Акмуллинская олимпиада по математике. 8 класс. 1.Первая

Акмуллинская олимпиада по математике. 8 класс.
1.Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести на последнее
место, то число уменьшится на 864. Найдите четырехзначное число.
Решение.
Пусть 7𝑎𝑏𝑐 = 7000+ 100a + 10b + c – исходное число, тогда новое число будет 𝑎𝑏𝑐7 =
1000a + 100b+ 10c + 7. Так как разность этих чисел равна 864, то получим: 7000 + 100a +
10b + c = 1000a + 100b + 10c + 7 + 800 + 60 + 4. Так как число единиц слева и справа
совпадает , то с = 1. Число тысяч, сотен и десятков тоже должно совпадать. Имеем: 7000 +
100a + 10b = 1000a + 100(b+8) + 10 × 8, откуда b = 8 и, соответственно, a = 6.
Ответ. 7681.
2.Найдите последнюю цифру числа 82003 .
Решение.
Находя значения степени 81, 82, 83, 84, 85 и т.д., замечаем закономерность: последней
цифрой являются 8, 4, 2, 6, а далее они повторяются. Так как 2013 = 500× 4 + 3, то 82013
оканчивается той же цифрой, что и 83 , то есть 2.
Ответ. 2
3.Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4
взвешивания?
Решение.
Разделим монеты на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки .Если весы в
равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то
фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из 27 монет (в
которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым взвешиванием
определяем более легкую кучку. Третьим взвешиванием определяем наиболее легкую
тройку монет. И наконец, четвертым взвешиванием определяем фальшивую монету.
4.Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2 равных
треугольника?
Решение.
Тремя способами: проведя 3 медианы (высоты, биссектрисы).
Ответ. 3 способа.
5.Упростите выражение
( a – b )3 + (b – c )3 + (c – a )3 .
Решение.
( a – b )3 + (b – c )3 + (c – a )3 = a3–3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca –a3
= 3(ab2 – a2b + bc2 – b2c + ca2 – c2a) = 3(ab2–abc+abc – c2a – a2b + ca2 – b2c +bc2) =3(ab(b-c) +
ac(b-c)- a2(b-c bc(b-c))= 3(b-c)(ab+ac–a2–bc)=3(b-c)(a(b –a) – c (b-a)) = 3( b – a )(a–c) (b – c ).
Ответ. 3( b – a )( a – c ) (b – c ).
6.Решите уравнение
√1 + √2 + √𝑥 = 2.
Решение.
Последовательно освобождаемся от радикалов, возводя обе части в квадрат. В результате
получаем: 𝑥 = 49.
Ответ. 49.
7.Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100
включительно?
Решение.
В произведении всех чисел от 1 до 100 содержится 24 «пятерки»: по одной в числах 10,
20, 30, 40, 60, 70, 80, 90, 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 и по две в числах 25, 50, 75, 100. Так
как произведение цифры «5» на любое четное число оканчивается нулем , то
произведение чисел от 1 до 100 оканчивается 24 нулями.
Ответ. 24 нуля.
8.Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с.
Найдите длину поезда и его скорость.
Решение.
Обозначим за s (м) длину поезда, а за v (м/с) – скорость поезда . используя первую часть
𝑠
предложения задачи, получим первое уравнение : = 5 так как с момента вхождения
𝑣
поезда на платформу до момента ухода с нее, «хвост» поезда проходит расстояние s+150
𝑠+150
(м), то второе уравнение будет: 𝑣 = 15. Решая систему из данных двух уравнений,
получаем, что s=75м, а v = 15 м/с.
Ответ. 75м., 15 м/с.
9.Зная, что
𝑚
𝑛
1
= 3 , найдите значение выражения
𝑛 − 2𝑚
.
𝑚
Решение.
𝑚
1
Так как 𝑛 = 3 , то 𝑛 = 3𝑚
Отсюда следует:
Ответ. 1.
3𝑚−2𝑚
𝑚
=
𝑚
𝑚
= 1.
10.Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
Решение.
Разобьем все числа, начиная с 2, на четверки. Всего четверок получится 501. Сумма чисел
в каждой четверке равна 0. Тогда сумма всего выражения равна 1.
Ответ. 1.