональности, который зависит от силы света лампочки. За независимую переменную возьмем высоту OB=x. E=k* 𝑥 Тогда sinL= , 𝑥 =k* √𝑥²+𝑎²∗(𝑥²+𝑎²) E'(x)=0; r=√𝑥² + 𝑎², 𝑦 𝑥 0<x<+∞. Итак, . Найдем Производную От E(x): 3 2 (𝑥²+𝑎²) 𝑘(𝑎²+2𝑥²) 𝑎 (𝑥²+𝑎²)² √2 =0; 𝑥² + 𝑎²=0; a²=2x²; x= . Поскольку функция E(x) имеет только одну критическую точку, а в условии задачи сказано, что существует положение лампочки при 𝑎 котором освещение в точке A наибольшее, то x= является √2 искомой точкой. Ответ: 𝑎 √2 Задача 6 Корабль стоит на якоре в 9км от ближайшей точки берега. С корабля нужно послать матроса в лагерь, расположенный в 15км, считая по берегу, от ближайшей к кораблю точки берега (лагерь расположен на берегу). Если матрос проходит пешком по 5км/ч, а на веслах по 4км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? Решение А D В С Пусть, корабль находится в точке A. B-ближайшая к кораблю точка берега, AB=9км. В точке C находится лагерь. BC=15км. Пусть BD=x км, тогда Общее время движения: t(x)= √81+𝑥² 4 AD=√81 + 𝑥², DC=15-x. + 14 5 ; Найдем производную от t(x): t'(x)=( √81+𝑥² 14 4 + )= 5 t'(x)=0, отсюда 1∗2𝑥 2∗4√81+𝑥² 𝑥 4√81+𝑥² - 1 5 = 𝑥 4√81+𝑥² 1 5𝑥−4√81+𝑥² 5 20√81+𝑥² − = 0; 1 − ; 5 = 0; 5x-4√81 + 𝑥²=0; 5x-4√81 + 𝑥²; 25x²=16(81+x²); 25x²=1296+16x²; 9x²=1296; x²=144; x=12 и x=-12. По условию задачи подходит x=12. Проверив, получаем, что x=12-точка наименьшего значения функции t(x). Следовательно CD=3км. Ответ: матрос должен пристать к берегу в 3км от лагеря Задача 7 Длина вертикальной стоящей лестницы равна 5м. Нижней конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2М/С. С какой скоростью и с каким ускорением отпускается в момент времени t верхний конец лестницы? Решение А O B Пусть в момент времени t нижний конец лестницы в положении B,а её верхний конец в положении A. Тогда OB=2,OA=h(t)=√25 − 4𝑡². Производная от функции h(t)скорость V(t),а производная от скорости V(t) движения конца А лестницы. V(t) = h'(t) = (√25 − 4𝑡²)' = 𝑎(𝑡) = 𝑉 / (𝑡) = ( −4 4𝑡 − 25−4𝑡² )= 4𝑡 √25−4𝑡² −4(25−4𝑡 2 )−16𝑡² (√25−4𝑡²)³ 4𝑡 =− ); 𝑎(𝑡) = − √25−4𝑡² −(−4𝑡)∗ 8𝑡 2√25−4𝑡² 25−4𝑡² √25−4𝑡² = Ответ: 𝑉 (𝑡) = ( ; √25−4𝑡² −4∗ 4𝑡 16𝑡 √25−4𝑡² √25−4𝑡² 4𝑡 100 √25−4𝑡² 100 √25−4𝑡² = Задача 8 Ёмкость с вертикальной стенкой и высотой h стоит на горизонтальной плоскости. На какой глубине нужно расположить отверстие чтобы дальность вылета воды из отверстия была наибольшей (скорость жидкости, которая вытекает по закону Торричелли, равна √2𝑔𝑥, где x-глубина размещения отверстия, g-ускорение свободного падения)? Решение x h H O L A Обозначим через h расстояние, отверстия в емкости от горизонтальной плоскости а через L – расстояние от точки А до точки емкости. Тогда L = V t, где t – время вылета воды из отверстия на плоскость (в точку А). Из курса физики известно, 2𝐻 что 𝑡 = √ или 𝑡 = √ 𝑔 2(ℎ−𝑥) 𝑔 . Тогда 𝐿(𝑥 ) = √2𝑔𝑥 ∙ √2(ℎ − 𝑥) = 2√𝑥(ℎ − 𝑥), 0<x<h. Найдем производную 𝐿/ (𝑥 ) = уравнение ℎ−2𝑥 √𝑥(ℎ−𝑥) ℎ−2𝑥 √𝑥(ℎ−𝑥) ; Решая ℎ = 0 находим, что 𝑥 = 2. Поскольку это единственная критическая точка, то она и будет искомой. Ответ: ℎ 2 Задача Из квадратного листа жести со стороной А надо изготовить открытую сверх коробку. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы, её оббьем был максимальным? 2 Ответ: 𝑎 3 Задача Дано бревно радиусом К. Найти размеры сечения балки, которая имеет наибольшую прочность. Ответ: ширина а = 𝟐К√𝟑 , 𝟑 высота k= 𝟐К√𝟔 𝒉 , = √𝟐 𝟑 𝒂 Задача Человек приближается со скоростью b м/с и подножию башни h м. Какова скорость его приближения к вершине башни, когда он находится на расстояние от основания, Ответ: V= 𝒃𝒍 . √𝒉²+𝒍² Задача В степи, в 9км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки, точки лежащей на шоссе находится райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он, если известно, что по степи он едет со скоростью 8км/ч, а по шоссе 10км/ч. Ответ: 12км Задача Открытый бак с квадратным основанием должен вмещать в Vлитров жидкости. При каких размерах на него изготовление пойдет наименьшее количество материала? 𝒗 Ответ: a=√𝟐𝒗; h=√ ; a:h=2 𝟒 Задача Через прямоугольное окно выкосят прямоугольные предметы. Длина диагонали окна 16см и угол 60°. Каким должен быть размеры прямоугольного предмета, чтобы площадь его была наибольшая?