Глава 2. Действительные (вещественные) числа. – 6 ч.

Глава 2. Действительные (вещественные) числа. – 6 ч.
§ 1.Аксиоматика множества действительных чисел. Свойства вещественных чисел.
Определение.1 Множество называется множеством действительных (вещественных)
чисел, а его элементы действительными (вещественными) числами, если выполнен
следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел.
I. Аксиомы сложения.
На определено отображение (операция сложения), которое любой паре x , y  ставит в
соответствие элемент обозначаемый x  y ∈ , при этом выполняется:
10. x, y  : x  y  y  x - коммутатив ность
2 0. x, y, z  : x  y   z  x  z   y - ассоциативность
3 0 . 0  : x  : x  0  x - существова ние нуля
4 0. x   ( x)   : x  ( x)  0 существова ние противоположного
II. Аксиомы умножения.
На определено отображение (операция умножения), которое любой паре x , y  ставит
в соответствие элемент , обозначаемый x  y ∈ , при этом выполняется:
5 0 . x, y  : x  y  y  x - коммутатив ность
6 0 . x, y, z  : ( x  y )  z  ( x  y )  z - ассоциативность
7 0 . 1  \ 0 x   : x  1  x - существова ние единицы
8 0 . x   \ 0 x 1  : x  x 1  1 - существова ние обратного
9 0 . x, y, z  : ( x  y )  z  x  z  y  z - дистрибутивность
Если x∈ , y∈, то число x+(-y) называют разностью чисел x и y и обозначают x-y. Если
x
y ≠ 0, то число x  y 1 обозначают
и называют частным x и y.
y
III. Аксиомы отношения порядка.
На определено отношение, обозначаемое ≤ и называемое отношением порядка , при
этом выполняется:
10 0. x  : x  x
110 . ( x  y )  ( y  x)  x  y
12 0 . ( x  y )  ( y  z )  x  z - транзитивность
130. x, y  : ( x  y )  ( y  x)
14 0. x, y, z  : x  y  x  z  y  z
150. (0  x)  (0  y )  0  xy
IV. Аксиома полноты (непрерывности).
Если X и Y – непустые подмножества , обладающие тем свойством, что
16 0. x  ,  y  , таких, что x  y, выполняется с  , что x  c  y
Итак, если для некоторого множества выполнен перечисленный комплекс аксиом, то его
можно считать конкретной реализацией множества вещественных чисел. Одна из таких
реализаций – бесконечные непериодические дроби с определенными на них операциями
сложения, умножения и отношения порядка. Данное определение формально не
предполагает никакой предварительной информации о числах, из аксиом последовательно
выведем все свойства действительных чисел. (Понятно, что был пройден естественный
1
путь развития, от стадии складывания пальцев, яблок, абстрактных натуральных чисел,
открытия несоизмеримых отрезков, понятий «больше», «меньше»).
Относительно любой абстрактной системы аксиом возникают два вопроса:
Совместна ли данная система аксиом?
Однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект?
Ответ: непротиворечива; однозначно, с точностью до изоморфизма.
a). Алгебраические свойства вещественных чисел.
Свойство 1. В имеется только один нуль.
Свойство 2. В для любого элемента x имеется только один противоположный –x.
Свойство 3. Уравнение a+x = b в имеет и при том единственное решение x = b + (-a).
Свойство 4. В имеется только одна единица.
Свойство 5. В для любого элемента x имеется только один обратный x-1.
Свойство 6. Уравнение a∙x = b при a ≠0 имеет и при том единственное решение x = b∙a-1.
Свойство 7. Для любого x из выполняется x∙0 = 0.
Свойство 8. Если x∙y = 0, то (x = 0)v(y = 0).
Свойство 9. Для любого x из выполняется –x = (-1)∙x.
Свойство 10. Для любого x из выполняется (-1)∙(-x) = x.
Свойство 11. Для любого x из выполняется (-x)∙(-x) = x∙x.
Определение 2. Отношение x ≤ y при x ≠ y, будем записывать в виде x < y (строгое
неравенство).
Свойство 12. Для любых x, y из всегда имеет место в точности одно из соотношений: x
<y, x = y, x > y.
Свойство 13. Для любых x, y, z из выполняется:
( x  y )  ( y  z )  ( x  z ).
( x  y )  ( y  z )  ( x  z ).
Свойство 14. Для любых x, y, z из выполняется:
1. ( x  y )  ( x  z )  ( y  z ).
2. (0  x)  ( x  0).
3. ( x  y )  ( z  w)  ( x  z )  ( y  w).
4. ( x  y )  ( z  w)  ( x  z )  ( y  w).
Свойство 15. Для любых x, y, z из выполняется:
1. (0  x)  (0  y )  (0  x  y ).
2. ( x  0)  (0  y )  ( x  y  0).
3. ( x  0)  ( y  0)  (0  x  y ).
4. ( x  y )  (0  z )  ( x  z  y  z ).
5. ( x  y )  ( z  0)  ( y  z  x  z ).
Свойство 16. 0 <1.
Свойство 17.
(0  x)  (0  x 1 ).
(0  x)  ( x  y)  (0  y 1 )  ( y 1  x 1 ).
Доказательство свойств выборочно. Остальные как упражнения.
Определение 3. Числа большие нуля называются положительными, меньшие нуля –
отрицательными.
Определение 4. Абсолютной величиной или модулем числа x∈
равное x при x ≥ 0 и –x при x < 0.
Свойства абсолютной величины.
2
называется число |x|,
1. x∈ -|x|  x  |x|.
2. x и y из : |xy| = |x| |y|;
3. неравенство |x|  a , (a>0), равносильно –a  x  a;
4. x, y∈ выполняется |x+y|  |x|+|y|.
5. x, y∈ выполняется ||x| - |y||  |x - y|.
Определение 5. Пусть а∈ и b∈ , a<b – произвольные числа. Следующие множества
будем называть промежутками с концами a и b числовой прямой:
(a,b) = {x∈ |a < x < b} – открытый промежуток, или интервал,
[a,b] = {x∈ |a  x  b} – замкнутый промежуток, или отрезок (сегмент),
[a,b) = {x∈ |a  x < b} – полуоткрытый промежуток, или полуинтервал,
(a,b] = {x∈ |a < x  b} – полуоткрытый промежуток, или полуинтервал.
(a,) = {x∈ |a <x} – луч,
(-,а) = {x∈ |x < а} – луч,
(-,) = {x∈ } – вся числовая прямая.
§ 2. Лемма о верхней грани числового множества.
Определение 1. Множество X  называется ограниченным сверху (снизу), если
существует число c ∈ такое, что x  c (соответственно c  x)  x ∈ . Число c, в этом
случае, называют верхней (соответственно нижней) границей или мажорантой
(минорантой) множества X.
Определение 2. Множества, ограниченные и сверху и снизу, называются ограниченными.
Определение 3. Элемент a ∈ X называется наибольшим или максимальным
(соответственно наименьшим или минимальным) элементом множества X  , если x  a
(соответственно a  x) для любого x∈X. Обозначают: a = max X.
Из аксиомы 11 следует, что если в числовом множестве не может быть больше одного
максимального (минимального) элемента. Однако, не во всяком, даже ограниченном
множестве имеется максимальный элемент. Например, множество X = [0,1) имеет
минимальный элемент, но не имеет максимального.
Определение 4. Наименьшая из верхних границ непустого множества X  называется
точной верхней границей, или верхней гранью, или мажорантой множества X и
обозначается supX.
Иначе говоря, число s = supX (от лат. supremum). является точной верхней границей
множества X, если выполнено:
1. x∈X выполняется x s;
2. s' < s x'∈X, что s' < x'.
Аналогично вводится понятие точной нижней границы (или нижней гранью, или
минорантой) множества X, которое принято обозначать infX (от лат. infimum).
Самостоятельно.
Замечание. Если в множестве имеется минимальный (максимальный) элемент, то,
очевидно, он и является точной нижней (верхней) границей множества.
Следующая лемма следует из аксиомы непрерывности. Заметим, что лемму и аксиому
непрерывности можно поменять местами.
Лемма 1.(о верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество
имеет и при том единственную точную верхнюю границу.
3
Доказательство: Итак, пусть X  . Определим множество Y = {y∈ |x∈X x  y} –
множество верхних границ. Так как X ограниченно, то множество Y не пусто. Тогда в
силу аксиомы 16 существует число c∈ такое, что x∈X y∈Y выполняется x  c  y.
Число с, таким образом является мажорантой множества X и минорантой множества Y и
c∈Y, следовательно c = minY, другими словами, наименьшей верхней границей множества
X. Согласно определению 4 это и означает, что c = supX. Единственность вытекает из
аксиомы 11. .
Аналогично формулируется и доказывается лемма о существовании нижней грани
непустого ограниченного числового множества.
§ 3.Важнейшие классы действительных чисел.
В множестве действительных чисел выделяют четыре подмножества, играющих
достаточно самостоятельную роль. Речь идет о множествах натуральных, целых,
рациональных и иррациональных чисел.
Определение 1. Множество А называется индуктивным, если 1∈А и для любого x∈A
элемент x+1 также принадлежит А.
Например, множество индуктивно. Пересечение любого количества индуктивных
множеств является индуктивным множеством (доказать).
Определение 2. Пересечение совокупности всех индуктивных множеств называется
множеством натуральных чисел и обозначается или {1,2,3,…}. Элементы множества
называются натуральными числами.
Замечание. Сформулированное выше определение 1 называют принципом
математической индукции.
Определение 3. Множество = {x-y|x∈ , y∈ } называют множеством целых чисел.
Определение 4. Число x называется рациональным, если существуют такие целые p и q,
q0, что p=xq. Множество всех рациональных чисел обозначается
Определение 5. Действительное число не принадлежащее , называется иррациональным.
Показать, что 2 не является рациональным числом.
Теорема 5.1. (принцип Архимеда). Множество неограниченно сверху в .
Доказательство: От противного. пусть ограниченно сверху. Обозначим L=sup <. По
определению верхней грани имеем n  L, n∈ , в частности 1<L. Положим L'=L-1.
Тогда L'<L и, следовательно, n∈ такое, что L-1=L'<n. Отсюда L<n+1. С другой стороны
n+1 элемент и поэтому n+1 L. Полученное противоречие доказывает теорему. .
Следствие 1. Для любых x,y∈ , x>0, y>0 существует n∈ , такое, что y<nx.
Для доказательства достаточно заметить, что число y/x не может являться верхней
границей множества ..
Следствие. 2. Для любого >0 n∈ , что 0<1/n<.
Теорема 5.2. Всякое непустое подмножество множества
имеет наименьший элемент.
Доказательство: Пусть E , причем E. Пусть k = inf E, k1. Найдется x∈E такое, что k
 x < k+1. Пусть y произвольный элемент E докажем, что yx. Допустим, что y<x. Тогда y
 x-1 <k, что противоречит тому, что k есть нижняя граница E. .
Следствие. 1. x∈ !p∈
такое, что px<p+1.
Доказательство: В силу принципа Архимеда найдется m∈ такое, что |x| < m. Тогда –m <x
< m и, следовательно, 0 < x+m <2m. Рассмотрим E = {n∈ | x + m <n}. Множество E не
пусто. пусть u = min E, тогда x + m <u. Заметим, что u - 1E и поэтому u – 1  x+m.. Тогда
p=u-1-m и есть искомое..
4
Следствие. 2. Для любых a, b∈ , a<b, r∈ , что a<r<b.
Доказательство: Существует n∈ такое, что 1<n(b-a). Кроме того, существует m∈
такое, что man<m+1. Отсюда следует 0<m+1-an<n(b-a) или m+1<bn. Таким образом,
m 1
 b ..
an<m+1<bn или a 
n
Числовая ось. Геометрическая интерпретация. Окрестность точки.
§ 4. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел.
Любую из нижеследующих лемм можно было бы положить в основу построения теории
действительных чисел, используя в качестве аксиомы полноты.
Определение 1. Функция f:  X натурального аргумента называется
последовательностью элементов множества X. Значения f(n) обозначают xn и называют nый член последовательности.
Определение 2. Пусть X1`, X2, …, Xn – последовательность каких-либо множеств, если
X1X2…Xn…, т.е. n∈ выполняется Xn+1Xn, то говорят, что имеется
последовательность вложенных множеств.
Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).
Для любой последовательности I1I2…In… вложенных отрезков найдется точка c∈
, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, известно, что >0 в
последовательности найдется отрезок In, длина которого |In| < , то с – единственная общая
точка этих отрезков.
Доказательство: Обозначим I n  a n , bn , I m  a m , bm . Заметим, что a n  bm m, n , иначе
bm  a n , a m  bm  a n  bn – это означает, что данные отрезки не имеют общих точек, что
противоречит тому, что один из них вложен в другой. Рассмотрим 2 множества:
A  am , m  N , B  bn , n  N  , A и B удовлетворяют аксиоме 160
  c  R, a m  c  bn . В частности для m  n : a n  c  bn , n  N , c  I n . Пусть




c1 , c2  I n две таких точек и c1  c 2 . n∈ an<c1<c2<bn, отсюда 0  c2  c1  I n , длина
любого отрезка не может быть сколь угодно малой, что противоречит условию леммы,
следовательно c1=c2.
Определение 2 Некоторая система множеств S = X - называется покрытием отрезка I ,
если каждая точка отрезка I входит хотя бы в одно множество X системы S .
Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега).
В любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема,
покрывающая этот отрезок.
Доказательство: Рассмотрим отрезок I 0 = [a,b]. S = {U}- система интервалов U, его
покрывающая. Допустим нельзя выделить конечную подсистему, покрывающую данный
отрезок. Поделим I 0 пополам. Одна из его половин не допускает конечного подпокрытия.
Обозначим его I 1 . Проделаем то же с отрезком I 1 , получим I 2 и так далее. Получаем
I
последовательность вложенных отрезков I 0  I 1  I 2  ...  I n  , I n  0n  0 .
2
  0, n, I n   по лемме о вложенных отрезках получаем: ! c, c  I n , n. Так как
c  I , то в S  интервал ( ;  ) , такой что c  ( ;  ) . Обозначим   min(   c ; c   ) .
 I n , I n   , c  I n . I n ( ;  ) - противоречие :
С одной стороны I n - не допускает конечного покрытия, а с другой стороны указан
конечный интервал ( ;  ) ∈  S  , который покрывает отрезок I n .
5
Определение 3. Окрестностью точки x∈ называют любой интервал, содержащий данную
точку.  – окрестностью точки x называют интервал (x-, x+).
Определение 4. Точка a  R - называется предельной точкой множества X , если в любой
окрестности точки a содержится бесконечно много точек множества X.
Или, равносильное Определение 4'. Точка a  R - называется предельной точкой
множества X , если в любой окрестности точки a содержится, по крайней мере, одна, не
совпадающая с а, точка множества X.
Пример. Интервал, отрезок.
Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса).
Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну
предельную точку.
Доказательство: Пусть X данное числовое подмножество. Т.к. X – ограниченно, то 
x∈X а,b∈ такие, что axb, т.е. X[a,b]=I Покажем, что в I имеется, по крайней
мере, одна предельная точка множества X. Действительно, если бы это было не так, то
каждая точка x∈I имела бы окрестность U(x), в которой либо вообще нет точек множества
X, либо их там конечное число. Совокупность таких окрестностей {U(x)}, построенных
x∈I образует покрытие отрезка I интервалами U(x), из которой, согласно лемме о
конечном покрытии, можно извлечь конечную подсистему U(x1), U(x2), …U(xn)
интервалов, покрывающих отрезок I, но XI, следовательно эта же система покрывает
множество X. Однако в каждом интервале U(xi) содержится лишь конечное число точек
множества X, значит и в их объединение тоже конечное число точек X, т.е. X – конечное
множество. Противоречие доказывает лемму.
Счетные множества.
Определение. 5. Два множества X={x} и Y={y} называются эквивалентными, если между
элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.
Определение. 6. Всякое множество эквивалентное множеству натуральных чисел
называется счетным.
Определение. 7. Всякое множество эквивалентное множеству всех вещественных чисел
интервала (0,1) называется множеством мощности континуума.
Примеры. 1. X={x∈Q | 0x1} – счетное множество.
3.
– мощности континуума (ctgx).
Теорема. Множество мощности континуума не эквивалентно счетному множеству.
Док-во: на лекции
6