№1 определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а) (A B)\(B

№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и
определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
а) (A B)\(B C) = (A\B)(B\C) б) (A B) (C D)=(A C) (B C) (A D).
а)  A  B  \  B  C    A \ B    B \ C  .
Решение.
Преобразуем левую часть.
 A  B  \  B  C   по свойству разности A  B   B  C 
 по закону де Моргана A  B    B  С  
       
 по свойству дополнения  A  B      A  С    B  С  
 по свойству нуля  A  B    A  С    B  С  
 по свойству универсального множества  A  B    A  С   U   B  С  
 по свойству дополнения  A  B    A  С    B  B    B  С  
 по свойству дистрибутивности  A  B     A  С   B     A  С   B    B  С  
 по свойству дистрибутивности A  B  B  B  A  С  B  С 
 по свойствам коммутативности и ассоциативности
 A  B    A  B   C    A   B  С    B  С  
 по закону поглощения  A  B    B  С   по свойству разности A \ B    B \ C  .
Получили правую часть. Равенство доказано.
№4Доказать утверждение методом математической индукции:
(62n–1 + 1) кратно 7 для всех целых n  1.
Решение.
1
1. База индукции n  1 .
6 21  1  7 кратно 7.
Утверждение справедливо при n  1 .
2. Предположим, что утверждение справедливо при n  k :
6 2 k 1  1  7m, m  Z .
3. n  k 1 .
6 2 n 1  1  6
2 k 1 1
 1  6 2 k 12  1  36  6 2 k 1  1  36   6 2 k  1  35 
 36  7m  7  5  7   36m  5
- кратно 7.
Утверждение справедливо при n  k 1 .
По методу математической индукции, утверждение справедливо при любом целом n  1.
№7Найти коэффициенты при a=x4·y2·z3, b=x2·y2·z2, c=y4·z4 в разложении
(3x2+5·y2+2·z)6.
Решение.
1) a  x 4  y 2  z 3   x 2    y 2   z 3 .
2
1
Коэффициент при a равен R  6; 2,1,3  32  51  23 
6!
 9  5  8  21600.
2! 1! 3!
2) b  x 2  y 2  z 2   x 2    y 2   z 2 , 1  1  2  4  6 .
1
1
В разложении нет такого члена, так как сумма степеней не равна 6. Коэффициент при b
равен 0.
3) c  y 4  z 4   x 2    y 2   z 4 .
0
2
Коэффициент при c равен R  6; 2, 4   52  24 
6!
6  5 16  625
 25 16 
 6000.
2! 4!
1 2
№9 Орграф задан матрицей смежности. Необходимо:
а) нарисовать граф;
б) выделить компоненты сильной связности;
в) заменить все дуги ребрами и в полученном неориентированном графе найти
эйлерову цепь (или цикл).
2
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
Решение.
а)
б) Пары вершин 3 и 6, 6 и 4, 4 и 2 связаны парами противоположно направленных дуг,
значит, вершины 3, 6, 4, 2 взаимодостижимы. Пар вершин 5 и 1 также связаны парой
противоположно направленных дуг. Из вершины 1 есть дуга в вершину 4, а из вершины 3
есть дуга в вершину 1. Все вершины графа взаимодостижимы. Граф имеет одну
компоненту сильной связности – это сам граф, множество вершин: 1, 2,3, 4,5,6 .
в)
Степени вершин графа:
deg v1  4, deg v2  4, deg v3  4, deg v4  5, deg v5  2, deg v6  5  2  7.
В графе существует эйлерова цепь, так как степени ровно двух вершин нечетны.
Начиная с вершины v6 с нечетной степенью, получим следующую эйлерову цепь:
v6,e13,v6,e5,v3,e6,v6,e8,v2,e9,v4,e10,v2,e7,v3,e4,v1,e1,v5,e2,v1,e3,v4,e11,v6,e12,v4.
3