Обобщающий урок семинар по теме: «Интеграл». 11 класс.

Обобщающий урок семинар по
теме: «Интеграл».
11 класс.
(два урока).
Учитель математики
МБОЙ СОШ № 3.
Солдатова Л.В.
2013-2014 учебный год.
1
Тема урока: «Интеграл».
Цель урока:
 привести в систему знания, полученные по данной теме;
 различать действия между собой нахождение производной и
определение первообразной функции;
 развивать мышление при решении более сложных задач;
 учить математической грамотности при устном объяснении
решения и письменном оформлении;
 продолжать воспитывать личностные качества: мотивацию к
учебной деятельности, навыки сотрудничества в разных
ситуациях, самооценке;
 продолжать работать над познавательной УУД:
использовать общие приемы решения задач, ориентироваться
в разнообразных способах решения задач, выбирать наиболее
эффективные способы решения);
План урока:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
самостоятельная работа на основные знания на два варианта. всех
парная работа на два варианта;
работа в четверках на один вариант;
работа на индивидуальной доске;
самостоятельная работа на два варианта с усложненными заданиями;
домашняя работа.
Текст всех заданий распечатан для каждого ученика.
После каждого вида заданий раздаются решения для
самопроверки или взаимопроверки. Оценивание идет по
следующей таблице:
Количество
заданий
оценка
15-16
11-14
7-10
1-6
5
4
3
2
2
Ход урока.
I. Самостоятельная работа на основные знания на два варианта.
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R:
cos 2𝑥
𝑥4
3
f(x) =sin2x+3, F(x) = + 3𝑥.
F(x)
=-𝑥
+
5,
𝐹(𝑥)
=
−
+ 5𝑥 + 2.
2
4
Решение:
Решение:
cos 2𝑥 /
/
/ 1
𝑥4 /
4𝑥 3
/
/
F (𝑥) = ( −
) +(3x) = ×
F
(x)
=()
+(5x)
=+ 5 = −𝑥 3 + 5 =
2
2
4
4
2 sin 2𝑥 + 3 = sin 2𝑥 + 3=f(x).
𝑓(𝑥).
2.Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке:
1
1
𝑥2
F(x)= 2 − sin 𝑥, f(x)= - 3 − cos 𝑥 на R
F(x)=𝑥 3 + 1, 𝑓(𝑥) = + 𝑥 на 𝑅.
𝑥
1
𝑥
−3
4
−2
F (x)=( 2 − sin 𝑥) =-2𝑥 − cos 𝑥 = 3 − F/(x)=(𝑥 3 + 1 )/=3𝑥 2 ≠ 𝑓(𝑥).
𝑥
𝑥
cos 𝑥 ≠ 𝑓(𝑥)
3.Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в
данной точке:
1
𝑥2
3
f(x ) =
, F(6)=10.
F(x) = − 2, F(3)=5.
/
/
√𝑥−2
Решение:
F(x)=2√𝑥 − 2+c;
2√6 − 2 + 𝑐 = 10;
4+c=10;
C=6; F(x) =2√𝑥 − 2+6.
3
𝑥
Решение:
F(x) =
33
9
𝑥3
9
3
+ +c.
𝑥
3
+ +c=5;
3
C=1. F(x)=
𝑥3
9
3
+ +1.
𝑥
4.Найдите общий вид первообразной для функций:
2
1
f(x)=sin 3𝑥 − 2𝑥.
f(x)=(4 − 5𝑥)3 − (2𝑥−1)3
cos
2
Решение:
1
𝑥
F(x)=- cos 3𝑥 − 4𝑡𝑞 + 𝑐
3
2
Решение:
(4−5𝑥)4
F(x)=
4×(−5)
−
1
4(2𝑥−1)2
+ 𝑐.
5. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку
М:
𝜋
−1
f(x) = √2 cos 𝑥 ,M( ; 2).
f(x) =
, M(0;3).
4
√𝑥+1
Решение:
Решение:
F(x)=√2 sin 𝑥 + 𝑐;
F(x)=-2√𝑥 + 1+c;
𝜋
√2 sin 4 + 𝑐 = 2;
-2√0 + 1+c=3;
-2+c=3;
1+c=2;
C=5. F(x) =-2√𝑥 + 1+5.
C=1. 𝐹(𝑥) = √2 sin 𝑥 + 1.
3
II. Парная работа на два варианта.
Вариант 1.
Вариант 2.
1.Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными
линиями и найдите её площадь:
𝜋
У=(х − 1)2 , у=0, х=3.
Решение:
У=sin х, у=0, х = .
6
Решение:
у
у
1
0
(𝑥−1)3
F(x) =
3
3
𝜋
2
𝜋
6
х
х
F(x) =− cos 𝑥 + 𝐶.
+ 𝑐.
8
8
𝜋
2
𝜋
F( ) = − cos = −
6
6
F(0)=cos 0 = 1;
S=F(3)-F(1)= − 0 = = 2 .
3
3
3
Второй способ через интеграл.
𝜋
S=F( ) − 𝐹(0)=6
√3
2
√3
;
2
+ 1=
2−√3
.
2
2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией:
У=cos х , у = 1, х −
𝜋
2
𝜋
Y=𝑥 2 , 𝑦 = 3𝑥.
,х = .
2
y
у
У=1
−𝜋
2
𝜋
2
0
х
𝜋
2
𝜋
−
2
Sф = Sпр - S кр.т=𝜋 × 1 − ∫ cos х𝑑𝑥 =
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋 + sin 𝑥= + sin − sin (− )=𝜋 + 2.
2
2
2
Второй способ:
𝜋
𝜋
2
𝜋
−
2
2
∫ (1 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 + sin 𝑥) | 𝜋 =
−
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2
0
3
x
Найдем абсциссы точек пересечения
двух графиков, для чего решим
уравнение:𝑥 2 = 3х; х(х − 3) = 0; х =
0 и х = 3.
3
3𝑥 2
𝑥3 3
Sф =∫0 (3𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ( − ) | =
2
3
0
3
3×9
3
27
27
18
− )−0= −9= − =
(
9
2
2
3
2
2
2
= 4,5.
+ sin + − sin (− )=𝜋 + 2.
2
2
2
2
4
III. Работа в четверках на один вариант.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
2
У= 2, у=2𝑥 2 , х = 2.
𝑥
Найдем абсциссы точек пересечения двух графиков:
2
𝑥2
=2𝑥 2 , 𝑥 4 = 1; х = −1 и х = 1.
−1 2
𝑆ф = ∫−2
𝑥2
0
𝑑𝑥 + ∫−1 2𝑥 2 𝑑𝑥 =
−2
𝑥
|
2
2
−1 2 3 0
+ 𝑥 | =(2-1)+ = 1 .
3
3
−2 3
−1
y
Y=2𝑥 2
2
Y= 2
𝑥
=
-2
IV.
-1
0
x
1
Задания, выполняемые всем классом самостоятельно (один
ученик на индивидуальной доске).
Вычислите интеграл:
83
1.∫1 √𝑥 2 𝑑𝑥=
8
−2
2.∫1 𝑥 3 𝑑𝑥=
9 𝑑𝑥
3.∫1
𝜋
3
𝜋
4
√𝑥
=
1
4.∫ (𝑥 − 2 ) 𝑑𝑥
cos 𝑥
33
3
3
3
93
8 33
√𝑥 5 | = √85 − √15 = × 25 − = × 31 = =
5
5
5
5
5
5
1 5
18,6.
1
1
8
3𝑥 3 | = 3 × 83 − 3 × 1 = 3 × 2 − 3 = 3.
1
9
2√𝑥 | = 2 × 3 − 2 = 4.
1
33
𝜋
𝑥2
1=
1
5.∫−1(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥=
𝜋2
𝜋2
𝜋2
𝜋2
( 2 − 𝑡𝑞𝑥) |𝜋3 = (18 − √3) − (32 − 1) = 18 − 32 − √3 +
7𝜋2
288
4
− √3 + 1.
𝑥3 1
1
1
2
1
= (4 − ) — (−4 + ) = 8 − = 7
(4𝑥 − ) |
3 −1
3
3
3
3
5
V.
Самостоятельная работа на два варианта с усложненными
заданиями.
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
У=𝑥 2 + 4х + 6, у = 1, х = 1, х = 3.
У=3 − 2х − 𝑥 2 , у = 0, х = 0, х = −2.
у
у
2
-2
1
Найдем хв = −
3
в
2а
х
3
= −2 и ув = 2
Sф=∫1 (𝑥 2 + 4х + 6)𝑑𝑥 − 𝑆пр=
𝑥3
27
3
( 3 + 2𝑥 2 + 6х) | − 2 × 1 = 3 +
1
1
18 + 18 − − 2 − 6 − 2 = 9 + 36 −
1
3
2
3
3
10 = 34 .
-2
-3
Найдем хв = −
0
3
𝑥2
10
F(x)= − sin 2𝑥 + 𝑐 = −
2
2
2
5 sin 2𝑥 + 𝑐
3.Найдите интеграл функции:
в
2а
1
х
= −1 и ув = 4
Sф=∫−2(3 − 2х − 𝑥 2 )𝑑𝑥=
8𝑥 2
𝑥3
0
= (3х − 4𝑥 2 −
(3х − 2 − 3 ) |
−2
𝑥3
8
0
|
= 0 − (−6 − 16 + ) = 6 +
)
3
3
−2
8
1
16 − = 21 .
3
2.Найдите общий вид первообразной для функции:
f(x)=x-10cos 2𝑥
f(x)=sin 3𝑥 −
𝑥2
-1
1
2
cos2
.
𝑥
2
𝑥
F(x)=- cos 3𝑥 − 𝑡𝑞 +c.
3
2
4
= √2𝑥 + 1 | =3-√3.
3
√2х+1
√3х−4
1
3
2
(2+3𝑥)
1
1
1
2
(√5 − √2).
(2
б)
+
3𝑥)
𝑑𝑥
=
| =
∫
3
0
3
3
0
5
1 (1−2𝑥)4 5
3
3
(2+3𝑥)
1
б)∫−1(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥 = −
|
=
| = 13.
2
4
−1
9
0
4
(1−2𝑥)
5
−
|
= 1,5.
8
−1
3
а)∫2
𝑑𝑥
=
2√3𝑥−4
2
2
= √5 − √2=
3
3
4
а)∫1
𝑑𝑥
Подведение итогов урока:
-оценить работу по таблице;
-какую теорию использовали при выполнений заданий?
-умение пользоваться справочным материалом.
VI.
Домашняя работа: учебник стр.205-206.
1.3)-г; 2.3)-а; 3.2)-б; 3.3)-а; 4.3)-б; 5.3)-в.
6
Распечатка материала для семинара.
Самостоятельная работа на основные знания на два варианта
Вариант 1
Вариант2
1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R:
cos 2𝑥
𝑥4
f(x)=sin2x+3, F(x)= + 3𝑥.
F(x)=-𝑥 3 + 5, 𝐹(𝑥) = − + 5𝑥 + 2.
2
4
2.Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке:
1
1
𝑥2
F(x)= 2 − sin 𝑥, f(x)= - 3 − cos 𝑥 на R
F(x)=𝑥 3 + 1, 𝑓(𝑥) = + 𝑥 на 𝑅.
𝑥
𝑥
4
3.Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в
данной точке:
1
𝑥2
3
f(x ) =
, F(6)=10.
F(x) = − 2, F(3)=5.
√𝑥−2
3
𝑥
4.Найдите общий вид первообразных для функции:
2
1
f(x)=sin 3𝑥 − 2𝑥.
f(x)=(4 − 5𝑥)3 − (2𝑥−1)3
cos
2
5. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку
М:
𝜋
−1
f(x)=√2 cos 𝑥 ,M( ; 2).
f(x)=
, M(0;3).
4
√𝑥+1
Парная работа на два варианта.
Вариант 1.
Вариант 2.
1.Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными
линиями и найдите её площадь.
𝜋
У=(х − 1)2 , у=0, х=3.
У=sin х, у=0, х = .
6
2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией:
У=cos х , у = 1, х −
𝜋
2
𝜋
,х = .
2
Y=𝑥 2 , 𝑦 = 3𝑥.
Работа в четверках на один вариант.
7
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
У= 2, у=2𝑥 2 , х = 2.
𝑥
Задания, выполняемые всем классом самостоятельно (один
ученик на индивидуальной доске).
Вычислите интеграл:
83
1.∫1 √𝑥 2 𝑑𝑥
−2
8
2.∫1 𝑥 3 𝑑𝑥
9 𝑑𝑥
3.∫1
𝜋
3
𝜋
4
√𝑥
1
4.∫ (𝑥 − 2 ) 𝑑𝑥
cos 𝑥
1
5.∫−1(4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥
Самостоятельная работа на два варианта с усложненными
заданиями.
Вариант 1.
Вариант 2.
1.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
У=𝑥 2 + 4х + 6, у = 1, х = 1, х = 3.
У=3 − 2х − 𝑥 2 , у = 0, х = 0, х = −2.
2.Найдите общий вид первообразной для функции:
f(x)=x-10cos 2𝑥
f(x)=sin 3𝑥 −
2
cos2
.
𝑥
2
3.Найдите интеграл функции:
3
а)∫2
5
𝑑𝑥
;
√3х−4
б)∫−1(1 − 2𝑥)3 𝑑𝑥.
4
а)∫1
1
𝑑𝑥
;
√2х+1
б)∫0 (2 + 3𝑥)2 𝑑𝑥.
Домашняя работа: учебник стр.205-206.
1.3) -г; 2.3)-а; 3.2)-б ; 3.3)-а ; 4.3)-б; 5.3)-в.
8