В правильной шестиугольной призме, ребра которой равны 1

ГЕОМЕТРИЯ 11
Тема: « Угол между скрещивающимися прямыми"
План работы
1. Прочитай и законспектируй в рабочую тетрадь по геометрии
теоретическую часть. Дополнительно повтори п 46- 48 стр 105
учебника «Геометрия 10-11»
2. Выполни практическую часть темы на листках.
Теоретическая часть
Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между пересекающимися, параллельными им прямыми, не
превосходящий остальных трёх.
b
∙
𝛼
a
∙
𝑎_𝑏
(𝑎;̂ 𝑏) = AOB
В
О
А
Алгоритм векторно-координатного метода:
1. Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения
2. Найдём координаты нужных точек
3. Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся
прямых
4. Найдём угол между векторами по формуле
|𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2 +𝑧1 𝑧2 |
cos 𝜑 = |cos 𝜑| =
.
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 .√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
Рассмотрим решение одной задачи типа С2 координатно-векторным способом
Задача.
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точки E и F середины рёбер соответственно
A1 B1 и B1 C1 . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF
z
K
Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 – куб
Е – середина A1 B1
F – середина B1 C1
Найти: cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹)
F
𝐴1
E
𝐵1
D
A
y
B
x
Решение:
1. Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке
2) Общность задачи не нарушится, если ребро куба обозначить за 2
(можно взять любое число)
3) Найдём координаты нужных точек
А(2;0;0)
Е(2;1;2)
F(1;2;2)
B(2;2;0)
4) Введём направляющие векторы прямых АЕ и BF, и найдём их
координаты:
⃗⃗⃗⃗⃗ {0;1;2}
𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐹 {-1;0;2}
5) Для нахождения косинуса угла между прямыми, воспользуемся
формулой:
⃗⃗⃗⃗⃗ ;̂ ⃗⃗⃗⃗⃗
cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹) = |cos(𝐴𝐸
𝐵𝐹 )| =
=> cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹1 ) =
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐹 |
|𝐴𝐸
=>
⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝐵𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝐴𝐸
|0 + 0 + 4|
√0 + 1 + 4 ∙ √1 + 0 + 4
Ответ: cos(AE;̂ BF) = 0,8
=
4
= 0,8
5
Практическая часть
Задача 1
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро
куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС.
Задача 2
В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между
прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 .
Задача 3
В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между
прямыми ВС и АЕ.
______________________________________________________________________
Задача 1
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро
куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС.
Задача 2
В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между
прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 .
Задача 3
В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между
прямыми ВС и АЕ.
______________________________________________________________________
Задача 1
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро
куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС.
Задача 2
В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между
прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 .
Задача 3
В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между
прямыми ВС и АЕ.
______________________________________________________________________
Задача 1
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро
куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС.
Задача 2
В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между
прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 .
Задача 3
В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между
прямыми ВС и АЕ.
______________________________________________________________________
Задача 1
В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро
куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС.
Задача 2
В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между
прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 .
Задача 3
В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между
прямыми ВС и АЕ.
______________________________________________________________________