3. принципы построения элементарного процессора

Контрольные работы и методические указания по дисциплине
«Организация ЭВМ и систем»
для заочного отделения
1
"Организация ЭВМ"
ЧАСТЬ 1. ОРГАНИЗАЦИЯ ОДНОПРОЦЕССОРНЫХ ЭВМ ............................. 3
1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ И ПОСТРОЕНИЯ ЭВМ ........................................................................ 3
1.1. ДВА КЛАССА ЭВМ ........................................................................................................................................................ 3
1.2. НЕМНОГО ИСТОРИИ ................................................................................................................................................... 4
1.3. ПРИНЦИПЫ ДЕЙСТВИЯ ЭВМ ................................................................................................................................... 6
1.4. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ПРОГРАММНОГО (МАТЕМАТИЧЕСКОГО) ............................................................... 8
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЭВМ ........................................................................................................................................................... 8
1.5. ПОКОЛЕНИЯ ЭВМ ...................................................................................................................................................... 11
1.6. БОЛЬШИЕ ЭВМ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ ............................................................................................................. 14
1.6.1 КАНАЛЫ ................................................................................................................................................................. 15
1.6.2. ИНТЕРФЕЙС ......................................................................................................................................................... 16
1.7. МАЛЫЕ ЭВМ ................................................................................................................................................................. 16
2. Представление информации в ЭВМ .................................................................................................................................... 18
2.1. Позиционные системы счисления ................................................................................................................................. 18
2.2. Двоичная система счисления ......................................................................................................................................... 18
2.2.1. Преобразование двоичных чисел в десятичные .................................................................................................... 19
2.2.2. Преобразование десятичных чисел в двоичные .................................................................................................... 20
2.2.3. Двоично-десятичная система счисления ............................................................................................................... 22
2.3. Восьмеричная система счисления ................................................................................................................................. 23
2.4. Шестнадцатеричная система счисления ....................................................................................................................... 23
2.5. Двоичная арифметика..................................................................................................................................................... 24
2.5.1. Сложение .................................................................................................................................................................. 24
2.5.2. Вычитание ................................................................................................................................................................ 25
2.5.3. Умножение ............................................................................................................................................................... 25
2.5.4. Деление ..................................................................................................................................................................... 27
2.6. Прямой, обратный и дополнительный коды ................................................................................................................ 28
2.6.1. Прямой код ............................................................................................................................................................... 29
2.6.2. Обратный код ........................................................................................................................................................... 29
2.6.3. Дополнительный код ............................................................................................................................................... 30
2.6.4. Сложение и вычитание в дополнительном коде ................................................................................................... 32
2.6.5. Признак переполнения разрядной сетки ............................................................................................................... 34
2.6.6. Деление в дополнительном коде ............................................................................................................................ 35
2.6.7. Правило перевода из дополнительного кода в десятичную систему .................................................................. 35
2.6.8. Модифицированные коды ....................................................................................................................................... 36
2.6.9. Арифметика повышенной точности ....................................................................................................................... 37
2.7. Представление дробных чисел в ЭВМ числа с фиксированной и плавающей запятой ........................................... 38
2.7.1. Числа с фиксированной запятой ............................................................................................................................. 38
2.7.2. Числа с плавающей запятой .................................................................................................................................... 40
2.7.3. Сложение (вычитание) ЧПЗ .................................................................................................................................... 43
2.7.4. Умножение ЧПЗ ....................................................................................................................................................... 44
2.7.5. Методы ускорения умножения ............................................................................................................................... 46
2.7.6. Деление чисел с плавающей запятой ..................................................................................................................... 47
2.8. Десятичная арифметика ................................................................................................................................................. 48
2.8.1. Сложение двоично-десятичных чисел ................................................................................................................... 48
2.8.2. Вычитание модулей двоично-десятичных чисел .................................................................................................. 52
2.8.3. Умножение модулей двоично-десятичных чисел ................................................................................................. 55
2.8.4. Деление модулей двоично-десятичных чисел....................................................................................................... 56
2.9. Нарушение ограничений ЭВМ ...................................................................................................................................... 56
2.10. Представление буквенно-цифровой информации ..................................................................................................... 56
2.11. Заключительные замечания ......................................................................................................................................... 57
Пример выполнения контрольного задания (вариант 2) .................................................................................................... 63
3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССОРА .......................................................................... 69
3.1. ОПЕРАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА (АЛУ) ............................................................................................................... 72
3.2. УПРАВЛЯЮЩИЕ УСТРОЙСТВА ............................................................................................................................. 74
3.2.1. УУ С ЖЕСТКОЙ ЛОГИКОЙ ............................................................................................................................... 75
3.2.2. УУ С ХРАНИМОЙ В ПАМЯТИ ЛОГИКОЙ ...................................................................................................... 77
2
ЧАСТЬ 1. ОРГАНИЗАЦИЯ ОДНОПРОЦЕССОРНЫХ ЭВМ
1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ И ПОСТРОЕНИЯ ЭВМ
С момента своего возникновения человек старался облегчить свой труд с помощью
различных приспособлений. В начале это касалось только физического труда, а затем
также и умственного. В результате уже в XVII веке начали появляться первые механические устройства, позволяющие выполнять некоторые арифметические действия над числами. Они предназначались в основном для коммерческих расчетов и составления навигационных таблиц.
Совершенствование технологии обработки металлов, а затем и появление первых
электромеханических устройств типа электромагнитных реле привело к интенсивному совершенствованию вычислительных устройств. Кроме того, совершенствование вычислительных устройств было обусловлено все возрастающим объемом информации, требующей переработки.
До 30-х годов нашего столетия разработкой вычислительных устройств занимались
механики, математики, электрики. Но с конца 30-х годов к этому процессу подключились
электронщики, поскольку вычислительные устройства стали создавать на электронных
элементах - электронных лампах. Вычислительные устройства превратились в ЭВМ, а
все, что связано было с созданием ЭВМ, превратилось в отдельную область человеческих знаний, которую условно можно было назвать "Теория и принципы проектирования
ЭВМ".
Однако в настоящее время разнообразие проблем теории и методов проектирования объектов вычислительной техники, сложность ее элементов, устройств, машин и систем закономерно привели к тому, что из дисциплины "Теория и принципы проектирования ЭВМ", еще недавно охватывающей все основные аспекты этой области науки и техники, выделились самостоятельные курсы: схемотехника ЭВМ, методы оптимизации, периферийные устройства, операционные системы, теория программирования и т.д. Современная ЭВМ - настолько сложное устройство, что в одном курсе физически невозможно охватить подробно все проблемы проектирования, создания и эксплуатации ЭВМ, которые в общем случае имеют три аспекта:
- пользовательский (т.е. ЭВМ является инструментом решения прикладных задач);
- системного программирования;
- электронный (т.е. ЭВМ является сложным электронным устройством, созданным с
использованием сложных технологий).
Настоящий курс "Организация ЭВМ и систем" будет построен, таким образом, чтобы без излишней детализации рассмотреть комплекс основных вопросов, относящихся к
теории, принципам построения и функционирования ЭВМ как сложного электронного
устройства. При этом основное внимание будет уделено микро-ЭВМ и устройствам на базе микропроцессорных комплектов. Следует иметь в виду также, что под ЭВМ ниже понимается любое устройство переработки цифровой информации (от микроконтроллера,
управляющего стиральной машиной до супер-ЭВМ), а не только персональный компьютер.
1.1. ДВА КЛАССА ЭВМ
Любая сфера человеческой деятельности, любой процесс функционирования технического объекта связаны с передачей и преобразованием информации. Одно из важнейших положений кибернетики состоит в том, что без информации, ее передачи и переработки невозможны организованные системы: ни биологические, ни технические, искусственно созданные человеком.
Информацией называются сведения о тех или иных явлениях природы, событиях
общественной жизни, процессах в технических устройствах. Информация, зафиксированная в некоторых материальных формах (на материальном носителе), называется сообщением.
Пример.
3
Статистические данные о работе предприятий и потребности производства в
материалах.
- Данные переписи населения.
- Данные для диспетчера аэропорта о перемещении самолетов в воздухе.
- Данные о толщине прокатываемого листа.
Все эти сообщения отличаются друг от друга по источнику информации, по способу
представления, по продолжительности и т.д. Но их объединяет одно - информацию, которую они несут, необходимо передать, переработать и как-то использовать.
В общем случае сообщения могут быть непрерывными (аналоговыми) и дискретными (цифровыми).
Аналоговое сообщение представляется некоторой физической величиной (обычно
электрическим током или напряжением), изменение которой во времени отражает протекание рассматриваемого процесса, например, температуры в нагревательной печи. Физическая величина, передающая непрерывное сообщение, может в определенном интервале принимать любые значения и изменяться в произвольные моменты времени, т.е.
может иметь бесконечное множество состояний.
Дискретное сообщение характеризуется конечным набором состояний, например,
передача текста. Каждое из этих состояний можно представить в виде конечной последовательности символов или букв, принадлежащих конечному множеству, называемому
алфавитом. Такая операция называется кодированием, а последовательность символов
- кодом. Число символов, входящих в алфавит, называется основанием кода. Важным
здесь является не физическая природа символов кода, а то, что за конечное время можно
передать только конечное число состояний сообщения. Причем чем меньше основание
кода, тем длиннее требуются кодовые группы для передачи фиксированного набора сообщений.
В настоящее время в абсолютном большинстве случаев используются коды с основанием два, т.е. информация представляется в виде бинарных импульсных последовательностей или двоичных кодов.
Передачу и преобразование любой дискретной информации всегда можно свести к
эквивалентной передаче и преобразованию двоичных кодов или цифровой информации.
Более того, возможно с любой заранее заданной степенью точности непрерывное
сообщение заменить цифровым путем квантования непрерывного сообщения по уровню
и дискретизации
его по времени. Однако следует иметь в виду, что с увеличением точности представления аналогового сообщения растет разрядность кода. Это может привести к тому, что обработка аналогового
сообщения в цифровой форме на конкретной ЭВМ в реальном масштабе времени окажется невозможной. Таким образом, любое сообщение может быть с определенной степенью точности представлено в цифровой форме.
Электронные вычислительные машины (ЭВМ) являются преобразователями информации. В них исходные данные задачи преобразуются в результат ее решения. В соответствии с используемой формой представления информации машин делятся на два
больших класса - аналоговые и дискретного действия - цифровые. Их обозначают как
АВМ и ЦВМ. В настоящее время термин ЭВМ относят именно к машине дискретного действия или ЦВМ, принципы, функционирования которых и будут рассмотрены в настоящем
курсе.
-
1.2. НЕМНОГО ИСТОРИИ
Считается, что первым механизмом для счета являлся абак, в котором сложение и
вычитание чисел выполнялось перемещением камешков по желобам доски. Подобные
устройства встречаются в разных вариантах в различных странах древнего мира.
Но настоящая потребность в автоматическом вычислении возникла в средние века
в связи с резко возросшими в этот период торговыми операциями и океаническим судоходством. Торговля требовала больших денежных расчетов, а судоходство - надежных
навигационных таблиц.
4
Первые эскизы счетной таблицы создал Леонардо да Винчи (около 1500 года). А
первые сведения о работающей счетной машине относятся к 1646 году в Германии. Но
подробное устройство этой счетной машины не сохранилось. В 1646 году во Франции
Паскаль создал механическое устройство, которое складывало и вычитало многозначные
числа. В 1673 году в Германии Лейбниц строит счетную машину, выполняющую все четыре арифметических действия. Он же предложил использовать двоичную систему счисления для нужд вычислительной математики. В этот период были созданы и другие счетные
машины. Все они были построены в одном экземпляре (поскольку создавались десятки
лет) и не могли долго работать - слишком сложны были их механизмы и слишком примитивная технология их изготовления. Только в 1820 году был налажен серийный выпуск
(сотни штук в год) арифмометров конструкции Томаса де Кальмера. Вычисления, состоящие из последовательности арифметических операций, все еще лежали за пределами
возможностей счетной машины.
В 1834 году Ч. Бэббидж разработал проект счетной машины, позволяющей реализовать вычисления любой сложности. Машина была задумана как механическая. Но Ч.
Бэббиджа можно назвать пророком, поскольку его "аналитическая" машина стала прообразом ЦВМ, появившейся 100 лет спустя. Его машина содержала механический эквивалент практически всех основных устройств современной ЭВМ: память ("склад" на 1000
чисел по 50 десятичных знаков), арифметическое устройство ("мельница"), устройство
управления, устройства ввода и вывода информации. Последовательность выполнения
операций и пересылки чисел между устройствами задавались программой на перфокартах Жаккарда (1804), которые использовались для управления работой ткацких станков.
Кроме того, в машине Бэббиджа предусматривалась возможность изменения программы
в зависимости от результата вычислений, говоря современным языком, имелись команды
условных переходов. Интересно отметить, что Бэббидж изобрел наиболее эффективный
способ сложения чисел - сложение по схеме со сквозным переносом. Эту машину Бэббидж строил всю оставшуюся жизнь (до 1871 года), но создал только ее отдельные узлы.
В то же время (50-е годы прошлого столетия) благодаря трудам английского математика
Ады Лавлейс зародилось машинное программирование (она пыталась написать программы к еще не созданной счетной машине Бэббиджа).
В конце XIX начале XX веков начали появляться электромеханические счетноаналитические машины для выполнения расчетно-бухгалтерских и статистических операций. Сильным толчком к развитию таких устройств стал конкурс, объявленный в США при
проведении переписи 1888 года. В нем победил табулятор Холлерита. Табулятор Холлерита является родоначальником семейства электронно-механических машин для обработки статистических данных. В 1898 году Холлерит организовал фирму, которая поставляла такие машины всему миру.
Эти машины непрерывно совершенствовались: в 1913 году создан табулятор, печатающий результаты; в 1921 году к нему добавлена коммутационная доска, на которой
хранилась программа обработки данных, считываемая с различных позиций перфокарты.
Первые вычислительные машины в современном смысле появились в конце 30-х
начале 40-х годов. В 1936-37 году К. Цузе (Германия) спроектировал машину с программным управлением. В 1941 году она была создана (машина на электромагнитных реле).
Это первая в мире ЦВМ с программным управлением. Программа наносилась на перфоленту и целиком вводилась в машину. Поскольку перфолента двигалась в одну сторону,
все циклы записывались в развернутом виде, т.е. в виде последовательности групп команд. После этого оператор уже не мог влиять на последовательность выполнения команд программы.
В 1937 году Г. Айкин (США) разработал проект электромеханической универсальной ЦВМ с программным управлением. Она была построена в 1944 году фирмой IBM и
названа "Марк-1". В 1947 году под руководством Айкина построена более мощная машина "Марк-2". В ней для хранения чисел и выполнения операций использовано 16000 электромеханических реле. В этот период был разработан целый ряд подобных релейных вычислительных машин, одна из которых практически полностью повторяла "аналитическую" машину Бебиджа.
5
Эти релейные вычислительные машины были ненадежны, медленно работали и
потребляли много энергии, но позволили накопить большой опыт по созданию машин для
автоматизированных вычислений. На них было опробовано двоичное кодирование чисел,
представление чисел в форме с плавающей запятой, способы выполнения операций над
числами на основе релейных схем и т.д.
В этот же период начали появляться машины, построенные на электронных лампах, причем первоначально лампы стали использоваться в простейших счетчиках импульсов. На них строились схемы с двумя устойчивыми состояниями, впоследствии
названные триггерами (Впервые подобная схема была разработана в 1918 году Бончбруевичем). Исследуя свойство триггеров, американские ученые Дж. Моучли и Д. Эккер
пришли к выводу о целесообразности использования в вычислительных машинах вместо
электромеханических реле ламповых триггеров. В 1946 году под их руководством построена вычислительная машина "ЭНИАК" для баллистических расчетов. Она содержала
18000 электронных ламп и 1500 реле. Использование электронных ламп позволило резко
(на два порядка) повысить скорость выполнения операций.
Анализируя работу этой машины, математик Дж. Нейман сформулировал основные
концепции организации ЭВМ. В соответствии с этими концепциями началась разработка
ЭВМ "ЭДВАК" - прообраза современных ЭВМ. Она была построена в 1950 году. А в 1949
году в Англии была введена в эксплуатацию первая в мире ЭВМ с хранимой в памяти
программой - "ЭДСАК", созданная под руководством М. Уилкса.
Вычислительные машины "ЭДВАК" и "ЭДСАК" положили начало первому поколению ЭВМ - поколению ламповых машин (1945-1960 гг.). С начала 50-х годов было осуществлено много проектов ЭВМ, в каждом из которых применялись новые типы
устройств, способы управления вычислительным процессом и обработки информации.
Особое внимание уделялось улучшению характеристик памяти, поскольку в ламповых
ЭВМ она была незначительной. Так в 1952 г. впервые были использованы ферритовые
сердечники.
На этом закончим рассмотрение истории развития вычислительных машин и перейдем к принципам действия ЭВМ.
1.3. ПРИНЦИПЫ ДЕЙСТВИЯ ЭВМ
Рассмотрим вначале вычисления с помощью калькулятора. Предварительно на листе бумаги выписываются формулы и исходные данные, а часто и таблицы для занесения промежуточных и конечных результатов. В процессе вычисления числа с листа заносятся в регистр микрокалькулятора, а затем включается нужная по формуле операция.
Полученные результаты переписываются с регистра (индикатора микрокалькулятора) на
лист бумаги (в таблицу).
Таким образом, микрокалькулятор выполняет арифметические операции над числами, которые в него вводит человек. Лист бумаги выполняет в данном случае роль запоминающего устройства, хранящего программу (расчетную формулу), исходные, промежуточные и конечные результаты. Человек управляет процессом вычисления, включая
перенос чисел с листа в микрокалькулятор и обратно, а также выбирает нужный вариант
продолжения процесса вычисления в соответствии с полученным результатом. Интересно, что в данном случае быстродействие устройства, выполняющего арифметические
операции (механическое или электронное), практически не влияет на скорость вычислительного процесса, т.к. остальные операции выполняются очень медленно.
Принципиальный эффект достигается, если к быстродействующему арифметическому устройству добавить быстродействующую память, а также быстродействующее
устройство, производящее все необходимые операции по реализации программы вычислений и пересылке чисел между арифметическим устройством и памятью. Если добавить
к такому комплексу аппаратуры устройства связи с внешним миром, т.е. устройства ввода
исходных данных и программы и вывода результата, то придем к классической пятиблочной структуре Неймана, несколько модифицированный вид, которой показан на рис.1.1
(первоначально устройство ввода и вывода изображалось одним блоком, а память не
разделялась на основную и внешнюю).
6
Пульт ручного управления
Управляющее устройство
Устройство
ввода
(УВ)
Арифметикологическое
устройство
(АЛУ)
Внутренняя
(основная,
(оперативная)
память (ОП)
Устройство
вывода
(УВ)
Результат
расчета
Программы
,
Внешняя
память (ВП)
Рис. 1.1. Классическая структура ЭВМ
АЛ У - производит арифметические и логические преобразования над поступающими в него машинными словами, т.е. кодами определенной длины, представляющими
собой числа или другой вид информации.
Память - хранит информацию, передаваемую из других устройств, в том числе поступающую извне через устройство ввода, и выдает во все другие устройства информацию, необходимую для протекания вычислительного процесса. В машинах ЭВМ первых
поколений память состояла из двух существенно отличных по своим характеристикам частей - быстродействующей основной или оперативной (внутренней) памяти (ОП) и значительно более медленной внешней памяти (ВП), способной хранить очень большие
объемы информации. (Структура памяти современных ЭВМ имеет еще более сложную
структуру, поскольку внутренняя память ЭВМ разделилась на ряд иерархических уровней
памяти, обладающих различным объемом и быстродействием – ОП, КЭШ-память, сверхоперативная память, память каналов и т.д. Однако, первоначально многоуровневость памяти не учитывается и считается, что внутренняя память состоит из одной ОП. Внутренняя память состоит из ячеек, каждая из которых служит для хранения одного машинного
слова. Номер ячейки называется адресом. В запоминающем устройстве (ЗУ) ЭВМ, реализующем функцию памяти, выполняются операции считывания и записи информации.
Причем при считывании информация не разрушается и может считываться любое число
раз. При записи прежнее содержимое ячейки стирается.
Непосредственно в вычислительном процессе участвует только ОП. Обмен информацией между ОП и ВП происходит только после окончания отдельных этапов вычислений. Физическая реализация ОП и ВП будет рассмотрена нами в дальнейшем.
Устройство управления (УУ) - автоматически, без участия человека, управляет
вычислительным процессом, посылая всем другим устройствам сигналы, предписывающие те или иные действия, в частности, заставляет ОП пересылать необходимые данные, включать АЛУ на выполнение необходимой операции, перемещает полученный результат в необходимую ячейку ОП.
Пульт управления - позволяет оператору вмешиваться в процесс решения задачи,
т.е. давать директивы устройству управления.
Устройство ввода - позволяет ввести программу решения задачи и исходные данные в ЭВМ и поместить их в ОП. В зависимости от типа устройства ввода исходные дан7
ные для решения задачи вводятся непосредственно с клавиатуры (дисплей, пишущая
машина), либо должны быть предварительно помещены на какой-либо носитель - перфокарты, перфоленты, магнитные карты, магнитные ленты, магнитные и оптические диски и
т.д. В системах САПР осуществляется ввод графической информации.
Устройство вывода - служит для вывода из ЭВМ результатов обработки исходной
информации. Чаще всего это символьная информация, которая выводится с помощью
различного типа ПчУ или на экран дисплея. В ряде случаев это графическая информация
в виде чертежей и рисунков, которые могут быть выведены с помощью графических дисплеев, графопостроителей, принтеров, плоттеров и т.д.
Теперь очень коротко вспомним, что такое программа и алгоритм. Понятие алгоритма не замыкается только областью вычислительной техники. По интуитивному определению:
Алгоритм - это совокупность правил, строго следуя которым можно перейти от исходных данных к конечному результату.
В ВТ под "совокупностью правил" понимается последовательность арифметических и логических операций. (Утверждают, что слово алгоритм произошло от имени Мухаммед аль Хорезми, написавшем в IX веке трактат по арифметике десятичных чисел).
Программа - это запись алгоритма в форме, воспринимаемой ЭВМ. Любая программа состоит из отдельных команд. Каждая команда предписывает определенное действие и указывает, над какими операндами это действие производится. Программа представляет собой совокупность команд, записанных в определенной последовательности,
обеспечивающих решение задачи на ЭВМ.
Чтобы УУ могло воспринять команды, они должны быть закодированы в цифровой
форме.
Автоматическое управление процессом решения задачи достигается на основе
принципа программного управления, являющегося основной особенностью ЭВМ. (Без
программного управления ЭВМ превратится в обычный быстродействующий арифмометр
или микрокалькулятор).
Другим важнейшим принципом является принцип хранимой в памяти программы.
Согласно этому принципу программа, закодированная в цифровом виде, хранится в памяти наравне с числами. Поскольку программа хранится в памяти, одни и те же команды
можно извлекать и выполнять необходимое количество раз. Более того, над кодами команд (как над числами) можно выполнять некоторые арифметические операции и тем самым модифицировать команды программы.
Команды программы выполняются в порядке, соответствующем их расположению в
последовательных ячейках памяти. Однако команды безусловного и условного переходов могут изменять этот порядок соответственно безусловно или при выполнении некоторого условия, задаваемого отношениями типа больше, меньше или равно. В большинстве
случаев сравниваются результаты выполнения предыдущей операции и некоторое число,
указанное в команде условного перехода. Именно команды условного перехода позволяют строить не только линейные, но также ветвящиеся и циклические программы.
1.4. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ПРОГРАММНОГО (МАТЕМАТИЧЕСКОГО)
ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЭВМ
Каждая ЭМВ обладает определенными свойствами, такими как возможность обрабатывать информацию в той или иной форме, возможность определять арифметические
и логические операции, операции, связанные с организацией совместной работы
устройств машины и т.д.
Для придания определенных свойств ЭВМ используют средства двух видов - аппаратные и программные. Последние называются также средствами программного обеспечения. (Зарубежом аппаратное и программное обеспечение называется соответственно "жестким" и "мягким" товаром – "hard & soft").
Часть свойств ЭВМ приобретает благодаря наличию в ней электрического и электромеханического оборудования, специально предназначенных для реализации этих
свойств. Примером такого устройства является АЛУ.
8
Ряд других свойств реализуется без специальных электронных блоков с помощью
программных средств. При этом используются имеющиеся аппаратные средства ЭВМ,
выполняющие действия, предписанные специальными программами.
Пример: ЭВМ может не иметь аппаратно реализованной операции извлечения корня. Но если есть программа извлечения корня, то существующие аппаратные средства
могут выполнить эту операцию. Причем с точки зрения пользователя, ЭВМ приобретет
свойство вычисления корня.
Следует иметь в виду, что с помощью аппаратных средств соответствующие функции ЭВМ выполняются значительно быстрее, чем программным путем, но при этом ЭВМ
становится сложнее и дороже. Поэтому в малых ЭВМ с достаточно простым АЛУ стремятся как можно больше функций реализовать программным путем, а в больших ЭВМ
для повышения быстродействия - по максимуму использовать аппаратные средства.
Вообще же стараются как можно оптимальнее соотнести аппаратные и программные средства, чтобы при сравнительно небольших аппаратных затратах достигнуть высокой эффективности и быстродействия.
Таким образом, аппаратные и программные средства являются тесно связанными
компонентами современной ЭВМ. И, с точки зрения пользователя, как правило, неважно:
аппаратно или программно выполнены те или иные функции ЭВМ. Поэтому можно говорить о виртуальной (кажущейся) ЭВМ.
Система программного (математического) обеспечения - это комплекс программных
средств, в котором можно выделить операционную систему, комплект программ технического обслуживания и пакеты прикладных программ. На рис. 1.2 изображена упрощенная
структура вычислительной системы как совокупности аппаратных и программных средств.
Операционная система (ОС) - это центральная и важнейшая часть программного
обеспечения ЭВМ, предназначенная для эффективного управления вычислительным
процессом, планирующая работу и распределение ресурсов ЭВМ, автоматизации процесса подготовки программ и организации их выполнения при различных режимах работы
машины, облегчения общения оператора с машиной.
ОС состоит из программ, относящихся к двум большим группам:
Управляющие программы - осуществляют управление работой устройств ЭВМ, т.е. координируют работу устройств в процессе ввода, подготовку и выполнение других программ.
Обрабатывающие программы - осуществляют работу по подготовке новых программ для
ЭВМ и исходных данных для них, например, сборка отдельно транслируемых модулей в
одну или несколько исполняемых программ, работы с библиотеками программ, перезаписи массивов информации между ВП и т.д. ОС в большинстве случаев являются универсальными и не учитывают особенности конкретных аппаратных средств. В современных
ЭВМ для адаптации универсальной ОС к конкретным аппаратным средствам используют
аппаратно-ориентированную часть операционной системы, которая в персональных компьютерах называется BIOS (Basic Input / Output System – базовая система ввода/вывода).
Следует иметь в виду, что оператор и пользователь не имеют прямого доступа к
аппаратным средствам ЭВМ. Все связи осуществляются только через ОС, обеспечивающую определенный уровень общения человека и машины. А уровень общения определяется в первую очередь уровнем языка, на котором оно происходит. На схеме представлена приближенная иерархия таких языков.
Проблемно-ориентированный - это язык, строго ориентированный на какую-либо
проблему (задачу моделирования сложной системы, задачу САПР и т.д.).
Процедурно-ориентированный - это язык, ориентированный на выполнение общих
процедур переработки данных (Фортран, Паскаль, Бейсик и т.д.).
Машинный язык - это самый нижний уровень языка. Команды записываются в виде
двоичных кодов. Адреса ячеек памяти - абсолютны. Программирование очень трудоемко.
9
Оператор
Язык ОС
Пользователь
Проблемноориентированный
Программное обеспечени е
Программное обеспечени е
Процедурноориентированный
Пакет
программнотехнического
обслуживания
Макроязык
Ассемблер
Машиннонезависим
ые языки
Машиннозависимые
языки
Машинный язык
ППП
Операционная система
Обрабатывающая программа
Управляющая программа
BIOS
Аппаратные средства ЭВМ
Рис. 1.2. Вычислительная система - совокупность программных и аппаратных
средств ЭВМ
Ассемблер- это язык более высокого уровня, использует мнемокоды (т.е. команды
обозначаются буквенными сочетаниями). Запись программы ведется с использованием
символических адресов, т.е. вместо численных значений адреса используются имена. За
исключением первого оператора программы, который должен быть жестко привязан к физическому адресу. (Вообще более правильно говорить язык ассемблера, поскольку Ассемблер - это служебная программа, преобразующая символические имена команд и
символические адреса в команды в машинном коде и числовые адреса).
Макроязык - в первом приближении его можно определить как язык процедур,
написанных на языке ассемблера, т.е. когда вместо целого комплекса команд (которые
часто встречаются) используется только имя (название) этого комплекса.
Язык ОС - это язык, на котором оператор может выдавать директивы ОС, вмешиваться в ход вычислительного процесса.
Пакет программно-технического обслуживания предназначен для уменьшения
трудоемкости эксплуатации ЭВМ. Эти программы позволяют провести тестирование работоспособности ЭВМ и ее отдельных устройств, определять места неисправностей.
Пакеты прикладных программ - представляют собой комплексы программ для решения определенных, достаточно широких классов задач (научно-технических, планово10
экономических), а также для расширения функций ОС (управление базами данных, реализация режимов телеобработки данных, реального времени и др.).
Все это, как уже отмечалось, в совокупности с аппаратными средствами составляет
вычислительную систему. Причем при создании новых ЭВМ разработка аппаратного и
программного обеспечения производится одновременно. В настоящее время программное обеспечение - такой же вид промышленной продукции, как и сама ЭВМ, причем его
стоимость зачастую дороже аппаратной части. Во всех развитых странах ЭВМ всегда поставляется с системой программного обеспечения в такой форме и на таких носителях
информации, чтобы их использование не вызывало затруднений.
Сложность современной вычислительной системы (ВС) привела к возникновению
понятия архитектуры вычислительных машин. Это понятие охватывает комплекс общих вопросов построения ВС, существенных в первую очередь для пользователя, интересующегося главным образом возможностями ЭВМ, а не деталями ее технического исполнения. К числу таких вопросов относятся вопросы общей структуры, организации вычислительного процесса и общения пользователя с машиной, вопросы логической организации представления, хранения и преобразования информации и вопросы логической
организации совместной работы различных устройств, а также аппаратных и программных средств машины.
1.5. ПОКОЛЕНИЯ ЭВМ
Выше рассматривались три понятия: аппаратные средства, программное обеспечение и архитектура ЭВМ. Рассмотрим коротко этапы развития ЭВМ за последние 50 лет
с точки зрения этих понятий, составляющих основу классификации ЭВМ по поколениям.
Ранее отмечалось, что ближайшими прототипами современной ЭВМ можно считать машины "ЭДВАК" и "ЭДСАК", построенные в Англии и США в 1949-1950 годах. С
начала 50-х годов началось массовое производство ЭВМ различных типов, которые сейчас принято относить к ЭВМ первого поколения. Следует иметь в виду, что поколения
ЭВМ не имеют четких временных границ. Элементы каждого нового поколения ЭВМ разрабатывались и опробовались на ЭВМ предыдущего поколения.
Первое поколение (1955-1960 гг.)
ЭВМ этого поколения строилось на дискретных элементах и вакуумных лампах, имели
большие габариты, вес, мощность, обладая при этом малой надежностью. Они использовались в основном для решения научно-технических задач атомной промышленности,
реактивной авиации и ракетостроения.
Увеличению количества решаемых задач препятствовали низкая надежность и
производительность, а также чрезвычайно трудоемкий процесс подготовки, ввода и отладки программы, написанной на языке машинных команд, т.е. в форме двоичных кодов.
Машины этого поколения имели быстродействие порядка 10-20 тысяч операций в
секунду и ОП порядка 1К (1024 слова). В этот же период появились первые простые языки для автоматизированного программирования.
Второе поколение (1960-1965 гг.)
В качестве элементной базы использовались дискретные полупроводниковые приборы и
миниатюрные дискретные детали, а в качестве технологической - печатный монтаж. По
сравнению с предыдущим поколением резко уменьшились габариты и энергозатраты,
возросла надежность. Возросли также быстродействие (приблизительно 500 тысяч
оп/сек) и объем оперативной памяти (16-32К слов). Это сразу расширило круг пользователей, а, следовательно, и решаемых задач. Появились языки высокого уровня (Фортран,
Алгол, Кобол) и соответствующие им трансляторы. Были разработаны служебные программы для автоматизации профилактики и контроля работы ЭВМ, а также для лучшего
распределения ресурсов при решении пользовательских задач. (Задача экономии времени и ОП осталась, как и в первом поколении).
Все эти вышеперечисленные служебные программы оформились в ОС, которая
первоначально просто автоматизировала работу оператора: ввод текста программы, вызов нужного транслятора, вызов необходимых библиотечных программ, размещение программ в основной памяти и т.д. Теперь вместе с программами и исходными данными вводилась целая инструкция о последовательности обработки программы.
11
Совершенствование аппаратного обеспечения, построенного на полупроводниковой базе, привело к тому, что появилась возможность строить в ЭВМ помимо центрального (основного) процессора еще ряд вспомогательных процессоров. Эти процессоры
управляли всей периферией, в частности устройствами ввода/вывода, избавляли от
вспомогательной работы центральный процессор. Одновременно совершенствовались и
ОС. Это позволило на ЭВМ второго поколения реализовать режим пакетной обработки
программ, а также режим разделенного времени, необходимый для параллельного решения нескольких задач управления производством. На машинах второго поколения были
впервые опробованы ОП на ферритовых кольцах (так называемые кубы памяти). Все это
позволило поднять производство ЭВМ и привлечь к ней массу новых пользователей.
Третье поколение (1965-1970 гг.)
В качестве элементной базы использовались интегральные схемы малой интеграции с
десятками активных элементов на кристалл, а также гибридные микросхемы из дискретных элементов. Это позволило сократить габариты и мощность, повысить быстродействие, снизить стоимость универсальных (больших) ЭВМ. Но самое главное - появилась
возможность создания малогабаритных, надежных, дешевых машин - мини-ЭВМ. МиниЭВМ первоначально предназначались для замены аппаратно-реализуемых контроллеров
в контурах управления (в том числе ЭВМ), различных объектов и процессов. Появление
мини-ЭВМ позволило сократить сроки разработки контроллеров, поскольку вместо разработки оригинальных сложных логических схем требовалось купить мини-ЭВМ и запрограммировать ее надлежащим образом. Универсальное устройство обладало избыточностью, однако, малая цена и универсальность периферии оказались очень большим плюсом, обеспечившим высокую экономическую эффективность.
Но вскоре потребители обнаружили, что после небольшой доработки можно решать и вычислительные задачи. Простота обслуживания новых машин и их низкая стоимость позволили снабдить подобными вычислительными машинами небольшие коллективы исследователей, разработчиков, учебных заведений и т.д. В начале 70-х гг. с термином мини-ЭВМ уже связывали два существенно различных типа вычислительной техники:
- контроллер - универсальный блок обработки данных и выдачи управляющих
сигналов, серийно выпускаемый для использования в различных специализированных системах контроля и управления;
- небольших габаритов универсальная ЭВМ, проблемно-ориентированная пользователем на ограниченный круг задач в рамках одной лаборатории, технологического участка и т.д.
Четвертое поколение (с 1970 г.)
Успехи микроэлектроники позволили создать БИС и СБИС, содержащие десятки тысяч
активных элементов. Это позволило разработать более дешевые ЭВМ с большой ОП.
Стоимость одного байта памяти и одной машинной операции резко снизилась. Но затраты на программирование почти не сократились. Поэтому на первый план вышла задача
экономии человеческих, а не машинных ресурсов.
Для этого разрабатывались новые ОС, позволяющие пользователю вести диалог с
ЭВМ. Это облегчало работу пользователя и ускоряло разработку программ. Это потребовало, в свою очередь, организовать одновременный доступ к ЭВМ целого ряда пользователей, работающих с терминалов.
Совершенствование БИС и СБИС привело в начале 70-х гг. к появлению новых типов микросхем – микропроцессоров (в 1968 г. фирма Intel по заказу Дейта-Дженерал разработала и изготовила первые БИС микропроцессоров, которые первоначально предполагалось использовать как составные части больших процессоров).
Первоначально под микропроцессором понималась БИС, в которой полностью
размещен процессор простой архитектуры, т.е. АЛУ и УУ. В результате были созданы
дешевые микрокалькуляторы и микроконтроллеры - управляющие - устройства, построенные на одной или нескольких БИС, содержащие процессор, память и устройства сопряжения с датчиками и исполнительными механизмами. С совершенствованием их технологического производства и, следовательно, падением цен микрокалькуляторы начали
внедряться даже в бытовые приборы и автомашины.
12
В 70-е же годы появились первые микро-ЭВМ - универсальные вычислительные
системы, состоящие из процессора, памяти, схем сопряжения с устройствами ввода/вывода и тактового генератора, размещенные в одной БИС (однокристальная ЭВМ)
или в нескольких БИС, установленных на одной печатной плате (одноплатные ЭВМ).
Совершенствование технологии позволило изготовить СБИС, содержащие сотни
тысяч активных элементов, и сделать их достаточно дешевыми. Это привело к созданию
небольшого настольного прибора, в котором размещалась микро-ЭВМ, клавиатура,
экран, магнитный накопитель (кассетный или дисковый), а также схема сопряжения с малогабаритным печатающим устройством, измерительной аппаратурой, другими ЭВМ и
т.д. Этот прибор получил название персональный компьютер.
В 1976г. была зарегистрирована компания Apple Comp (Стив Джекоб и Стефан
Возняк), которая и начала выпуск первых в мире персональных компьютеров "Макинтош".
Благодаря ОС, обеспечивающей простоту общения с этой ЭВМ больших библиотечных прикладных программ, а также низкой стоимости, персональный компьютер начал
стремительно внедрятся в различные сферы человеческой деятельности во всем мире.
Об областях и целях его использования можно прочитать в многочисленных литературных источниках. По данным на 1985 год общий объем мирового производства уже составил 200106 микропроцессоров и 10106 персональных компьютеров в год.
Что касается больших ЭВМ этого поколения, то происходит дальнейшее упрощение контакта человек-машина. Использование в больших ЭВМ микропроцессоров и СБИС
позволило резко увеличить объем памяти и реализовать некоторые функции программ
ОС аппаратными методами.
Например, аппаратная реализация транслятора с языка высокого уровня и т.п. Это
сильно увеличило производительность ЭВМ, хотя несколько возросла и цена.
Характерным для крупных ЭВМ 4-го поколения является наличие нескольких процессоров, ориентированных на выполнение определенных операций, процедур или решение определенных классов задач. В рамках этого поколения создаются многопроцессорные вычислительные системы с быстродействием в несколько десятков или сотен
миллионов оп/сек и многопроцессорные управляющие комплексы повышенной надежности с автоматическим изменением структуры.
Примером вычислительной системы 4-го поколения является многопроцессорный
комплекс "Эльбрус-2" с суммарным быстродействием 100106 оп/сек или вычислительная
система ПС-2000, содержащая до 64 процессоров, управляемых общим потоком команд.
При распараллеливании вычислительного процесса суммарная скорость достигает
200106 оп/сек. Следует иметь в виду, что подобные супер-ЭВМ развивают максимальную
производительность только при решении определенных типов задач (под которые они и
строились). Это задачи сплошных сред, связанные с аэродинамическими расчетами, прогнозами погоды, силовыми энергетическими полями и т.д. Производство супер-ЭВМ во
всем мире составляет в настоящее время десятки штук в год и строятся они, как правило,
«под заказ».
Пятое поколение
Характерной особенностью пятого поколения ЭВМ является то, что основные концепции
этого поколения были заранее формулированы в явном виде. Задача разработки принципиально новых компьютеров впервые поставлена в 1979 году японскими специалистами,
объединившими свои усилия под эгидой научно-исследовательского центра по обработке
информации - JIPDEC. В 1981 г. JIPDEC опубликовал предварительный отчет, содержащий детальный многостадийный план развертывания научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ с целью создания к 1991 г. прототипа ЭВМ нового поколения.
Указанная программа произвела довольно сильное впечатление сначала в Великобритании, а затем и в США. Под эгидой JIPDEC прошли ряд международных конференций, в частности - "Международная конференция по компьютерным системам пятого поколения" (1981 г.), на которых полностью оформился "образ компьютера пятого поколения". Были разработаны концепции создания не только поколения ЭВМ в целом, но и вопросы архитектуры основных типов ЭВМ этого поколения, структуры программных
средств и языков программирования, разработки наиболее перспективной элементной
базы и способов хранения информации.
13
Следует отметить, однако, что оптимистические прогнозы японских специалистов
не сбылись. До сих пор не создан компьютер в полной мере удовлетворяющий требованиям, предъявляемым к компьютерам пятого поколения.
Прежде чем перейти к изучению дальнейшего материала, следует сделать некоторые замечания. Дело в том, что, несмотря на общие принципы функционирования всех
ЦВМ, их конкретные реализации существенно различаются. Особенно это касается супер-ЭВМ, решающих весьма специфические задачи. Да и обычные серийные большие
ЭВМ общего назначения работают, как правило, в составе вычислительных центров и доступ к ним возможен только через терминалы. Кроме того, их архитектура, аппаратное и
программное обеспечение достаточно сложны для первоначального изучения. Поэтому в
дальнейшем основное внимание в курсе будет уделено ЭВМ, построенным на базе микропроцессоров, т.е. персональным компьютерам. Это имеет смысл еще и потому, что
ЭВМ, построенные на базе микропроцессорных комплектов, представляют наибольший
интерес для современного инженера, поскольку непосредственно участвуют в работе систем автоматизации производственных процессов, обрабатывают данные научных экспериментов, принимают и обрабатывают потоки информации в каналах связи, решают небольшие расчетные инженерные задачи и т.д. В ряде случаев для решения конкретных
задач пользователь сам на базе микропроцессорных комплектов создает специализированные контроллеры и ЭВМ.
Рассмотрим очень коротко основное отличие структур больших и малых ЭВМ общего назначения.
1.6. БОЛЬШИЕ ЭВМ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ
На первых этапах внедрения ЭВМ в деятельность человека решение задач, в основном, можно было разделить на два больших класса:
- научные и технические расчеты - для них типичным является возможность работы со словами фиксированной длины, относительно небольшие объемы
входной информации (исходных данных) и выходной информации (результатов
расчета) и очень большое количество разнотипных вычислительных операций,
которые необходимо проделывать в процессе решения;
- планово-экономические расчеты, статистика - носят совсем иной характер.
Они связаны с вводом в машину очень большого количества (массивов) исходных данных. Сама же обработка требует сравнительно небольшого числа простейших логических и арифметических операций. Однако в результате обычно
выводится и печатается очень большое количество информации, причем, как
правило, в отредактированной форме в виде таблиц, ведомостей, различных
форм и т.д. задачи такого типа получили название задач обработки данных.
ЭВМ, предназначенные для их решения, часто называют системой автоматизированной обработки данных. Подобные ЭВМ составляют основу системы
АСУ.
Для системы обработки данных важно отметить возможность ввода, хранения, обработки и вывода большого количества текстовой (алфавитно-цифровой) информации,
которая представлена словами переменной длины. Кроме того, для таких систем важно
наличие большого количества периферийных запоминающих устройств, хранящих большое количество информации (накопители на дисках и лентах), а также высокопроизводительных устройств ввода и вывода данных.
Для решения этих двух типов задач первоначально строили ЭВМ, которые различались уже на уровне аппаратного обеспечения. Однако резкое расширение сферы использования ЭВМ, совершенствование аппаратного и программного обеспечения, расширение понятия научно-технических расчетов привело к стиранию границ между этими
двумя типами задач, а, следовательно, и типами ЭВМ. В результате появились ЭВМ общего назначения (mainframe), которые в настоящее время выполняют основной объем
вычислительных работ и машинной обработки информации в различных ВЦ и АСУ.
Современные ЭВМ общего назначения универсальны и могут использоваться как
для решения научно-технических задач численными методами, так и в режиме автоматической обработки данных в АСУ. Такие ЭВМ имеют высокое быстродействие, память
14
большого объема, гибкую систему команд и способов представления данных, широкий
набор периферийных устройств.
Однако для того чтобы понять радикальные отличия структуры первых микро- и
мини-ЭВМ, появившиеся в начале 70 годов, от структур основных типов ЭВМ, существующих в то время – ЭВМ общего назначения – необходимо рассмотреть структуру типичного представителя этих ЭВМ (например, ЕС–ЭВМ), прототипами которых были машины
IBM 360/370. Их быстродействие составляло от 200 тысяч оп/сек (ЕС 1030) до 5000 тысяч
оп/сек (ЕС 1065) и более для старших моделей машин этого семейства. Упрощенная
структура ЭВМ серии ЕС изображена на рис.1.3.
УПУ
15
УПУ
Интерфейс
16 17
..............
УПУ
14
Селекторный
и блокмультиплексный канал
Центральный
процессор
УПУ
Байт-мультиплексный
канал
УПУ
Интерфейс
ОП
УПУ
13
"Быстрая" периферия
................
Центральная часть
"Медленная" периферия
Рис. 1.3. Структура ЭВМ общего назначения
Собственно обработка данных производится в центральном процессоре (ЦП), содержащем АЛУ и УУ. Это самая быстродействующая часть ЭВМ. Поэтому возникает проблема взаимодействия быстродействующего процессора с большим числом сравнительно медленно действующих периферийных устройств (ПУ). Для эффективного использования всего вычислительного комплекса требуется организовать параллельную во времени работу ЦП и ПУ. Такой режим в ЭВМ общего назначения организуется при помощи
специализированных вспомогательных процессоров ввода/вывода, называемых каналами. Периферийные устройства связаны с каналами через собственные блоки управления
(УПУ) (их часто называют контроллерами ПУ) и систему сопряжения, называемую интерфейсом. Коротко рассмотрим функции этих устройств.
1.6.1 КАНАЛЫ
Поскольку каналы предназначены для освобождения центрального процессора от
вспомогательных операций, не связанных с вычислениями, каналы имеют непосредственный доступ к ОП параллельно ЦП, естественно со своими приоритетами. Ввиду того, что ПУ существенно различаются по быстродействию и режимам работы, каналы подразделяют на байт-мультиплексные, блок-мультиплексные и селекторные.
Байт-мультиплексный канал может обслуживать одновременно несколько сравнительно медленно действующих ПУ - печатающих, УВВ с перфокарт и перфолент, дисплеев и др. Байт-мультиплексный канал попеременно организует с ними сеансы связи
для передачи между ОП и ПУ небольших порций информации фиксированной длины
(обычно 1-2 байта). В простейшем случае происходит циклический опрос ПУ, например,
при работе с дисплейной станцией. В более сложном варианте байт-мультиплексный канал начинает обслуживать ПУ по их запросу, причем первым опрашивает ПУ с высшим
приоритетом, а затем по очереди обращается ко всем остальным ПУ, беря от каждого по
одному байту информации. Таким образом, мультиплексный канал работает с "медленными" устройствами, способными ожидать обслуживание без потери информации.
Селекторный и блок-мультиплексный каналы связывают ЦП и ОП с ПУ, работающими с высокой скоростью передачи информации (магнитные диски, ленты и др.).
15
Селекторный канал предназначается для монопольного обслуживания одного
устройства. При работе с селекторным каналом ПУ после пуска операции остается связанным с каналом до окончания цепи операций. Запросы на обслуживание других ПУ, так
же как и новые команды пуска операций ввода-вывода от процессора, в это время не
воспринимаются каналом: до завершения цепи операций селекторный канал по отношению к процессору представляется занятым устройством. Таким образом, селекторный канал предназначен для работы с быстродействующими устройствами, которые могут терять информацию вследствие задержек или прерываний в обслуживании.
Блок-мультиплексный канал обладает тем свойством, что операции, не связанные
с передачей данных (установка головок на цилиндр, поиск записи и т.д.), выполняются
для нескольких устройств в мультиплексном режиме, а передача блока информации происходит в монопольном (селекторном) режиме.
Следует отметить, что аппаратные средства можно разделить на две части: средства, предназначенные для обслуживания отдельных ПУ, подключенных к каналу, и оборудование, являющееся общим для устройств и разделяемое всеми устройствами во
времени.
Средства канала, выделенные для обслуживания одного ПУ, принято называть
подканалом.
1.6.2. ИНТЕРФЕЙС
Связи всех устройств ЭВМ друг с другом осуществляются с помощью интерфейса.
Интерфейс представляет собой совокупность линий и шин сигналов, электронных схем и
алгоритмов, предназначенную для осуществления обмена информацией между устройствами. От характеристик интерфейсов во многом зависят производительность и надежность ЭВМ.
В заключение следует отметить, что все выше сказанное относится к серийно–
выпускаемым в свое время крупным ЭВМ общего назначения серии ЕС (IBM 360/370).
Однако в этот же период были разработаны и серийно производились супер-ЭВМ типа
Крэй1, Крэй2, Кибер-205, "Эльбрус", ПС-2000, и т.д. Их колоссальная производительность
достигалась за счет уникальных структур аппаратного и программного обеспечения. Эти
ЭВМ выпускались в незначительных количествах, как правило, под конкретный заказ. Более подробно о многопроцессорных ЭВМ речь пойдет в отдельном разделе данного курса.
1.7. МАЛЫЕ ЭВМ
Уже отмечалось, что наиболее массовое внедрение ЭВМ в деятельность человека
началось тогда, когда в конце 60-х годов удалось построить небольшие, достаточно простые, надежные и дешевые вычислительные устройства, элементной базой которых были
микросхемы. Уменьшение объема аппаратуры и стоимости машины было достигнуто за
счет укорочения машинного слова (12-16 разрядов вместо 32-64 в машинах общего
назначения), уменьшения по сравнению с ЭВМ общего назначения количества типов обрабатываемых данных (в некоторых моделях только целые числа без знака), ограниченного набора команд, сравнительно небольшого объема ОП и небольшого набора ПУ.
Укорочение машинного слова повлекло за собой множество проблем, связанных с
представлением данных, адресацией, составом и структурой команд, логической структурой процессора, организацией обмена информацией между устройствами ЭВМ. В процессе эволюции ЭВМ эти проблемы, так или иначе, решались, что привело к созданию
малых ЭВМ, структура которых существенно отличалась от структуры больших машин.
Следует отметить, что структуры современных микро- и мини-ЭВМ весьма сложны
и в ряде случаев мало отличаются от структуры мощных ЭВМ – все зависит от мощности
используемого процессора, объема и быстродействия ОП, производительности подсистем ввода-вывода и т.д. Однако, первые мини- и микро-ЭВМ, появившиеся в начала 70
годов, имели весьма простую структуру, радикально отличавшуюся от структуры больших
машин того времени.
Типичная структура такой микро-ЭВМ изображена на рис. 1.4.
16
Наращивание
памяти
Наращивание ПУ
Общая шина
. . .
. . .
Устройство
постоянной
памяти
Устройство
ОП
Процессор,
микропроцессор
ПУ1
. . .
. . .
ПУN
Рис. 1.4. Обобщенная структура первых микро-ЭВМ
Такая структура называется магистрально-модульной. Ее основу составляет общая
магистраль (общая шина), к которой подсоединены в нужной номенклатуре и количестве
все устройства машины, выполненные в виде конструктивно законченных модулей. Эта
структура более простая и гибкая, чем у больших ЭВМ. Устройства машины обмениваются информацией только через общую шину.
Такая структура оказывается эффективной, а система обмена данных через общую
шину - достаточно динамичной лишь при небольшом наборе ПУ.
Универсальность применения при ограниченном наборе команд может быть обеспечена лишь при сравнительно высоком быстродействии машины – в первых моделях
около 200-800 тысяч операций в секунду, что превышало скорость многих ЭВМ общего
назначения. Высокое быстродействие позволило малым ЭВМ обслуживать технологические процессы в реальном масштабе времени, а также компенсировать замедление обработки данных, связанное с тем, что малый объем аппаратных средств вынуждает реализовать многие процедуры обработки программным путем (например, операции арифметики с плавающей запятой).
Подобное решение оказалось настолько эффективным, что в настоящее время
простейшие контроллеры и микро-ЭВМ продолжают строиться по этой же схеме. Однако,
структуры сколько-нибудь сложных микро- и мини-ЭВМ, в частности, персональные компьютеры в процессе эволюции существенно усложнились. Современный персональный
компьютер имеет весьма сложную структуру магистралей, иерархию внутренней памяти и
множество подсистем ввода-вывода различного быстродействия. Архитектура современного персонального компьютера, а также процесс ее эволюции будет рассмотрен в отдельном разделе.
Вопросы для самопроверки
Укажите, чем АВМ отличается от ЦВМ.
Назовите основные этапы эволюции ЭВМ.
Опишите классическую структуру ЭВМ по Нейману и укажите свойства каждого блока.
В чем заключается принцип оптимального соотношения аппаратных и программных
средств при построении вычислительной техники?
5. Опишите способ обращения пользователя ЭВМ к ее аппаратным средствам.
6. Кратко укажите, что нового появилось в каждом поколении ЭВМ по отношению к
предыдущему.
7. Чем различается принцип построения малых ЭВМ и больших ЭВМ общего пользования?
1.
2.
3.
4.
17
2. Представление информации в ЭВМ
2.1. Позиционные системы счисления
Под системой счисления понимают способ представления любого числа с помощью
некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы
счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи
цифр и сложность выполнения арифметических операций.
В ЭВМ используются только позиционные системы счисления с различными основаниями. Позиционные системы счисления характеризуются тем, что одна и та же цифра
имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности
цифр, изображающих число.
Пример:

десятичная система счисления - позиционная,

римская система счисления - непозиционная.
Количество S различных цифр, употребляющихся в позиционной системе счисления,
называется ее основанием. В общем случае, любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от основания S.
X  r Sr  r 1Sr 1  ...  1S1  0S0   1S1    2S2  ...
В качестве коэффициента  могут стоять любые из S цифр, используемых в системе
счисления. Однако для краткости число принято изображать в виде последовательности
цифр.
X  r r 1...1 0  1  2 ...
Позиции цифры, отсчитанные от запятой (точки), отделяющей целую часть от дробной, называются разрядами. В позиционной системе счисления вес каждого разряда
больше соседнего в число раз, равное основанию системы S.
Пример:
Для десятичной системы счисления (основание S =10) имеем число 6321.564.
Веса разряда и коэффициенты  для этого числа будут следующими:
Веса 


103
6
102
3
101
2
100
1
10-1
5
10-2
6
10-3
4
В настоящее время в ЭВМ применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. В дальнейшем систему счисления, в которой записано число,
будем обозначать подстрочным индексом, заключенным в круглые скобки. Например:
1101(2), 369(10), BF(16) и т.д.
2.2. Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1. Двоичная система счисления проще десятичной. Однако двоичное изображение
числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представления в машине
разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий
всего два устойчивых состояния. Также достоинством двоичной системы счисления является простота двоичной арифметики.
В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:
18
X  r 2r  r 1 2r 1  ...  1 21  0 20   1 21    2 22  ... , где
i = 0,1.
Таким образом, вес каждого разряда в двоичной системе счисления кратен 2 или
1/2.
Пример:
Двоичное число - 101101(2)
Веса 


32 16
25 2 4
8
23
4
22
2 1
21 20
1
1
1
0
0
1
= 45(10),
т.е.
1 25  0  2 4  1 23  122 0  21  1 20  45(10)
Как и в десятичной, в двоичной системе счисления для отделения целой части от
дробной используется точка. Значение веса разрядов справа от точки равно основанию
двоичной системы (2), возведенному в отрицательную степень. Такие веса - это дроби
вида: 1/2, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25 или 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Их можно выразить через десятичные
дроби: 2-1 = 0.5, 2-2 = 0.25, 2-3 = 0.125, 2-4 = 0,0625.
В общем случае двоичное число имеет целую и дробную части, например,
1101101.10111.
Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется бит. Бит является
наименьшей единицей информации в ЭВМ. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом наибольший значащий бит (СЗР). В двоичном числе эти биты имеют, соответственно,
наименьший и наибольший вес. Обычно двоичное число записывают так, что старший
значащий бит является крайним слева.
2.2.1. Преобразование двоичных чисел в десятичные
Для преобразования двоичных чисел в десятичные необходимо сложить десятичные
веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.
Пример:
Преобразуем целое двоичное число 11001100(2) в десятичное:
1 1 0 0 1 1 0 0
2
2
2
2
2
2
27
6
5
4
3
2
1
2
0
0
0
4
8
0
0
64
128
204(10)
Преобразование вещественного двоичного числа 101.011(2) будет выглядеть следующим образом:
19
1 0 1 . 0 1 1
2
2
2
-1
20
2
2
1
2
-2
-3
0.125
0.25
0
1
0
4
5.375(10)
Если преобразуемое число большое, то операцию перевода удобнее делать отдельно для целой и дробной частей.
2.2.2. Преобразование десятичных чисел в двоичные
При работе с ЭВМ, особенно с микропроцессорами, очень часто приходится выполнять преобразование десятичных чисел в двоичные.
Для преобразования целого десятичного числа в двоичное необходимо разделить
его на основание новой системы счисления (S=2). Полученное частное снова делится на
основание новой системы счисления, до тех пор, пока частное, полученное в результате
очередного деления, не будет меньше основания новой системы счисления. Последнее
частное (являющееся старшим значащим разрядом) и все полученные остатки от деления составляют число в новой системе счисления.
Проиллюстрируем преобразование на примере.
Пример:
Перевести целое десятичное число 10(10) в двоичное число.
10 2
10 5 2
МЗР 0 4 2 2
1 2 1
0 
СЗР
т.е. 10(10)=1010(2)
Если процедуру перевода выполняет человек, то последний шаг получения частного, равного нулю, никогда не делается. Если перевод выполняется ЭВМ, то он необходим.
Таким образом, полный вариант преобразования 10(10) будет иметь следующий вид:
10 2
10(10)=1010(2)
10 5 2
МЗР0 4 2 2
1 2 12
0 00
1  СЗР
Пример:
Десятичное число 57(10) преобразовать в двоичное число.
20
57 2
57(10)=111001(2)
56 28 2
МЗР1 28 14 2
0 14 7 2
0 6 3 2
1 2 1 2
1 0 0
1  СЗР
Для перевода дробных чисел (или дробных частей вещественных чисел) требуется
другая процедура преобразования. Рассмотрим ее на примере.
Пример:
Десятичное число 0.375(10) преобразовать в двоичное число.
1. Умножим дробь на основание новой системы счисления S = 2: 2*0.375 = 0.75.
2. Если результат умножения меньше единицы, то СЗР присваивают значение 0. Если - больше единицы, то присваивают значение 1. Поскольку 0.75<1, то СЗР=0.
3. Результат предыдущей операции вновь умножаем на основание новой системы
счисления 2. Если бы он был больше единицы, то в этой операции умножения
участвовала бы только его дробная часть. В данном случае: 2*0.75=1.5.
4. Поскольку 1.5>1, то ближайшему разряду справа от СЗР присваивается значение
один, а следующая операция умножения производится только над дробной частью
числа 1.5, т.е. над числом 0.5: 2*0.5=1.
5. Шаги описанной процедуры повторяются до тех пор, пока либо результат умножения не будет точно равен 1 (как в рассматриваемом примере), либо не будет достигнута требуемая точность.
Таким образом, 0.375(10) = 0.011(2) .
Если в результате умножения на основание новой системы счисления S=2 результат
не равен единице, операцию останавливают при достижении необходимой точности, а
целую часть результата последней операции умножения используют в качестве значения
МЗР.
Пример:
Десятичное число 0.34375(10) преобразовать в двоичное число.
2 * 0.34375  0.6875 0
2 * 0.6875  1.375
1
2 * 0.375  0.75
0
2 * 0.75  1.5
1
2 * 0.5  1.0
1
2*0
0
(СЗР)
Таким образом, 0.34375(10) = 0.01011(2)
Пример:
Десятичное число 0.3(10) преобразовать в двоичное число.
21
2 * 0.3  0.6 0 (СЗР)
2 * 0.6  1.2 1
2 * 0.2  0.4 0
2 * 0.4  0.8 0
2 * 0.8  1.6 1
2 * 0.6  1.2 1
2 * 0.2  0.4 0
2 * 0.4  0.8 0
Далее будут следовать повторяющиеся группы операций и результатов. Поэтому
ограничимся восемью разрядами, т.е. 0.3(10) = 0.01001100(2).
Из рассмотренных выше примеров видно, что если десятичное число дробное, то
его преобразование в двоичное должно выполняться отдельно над его целой и дробной
частью.
Следует иметь ввиду, что рассмотренные процедуры перевода целых и дробных чисел из десятичных в двоичные и обратно являются общими для перевода чисел в любых
позиционных системах счисления (т.е. целое число делится на основание системы счисления, в которую число переводится, а правильная дробь умножается). Притом надо
помнить, что при выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую, все
необходимые арифметические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число.
2.2.3. Двоично-десятичная система счисления
Эта система имеет основание S=10, но каждая цифра изображается четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Обычно данная система счисления используется в ЭВМ при вводе и выводе информации. Однако в некоторых типах ЭВМ в
АЛУ имеются специальные блоки десятичной арифметики, выполняющие операции над
числами в двоично-десятичном коде. Это позволяет в ряде случаев существенно повышать производительность ЭВМ.
Например, в автоматизированной системе обработки данных чисел много, а вычислений мало. В этом случае операции, связанные с переводом чисел из одной системы в
другую существенно превысили бы время выполнения операций по обработке информации.
Перевод чисел из десятичной системы в двоично-десятичную весьма прост и заключается в замене каждой цифры двоичной тетрадой.
Пример:
Записать десятичное число 572.38(10) в двоично-десятичной системе счисления.
5
7
2.
3
8(10 )  0101011100 10.00111000 ( 2 10 )
0101 0111 0010 0011 1000
Обратный перевод также прост: необходимо двоично-десятичное число разбить на
тетрады от точки влево (для целой части) и вправо (для дробной), дописать необходимое
число незначащих нулей, а затем каждую тетраду записать в виде десятичной цифры.
Пример:
Записать двоично-десятичное число 10010.010101(2-10) в десятичной системе счисления.
22
0001 0010 . 0101 0100 ( 2 10 )  12.54 (10 )
1
2
5
4
Перевод чисел из двоично-десятичной в двоичную систему осуществляется по общим правилам, описанным выше.
2.3. Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления употребляются всего восемь цифр, т.е. эта система счисления имеет основание S=8. В общем виде восьмеричное число выглядит
следующим образом:
X  r 8r  r 18r 1  ...  181  0 80   181    2 82  ... ,
где
i  0, 7
Восьмеричная система счисления не нужна ЭВМ в отличие от двоичной системы.
Она удобна как компактная форма записи чисел и используется программистами (например, в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов). В восьмеричной системе счисления вес каждого разряда кратен
восьми или одной восьмой, поэтому восьмиразрядное двоичное число позволяет выразить десятичные величины в пределах 0-255, а восьмеричное охватывает диапазон 0 99999999 (для двоичной это составляет 27 разрядов).
Поскольку 8=23, то каждый восьмеричный символ можно представить трехбитовым
двоичным числом. Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную
необходимо разбить это число влево (для целой части) и вправо (для дробной) от точки
(запятой) на группы по три разряда (триады) и представить каждую группу цифрой в
восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются необходимым
количеством незначащих нулей.
Пример:
Двоичное число 10101011111101(2) записать в восьмеричной системе счисления.
010 101 011 111 101( 2)  25375 (8)
2
5
3
7
5
Пример:
Двоичное число 1011.0101(2) записать в восьмеричной системе счисления.
001 011. 010 100  13.24
(2)
(8)
1
3
2
4
Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему осуществляется путем представления каждой цифры восьмеричного числа трехразрядным двоичным числом (триадой).
2.4. Шестнадцатеричная система счисления
Эта система счисления имеет основание S=16. В общем виде шестнадцатеричное
число выглядит следующим образом:
X  r16r  r 116r 1  ...  1161  0160  1161  2162  ...
где  i  0,9, A, B, C, D, E, F.
A (16 )  10(10 )
B(16 )  11(10 )
C(16 )  12(10 )
D(16 )  13(10 ) E(16 )  14(10 ) F(16 )  15(10 )
Шестнадцатеричная система счисления позволяет еще короче записывать многоразрядные двоичные числа и, кроме того, сокращать запись 4-разрядного двоичного чис23
ла, т.е. полубайта, поскольку 16=24. Шестнадцатеричная система так же применяется в
текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных чисел.
Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число влево и вправо от точки на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.
Пример:
Двоичное число 10101011111101(2) записать в шестнадцатеричной системе.
0010 1010 1111 1101( 2)  2AED(16 )
2
A
E
D
Пример:
Двоичное число 11101.01111(2) записать в шестнадцатеричной системе.
0001 1101 . 0111 1000 ( 2)  1D.78(16 )
1
D
7
8
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, необходимо наоборот каждую цифру этого числа заменить тетрадой.
В заключение следует отметить, что перевод из одной системы счисления в другую
произвольных чисел можно осуществлять по общим правилам, описанным в разделе
“Двоичная система счисления”. Однако на практике переводы чисел из десятичной системы в рассмотренные системы счисления и обратно осуществляются через двоичную
систему счисления.
Кроме того, следует помнить, что шестнадцатеричные и восьмеричные числа - это
только способ представления больших двоичных чисел, которыми фактически оперирует
процессор. При этом шестнадцатеричная система оказывается предпочтительнее, поскольку в современных ЭВМ процессоры манипулируют словами длиной 4, 8, 16, 32 или
64 бита, т.е. длиной слов, кратной 4. В восьмеричной же системе счисления предпочтительны слова, кратные 3 битам, например, слова длиной 12 бит (как в PDP-8 фирмы
DEC).
2.5. Двоичная арифметика
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами определяются арифметическими действиями над одноразрядными двоичными числами.
Сложение Вычитание Умножение
00 0
00 0
0*0 0
0 1 1
1 0  0
1* 0  0
1 0  1
1 1  0
0 *1 0
1 1  1 0
10  1  1
1* 1  1

перенос
в старший
разряд
Правила выполнения арифметических действий во всех позиционных системах
счисления аналогичны.
2.5.1. Сложение
Как и в десятичной системе счисления, сложение двоичных чисел начинается с правых (младших) разрядов. Если результат сложения цифр МЗР обоих слагаемых не поме24
щается в этом же разряде результата, то происходит перенос. Цифра, переносимая в соседний разряд слева, добавляется к его содержимому. Такая операция выполняется над
всеми разрядами слагаемых от МЗР до СЗР.
Пример:
Сложим два числа в десятичном и двоичном представлении (формат - 1 байт).
Перенос (единицы)
11
1111111
Слагаемое 1
099(10)
01100011(2)
Слагаемое 2
095(10)
01011111(2)
Сумма
194(10)
11000010(2)
Операция получается громоздкая со многими переносами, но удобная для ЭВМ.
2.5.2. Вычитание
Операция вычитания двоичных чисел аналогична операции в десятичной системе
счисления. Операция вычитания начинается, как и сложение, с МЗР. Если содержимое
разряда уменьшаемого меньше содержимого одноименного разряда вычитаемого, то
происходит заем 1 из соседнего старшего разряда. Операция повторяется над всеми
разрядами операндов от МЗР до СЗР.
Поясним это примером.
Пример:
(формат - 1 байт)
Заем (единица)
1
01100000
Уменьшаемое
109(10)
01101101(2)
Вычитаемое
049(10)
00110001(2)
Разность
060(10)
00111100(2)
Второй вариант операции вычитания - когда уменьшаемое меньше вычитаемого приведен в разделе представления двоичных чисел в дополнительном коде.
2.5.3. Умножение
Как и в десятичной системе счисления, операция перемножения двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Частичные произведения формируются в результате умножения
множимого на каждый разряд множителя, начиная с МЗР. Каждое частичное произведение смещено относительно предыдущего на один разряд. Поскольку умножение идет в
двоичной системе счисления, каждое частичное произведение равно либо 0 (если в соответствующем разряде множителя стоит 0), либо является копией множимого, смещенного
на соответствующее число разрядов влево (если в разряде множителя стоит 1). Поэтому
умножение двоичных чисел идет путем сдвига и сложения. Таким образом, количество
частичных произведений определяется количеством единиц в множителе, а их сдвиг - положением единиц (МЗР частичного произведения совпадает с положением соответствующей единице в множителе). Положение точки в дробном числе определяется так же, как
и при умножении десятичных чисел.
Пример:
Вычислить произведение 17(10) * 12(10) в двоичной форме.
25
17(10)=00010001(2); 12(10)=00001100(2)
00010001
* 00001100
- сдвинуто на 2 разряда
+ 10001
10001
- сдвинуто на 3 разряда
11001100 = 204(10)
Естественно, что при сложении частичных произведений в общем случае возникают
переносы.
Теперь рассмотрим машинный вариант операции перемножения. Общий алгоритм
перемножения имеет вид:
Z  X * Y  sign(Z) * X * Y
, sign(X)  sign(Y)
sign  
, sign(X)  sign(Y)
Как отмечалось выше, операция перемножения состоит в формировании суммы частичных произведений, которые суммируются с соответствующими сдвигами друг относительно друга. Этот процесс суммирования можно начинать либо с младшего, либо со
старшего частичного произведения. В ЭВМ процессу суммирования придают последовательный характер, т.е. формируют одно частичное произведение, к нему с соответствующим сдвигом прибавляют следующее и т.д. (т.е. не формируют все частичные произведения, а потом их складывают). В зависимости от того, с какого частичного произведения начинается суммирование (старшего или младшего), сдвиг текущей суммы осуществляется влево или вправо. При умножении целых чисел для фиксации результата в
разрядной сетке число разрядов должно равняться сумме числа разрядов в X и Y.
Рассмотрим на примере два машинных варианта выполнения умножения целых чисел: начиная со старшего частичного произведения (“старшими разрядами вперед”) и
начиная с младшего частичного произведения (“младшими разрядами вперед”).
Пример:
Найдем произведение двух чисел X*Y=1101(2)*1011(2)=13(10)*11(10)= 143(10).
Обозначим Pi - i-ое частичное произведение.
1. Умножение старшими разрядами вперед.
26
Y=
1 011
1101
11010
+
0000
11010
110100
+
1101
1000001
10000010
+
1101
10001111
P4
сдвиг на 1 разряд влево
P3
сумма P4 + P3
сдвиг на 1 разряд влево
P3
P2
сумма P4+P3+P2
сдвиг на 1 разряд влево
P
P31
сумма P4+P3+P2+P1 (результат) = 143(10)
2. Умножение младшими разрядами вперед.
Y=
1011
+
+
1101
P1
01101
сдвиг на 1 разряд вправо
P2
1101
100111 сумма P1 + P2
100111 сдвиг на 1 разряд вправо
P3
P3
0000
100111 сумма P1+P2+P3
0100111 сдвиг на 1 разряд вправо
+
P4
P3
10001111 сумма P1+P2+P3+P4 (результат)=143(10)
1
1101
2.5.4. Деление
Деление - операция, обратная умножению, поэтому при делении двоичных чисел,
так же как и в десятичной системе счисления, операция вычитания повторяется до тех
пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом.
Пример:
Вычислить 204(10) /12(10) в двоичном коде.
27
204(10)=11001100(2); 12(10)=1100(2)
-11001100 1100
1100
10001, т.е. результат 10001(2)=17(10)
01
- 0
011
- 0
110
- 0
- 1100
1100
0
Таким образом, процедура деления не так проста для машинной реализации, как
операция умножения, поскольку постоянно приходится выяснять, сколько раз делитель
укладывается в определенном числе. В общем случае частное от деления получается
дробным, причем выбор положения точки совершенно аналогичен тому, как это делается
при операциях с десятичными числами.
Пример: Вычислить 1100.011(2)/10.01(2) .
- 1100011 10010
10010
101.1
-11011
10010
- 10010
10010
0
2.6. Прямой, обратный и дополнительный коды
В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов упрощается определение знака результата операции. Операция вычитания (или алгебраического сложения)
чисел сводится к арифметическому сложению кодов, облегчается выработка признаков
переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства ЭВМ, выполняющие арифметические операции.
Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.
Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из
них представляет положительные числа, другой - отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально
просто.
Наиболее распространенным и удобным является формирование кодов таким образом, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел, т.е. использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде как о знаковом
(бит знака) и об остальных как о цифровых разрядах кода.
28
2.6.1. Прямой код
Это обычный двоичный код, рассмотренный в разделе двоичной системы счисления.
Если двоичное число является положительным, то бит знака равен 0, если двоичное
число - отрицательное, то бит знака равен 1. Цифровые разряды прямого кода содержат
модуль представляемого числа, что обеспечивает наглядность представления чисел в
прямом коде (ПК).
Рассмотрим однобайтовое представление двоичного числа. Пусть это будет 28 (10). В
двоичном формате - 0011100(2) (при однобайтовом формате под величину числа отведено 7 разрядов). Двоичное число со знаком будет выглядеть так, как показано на рис. 2.1.
+28(10)=00011100(2)
0
модуль
a)
–28(10)=10011100(2)
1
модуль
б)
Рис. 2.1. Формат двоичного числа со знаком в прямом коде
а - положительное число; б - отрицательное
Сложение в прямом коде чисел, имеющих одинаковые знаки, достаточно просто:
числа складываются, и сумме присваивается знак слагаемых. Значительно более сложным является алгебраическое сложение в прямом коде чисел с разными знаками. В этом
случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание модулей и присваивать разности знак большего по модулю числа. Такую операцию значительно проще выполнять, используя обратный и дополнительный коды.
2.6.2. Обратный код
В обратном коде (ОК), также как и в прямом коде, для обозначения знака положительного числа используется бит, равный нулю, и знака отрицательного - единице. Обратный код отрицательного двоичного числа формируется дополнением модуля исходного числа нулями до самого старшего разряда модуля, а затем поразрядной заменой всех
нулей числа на единицу и всех единиц на нули. В знаковом разряде обратного кода у положительных чисел будет 0, а у отрицательных - 1.
На рис. 2.2 приведен формат однобайтового двоичного числа в обратном коде.
+28(10)=00011100(2)
0
модуль
a)
–28(10)=11100011(2)
1 инверс.модуль
б)
Рис. 2.2. Формат двоичного числа со знаком в обратном коде
а - положительное число; б – отрицательное
В общем случае ОК является дополнением модуля исходного числа до наибольшего
числа без знака, помещенного в разрядную сетку.
Алгоритм формирования ОК очень прост, при этом ОК позволяет унифицировать
операции сложения и вычитания в АЛУ, которые в прямом коде выполняются по-разному.
Однако работа с ОК вызывает ряд трудностей. В частности, возникают два нуля: +0 и -0,
т.е. в прямом коде (в котором представлены положительные числа) имеет место (+0) =
000...0, а в обратном коде (в котором представлены отрицательные числа): (-0) = 111...1.
Кроме того, в операциях сложения и вычитания требуется дополнительная операция
по прибавлению бита переноса в младший разряд суммы. Рассмотрим правила алгебраического сложения в ОК (поскольку А-В=А+(-В)). Алгоритм сложения в ОК включает в себя:

сложение кодов, включая знаковый разряд;
29

прибавление переноса к МЗР (младшему значащему разряду) суммы.
Пример:
Вычислить выражение -3(10) -2(10).
Прямой код
-3(10) 1 011
+
+
-2(10) 1 010
Обратный код
Измен.
1 100
+
1 101
11 001 =1010 Бит знака равен 1, следовательно, результат
отрицательный в ОК.
перенос
Результат в ПК имеет
вид: 1101 или -5(10)
Измен.
Пример:
Вычислить 7(10) -3(10).
Прямой код
Обратный код
7(10)
0 111 Не измен.
+
+
-3(10) 1 011 Измен.
0 111
+
1 100
10 011 =0100 Бит знака равен
0, следовательно,
результат
полоперенос
жительный +4(10) в
ПК.
Указанные трудности привели к тому, что в современных ЭВМ абсолютное большинство операций выполняется в дополнительном коде.
2.6.3. Дополнительный код
Дополнительный код (ДК) строится следующим образом. Сначала формируется обратный код (ОК), а затем к младшему разряду (МЗР) добавляют 1. При выполнении
арифметических операций положительные числа представляются в прямом коде (ПК), а
отрицательные числа - в ДК, причем обратный перевод ДК в ПК осуществляется аналогичными операциями в той же последовательности. На рис. 2.3 рассмотрена цепь преобразований числа из ПК в ДК и обратно в двух вариантах.
ПК (-) инверс
числа (кроме
знака)
ОК
инверс
ПК
модуль
ОК
+1
ДК
(-)
+1
ДК
инверс
(кроме
знака)
инверс
ДК
+1
ПК (-)
числа
ДК
+1
ПК
модуль
(-)
Рис. 2.3. Два варианта преобразования чисел из ПК в ДК и обратно
Пример:
Число -5(10) перевести в ДК и обратно (первый вариант).
30
1 101 ПК (-)
1 011 ДК (-)
1 010 ОК (-)
+
1
1 011 ДК (-)
1 100 ДК (-)
+
1
1 101 ПК (-)
Пример:
Число -5(10) перевести в ДК и обратно (второй вариант).
0 101 мод. ПК
1 010 ОК (-)
+
1
1 011 ДК (-)
1 011 ДК (-)
0 100 ДК
+
1
0 101 мод. ПК
Использование ДК для представления отрицательных чисел устраняет двусмысленное представление нулевого результата (возникновение двух нулей: +0 и -0), так как -0
исчезает.
В общем случае использованием ДК для записи отрицательных чисел можно перекрыть диапазон десятичных чисел от –2k-1 до +2k-1-1, где k - число используемых двоичных разрядов, включая знаковый. Так, с помощью одного байта можно представить десятичные числа от -128 до +127, либо только положительные числа от 0 до 255 (здесь под
положительными числами понимаются числа без знака). В табл.1 приведены 4разрядные двоичные числа от 0000 до 1111 и десятичные числа в случае представления
их со знаком и без знака. Из этой таблицы следует, что в формате 4-разрядного двоичного числа могут быть представлены десятичные числа со знаком в диапазоне от -8 до +7
или десятичные числа без знака в диапазоне от 0 до +15.
Оба этих способа представления чисел (со знаком и без знака) широко используются в ЭВМ.
Таблица 1
Представление десятичных чисел одним полубайтом
4-х разрядное
двоичное число
0000
0001
....
ПК
0110
0111
1000
1001
1010
....
ДК
1110
1111
десятичные эквиваленты двоичного числа со знаком
+0
+1
...
+6
+7
-8
-7
-6
...
-2
-1
десятичные эквиваленты двоичного числа без знака
0
1
...
6
7
8
9
10
...
14
15
В ЭВМ используется быстрый способ формирования ДК. Его суть заключается в
следующем. Двоичное число в ПК просматривается от МЗР к СЗР. Пока встречаются нули, их копируют в одноименные разряды результата. Первая встретившаяся единица
также копируется в соответствующий разряд, а каждый последующий бит исходного числа заменяется на противоположный (0 - на 1, 1 - на 0).
Пример:
Число –44(10) (10101100 (2)) перевести в ДК и обратно.
31
Проверка:
1
0101
100
ПК
1 0101100
инверсия
инвертируется сохраняется
1
1010
100
1 1010011
+
1
1 1010100
ДК
инвертируется сохраняется
1
0101
100
ПК
ОК
ДК
ПК
Пример:
Перевести в ДК модуль числа -44.
0 0101
100
Инверс.
Сохран.
1 1010
100
ПК числа без знака
ДК (-44)
Как видно из примеров, результаты, полученные при преобразовании обоими методами, совпадают.
2.6.4. Сложение и вычитание в дополнительном коде
При выполнении арифметических операций в современных ЭВМ используется
представление положительных чисел в прямом коде (ПК), а отрицательных - в обратном
(ОК) или в дополнительном (ДК) кодах. Это можно проиллюстрировать схемой на рис. 2.4.
ПК
ОК
ДК
0 Мод.дв.числа
0 Мод.дв.числа
0 Мод.дв.числа
а)
1 Мод.дв.числа
1 Мод.дв.числа
1
ОК+1МЗР
б)
Рис. 2.4. Представление чисел в ЭВМ:
а) - положительное число; б) - отрицательное число
Общее правило. При алгебраическом сложении двух двоичных чисел, представленных обратным (или дополнительным) кодом, производится арифметическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса прибавляется к МЗР суммы кодов при использовании ОК и отбрасывается при использовании ДК. В результате получается алгебраическая сумма в обратном (или дополнительном) коде.
Рассмотрим подробнее алгебраическое сложение для случая представления отрицательных чисел в ДК.
При алгебраическом сложении чисел со знаком, результатом также является число
со знаком. Суммирование происходит по всем разрядам, включая знаковые, которые при
этом рассматриваются как старшие. При возникновении переноса из старшего разряда
единица переноса отбрасывается и возможны два варианта результата:

знаковый разряд равен нулю: результат - положительное число в ПК;

знаковый разряд равен единице: результат - отрицательное число в ДК.
32
Для определения абсолютного значения результата, его необходимо инвертировать,
затем прибавить единицу.
Пример:
Вычислить алгебраическую сумму 58 - 23.
58(10)  0011 1010(2)
-28(10)  1001 0111(2)
1110 1001(2)
- ПК
- ПК
- ДК
Число отрицательное - необходимо перевести в ДК (быстрый
перевод)
0011 1010
Перенос из знакового разряда отбрасываем.
+
Число является положительным в ПК.
1110 1001
1  0010 0011(2) (ПК) = 35(10)
перенос
Пример:
Вычислить алгебраическую сумму 26 - 34.
26(10)  0001 1010(2)
-34(10)  1010 0010(2)
1101 1110(2)
.
0001 1010
+
1101 1110
0  1111 1000(2)
перенос
- ПК
- ПК
- ДК
Быстрый перевод
Перенос из знакового разряда отсутствует. Число отрицательное в ДК, так как
знаковый разряд равен 1.
.Вычислим результат, преобразовав его из ДК в ПК :
1111 1000(2)
1000 0111
+
1
1000 1000(2)
(ДК)
Инверсия всех разрядов, кроме знакового
(ПК) = - 8(10)
Пример:
Вычислить алгебраическую сумму -5 - 1.
33
-5(10)  1101 (ПК) 1011 (ДК)
-1(10)  1001 (ПК) 1111 (ДК)
1011
+
1111
1  1010 (2)
перенос
Перенос из знакового разряда отбросить.
Число отрицательное в ДК, так как знаковый
разряд равен 1.
Запишем результат, преобразовав его из ДК в ПК:
1010(2)
(ДК)
1101
Инверсия значащих разрядов (кроме знакового)
+
1
1110(2) (ПК) = - 6(10)
2.6.5. Признак переполнения разрядной сетки
При алгебраическом суммировании двух чисел, помещающихся в разрядную сетку,
может возникнуть переполнение, то есть образуется сумма, требующая для своего представления на один двоичный разряд больше, чем разрядная сетка слагаемых. Предполагается, что положительные числа представляются в прямом коде, а отрицательные  в
дополнительном.
Признаком переполнения является наличие переноса в знаковый разряд суммы при
отсутствии переноса из знакового разряда (положительное переполнение) или наличие
переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в знаковый разряд (отрицательное переполнение).
При положительном переполнении результат операции положительный, а при отрицательном переполнении - отрицательный.
Если и в знаковый, и из знакового разряда суммы есть переносы или этих переносов нет, то переполнение отсутствует.
Рассмотрим простейшие примеры с трехбитовыми словами. Диапазон чисел, которые они представляют, равен от -4 до +3. В рассматриваемых словах 1 бит знака и 2 информационных бита.
1. Алгебраическое суммирование без переноса.
2+1=3
2(10)  010(2) ПК
1(10)  001(2) ПК
010(2)
001(2)
0 011(2)
+
ПК = 3(10)
0
перенос
Так как перенос в знаковый разряд или из знакового разряда суммы отсутствует, то
переполнения нет.
Результат - положительное число в ПК, равное 3.
2. Алгебраическое суммирование с двумя переносами.
34
-3-1=-4
-3(10)  111(2) ПК 101(2) ДК
-1(10)  101(2) ПК 111(2) ДК
101(2)
+111
(2)
1 100(2)
1
ДК=-4(10)
перенос
Имеются переносы в знаковый разряд и из знакового разряда вычисляемой суммы,
поэтому переполнения нет.
Результат - отрицательное число в ДК, равное - 4.
3. Алгебраическое суммирование с одним переносом.
(Положительное переполнение).
2+2=4
2(10)  010(2) ПК
2(10)  010(2) ПК
010(2)
+010
(2)
0 100(2)
ДК = ?(10)
1
перенос
При суммировании есть перенос в знаковый разряд суммы, а перенос из знакового
разряда отсутствует. Т.е. имеет место положительное переполнение и результат операции положительный.
Число 4 нельзя представить в прямом коде. Формальный результат равен -4.
4. Алгебраическое суммирование с одним переносом.
(Отрицательное переполнение).
-3-2=-5
-3(10)  111(2) ПК 101(2) ДК
-2(10)  010(2) ПК 110(2) ДК
101(2)
+110
(2)
1 011(2)
ДК=?(10)
0
перенос
Число -5 нельзя представить 3-битовой комбинацией. Формальный результат равен
+3.
Из рассмотренных ранее примеров видно, что арифметические операции в дополнительном коде выполняются достаточно просто. Необходимо только не упускать из виду
то, с какими числами происходит работа в данный момент - без знака или со знаком. Поскольку внешний вид обоих чисел одинаков, возможны ошибки.
2.6.6. Деление в дополнительном коде
Деление в дополнительном коде осуществляется по тем же правилам, что были
описаны в пункте 5.4. раздела "Двоичная арифметика". Но обычный метод деления
“столбиком” для ЭВМ не пригоден. Для ЭВМ используются более громоздкие методы деления, которые здесь не рассматриваются. Информацию о них можно найти в литературе, приведенной в конце главы.
2.6.7. Правило перевода из дополнительного кода в десятичную систему
Перевод чисел из дополнительного кода в десятичную систему можно проводить по
схеме, приведенной на рис. 2.5.
35
ДК
Десятичная система
счисления
ПК
Рис. 2.5. Схема перевода из ДК в десятичную систему
Однако существует прямой способ перевода числа из ДК в десятичную систему без
использования промежуточного перевода в ПК.
Рассмотрим машинное слово произвольной длины (рис. 2.6). При прямом способе
перевода десятичное число со знаком формируется как сумма разрядов со своими весами и знаками (старший N-й разряд имеет отрицательный вес).
Номер разряда
N-1 N-2 N-3
...
1
0
Знак
N-1
Вес разряда
-2
N-2
2
N-3
2
1
2
0
2
Рис. 2.6. Машинное слово длиной N
Проиллюстрируем перевод чисел из ДК в десятичную систему счисления примерами.
Пример:
Перевести число 1110 из ДК в десятичную систему.
1 1 1 0(2) (ДК) = -8+4+2 = -2(10)
Вес 
3
2
1
0
-2 2 2 2
Можно проверить правильность перевода, используя промежуточный перевод числа
в ПК:
1 110
число в ДК
инверсия
1 001
+
1
1 010
число в ПК, т.е. 1010(2) = -(0+21+0) = -2(10)
Пример:
Перевести число 101100 из ДК в десятичную систему.
101100(2) (ДК) = -25+23+22 = -32+8+4 = -20(10)
Проверим:
1 01100
число в ДК
инверсия
1 10011
+
1
1 10100
число в ПК, т.е.
110100(2)=-(24+22)=-20(10)
2.6.8. Модифицированные коды
Эти коды отличаются от прямого, обратного и дополнительного кодов тем, что на
изображение знака отводится два разряда: если число положительное - 00, если число
36
отрицательное - 11. Такие коды оказались удобны (с точки зрения построения АЛУ) для
выявления переполнения разрядной сетки. Если знаковые разряды результата принимают значение 00 и 11, то переполнения разрядной сетки не было, а если 01 или 10 - то было переполнение. Вернемся к примерам в п.п. 2.6.5.
2+1=3
-3 - 1 = -4
+0010
0001
0011
+1101
1111
1100
В этих примерах
переполнения нет
– знаковые –
разряды
2+2=4
-3 - 2 = -5
+0010
0010
0110
+1101
1110
1011
В этих примерах
переполнение есть
– знаковые –
разряды
Следует иметь ввиду, что в предыдущих разделах рассмотрены только основные
принципы выполнения арифметических операций, из которых видно, что все арифметические операции с двоичными числами могут быть сведены к двум операциям - операциям суммирования двоичных чисел в прямом или дополнительном кодах, а также операциям сдвига двоичного числа вправо или влево. Реальные алгоритмы выполнения операций умножения и деления в современных ЭВМ достаточно громоздки и здесь не рассматриваются.
2.6.9. Арифметика повышенной точности
Проблема точности возникает, как правило, при работе с микро- и мини-ЭВМ, имеющих небольшую длину машинного слова (1-2 байта). Рассмотрим микропроцессор, работающий со словами длины 1 байт. Этот формат позволяет представить целые числа в
диапазоне от -128 до 127. Очевидно, что для решения большинства задач такого диапазона чисел недостаточно. Использование двух однобайтовых слов (16 бит) позволяет
представить уже числа в диапазоне от -32768 до 32767. Это так называемые числа с
двойной точностью. Иногда используются числа тройной точности (1 бит - знак и 23 бита
для модуля числа). Это обеспечивает диапазон уже от -8388608 до 8388607, т.е. точность
существенно повышается.
Однако при работе с арифметикой повышенной точности требуется больший объем
памяти для хранения того же объема данных и более интенсивная работа процессора.
Увеличение объема требуемой памяти достаточно очевидно. Рассмотрим очень коротко
последовательность операций при сложении чисел с тройной точностью. Здесь уже недостаточно извлечь два слова из памяти, сформировать сумму в аккумуляторе и переслать
результат в однобайтовую ячейку памяти. Сначала необходимо произвести обращение к
младшему значащему байту каждого числа. После сложения результат записывается в
память, а возможные при этом переносы подлежат временному хранению. Затем извлекаются средние по значимости байты, их складывают и к сумме добавляют биты переноса, полученные в результате предыдущей операции. Результат записывается в память на
место, специально зарезервированное для среднего байта суммы. Со старшим байтом
поступают аналогично.
37
Таким образом, при использовании арифметики тройной точности требуется в три
раза больше объем памяти и время на операции сложения по сравнению с арифметикой
одинарной точности. Кроме того, в случае возникновения прерываний, необходимо временно хранить содержимое регистра переносов. (То же самое для вычитания, умножения
и деления).
2.7. Представление дробных чисел в ЭВМ числа с фиксированной и
плавающей запятой
В ЭВМ числа представлены в двоичной форме и под число отводится N разрядов. Nразрядное двоичное число называют машинным словом. Диапазон представления чисел
можно расширить за счет использования машинных слов двойной и тройной длины. Но
увеличение длины слова не может разрешить всех проблем представления чисел. Рассмотрим как обращаться с дробной частью числа, как представлять очень большие и
очень маленькие числа.
В зависимости от типа ЭВМ, используют две формы представления чисел:


числа с плавающей запятой (точкой), которые сокращенно называются ЧПЗ;
числа с фиксированной запятой (ЧФЗ), которые подразделяются по месту фиксации
запятой на:
- слева от СЗР (дробные |X| < 1);
- справа от МЗР (целые).
2.7.1. Числа с фиксированной запятой
Первые ЭВМ были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом. В настоящее время, форму ЧФЗ, как правило, применяют для представления целых чисел (запятая фиксируется после младшего разряда).
По сложившейся традиции, нумерация разрядов в разрядной сетке машин общего назначения (ЕС-ЭВМ) ведется слева направо, а в малых ЭВМ, микро-ЭВМ и микропроцессорах
- справа налево.
Поскольку фиксация точки слева от СЗР в настоящее время практически не используется, рассмотрим только формат представления целых чисел (рис. 2.7.)
Вес
Номер разряда
30
2
знак
0
1
29
2
2
1
2
0
2
30 31
Рис. 2.7. Формат представления целых чисел в ЭВМ общего назначения (ЕС-ЭВМ)
Следует иметь ввиду, что в ЕС-ЭВМ целые числа могут быть представлены как в
формате слова (32 разряда), так и в формате полуслова (16 разрядов).
Используют два варианта представления целых чисел - со знаком и без знака. В последнем случае все разряды служат для представления модуля числа. В ЕС-ЭВМ реализуются оба этих варианта в формате слова и полуслова.
В мини- и микро-ЭВМ разрядность слова меньше (СМ-4, Электроника-60, СМ-1300
слова длиной 16 бит), но формат представления целых чисел аналогичен рассмотренному (рис. 2.8.), за исключением того, что нумерация разрядов осуществляется в другую
сторону.
38
14
2
Вес
2
13
знак
15 14 13
Номер разряда
Вес
2
6
знак
7
6
Номер разряда
2
1
2
1
0
2
0
...
5
1
2
1
0
2
0
...
5
Рис. 2.8. Формат представления целых чисел в мини- и микро-ЭВМ
Следует иметь ввиду, что в мини- и микро-ЭВМ целые числа могут быть представлены как в формате слова (16 или 8 бит), так и в формате двойного слова (32 или 16 бит).
В микро-ЭВМ целые числа часто представляют без знака в формате слова (8 бит) или
двойного слова. В современных ЭВМ, как правило, слова содержат целое число байт,
кратное степени двойки (1,2,4 . . . байта).
Рассмотрим диапазон представления чисел с фиксированной запятой (только целых чисел, т.е. точка фиксирована справа от МЗР). Если в разрядной сетке N разрядов,
то под модуль числа отводится N-1 разряд (число со знаком). Самое большое по модулю
число, записанное в такой сетке, имеет вид:
N-2
0
Номер разряда
|X|max = 1 1 1 1 . . . 1
+
1
1
N-1
N-1
N-1  1 0 0 0 0 . . . 0 =2 ;  |X|max +1 = 2
разряд
0
Следовательно, |X|max = 2N-1 -1 или 0 |X| 2N-1 - 1.
При записи отрицательных чисел в дополнительном коде наибольшее по модулю
отрицательное число - это -2N-1. Но модуль этого числа при такой же разрядной сетке (N
бит) получить уже нельзя. Поэтому диапазон представления десятичных чисел Nразрядным двоичным числом определяется следующим выражением:
-2N-1X 2N-1-1
В табл. 2. приведены диапазоны представления десятичных чисел 8-, 16- и 32разрядными двоичными числами.
Таблица 2
N
Xmax
Xmin
8
127
-128
16
32767
-32768
32
109
-109
При решении расчетных задач на ЭВМ с фиксированной точкой, для предотвращения переполнения разрядной сетки при подготовке задач к решению на ЭВМ приходится
вводить масштабные коэффициенты, которые не позволяют числам, участвующим в решении, и результатам превышать по модулю максимальное машинное число.
В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется
как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным
возможностям машинах. Подобные ЭВМ применяют в системах передачи данных, для
управления технологическими процессами, для обработки измерительной информации в
реальном масштабе времени, для построения кодирующих и декодирующих устройств в
39
каналах связи. В ЭВМ общего назначения основным является представление чисел с
плавающей запятой.
2.7.2. Числа с плавающей запятой
Представление чисел в виде ЧПЗ позволяет избавиться от операции масштабирования при вычислениях, поскольку диапазон представляемых чисел существенно расширяется по сравнению с ЧФЗ. Однако, в большинстве ЭВМ общего назначения, для целых
чисел сохраняется возможность представления в виде ЧФЗ. Операции с ЧФЗ всегда выполняются за меньшее время, чем операции с ЧПЗ. В частности, к операциям с целыми
числами сводятся операции над кодами адресов (операции индексной арифметики).
Представление чисел с плавающей запятой в общем случае имеет вид:
где
X = SP*q;
q - мантисса (правильная дробь со знаком),
p - порядок (целое число со знаком),
S - основание,
SP - характеристика.
|q|<1,
В ЭВМ q и p представлены в системе счисления с основанием S в соответствующей
двоичной кодировке. Знак числа совпадает со знаком мантиссы. Порядок может быть как
положительным так и отрицательным и определяет положение точки в числе X. Арифметические действия над ЧПЗ требуют, помимо действий с мантиссами, определенные операции над порядками (сравнение, вычитание и др.). Для упрощения операций над p их
сводят к действиям над целыми положительными числами, применяя представление ЧПЗ
со смещенным порядком.
В этом случае к порядку p прибавляют целое число R=2k, где k - число двоичных
разрядов, используемых для представления модуля порядка. Смещенный порядок
PСМ=P+R всегда больше или равен нулю. Для его представления требуется такое же количество двоичных разрядов, как и для представления знака и модуля p.
При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в
ЭВМ нормализованным числом с наибольшей возможной точностью. Число называется
нормализованным, если мантисса q удовлетворяет условию: 1>|q|1/S, т.е. старший разряд мантиссы в S-ричной системе счисления отличен от нуля, иначе число ненормализованно. Так, например, в десятичной системе счисления число 0.00726*10-3 - ненормализовано, а число 0.726*10-5 - нормализовано.
В процессе вычислений числа могут оказаться ненормализованными. Обычно ЭВМ
автоматически нормализует такие числа, выполняя ряд действий. На рис. 2.9. представлен обобщенный формат представления ЧПЗ в микро- и мини - ЭВМ.
N-1
знак PСМ
1 k+1
0
q
N-k-2
Рис. 2.9. Формат представления ЧПЗ в мини- и микро-ЭВМ
Пусть r старших разрядов S - ричной мантиссы равны нулю. Тогда нормализация
состоит из:
- сдвиг мантиссы на r разрядов влево;
- уменьшение PСМ на r единиц;
- в r младших разрядов мантиссы записываются 0.
При этом число не изменяется, а условия нормализации выполняются.
40
Пример:
Нормализовать двоичное число. Ненормализованное двоичное число:
1
001*0.010=(2 *0.25)(10)=0.5(10)
p
q
Нормализованное двоичное число:
Pнорм=p-1;
q - сдвиг на 1 разряд влево
0
000*0.100=(2 *0.50)(10)=0.5(10)
pнорм qнорм
Пример:
Нормализовать двоичное число. Ненормализованное двоичное число:
3
011*0.011=(2 *0.375)(10)=3(10)
p
q
Нормализованное двоичное число:
Pнорм=p-1;
q - сдвиг на 1 разряд влево
2
010*0.110=(2 *0.750)(10)=3(10)
pнорм qнорм
Следует иметь ввиду, что нормализация может происходить в другую сторону, если
в результате выполнения операции слева от точки появилась единица. В этом случае
необходимо выполнить следующие операции:
- сдвиг мантиссы на один разряд вправо;
- увеличение PСМ на единицу.
В различных ЭВМ числа с плавающей запятой используются в системах счисления
с различными основаниями S, но равными целым степеням числа 2, т.е. S=2W. При этом
порядок представляют целым числом, а мантиссу q - числом, в котором группы по Wдвоичных разрядов изображают цифры мантиссы с основанием системы счисления S=2W.
В современных ЭВМ используются, как правило, S = 2, 8, 16, при этом числа представляются следующим образом:
X=2P. q
(1>|q|1/2) микро- и мини-ЭВМ;
X=8P. q
(1>|q|1/8) мини-ЭВМ;
X=16P. q
(1>|q|1/16) ЭВМ общего назначения типа ЕС.
В скобках указаны условия получения нормализованных чисел.
Использование S>2 позволяет:
- расширить диапазон представления чисел;
- ускорить выполнение операций нормализации, поскольку сдвиг может сразу происходить на несколько разрядов (при S=16 - сдвиг на 4 разряда).
Пример:
В результате операции получили (S=16):
41
порядок
мантисса
8
2
6
(10)
X=1000 * 0.0000 0101 = 16 *5/16 =5*16
0
8(10)
5(10)
вес: 1/16 1/162
Произведем нормализацию. Для этого q нужно сдвинуть влево на один шестнадцатеричный разряд, т.е. на 4 двоичные единицы, а из P вычесть 1. В результате получим:
7
6
(10)
X=0111 * 0.0101 = 16 *5/16=5*16
7(10)
5(10)
вес: 1/16
Аналогичный пример можно привести и для S=8, но тогда сдвиг будет осуществляться на 3 двоичных разряда.
Итак, диапазон представляемых в ЭВМ чисел с плавающей запятой зависит от основания системы счисления S и числа разрядов, выделенных для P. Точность вычисления при ЧПЗ определяется числом разрядов q. С увеличением числа разрядов q увеличивается точность, но одновременно увеличивается и время выполнения арифметических операций. Поэтому использование S, отличного от 2, несколько уменьшает точность
вычислений при фиксированном числе двоичных разрядов q.
Задачи, решаемые на ЭВМ, предъявляют различные требования к точности вычисления. Поэтому большинство машин общего назначения имеют несколько форматов ЧПЗ
с различным числом разрядов q. Рассмотрим только короткие форматы ЧПЗ в ЕС- микро- и мини - ЭВМ (СМ-4).
Формат ЧПЗ в ЕС-ЭВМ представлен на рис. 2.10.
Модуль мантиссы шестнадцатиричный
знак PСМ d1 d2
1...7 8...11 12...15
0
...
d5
d6
24...27 28...31
Рис. 2.10. Формат ЧПЗ в ЕС-ЭВМ
d - шестнадцатеричные цифры, состоящие из 4-х бит.
Всего под q отведено 24 двоичных разряда. Общая длина слова N - 32 двоичных
разряда. Еще есть длинный формат (64 бита) и расширенный (128 бит). Во всех форматах под PСМ отведено по 7 двоичных разрядов (с первого по седьмой). Если бы порядок
был несмещенный, то один двоичный разряд отводился бы под знак порядка и k разрядов
- под модуль (k = 6). При этом диапазон изменения модуля несмещенного порядка P составил бы 0  2k-1 или 0  63, а полный диапазон изменения порядка
Р = (-64)  (+63).
Выражение для смещенного порядка соответственно имеет вид:
PCM  P  R  2k  1  2k  2k 1  1
Таким образом, в ЕС-ЭВМ диапазон изменения PСМ = 0  127.
Следует иметь ввиду, что при изображении машинного слова с помощью шестнадцатеричных символов первые две старшие шестнадцатеричные цифры представляют
совместно знак числа и смещенный порядок.
Формат ЧПЗ в мини-ЭВМ (СМ-4, СМ-1300, "Электроника-60") представлен на рис.
2.11.
42
Модуль мантиссы двоичный
знак PСМ
31
q (23 разряда)
30...23 22
0
Рис. 2.11. Формат ЧПЗ в мини-ЭВМ
Общая длина слова N - 32 двоичных разряда. Есть еще длинный формат (СМ-4),
имеющий N = 64 бита. В обоих форматах под смещенный порядок отведено 8 двоичных
разрядов. Таким образом, диапазоны изменения смещенного и несмещенного порядков
составляют соответственно:
PСМ = 0...255 и P = -128...+127
Поскольку числа в памяти всегда хранятся в нормализованной форме, старший разряд q всегда равен единице. Поэтому он не запоминается, а подразумевается. Следовательно, в таких ЭВМ точность представления числа фактически определяется мантиссой
q в 24 двоичных разряда (короткий формат) и 56 двоичных разрядов (длинный формат).
Рассмотрим только короткие форматы.
Диапазон представления ЧПЗ определяется значением S и числом разрядов, отведенных под P.
Двоичное основание (микро- и мини-ЭВМ):
(k=7) Xmax=2127 1038
Шестнадцатеричное основание (ЕС-ЭВМ):
(k=6) Xmax=1663 1076
Точность представления ЧПЗ определяется значением S и числом разрядов мантиссы в соответствующей системе счисления. И в ЕС-ЭВМ, и в мини-ЭВМ под q отведено
фактически 24 двоичных разряда:

в мини-ЭВМ: 24 двоичных разряда обеспечивают точность, соответствующую семи
десятичным разрядам;

в ЕС-ЭВМ: точность при использовании короткого слова (N = 32) ниже за счет другого
способа нормализации. То есть в q могут быть три нуля слева, поскольку шестнадцатеричное число при этом еще не равно нулю. В двоичных числах слева всегда единица, то есть разрядная сетка используется полнее. Пояснить это можно на примере 8разрядной сетки.
0.0001 0101 1111
ЕС-ЭВМ
0.1010 1111 1
микро-ЭВМ
В ЕС-ЭВМ нормализация не произойдет, т.к. d1 не равно нулю. Это приведет к потере четырех младших разрядов результата (ЕС-ЭВМ). В микро-ЭВМ нормализация произойдет и будет потерян только один младший разряд результата.
Поэтому в ЕС-ЭВМ и предусматриваются еще длинный и расширенный форматы.
2.7.3. Сложение (вычитание) ЧПЗ
Требуется вычислить Z=XY, при условии, что |X||Y|. Формальное выражение для
выполнения этой операции можно записать следующим образом:
43
qy
P
P
P
P
Z  X  Y  q x  S x  q y  S y  S x (q x 
)  qz  S z
(Px - Py )
S
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:
1. Производится выравнивание порядков. Порядок меньшего по модулю числа принимается равным порядку большего, а мантисса меньшего числа сдвигается вправо на
число S-ричных разрядов, равное разности (Px-Py), т.е. происходит денормализация.
2. Производится сложение (вычитание) мантисс, в результате чего получается мантисса суммы (разности).
3. Порядок результата равен порядку большего числа.
4. Полученный результат нормализуется.
Пример:
Сложить два числа (ЧПЗ) Z=X+Y для S = 2.
PX
X  010
qX
0.11
22*0.75=3(10)
PY
Y  001
qY
0.10
2 *0.5=1(10)
1.
2.
3.
4.
010
0.01
+0.11
1.00
010 1.00
qZ
PZ
011 0.10
Z=011
1
- выравнивание порядка Y
- qx
- ненормализованное значение Z
- нормализованное значение Z
3
0.10 = 2 * 0.5= 4(10)
В общем случае сложение и вычитание q производится по правилам сложения и вычитания чисел с фиксированной точкой, т.е. с использованием прямого, обратного и дополнительного кодов.
Операции сложения и вычитания чисел с плавающей запятой, в отличие от операций с фиксированной запятой, выполняются приближенно, т.к. при выравнивании порядков происходит потеря младших разрядов одного из слагаемых (меньшего) в результате
его сдвига вправо (погрешность всегда отрицательна).
2.7.4. Умножение ЧПЗ
Требуется вычислить Z  X  Y . Формальное выражение для выполнения этой операции можно записать следующим образом:
Z=X*Y=qxSPx*qySPy= qxqyS(Px+Py)=qzSPz
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:
1. Мантиссы сомножителей перемножаются;
2. Порядки сомножителей складываются;
3. Произведение нормализуется;
44
4. Произведению присваивается знак, в соответствии с алгоритмом, приведенным
для ЧФЗ, а именно:
X  X * Y  sign( X) * X * Y ;
, sign( X)  sign( Y )
sign( Z)  
, sign( X)  sign( Y )
В данном случае имеется в виду способ умножения, предполагающий отделение от
сомножителей их знаковых разрядов и раздельное выполнение действий над знаками и
модулями чисел. Однако на практике в современных ЭВМ используют алгоритмы, не требующие раздельных операций над знаками и модулями, например алгоритм Бута. Информацию о них можно найти в литературе, приведенной в конце главы.
Рассмотрим простейший раздельный алгоритм перемножения ЧПЗ.
Умножение ЧПЗ сводится к следующим операциям:
- алгебраическое суммирование порядков - это операции над целыми числами или
ЧФЗ с фиксацией точки справа от МЗР;
- перемножение мантисс - это операции над правильными дробями или над ЧФЗ с
фиксацией точки слева от СЗР;
- определение знака произведения.
Операции над целыми числами были рассмотрены ранее. Теперь рассмотрим только перемножение правильных дробей. Вручную дроби можно перемножать столбиком.
Подсчет знаков в дробной части такой же, как и при перемножении десятичных дробей. В
ЭВМ для перемножения мантисс (как и для целых чисел), возможны два варианта перемножения: "старшими разрядами вперед" и "младшими разрядами вперед".
Если требуется сохранить все разряды, то в устройстве, формирующем произведение, число разрядов должно равняться сумме числа разрядов множителя и множимого.
Однако часто в произведении требуется сохранить то же количество разрядов, что и в
множимом. Это приводит к потере младших разрядов.
Рассмотрим пример перемножения двух чисел "младшими разрядами вперед" для
случая, когда разрядная сетка результата соответствует разрядной сетке сомножителей.
Пример:
Вычислить Z=X*Y=0.1101(2) * 0.1011(2) = 0.8125(10) * 0.6875(10) = 0.55859375(10)
45
X= 0. 1 1 0 1
Y= 0. 1 0 1 1
0.1101
0.0110 1
P1
сдвиг на 1 разряд вправо
0.1101
1.0011 1
0.1001 11
0.0000
0.1001 11
0.0100 111
P2
сумма P1 + P2
сдвиг на 1 разряд вправо
P3
P3
сумма P1+P2+P3
сдвиг на 1 разряд вправо
0.1101
1.0001 111
0.1000 1111
P
P34
сумма P1+P2+P3+P4
сдвиг на 1 разряд вправо
+
+
+
+
0.0000
0.1000 1111 P
- 3результат
Таким образом, результат Z=0.1000(2)=0.5(10), поскольку последние четыре разряда
потеряны.
При перемножении мантисс (правильных дробей) последнее сложение можно не делать, а ограничиться просто последним сдвигом. Из примера видно, что если разрядная
сетка ограничена числом разрядов X, то результаты правее вертикального пунктира не
фиксируются после выполнения сдвигов. Таким образом, четыре младших разряда будут
потеряны, и результат будет приближенный 0.1000(2). В ряде случаев используется округление по правилу: если старший из отбрасываемых разрядов содержит 1, то к младшему
из сохранившихся разрядов добавляется 1. В данном примере получается число
0.1001(2).
В заключение отметим следующее:

если мантисса X или Y равна 0, то перемножение не проводится и Z=0;

если при суммировании PX и PY возникло переполнение и PZ<0, то это означает, что Z
меньше минимального представляемого в машине числа и Z присваивают 0 без перемножения мантисс;

если при суммировании PX и PY возникло переполнение и PZ>0, может оказаться, что Z
все же находится в диапазоне представляемых в ЭВМ чисел, т.к. после нормализации
полученного qZ переполнение в порядке может исчезнуть.
2.7.5. Методы ускорения умножения
Рассмотренный в предыдущей теме материал показывает, что умножение - это достаточно длинная операция, состоящая из N суммирований и сдвигов, а также выделений
очередных цифр множителя.
Из этого следует актуальность задачи максимального сокращения времени, затрачиваемого на операцию умножения, особенно для систем, работающих в реальном масштабе времени. В современных ЭВМ методы ускорения умножения можно разделить на:
-
аппаратные;
-
логические (алгоритмические);
46
-
комбинированные.
Аппаратные методы.
1. Распараллеливание вычислительных операций. Например, совмещение во времени суммирования и сдвига.
2. Табличное умножение. Это довольно распространенный способ реализации различных функций. Остановимся на нем подробнее.
Пусть X и Y - целые числа длиной в 1 байт. Надо вычислить Z=X*Y. Можно использовать
65
Кбайт
памяти
и
занести
в
них
значения
Z
для
всех
возможных комбинаций X и Y, а сомножители X и Y использовать в качестве адреса. Получается своеобразная таблица следующего вида:
X
Y
Z
00...00
00...00
000...000
8 бит
.........
8 бит
.........
16 бит
.........
.........
11..11
.........
11..11
.........
111..111
Адрес
65 к
Содержание
Алгоритмические методы.
Эти методы разнообразны. Приведем только один пример: в ЕС-ЭВМ (например,
ЕС-1052) используется шестнадцатеричная система счисления, что позволяет за один
такт обрабатывать несколько разрядов множителя (4 разряда). Сдвиги тоже осуществляются на 4 разряда. Следует отметить, однако, что в большинстве случаев алгоритмические методы требуют определенную аппаратную поддержку
Комбинированные методы.
Рассмотрим пример. Пусть X и Y - 16-разрядные числа. Надо вычислить произведение вида: Z=X*Y. Использовать непосредственно табличный метод не удастся, поскольку
для этих целей потребуется очень большой объем памяти. Однако можно представить
каждый сомножитель как сумму двух 16-разрядных слагаемых, каждое из которых представляет группы старших и младших разрядов сомножителей. В этом случае произведение примет вид:
Z= X*Y = (x15 ... x0)*(y15 ... y0) =
= (x15...x8000...0 + 000...0x7...x0)* (y15...y8000...0 + 000...0y7...y0) =
= 216(x15...x8) (y15...y8) + 28(x15...x8) (y7...y0) + 28(x7...x0) (y15...y8) +
+ (x7...x0)*(y7...y0)
Таким образом, произведение раскладывается на простые 8-разрядные сомножители. Эти произведения 8-разрядных операндов вычисляются табличным методом, а затем
следует сдвиг слагаемых сразу на 16,8,8,0 разрядов и суммирование.
2.7.6. Деление чисел с плавающей запятой
Алгоритмы деления чисел с плавающей запятой в настоящем курсе не рассматриваются. Информацию о них можно найти в литературе, приведенной в конце главы.
47
2.8. Десятичная арифметика
Необходимый перевод для ЭВМ десятичных чисел в двоичные и обратно требует
затраты времени и ресурсов. В цифровых устройствах, где основная часть операций связана не с обработкой и хранением информации, а с самим ее вводом и выводом на какиелибо устройства отображения с десятичным представлением полученных результатов,
имеет смысл проводить вычисления в десятичной системе счисления. Но ЭВМ требует
информацию только в двоичной форме. Следовательно, десятичные цифры нужно кодировать каким-либо легко реализуемым и быстрым способом. Для этих целей используется двоично-десятичный код, в котором каждая десятичная цифра 0...9 изображается соответствующим 4-разрядным числом (от 0000 до 1001). Такой код называется еще кодом
8421 (цифры, соответствующие весам двоичных разрядов).
Пример:
Представление десятичного числа в двоично-десятичном коде.
(3
4
0011 0100
7 )(10)
0111
( 347 )(10)=001101000111(2-10)
Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт, т.е. с помощью 1 байта можно
представить десятичные числа от 0 до 99.
Действия над двоично-десятичными числами выполняются как над двоичными.
Сложности возникают при переносе из тетрады в тетраду.
Кроме того, следует отметить, что выполнение сложения и вычитания двоичнодесятичных чисел со знаком сводится к сложению или вычитанию модулей путем определения фактически выполняемой операции по знаку операндов и виду выполняемой
операции. Например, требуется вычислить Z=X - Y, при X<0 и Y<0. Тогда выполняется
операция |Z|=|Y|-|X|, а затем знак |Z| изменяется на противоположный.
2.8.1. Сложение двоично-десятичных чисел
В операции сложения двоично-десятичных чисел участвуют только модули чисел.
Поскольку код одноразрядных двоично-десятичных чисел полностью совпадает с их двоичным кодом, никаких проблем при выполнении операции сложения не возникает. Однако, многоразрядные двоично-десятичные числа не совпадают с двоичными, поэтому при
использовании двоичной арифметики получается результат, в который надо вводить
коррекцию. Рассмотрим это подробнее.
Уже отмечалось, что каждая цифра десятичного числа может быть представлена кодом от 0000 до 1001. Поэтому если при сложении разряда j двоично-десятичного числа
результат меньше, либо равен 9, то коррекция не требуется, т.к. двоично-десятичный код
результата полностью совпадает с его двоичным кодом.
Пример:
Zj=Xj+Yj = 3(10)+5(10),
где j - номер разряда десятичного числа
Xj  0011
+
1000(2-10)=8(10)=1000(2)
Yj  0101
Zj  1000(2-10)
Если при сложении j -тых разрядов чисел результат Zj будет больше или равен 10,
то требуется коррекция результата. Рассмотрим, как машина может идентифицировать
эту ситуацию. Существует два варианта.
Вариант 1.
Zj=10...15 = (1010...1111)
48
Здесь требуется коррекция, т.е. перенос 1 в старший (j+1) десятичный разряд. Необходимость коррекции в этом случае ЭВМ узнает по чисто формальным признакам:
8
r3
1
1
4
r2
1
-
2
r1
1
1
r0
-
Расположение 1 в 4-х разрядах
двоичного числа, которое указывает,
что Zj10
Эту ситуацию можно описать логическим выражением:
f  (r3  r2 )  (r3  r1)  1
Пример:
Zj=Xj+Yj = 5(10)+7(10) , где
j - номер разряда десятичного числа
Xj  0101
+
Yj  0111
Zj  1100
. . (2-10)
5
+
7
1  2(10)
j+1
j
Перенос из разряда j означает в десятичной системе счисления, что Z  Z 10. В
j
j
то же время в двоичной системе счисления перенос 1 из младшей тетрады в старшую
означает, что Z  Z 16. Следовательно, при коррекции имеет место соотношение:
j
j
Zjкор = Zj - 10(10) + 16(10) = Zj + 6(10).
Тогда в рассмотренном выше примере
Zjкор  1100+0110
Zj  1100
т.о., имеем Zjкор=0010
+
и перенос 1 в j+1 разряд
6(10)  0110
Zjкор  1 0010 =12(10)
перенос
Вариант 2.
Zj=16,17,18 = (8+8, 8+9, 9+9)
В этом случае из младшей тетрады в старшую происходит перенос 1 или 16 (10). Но в
десятичной системе счисления переносится в старший разряд только 10. Следовательно,
для компенсации в младший разряд следует прибавить 6.
Пример:
Zj=Xj+Yj = 8(10)+9(10) = 17(10), где j - номер разряда десятичного числа.
Xj 
+
1000
Yj 
1001
Zj  1 0001 (2-10)
перенос
Zj

6(10) 
Zjкор 
+
1 0001
0110
1 0111 =17(10)
Таким образом, можно сформулировать правило, по которому следует осуществлять
коррекцию каждого десятичного разряда результата:
49
если при сложении многоразрядных двоично-десятичных чисел возник перенос из
разряда или f=1, то этот разряд требует коррекции (прибавления 6 (10)). При этом
корректируются все тетрады последовательно, начиная с младшей.
Пример:
Z = X + Y = 927 + 382 = 1309.
X  1001 0010 0111
Y  0011 1000 0010
Z  1100
. . 1010
. . 1001
2-й и 3-й разряды  . . . . . .
результата требуют
+ 0110
- коррекция 2-й цифры
коррекции, т.к. f=1
1 0000 1001
1101 0000 1001
+
0110
- коррекция 3-й цифры
Zкор  1 0011 0000 1001
Zкор =0001 0011 0000 1001(2-10) = 1309(10)
При практической реализации двоично-десятичной арифметики поступают несколько
по-другому.
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:
1. Одно из слагаемых представляется в коде с избытком 6, т.е. к каждой тетераде
двоично-десятичного числа добавляется число 0110. Избыток не обязательно добавлять
к одному из слагаемых. Его можно добавить к результату сложения обоих модулей.
2. Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной
арифметики.
3. Если при сложении тетрад получается результат Zj больше или равный 10, то автоматически вырабатывается перенос в следующий разряд (тетраду), поскольку фактически Zj16. В этом случае результат в данной тетраде получается в естественном двоично-десятичном коде 8421 и коррекция не требуется. Однако, если избыток добавлять к
результату сложения модулей, а не к одному из слагаемых, то при выяснении необходимости коррекции следует учитывать переносы как при сложении модулей, так и при добавлении избытка.
4. Если при сложении в каких-либо тетрадах переносы отсутствуют, то для получения правильного результата из кодов этих тетрад необходимо вычесть избыток 6. Это
можно сделать двумя способами:

просто вычесть число 0110(2) = 6(10);

сложить с дополнением до 16(10) , т.е. с числом 10(10) = 1010(2).
Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются.
На практике реализуют второй способ.
Пример:
Z = X + Y = 132 + 57 = 189
50
X  0001 0011 0010
+
Y  0000 0101 0111
Z’ 0001 1000 1001 - нескорректированное Z
Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. Теперь
надо к Z’ добавить избыток (6(10)).
Z’ 0001 1000 1001
+
избыток  0110 0110 0110
Z6’ 0111 1110 1111 - нескорр. избыточное Z
Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или
Y). Тогда к результату избыток прибавлять не нужно.
В данном примере при вычислении Z6’ не было переносов из каких-либо тетрад. Поэтому необходима коррекция каждой тетрады суммы Z6’. Коррекция производится путем
прибавления к каждой тетраде числа 10(10)= 1010(2).
Z6’ 0111 1110 1111
+
коррекция  1010 1010 1010
Z  0001 1000 1001
отбросить
1
1
переносы  1
результат Z=0001 1000 1001(2-10)=189(10)
Пример:
Z = X + Y = -93(10) - 48(10) = -(93+48)(10) = -141(10)
X  0000 1001 0011
+
Y  0000 0100 1000
Z’ 0000 1101 1011 - нескорректированное Z
Перед сложением операнды выравниваются по крайней правой тетраде. После этого к Z необходимо добавить избыток (6(10)).
Z’ 0000 1101 1011
+
избыток  0110 0110 0110
Z6’ 0111 0100 0001 - нескорр. избыточное Z
1
1 - переносы
Такой же результат получится, если с избытком +6 взять один из операндов (X или
Y). Тогда к результату избыток прибавлять нет необходимости. В данном примере из двух
тетрад переносы существуют. Поэтому необходима коррекция только старшей тетрады
(из нее нет переноса).
51
Z6’ 0111 0100 0001
+
коррекция  1010
Z  0001 0100 0001
1
отбросить
перенос 
результат Z = -(0001 0100 0001)(2-10) = -141(10)
Пример:
Z = X + Y = 99(10) + 99(10) = 198(10)
X  1001 1001
+
Y  1001 1001
Z’  1 0011 0010
- нескорректированное Z
1
1 - переносы
При сложении модулей возникли переносы. Добавим избыток:
Z’ 0001 0011 0010
+
избыток  0110 0110 0110
Z6’ 0111 1001 1000 - нескорр. избыточное Z
При добавлении избытка 6 переносов не было, однако, они имели место при сложении модулей. Их следует учитывать при оценке необходимости коррекции. Поэтому, в
данном случае, коррекция требуется только для старшей тетрады.
Z6’ 0111 1001 1000
+
коррекция  1010
Z  0001 1001 1000
1
отбросить
перенос 
результат Z=0001 1001 1000(2-10)=198(10)
2.8.2. Вычитание модулей двоично-десятичных чисел
По аналогии с операциями вычитания в двоичном коде, операцию X-Y можно представить как X + (-Y). При этом отрицательное число представляется в дополнительном
коде, аналогичном дополнительному коду в двоичной арифметике. Этот код используется
только для выполнения операций вычитания. Хранятся двоично-десятичные числа (как
положительные, так и отрицательные) в прямом коде со знаком.
Алгоритм выполнения операции состоит в следующем:
1. Модуль положительного числа представляется в прямом двоично-десятичном коде (8421).
Модуль отрицательного числа - в дополнительном коде (ДК) с избытком 6.
Для получения ДК необходимо:
- инвертировать значения разрядов всех тетрад числа;
- к младшему разряду младшей тетрады прибавить 1.
52
Таким образом, цепочка ПК(mod)  ОК  ОК+1  ДК аналогична цепочке в двоичной арифметике. Только здесь получается ДК с избытком 6, т.к. дополнение идет не до
10, а до 16.
2. Произвести сложение операндов (X) в ПК и (Y) в ДК.
3. Если при сложении тетрад возник перенос из старшей тетрады, то он отбрасывается, а результату присваивается знак "+", т.е. результат получается в прямом избыточном коде. Он корректируется по тем же правилам, что и при сложении модулей.
4. Если при сложении тетрад не возникает переноса из старшей тетрады, то результату присваивается знак "-", т.е. результат получается в избыточном ДК. В этом случае
необходимо перейти к избыточному ПК (т.е. инвертировать все двоичные разряды двоично-десятичного числа и прибавить к младшему разряду 1).
5. Полученный в этом случае результат в ПК корректируется. Для этого к тем тетрадам, из которых возникал перенос при выполнении пункта 2 (при суммировании) необходимо добавить 10(10) или 1010(2). Возникшие при этом межтетрадные переносы не учитываются. Таким образом, корректировка происходит в тех тетрадах, которые в положительных числах не корректируются. Следует отметить, что при выполнении операции вычитания большего числа из меньшего ( X - Y = Z, при |X||Y|) т.е. при Z0, алгоритм коррекции результата после перевода Z из ДК в ПК требует уточнения. А именно, после перевода Z в ПК необходимость коррекции определяется не только приведенными правилами, но и следующими требованиями:
а) Нулевой результат не корректируется.
б) Значащие нули справа в результате не корректируются.
в) Если Z0 и в нем отсутствуют значащие нули справа (т.е. п.п. а,б не имеют места),
необходимо анализировать Y. Если в Y есть значащие нули справа, то соответствующие им разряды (тетрады) Z требуют обязательной коррекции, независимо от наличия
переносов при сложении XПК и YДК.
Пример:
Z=X+Y=49(10) -238(10) =-189(10)
X  0000 0100 1001
Y  0010 0011 1000
Представим |Y| в ДК с избытком 6:
YОК  1101 1100 0111
+
0001
YДК  1101 1100 1000
Выполним сложение:
XПК  0000 0100 1001
+
YДК  1101 1100 1000
Z’ДК  1110 0001 0001 - нескорректированное Z в ДК
1
1
- переносы
Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат
получился в ДК (т.е. отрицательный).
Перейдем к нескорректированному избыточному ПК.
53
Z’ДК  1110 0001 0001
ZДК  0001 1110 1110
+
0001
Z’ПК  0001 1110 1111
- нескорректированное Z в ПК
Произведем коррекцию результата в соответствии с пунктом 5 алгоритма.
Z’ПК  0001 1110 1111
+
коррекция  0000 1010 1010
0001 1000 1001
переносы 
1
1
отбросить
результат |Z|= (0001 1000 1001) = 189(10)
Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, необходимо добавить знак (-). Окончательный результат будет следующий:
Z= -( 0001 1000 1001) = -189(10)
Пример:
Z=X-Y=143(10) -58(10) =85(10)
X  0001 0100 0011
Y  0000 0101 1000
Представим |Y| в ДК с избытком 6:
YОК  1111 1010 0111
+
0001
YДК  1111 1010 1000
Выполним сложение:
XПК  0001 0100 0011
+
YДК  1111 1010 1000
Z’ПК  0000 1110 1011
- нескорректированное Z в ПК
- перенос отбросить
1
Наличие переноса из старшей тетрады указывает на то, что результат получился в
ПК (т.е. положительный).
Произведем коррекцию результата в соответствии с пунктом 3 алгоритма:
Z’ПК  0000 1110 1011
+
коррекция 
1010 1010
0000 1000 0101
переносы 
1
1
отбросить
результат Z= 1000 0101(2-10)=85(10)
54
2.8.3. Умножение модулей двоично-десятичных чисел
Операция умножения сводится к образованию и многократному сложению частичных
двоично-десятичных произведений.
Алгоритм умножения:
1. Сумма частичных произведений полагается равной нулю.
2. Анализируется очередная тетрада множителя и множимое прибавляется к сумме
частичных произведений столько раз, какова цифра, определяемая этой тетрадой.
3. Сумма частичных произведений сдвигается на одну тетраду и повторяются действия, указанные в пункте 2, пока все цифры (тетрады) множителя не будут обработаны.
Направление сдвига зависит от того, какой вариант перемножения выбран - "старшие
разряды вперед" или "младшие разряды вперед".
4. Каждая операция суммирования завершается десятичной коррекцией, соответствующей случаю суммирования двоично-десятичных чисел без избытка 6 (т.е. необходимо добавить 0110 к тем терадам, из которых был перенос или в которых f=1).
Пример:
Z = X * Y = 25(10) * 13(10) = 325(10)
X=25(10)= 0010 0101(2-10);
Y=13(10)= 0001 0011(2-10)
Для решения примера выберем вариант перемножения "старшие разряды вперед".
В соответствии с пунктом 1 алгоритма, полагаем сумму частичных произведений P0=0.
(Частичные произведения будем обозначать Pi).
Y = 0001 0011
X = 0010 0101
1(10)
+
0000 0000
0010 0101
0010 0101
+
3(10)
0010 0101 0000
+
+
 P0=0
 P1 (1-е част. произв.)
 1=P0 + P1=P1 - коррекции
не требует
 Сдвиг влево
0010 0101
0010 0101
 P2 (2-е част. произв.)
0010 0101
Формирование второго частичного произведения более длительная операция, поскольку вторая анализируемая тетрада содержит 3(10). Поэтому каждая операция суммирования требует проверки необходимости коррекции. Вычислим P 2, последовательно
суммируя слагаемые, образующие P2.
Х
Х
P'2 неп. 

коррекция 

P2 неп. 

Х
0010 0101
+
0010 0101
0100 1010
. .
+
...
0000 0110
 первое слагаемое Р2
 второе слагаемое Р2
 неполное, нескорректированное Р2
 тетрада требует коррекции (f=1)
0101 0000
 неполное, скорректированное Р2
0010 0101
0111 0101
 третье слагаемое Р2
+
P2 
 полное Р2. Коррекции не требует

Таким
образом, второе частичное произведение, состоящее из трех слагаемых,
имеет вид:
55
P2 = 0111 0101.
Теперь можно вычислить сумму первого и второго частичного произведений, т.е. результат.
P1  0010 0101 0000  первое сдвинутое частичное произведение
+
0111 0101  второе частичное произведение
P2 
‘2=P1+P2 0010 1100
. . 0101  нескорректированный результат
+

...
 тетрада требует коррекции. (f=1)

коррекция  0000 0110 0000

2=P1+P2  0011 0010 0101  скорректированный результат

Окончательный результат: Z = 0011 0010 0101
= 325 .
(2-10)
(10)
Следует отметить, что в данном случае при суммировании операндов не возникало
переносов. Поэтому коррекция осуществлялась только по признаку f=1.
2.8.4. Деление модулей двоично-десятичных чисел
Операция деления выполняется путем многократного вычитания, сдвига и анализа
результата подобно тому, как это делается при обычном делении. В настоящем курсе эта
операция не рассматривается. Информация о ней может быть найдена в литературе,
приведенной в конце главы.
2.9. Нарушение ограничений ЭВМ
При выполнении арифметических операций возможны ситуации, когда нарушаются
ограничения, связанные с конечной длиной разрядной сетки ЭВМ. При этом в ЭВМ формируются признаки, соответственно:
для ЧФЗ:
- переполнение, когда результат не вмещается в отведенное количество бит (имеются ввиду ЧФЗ справа от МЗР);
для ЧПЗ:
- положительное переполнение порядка, когда PZ>Pmax;
- отрицательное переполнение порядка, когда PZ<Pmin; (исчезновение порядка).
Конкретная реакция различных ЭВМ и различных операционных систем на нарушение ограничений в общем случае различна. Однако, все они обязательно выполняют
следующие операции:

при выполнении программы после выполнения операций, где возможно переполнение
предусматривается анализ соответствующего признака и, в зависимости от его значения, выполняется то или иное конкретное действие.

при возникновении признака в любом месте программы в ЭВМ формируется запрос на
прерывание и выполняется программа его обслуживания.
2.10. Представление буквенно-цифровой информации
Первоначально ЭВМ обрабатывали только числа, и проблемы представления буквенно-цифровой информации вообще не было. Но, с появлением алгоритмических языков, возникла необходимость представлять в ЭВМ не только цифровую, но и символьную
информацию.
В настоящее время принято представлять один символ буквенно-цифровой информации в виде одного байта. С помощью одного байта в общем случае можно закодировать 28=256 символов. Исторически сложилось так, что различные производители стали
использовать для представления символов внутри ЭВМ различные коды. Это привело к
56
существенным техническим трудностям при стыковке ЭВМ различных типов. В настоящее
время в мире наибольшее распространение получил Стандартный американский код обмена информацией ASCII, имеющий несколько модификаций.
В базовом варианте кода ASCII для кодирования каждого символа используется 7
бит, т.е. можно закодировать 27=128 символов, например:
0 - 0011 0000
1 - 0011 0001
2 - 0011 0010
...
9 - 0011 1001
A - 0100 0001 - 41(16)
B - 0100 0010 - 42(16)
...
Z - 0101 1010 - 5A(16)
+ - 0010 1011 - 2B(16)
= - 0011 1101 - 3D (16)
Обычно код информации и управляющих символов представляется в виде двухразрядного шестнадцатеричного числа.
Восьмой символ в байте может быть использован для расширения отображаемого
набора символов или для проверки правильности переданной кодовой комбинации,
например, проверки на четность.
В отечественных ЭВМ также используются различные коды. Так, в ЕС-ЭВМ используется двоичный код обработки информации (ДКОИ), 8-разрядный код обмена информацией (КОИ-8). Существуют также 7-разрядные коды: КОИ-7Н0, КОИ-7Н1, КОИ-7С1.
КОИ-7 - наиболее близок к базовому варианту кода ASCII. Код КОИ-8 за счет использования 8-го бита позволяет представлять помимо служебных символов, цифр и латинских букв еще и русские буквы.
2.11. Заключительные замечания
Представленный выше материал дает только общее представление о выполнении
арифметических операций над двоичными числами, представленными в различных системах счисления. Реальные алгоритмы выполнения арифметических операций, используемые в современных ЭВМ, позволяют существенно ускорить процесс вычислений, особенно для операций умножения и деления. Однако, эти алгоритмы весьма громоздки и
сложны для первоначального понимания. Более полную информацию о них можно найти
в следующих литературных источниках:
1. Кнут Д. Искусство программирования. Т.1: Основные алгоритмы. – 3-е изд., испр. и
доп. / Под ред. Козаченко Ю.В. – М.; СПб.; Киев: ВИЛЬЯМС, 2000. – 729 с.
2. Кнут Д. Искусство программирования. Т.2: Получисленные алгоритмы. – 3-е изд., испр.
и доп. / Под ред. Козаченко Ю.В. – М.; СПб.; Киев: ВИЛЬЯМС, 2000. – 832 с.
3. Савельев А.Я. Основы информатики: Учебник для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. М.Э.
Баумана, 2001. – 328 с.
4. Андреева Е., Фалина И. Информатика: Системы счисления и компьютерная арифметика. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. – 256 с.
5. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 592 с.
6. Злобин В.К., Григорьев В.Л. Программирование арифметических операций в микропроцессорах: Учеб. пособие для технических вузов. – М.: Высшая школа, 1991. – 303 с.
7. Калабеков Б.А. Микропроцессоры и их применение в системах передачи и обработки
сигналов: Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1988. – 368 с.
8. Гилмор Ч. Введение в микропроцессорную технику. / Под ред. В.М. Кисельникова. –
М.: Мир, 1984. – 334 с.
57
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды систем счисления вы знаете?
2. В каких случаях целесообразно применять двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления?
3. Чем двоичная система счисления отличается от двоично-десятичной?
4. Как различаются прямой, обратный и дополнительный коды для представления чисел?
5. Когда следует применять прямой, обратный и дополнительный коды для представления чисел?
6. Что такое переполнение разрядной сетки?
7. В каких случаях возникает переполнение разрядной сетки?
8. Для чего используют модифицированные коды?
9. Опишите алгоритм перевода из дополнительного кода в десятичную систему.
10. Поясните понятие «арифметика повышенной точности».
11. Опишите формат ЧФЗ.
12. Для чего нужны ЧФЗ, почему при работе с ними вводят масштабный коэффициент?
13. Опишите формат ЧПЗ.
14. В каких случаях используют ЧПЗ? В чем преимущества ЧФЗ и ЧПЗ?
15. Что такое нормализация числа?
16. Назовите существующие форматы ЧПЗ, используемые в ЭВМ.
17. От чего зависит точность представления ЧПЗ в ЭВМ?
18. Для чего используется нормализация числа?
19. Какие методы ускорения умножения вы знаете? Кратко охарактеризуйте их.
20. В каких случаях используется десятичная арифметика?
21. Зачем нужна двоично-десятичная коррекция?
22. Какие признаки формируются в ЭВМ при нарушении ограничения на длину разрядной
сетки?
23. Каким образом хранится символьная информация в ЭВМ?
Контрольные задания
Задание 1. Ответы на вопросы:
1. На листах ответа должны быть указаны номер группы, фамилия студента и номер его
варианта.
2. Номера вопросов выбираются студентом в соответствии с порядковым номером из
списка группы.
3. В клетках таблицы стоят номера вопросов, на которые необходимо дать письменный
ответ.
58
Таблица 1
№ варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
№№ номера вопросов
1,5,9,13,19
2,6,10,14,20
3,7,11,15,21
4,8,12,16,22
1,7,12,17,23
2,8,9,15,19
3,5,10,16,20
4,6,11,13,21
1,8,11,17,22
2,5,12,18,23
4,6,12,13,22
2,7,9,16,23
1,5,11,14,21
3,5,11,18,21
1,6,12,14,23
59
Задание 2. Выполнение арифметических операций над числами:
1. Все действия, производимые над операндами и результатами, включая перевод чисел
из одной системы счисления в другую, должны быть подробно расписаны в соответствии с алгоритмами, рассмотренными в этом разделе.
2. В операциях перемножения указать вариант операции, т.е. " старшими разрядами
вперед " или " младшими разрядами вперед ".
3. Результаты представить в десятичной системе счисления.
4. На листах ответа должны быть указаны номер группы, фамилия студента и номер его
варианта.
5. Номер варианта выбирается студентом в соответствии с порядковым номером из
списка группы.
Задание 1. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды
как ЧФЗ справа от МЗР в формате 1-го байта. Определить модуль результата. Формат результата – 2 байта.
Задание 2. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды
как ЧПЗ с основанием 2 в следующем формате: несмещенный порядок – 4
бита, мантисса – 8 бит. Формат результата – тот же. Округление производить после приведения операнда к нормализованной форме. Результат
нормализовать.
Задание 3. Выполнить арифметические действия над операндами, представив их в двоично-десятичном коде.
60
Таблица 2
№
варианта
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Операнды
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
Задание 1 (ЧФЗ)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
15
15
15
33
33
33
32
32
32
67
67
67
17
17
17
37
37
37
30
30
30
63
63
63
19
19
19
41
41
41
28
28
28
59
59
59
21
21
21
45
45
45
26
26
26
55
55
55
23
23
23
49
49
49
24
24
24
51
51
51
25
25
25
53
53
53
22
22
22
47
47
47
27
27
27
57
57
57
20
20
20
43
43
43
29
29
29
61
61
61
38
38
38
54
54
54
31
31
31
65
65
65
16
16
16
35
35
35
13
13
13
31
31
31
18
18
18
72
72
72
15
15
15
48
48
48
41
41
41
58
58
58
22
22
22
81
81
81
19
74
46
73
38
62
14
51
23
36
34
71
19
64
19
74
46
73
38
62
14
51
23
36
34
71
19
64
19
74
46
73
38
62
14
51
23
36
34
71
19
64
Задание 2 (ЧПЗ)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
15.33
15.33
15.33
33.15
33.15
33.15
32.67
32.67
32.67
67.32
67.32
67.32
17.37
17.37
17.37
37.17
37.17
37.17
30.63
30.63
30.63
63.30
63.30
63.30
19.41
19.41
19.41
41.19
41.19
41.19
28.59
28.59
28.59
59.28
59.28
59.28
21.45
21.45
21.45
45.21
45.21
45.21
26.55
26.55
26.55
55.26
55.26
55.26
23.49
23.49
23.49
49.23
49.23
49.23
24.51
24.51
24.51
51.24
51.24
51.24
25.53
25.53
25.53
53.25
53.25
53.25
22.47
22.47
22.47
47.22
47.22
47.22
27.57
27.57
27.57
57.27
57.27
57.27
20.43
20.43
20.43
43.20
43.20
43.20
29.61
29.61
29.61
61.29
61.29
61.29
38.54
38.54
38.54
54.38
54.38
54.38
31.65
31.65
31.65
65.31
65.31
65.31
16.35
16.35
16.35
35.16
35.16
35.16
13.31
13.31
13.31
31.13
31.13
31.13
18.72
18.72
18.72
72.18
72.18
72.18
15.48
15.48
15.48
48.15
48.15
48.15
41.58
41.58
41.58
58.41
58.41
58.41
22.81
22.81
22.81
81.22
81.22
81.22
Задание 3 (2-10)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
153
153
153
331
331
331
326
326
326
673
673
673
173
173
173
371
371
371
306
306
306
633
633
633
194
194
194
411
411
411
285
285
285
592
592
592
214
214
214
452
452
452
265
265
265
552
552
552
234
234
234
492
492
492
245
245
245
512
512
512
255
255
255
532
532
532
224
224
224
472
472
472
275
275
275
572
572
572
204
204
204
432
432
432
296
296
296
612
612
612
385
385
385
543
543
543
316
316
316
653
653
653
163
163
163
351
351
351
133
133
133
331
331
331
187
187
187
721
721
721
154
154
154
481
481
481
415
415
415
584
584
584
228
228
228
812
812
812
19.74
74.19
46.73
73.46
38.62
62.38
14.51
51.14
23.36
36.23
34.71
71.34
19.64
64.19
197
741
467
734
386
623
145
511
233
362
347
713
196
641
19.74
74.19
46.73
73.46
38.62
62.38
14.51
51.14
23.36
36.23
34.71
71.34
19.64
64.19
19.74
74.19
46.73
73.46
38.62
62.38
14.51
51.14
23.36
36.23
34.71
71.34
19.64
64.19
197
741
467
734
386
623
145
511
233
362
347
713
196
641
197
741
467
734
386
623
145
511
233
362
347
713
196
641
61
31
32
33
34
35
36
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
42
69
35
68
21
75
17
66
35
52
28
83
42
69
35
68
21
75
17
66
35
52
28
83
42
69
35
68
21
75
17
66
35
52
28
83
42.69
69.42
35.68
68.35
21.75
75.21
17.66
66.17
35.52
52.35
28.83
83.28
42.69
69.42
35.68
68.35
21.75
75.21
17.66
66.17
35.52
52.35
28.83
83.28
42.69
69.42
35.68
68.35
21.75
75.21
17.66
66.17
35.52
52.35
28.83
83.28
426
694
356
683
217
752
176
661
355
523
288
832
426
694
356
683
217
752
176
661
355
523
288
832
426
694
356
683
217
752
176
661
355
523
288
832
62
Пример выполнения контрольного задания
№
варианта
Операнды
100
X
Y
Задание 1 (ЧФЗ)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
18
18
18
33
33
33
Задание 2 (ЧПЗ)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
18.33
18.33
18.33
33.18
33.18
33.18
Задание 3 (2-10)
Операции
X+Y
X-Y
X*Y
183
183
183
331
331
331
Задание 1. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧФЗ справа от МЗР в
формате 1-го байта. Определить модуль результата. Формат результата – 2 байта.
1) Выполним операцию сложения (X+Y).
X = 18(10) = 0001 0010(2); Y = 33(10) = 0010 0001(2).
Выполним сложение в ПК:
Перенос (единицы)
X
Y
Сумма (X+Y)
+
0001 0010
0010 0001
0011 0011(2) = 51(10)
2) Вычислим выражение (X-Y).
.
X = 18(10)  0001 0010(2)
Y = -33(10) 1010 0001(2)
1101 1111(2)
0001 0010
+
1101 1111
0  1111 0001(2)
перенос
- ПК
- ПК (-)
- ДК
Быстрый перевод
Перенос из знакового разряда отсутствует. Число отрицательное в ДК, так как
знаковый разряд равен 1.
.Вычислим результат, преобразовав его из ДК в ПК :
1111 0001(2)
1000 1110
+
1
1000 1111(2)
(ДК)
Инверсия всех разрядов, кроме знакового
(ПК) = - 13(10)
3) Найдем произведение двух чисел X*Y = 18(10)*33(10) = 0001 0010(2) * 0010 0001(2)
Выполним операцию умножения младшими разрядами вперед
63
Y=
0010 0 001
+
+
+
+
+
00010010
P1
000010010
сдвиг на 1 разряд вправо
00000000
P2
000010010
0000010010
00000000
сумма P1 + P2
сдвиг на 1 разряд вправо
P3
P3
0000010010
00000010010
сумма P1+P2+P3
сдвиг на 1 разряд вправо
00000000
00000010010
000000010010
P
P34
сумма P1+P2+P3+P4
сдвиг на 1 разряд вправо
00000000
P5
000000010010
0000000010010
P1+P2+P3+P4+P5
сумма
P3
сдвиг на 1 разряд вправо
00010010
P
P36
сумма P1+P2+P3+P4+P5+P6
сдвиг на 1 разряд вправо
0001001010010
00001001010010
Последние два нуля дают сдвиг на 2 разряда вправо
P3
После сдвига получим:
0000001001010010(2) = 594(10) - результат
Задание 2. Выполнить арифметические действия, рассматривая операнды как ЧПЗ с основанием 2 в
следующем формате: несмещенный порядок – 4 бита, мантисса – 8 бит. Формат результата – тот же.
Округление производить после приведения операнда к нормализованной форме. Результат нормализовать.
Преобразуем дробную часть Х, равную 0.33(10) в двоичное число
2 * 0.33  0.66
0 (ССЗР
2 * 0.66  1.32
1
2 * 0.32  0.64
0
2 * 0.64  1.28
1
2 * 0.28  0.56
0
2 * 0.56  1.12
1
2 * 0.12  0.24
0
2 * 0.24  0.48
0
Таким образом, 0.33(10) = 0.01010100(2), a X = 18.33(10) = 00010010.01010100(2).
Представим X в формате ЧПЗ, округлив значение мантиссы до 8 разрядов (ненормализованное число):
0000*10010.011
qx
Px
Нормализуем X:
64
qx - сдвигаем на 5 разрядов вправо
Pнорм x=Рx+5;
0101*0.10010011
qнорм x
pнорм x
Теперь преобразуем дробную часть Y, равную 0.18(10) в двоичное число
2 * 0.18  0.36 0 (СЗР)
2 * 0.36  0.72 0
2 * 0.72  1.44 1
2 * 0.44  0.88 0
2 * 0.88  1.76 1
2 * 0.76  1.52 1
2 * 0.52  1.04 1
2 * 0.04  0.08 0
Таким образом, 0.18(10) = 0.00101110(2), a Y = 33.18(10) = 00100001.00101110(2). Представим Y в формате ЧПЗ, округлив значение мантиссы до 8 разрядов (ненормализованное число):
0000*100001.01
qy
Py
Нормализуем Y:
Pнорм y=Рy+6;
qy - сдвигаем на 6 разрядов вправо
0110*0.10000101
qнорм y
pнорм y
1) Сложить два числа Z = X+Y
PY
X  0110
qY
0.10000101
PX
Y  0101
qX
0.10010011
1. 0110
2.
3. 0110
PZ
Z=0110
+
0.01001001
0.10000101
0.11001110
0.11001110
qZ
- выравнивание порядка X
- qY
- нормализованное значение Z
6
0.11001110 = 2 * 0.8046875 = 51.5(10)
2) Выполним операцию вычитания (X-Y)
65
Х = 18.33(10)
Y = -33.18(10)
P
Знак
q
0101
0 10010011 - ПК
0110
0 01001010 - выравниевание порядка
0110
1
0110
1
+
0110
0
10000101 - ПК (-)
01111011 - ДК (быстрый перевод)
01001010 - Х
0110
11000101 - Перенос из знакового разряда
отсутствует. Число отрицательное
в ДК, т.к. знаковый разряд = 1.
1
Вычислим результат, преобразовав его из ДК в ПК:
0110
0110
0110
+
1
11000101 - ДК
1
00111010 - Инверсия всех разрядов, кроме знакового
1
1
00111011(2)
6
(ПК) = - 2 * 0.23046875 = 14,75(10)
3) Вычислить произведение Z = X*Y = 18.33(10)*33.18(10)
X=

PX
0101
qX
0.10010011 ,
qY
PY
Y= 0110 0.10000101
перемножим мантиссы сомножителей (вариант умножения младшими разрядами вперед):
qX = 0.1 0 0 1 0 0 1 1
qY = 0.1 0 0 0 0 1 0 1
10010011
01001001 1
+
00000000
P1
сдвиг на 1 разряд вправо
01001001 1
00100100 11
+
10010011
10010111 11
сумма Р1+Р2
сдвиг на 1 разряд вправо
P3
сумма Р1+Р2+Р3
Р2
следующие 4 нуля дадут сдвиг на 4 разряда вправо
00000010 010011
+
10010011
10010101 010011
01001010 1010011
00000000
01001010 1010011

сдвиг на 4 разряда вправо
P4
сумма Р1+Р2+Р3+Р4
сдвиг на 1 разряд вправо
Р5
результат
сложим порядки сомножителей
66
+

0101
0110
- PX
- PY
1011
- P X + PY
Нормализуем произведение
qZ - сдвигаем на 1 разряд влево
Pнорм Z=РZ-1;
1100 0.10010101
qнорм Z
pнорм Z

Знак произведения "+", т.к. sign(X) = sign(Y).
Итак, получили результат Z = 1010 * 0.10010101 = 210 * 0.58203125 = 596(10).
Задание 3. Выполнить арифметические действия над операндами, представив их в двоичнодесятичном коде.
1) Выполним операцию сложения двоично-десятичных чисел
X = 183(10) = 0001 1000 0011(2-10); Y = 331(10) = 0011 0011 0001(2-10).
+
+
0001 1000 0011
0011 0011 0001
-X
-Y
0100 1011 0100
- X+Y
0000 0110 0000
- коррекция 2-й цифры
0101 0001 0100
- X+Yкор
. .
Z = X+Y = 0101 0001 0100(2-10) = 514(10).
2) Вычислим выражение Z = X – Y = 183(10) – 331(10)
Представим |Y| в ДК с избытком 6:
YОК  1100 1100 1110
+
0001
YДК  1100 1100 1111
Выполним сложение:
XПК  0001 1000 0011
+
YДК  1100 1100 1111
Z’ДК  1110 0101 0010 - нескорректированное Z в ДК
1
1
- переносы
Отсутствие переноса из старшей тетрады является признаком того, что результат
получился в ДК (т.е. отрицательный).
Перейдем к нескорректированному избыточному ПК.
67
Z’ДК  1110 0101 0010
ZДК  0001 1010 1101
+
0001
Z’ПК  0001 1010 1110
- нескорректированное Z в ПК
Произведем коррекцию результата в соответствии с пунктом 5 алгоритма выполнения операции вычитания двоично-десятичных чисел.
Z’ПК  0001 1010 1110
+
коррекция  0000 1010 1010
0001 0100 1000
переносы 
1
1
отбросить
результат |Z|= (0001 0100 1000) = 148(10)
Поскольку ранее результат получался в ДК, т.е. отрицательный, необходимо добавить знак (-). Окончательный результат будет следующий:
Z= -( 0001 0100 1000)(2-10) = -148(10)
3) Умножение двоично-десятичных чисел
Z = X * Y = 183(10) * 331(10) = 60573(10)
X = 183(10) = 0001 1000 0011(2-10); Y = 331(10) = 0011 0011 0001(2-10).
Для решения примера выберем вариант перемножения "младшие разряды вперед". В соответствии с пунктом 1 алгоритма, полагаем сумму частичных произведений
P0=0. (Частичные произведения будем обозначать Pi).
Y = 0011 0011 0001
X = 0001 1000 0011
1(10)
+
0000 0000 0000
0001 1000 0011
0001 1000 0011
0000 0001 1000 0011
+
3(10)
+
+
 P1 (1-е част. произв.)
 1=P0 + P1=P1 - коррекции
не требует
 Сдвиг вправо
0001 1000 0011
0001 1000 0011
 P2 (2-е част. произв.)
0001 1000 0011
 Сдвиг вправо
+
3(10)
 P0=0
+
+
0001 1000 0011
0001 1000 0011
 P3 (3-е част. произв.)
0001 1000 0011
Формирование второго и третьего частичных произведений более длительная операция, поскольку вторая и третья анализируемые тетрады содержат 3 (10). Поэтому каждая
операция суммирования требует проверки необходимости коррекции. Вычислим P2 ( P2 =
Р3 ), последовательно суммируя слагаемые, образующие P2.
68
Х
Х
P'2 неп. 

коррекция 

P2 неп. 

Х
+
+
0001 1000 0011
 первое слагаемое Р2
0001 1000 0011
0011 0000 0110
 второе слагаемое Р2
 неполное, нескорректированное Р2
тетрада требует коррекции (перенос)
1
0000 0110 0000
+
0011 0110 0110
 неполное, скорректированное Р2
0001 1000 0011
 третье слагаемое Р2
0101 0100 1001
P2 
 полное Р2, коррекции не требует

Таким образом, второе (а также и третье) частичное произведение, состоящее из
трех слагаемых, имеет вид:
P2 = Р3 = 0101 0100 1001(2-10).
Теперь можно вычислить сумму первого, второго и третьего частичного произведений, т.е. результат.
P1 
+
0000 0000 0001 1000 0011  первое сдвинутое частичное произведение
 второе сдвинутое частичное произведение
0000 0101 0100 1001
0000 0101 0110 0001 0011  Р1 + Р2
+
1
 тетрада требует коррекции. (перенос)
0000 0000 0000 0110 0000

2=P1+P2  0000 0101 0110 0111 0011  скорректированная сумма Р1+Р2
 P  0101 0100 1001
 третье частичное произведение
P2 
‘2=P1+P2


коррекция

3
‘3=P1+P2+P3  0101 1001 1111
. . 0111 0011  Р1 + Р2+ Р3
+

 тетрада требует коррекции. (f=1)
коррекция  0000 0110 0110 0000 0000
3
=P1+P2+P3  0110 0000 0101 0111 0011  скорректированная сумма Р1+Р2+Р3

Окончательный результат: Z = 0110 0000 0101 0111 0011(2-10) = 60573(10).
3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССОРА
Ранее, при рассмотрении обобщенной структуры ЭВМ отмечалось, что основным устройством, непосредственно осуществляющим переработку поступающей в ЭВМ информации,
является процессор (в больших ЭВМ - центральный процессор). Естественно, что конкретные типы ЭВМ содержат в своем составе процессоры, построенные по различным схемам,
и процессоры больших ЭВМ существенно отличаются от процессоров мини- и микро-ЭВМ
(о супер-ЭВМ и говорить не приходится). Однако, основные принципы построения процессоров, в общем-то, одинаковые, причем наиболее наглядно их можно продемонстрировать
на примере простейшего микропроцессора. Это оправдано и с той точки зрения, что инженер-разработчик радиоэлектронной аппаратуры или аппаратов автоматического управления
имеет дело не с большими ЭВМ, а с микропроцессорными комплектами и построенными на
их базе мини- и микро-ЭВМ. Поэтому, рассмотрев общие вопросы построения ЭВМ, более
подробно рассмотрим обобщенную структуру гипотетического микропроцессора.
69
Ранее рассматривались действия над числами (сложение, вычитание, умножение),
представленными в различной форме. Было подчеркнуто, что все эти действия осуществляются с помощью элементарных операций, выполняемых в определенной последовательности.
К таким элементарным операциям относятся:
- запись числа в регистр;
- инвертирование содержимого разрядов регистра;
- пересылка содержимого регистров;
- сдвиг содержимого регистра;
- сложение кодов;
- поразрядные логические операции или анализ разрядов;
- операция счета с +1 или с -1 (инкремент или декремент).
Пример: Операция умножения реализуется с помощью:
- анализ разряда множителя;
- суммирование;
- сдвиг.
Все эти действия выполняются в устройстве, называемом процессором, которое в
общем случае состоит из двух устройств - операционного (ОУ) и управляющего (УУ).
ОУ - выполняет указанные элементарные операции.
УУ - управляет ОУ, задавая необходимую последовательность выполнения этих
операций.
Это соответствует принципу академика Глушкова, который гласит, что в любом
устройстве обработки цифровой информации можно выделить операционный и управляющий блоки.
В качестве узлов УУ и ОУ включают в себя регистры, счетчики, сумматоры, мультиплексоры, дешифраторы и т.д., т.е. устройства импульсной цифровой техники. Кроме
того, нормальное функционирование процессора и всей ЭВМ возможно только при наличии высокостабильных импульсных последовательностей, формируемых, как правило, из
одной импульсной последовательности, вырабатываемой кварцевым генератором. Эти
тактовые импульсные последовательности синхронизируют работу процессора и всей
ЭВМ.
Обобщенная структура любого процессора изображена на рис.3.1.
Каждая элементарная операция, выполняемая в одном из узлов ОУ в течение одного тактового периода, называется микрооперацией.
В определенные тактовые периоды одновременно могут выполняться несколько
микроопераций, например: R2  0, Сч  (Сч) - 1 и т.д. Такая совокупность непротиворечивых микроопераций называется микрокомандой, а весь набор микрокоманд, предназначенный для решения определенной задачи, называется микропрограммой.
Если в ОУ предусмотрена возможность выполнения n различных микроопераций,
то из УУ должно выходить n управляющих цепей S1,...,Sn, каждая из которых соответствует своей микрооперации. В силу того, что УУ определяет микропрограмму, т.е. какие и в
какой временной последовательности должны выполняться микрооперации, оно получило название микропрограммного автомата. Соответственно ОУ часто называют операционным автоматом.
70
X
S1
...
уу
КОП
...........
...........
...........
...
...
ОУ
...
Sn
...
Вх. данные
P1
...
...
Pm
Признак
результата
Код опера...
Вых. данные
ции (+, -, /, *
Z
и т.д.)
Рис. 3.1. Обобщенная структура процессора
Формирование управляющих сигналов S1,...,Sn может зависеть как от внешних сигналов КОП (команды ассемблера), так и от состояния узлов ОУ, определяемого известительными сигналами признаков состояния P1,...,Pm, поступающих с выхода ОУ на соответствующие входы УУ.
Как уже отмечалось, ОУ выполняет над исходными данными различные арифметические и логические операции. Поэтому, ОУ наиболее часто называют арифметикологическим устройством или АЛУ.
Деление любого процессора на программный и операционный автоматы достаточно очевидно и не вызывает особых трудностей в понимании. Однако, структурные схемы
даже простейших реальных процессоров, помимо АЛУ и УУ, содержат еще ряд узлов (регистров, счетчиков, дешифраторов), которые, вроде бы, не относятся ни к АЛУ, ни к УУ.
Поэтому для устранения путаницы в дальнейшем материале необходимо сделать ряд
замечаний:
1) В абсолютном большинстве случаев устройства обработки цифровой информации имеют многоуровневую структуру, т.е. построены по принципу "матрешки". Это означает, что УУ и ОУ могут сами распадаться на пары УУ' и ОУ', которые, в свою очередь,
также могут распадаться на соответствующие УУ и ОУ. Все зависит от степени детализации рассмотрения данного цифрового устройства. Этот принцип многоуровневости
справедлив для всех устройств ЭВМ.
Действительно, если рассматривать процессор в целом и делить его на УУ и ОУ, то
совершенно безразлично, как выполняются арифметико-логические операции в ОУ - с
помощью очень сложных логических схем или с помощью простой логики, работающей
под управлением какого-либо вспомогательного УУ. Аналогичные рассуждения справедливы и для УУ.
Так, например, центральный процессор больших ЭВМ общего назначения середины
70-х годов разбивался на 4-5 уровней, на каждом из которых можно выделить свое УУ и
ОУ. Современные процессоры имеют еще более сложную структуру.
Более того, эти рассуждения справедливы для ЭВМ в целом, которую можно разложить на ряд виртуальных (кажущихся) машин, с каждой из которых можно работать на
соответствующем уровне. В общем случае современные универсальные ЭВМ имеют
шесть уровней:
- уровень проблемно-ориентированного языка;
- процедурно-ориентированный язык;
- ассемблерный уровень (язык ассемблера);
- уровень операционной системы (язык операционной системы);
- традиционный машинный уровень (язык машинных команд);
- микропрограммный уровень (язык микрокоманд).
71
Машинные языки двух нижних уровней являются цифровыми, и программы на них
состоят из длинных числовых последовательностей, очень неудобных для человека, но
понятных машине. Все более высокие уровни содержат слова и аббревиатуру, что более
удобно для человека.
2) Из сказанного выше следует, что только самые простейшие процессоры имеют
один уровень, и могут быть в чистом виде разложены на УУ и ОУ, состоящие из комбинационных логических схем, способных выполнять элементарные арифметико-логические
операции.
3) В настоящее время нет строгого определения АЛУ, что вызывает некоторую путаницу при пользовании различной литературой. АЛУ обычно обозначают так, как показано на рис.3.2. При этом одни авторы подразумевают под АЛУ только комбинационные логические схемы, способные выполнять операции двоичного суммирования (т.е. фактически двоичный сумматор), другие - целый комплекс схем для выполнения арифметикологических операций, который сам может быть разложен на УУ и ОУ.
Вход
АЛУ
Выход
Рис 3.2. Значок АЛУ
4) Из сказанного выше следует вывод, что в общем случае понятия микрооперации
и микропрограммы относительны и требуют конкретизации уровня рассмотрения процессора, поскольку один такт верхнего уровня может включать в себе несколько тактов
нижнего уровня.
5) Для устранения путаницы при изучении основных принципов построения элементарных процессоров будем считать, что:
- процессор имеет один уровень;
- процессор пользуется одной тактовой последовательностью;
- значок АЛУ (рис. 3.2) обозначает комплекс комбинационных схем, способных
выполнять двоичное суммирование, сдвиг двоичного числа, простейшие поразрядные логические операции;
- узлы микропроцессора, не относящиеся непосредственно к схеме управления,
будем считать вспомогательными узлами АЛУ или, точнее, узлами, обеспечивающими нормальное функционирование АЛУ.
3.1. ОПЕРАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА (АЛУ)
В разделе "Представление информации в ЭВМ" было показано, что различные арифметические операции над числами (представленными кроме того в различной кодировке) требуют существенно различных последовательностей микроопераций. Кроме того очевидно,
что чем многофункциональнее электронное устройство, тем сложнее его структура (больше
элементов) и тем медленнее оно работает. С другой стороны, функции такого сложного
устройства может выполнить набор более простых и быстродействующих устройств, однако, аппаратурные затраты и цена будут выше.
В общем случае, операции, выполняемые в АЛУ, можно разделить на следующие
группы:
- операции двоичной арифметики для ЧФЗ;
- операции двоичной (шестнадцатеричной) арифметики для ЧПЗ;
- операции десятичной арифметики;
- логические операции;
- операции индексной арифметики (при модификации адресов команд);
72
операции специальной арифметики (нормализация чисел, арифметический
сдвиг (сдвигаются только цифровые разряды без знакового), логический сдвиг
(сдвигаются все разряды)).
ЭВМ общего назначения обычно реализуют операции приведенных выше групп, но
делают это по-разному, в зависимости от типа АЛУ, используемого в процессоре.
В общем случае АЛУ подразделяется на блочные и многофункциональные.
В блочных АЛУ(рис. 3.3) перечисленные группы операций выполняются в отдельных электронных блоках, при этом повышается скорость работы, т.к. блоки могут параллельно выполнять соответствующие операции. Кроме того, специализированный блок
всегда выполняет операции быстрее, чем универсальный перенастраиваемый блок.
-
X
S
Арифметика
ЧФЗ
Двоичная
арифметика
Логические
операции
Z
Арифметика
ЧПЗ
Специальная
арифметика
Индексная
арифметка
P
Рис. 3.3. Блочные АЛУ
X - входные данные; S - управляющие сигналы; Z - результат операции;
P - извещение о завершении работы
Блочные АЛУ характерны для больших ЭВМ, где главным является максимальное быстродействие, а не аппаратные затраты и стоимость. Простейшие сопроцессоры в микро-ЭВМ,
выполняющие операции с ЧПЗ, также можно рассматривать как специализированные блоки. Поэтому АЛУ микро-ЭВМ с сопроцессорами можно иногда рассматривать как блочные.
В многофункциональных АЛУ перечисленные группы операций выполняются одними и теми же схемами, которые коммутируются нужным образом в зависимости от требуемого режима работы. Такие АЛУ характерны для мини- и микроЭВМ.
Существуют и другие структуры АЛУ (смешанные), находящиеся где-то между
блочными и многофункциональными.
Следует иметь в виду, что часто ЭВМ, построенные на базе простейших микропроцессоров,
имеют АЛУ, позволяющее выполнять только операции двоичной арифметики над ЧФЗ и
некоторые логические операции. В этом случае остальные группы операций выполняются
специальными подпрограммами, что сильно понижает скорость их выполнения.
Рассмотрим несколько подробнее структуру АЛУ простейшего процессора и определим минимально необходимый набор входящих в него устройств. Из изложенного выше следует, что в состав такого АЛУ должно входить устройство, выполняющее операции
двоичного суммирования (сумматор). Кроме того, для хранения операндов и результата
необходимо иметь, по крайней мере, три буферных регистра (регистры временного хранения). Однако, в простейшем случае, результат операции можно записывать в один из
регистров временного хранения на место одного из операндов. Этот регистр принято
называть аккумулятором, а процессор в целом – процессором аккумуляторного типа.
Аккумулятор должен обязательно иметь двунаправленную связь с внутренней шиной
данных процессора. (В более сложных АЛУ результат операции может быть записан по
желанию программиста в любой из специально выделенных для этой цели регистр). Для
выполнения арифметико-логических операций необходимо устройство, выполняющее
сдвиги двоичных чисел (сдвигатель). И, наконец, необходим регистр, в котором хранятся
некоторые признаки результата выполненной операции, необходимые для функционирования УУ (регистр признаков).
Структурная схема АЛУ простейшего микропроцессора аккумуляторного типа изображена на рис. 3.4.
73
Внутренняя шина данных
Рг временного
хранения
Аккумулятор
Сумматор
АЛУ
Рг признаков
Сдвигатель
Рис. 3.4. Структурная схема АЛУ
Уже отмечалось, что АЛУ в целом, и двоичный сумматор имеют одно обозначение. В соответствие со сделанными ранее замечаниями, регистр временного хранения и аккумулятор
можно считать вспомогательными узлами АЛУ.
3.2. УПРАВЛЯЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Выше отмечалось, что УУ управляет работой АЛУ путем выработки последовательности микрокоманд, необходимых для выполнения той или иной операции (+, -, /, *, и
т.д.). Порядок выполнения микрокоманд определен микропрограммой реализации операции, но может изменяться в зависимости от признаков операции, вырабатываемых в АЛУ
(P1,...,Pm) и подаваемых на вход УУ. Общий вид УУ приведен на рис. 3.5.
Код
операции . . . .
(КОП) . . . .
УУ
....
....
Р
....
....
S (сигналы управления – СУ)
Оповещающие
сигналы (признаки) от АЛУ
Рис. 3.5. Общий вид УУ
Микропроцессоры могут иметь как линейную структуру, так и быть сильно разветвленными, причем условные переходы осуществляются в соответствие с признаками P.
Технические реализации УУ даже простейших процессоров весьма разнообразны. Однако,
в самом общем случае их различают по способу хранения микропрограмм. По этому критерию УУ подразделяются на УУ с жесткой (схемной) логикой и УУ с хранимой в специальной памяти микропрограммой. Если микропроцессорная память доступна программисту, то
такие УУ являются микропрограммируемыми и позволяют изменить систему команд процессора. Если микропрограммная память не доступна, то процессор имеет неизменную систему команд, как и в случае УУ с жесткой логикой.
Данные варианты отличаются друг от друга принципами построения, аппаратными затратами, временем реализации микропрограмм, возможностью изменения последовательности
микрокоманд, а, следовательно, и системы команд процессора.
74
УУ современных процессоров во многих случаях комбинированные. Выполнением простых команд управляет быстродействующее УУ на жесткой логике, а выполнением сложных команд – более медленное УУ с микропрограммной памятью.
Ниже будут рассмотрены общие принципы построения обоих типов УУ.
3.2.1. УУ С ЖЕСТКОЙ ЛОГИКОЙ
УУ, построенные на жесткой логике, исторически появились первыми и до настоящего времени используются очень широко. Основным преимуществом таких УУ является
их быстродействие. Именно поэтому абсолютное большинство специализированных процессоров, особенно предназначенных для обработки информации в режиме реального
времени имеют УУ на жесткой логике. Под специализированными понимаются процессоры, предназначенные для выполнения узкого набора специальных функций (обработка
сигналов радиолокационных станций, преобразование Фурье, матричные операции, кодирование и декодирование сигналов в скоростных линиях связи и т.д.) с максимальной
скоростью.
Однако, и в процессорах общего назначения с универсальными наборами команд
УУ на жесткой логике также используются очень широко, особенно, как уже отмечалось,
для управления выполнением простых команд. Системы команд таких процессоров всегда фиксированные и не могут быть изменены пользователем. Подобные УУ иногда
называют специализированными.
Структурная схема УУ с жесткой логикой изображена на рис.3.6.
Специализированные УУ формируют неизменные последовательности сигналов управления (СУ).
Блок логических схем состоит из комбинационных схем, регистров, счетчиков, дешифраторов и других устройств, выполняющих функции запоминания текущего состояния
автомата, определяющего СУ, и формирования следующего состояния в соответствии с
входными признаками.
Микропрограмма в таком автомате хранится за счет системы жестких связей между
узлами УУ. Для изменения микропрограммы требуется демонтаж жестких связей и создание новой схемы.
КОП . . . . . . .
Признаки
от УУ
Логические
.....
схемы
.......
.....
СУ к
ОУ
...
...
Синхроимпульсы
от ГТИ
Микрофазный счетчик
тактов
Рис. 3.6. Структура УУ на жесткой логике
ГТИ – генератор тактовых импульсов
Одним из недостатков УУ на жесткой логике является то, что любые изменения или модификации команд универсального процессора, требующие изменения микропрограмм, приведут к изменению структуры управляющего автомата, а, следовательно, и топологии его
внутренних связей. При производстве специализированных процессоров требуется весьма
широкая номенклатура УУ (по числу решаемых задач) при относительно небольшой потребности в каждом конкретном типе. С тоски зрения технологии микроэлектронного производства процессоров в виде БИС и СБИС указанный недостаток является весьма существенным. Увеличивается цена каждого выпущенного кристалла процессора за счет увеличения расходов на разработку новых топологий УУ и отладку технологии их производства.
Оптимальным решением этой проблемы явилось построение УУ на специализированных
логических структурах с фиксированной топологией – программируемых логических мат75
рицах (ПЛМ). ПЛМ является слоистой структурой, в каждом слое которой сосредоточены
однотипные логические элементы. Топология связей построена таким образом, что на выходы каждого элемента последующего слоя подаются входные сигналы всех элементов
предыдущего слоя. ПЛМ может выполняться как отдельная БИС, так и формироваться
внутри кристалла процессора, являясь весьма удобным элементом для создания управляющих автоматов.
Обобщенная функциональная схема простейшей ПЛМ представлена на рис.3.7.
Слой элементов "И"
1
Слой входных
инверторов
1
1
1
1'
2
1
n
1
.
k
1
1
2'
2
n
1
n
n'
&
n
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
n
Слой элемен- Слой выходных
тов "ИЛИ"
инверторов
1
1
.
1
1
.
&
2
.
.
.
1
k
.
.
.
1
.
.
.
1
&
k
.
.
.
1
2
.
.
.
1
r
k
Рис. 3.7. Функциональная схема ПЛМ
При изготовлении ПЛМ образуется схема, допускающая множество вариантов обработки
входных сигналов. Входные элементы позволяют иметь все входные переменные как в
прямой, так и в инверсной форме. На входы любого элемента "И" поданы все входные переменные и их инверсии. Ко входам каждого элемента "ИЛИ" подключены выходы всех
элементов "И". Наконец, выходные элементы позволяют получить любую из выходных
функций в прямом или инверсном виде.
Программирование матрицы состоит в устранении ненужных связей с помощью
фотошаблонов или выжиганием (подобно тому, как это делается в ПЗУ).
Программируя ПЛМ, можно реализовать нужные системы булевых функций. Это
позволяет строить управляющие автоматы весьма сложной структуры. В силу своей
сложности УУ, как правило, описывается большим количеством булевых функций многих
переменных. Эти переменные, в свою очередь, часто бывают зависимыми. Поэтому оказывается необходимой совместная минимизация реализуемой ПЛМ системы булевых
функций.
Рассмотренная выше функциональная схема иллюстрирует только саму идею построения ПЛМ. Структура же реально выпускаемых БИС достаточно разнообразна. Для
построения управляющих автоматов наиболее удобны БИС, содержащие наряду с ПЛМ
набор выходных триггеров.
Следующим поколением устройств типа ПЛМ являются ПЛИС – программируемые
логические интегральные схемы, позволяющие программно скомпоновать в одном корпусе электронную схему, эквивалентную схему, включающей от нескольких десятков до нескольких сотен ИС стандартной логики.
В настоящее время на мировом рынке доминируют несколько производителей
ПЛИС – XILINX, ALTERA, LATTICE, AT&T, INTEL. Выпускаемые ими ПЛИС весьма разно76
образны по сложности, назначению, многофункциональности и т.д., однако все они делятся на две большие группы EPLD и FPGA.
EPLD – многократно программируемые – для сохранения конфигурации используется ППЗУ с ультрафиолетовым стиранием.
FPGA – многократно реконфигурируемые – для сохранения конфигурации используется статическое ОЗУ.
Фирмы производители поставляют также полное инструментальное обеспечение
для разработки и применения устройств на базе EPLD и FPGA с помощью персональных
компьютеров.
3.2.2. УУ С ХРАНИМОЙ В ПАМЯТИ ЛОГИКОЙ
Идея создания микропрограммного УУ возникла давно, в 1951г., но реализовать ее
в полном объеме удалось сравнительно недавно - с появлением компактных устройств
памяти на БИС. Обобщенная структурная схема микропрограммного УУ изображена на
рис.3.8.
КОП
....
....
Признаки
(от ОУ)
КПМК
Рг АМК
ПМК
РгМК
АСМК
КМО
S1
КПР
Sn
СУ к ОУ
Рис. 3.8. Микропрограммное УУ
МК - микрокоманда;
МО - микрооперация;
КПМК - контроллер последовательности МК или схема формирования адреса МК;
РгАМК - регистр адреса МК;
ПМК - память МК;
РгМК - регистр МК;
АСМК - адрес следующей МК;
КМО - код МО;
КПР - код признаков.
В общем случае МК может задавать одну или несколько МО.
Микропрограмма хранится в ПМК. Адрес МК формируется контроллером КПМК и
запоминается в регистре адреса МК (РгАМК). МК считывается из памяти в регистр микрокоманды (РгМК). МК, в общем случае, имеет три поля - АСМК, КМО, КПР. В последнее
77
заносят признак разветвления в микропрограмме, который необходимо анализировать в
КПМК.
Адрес первой МК определяет КОП, т.е. происходит вызов соответствующей микроподпрограммы. АСМК может указываться в МК явным образом или формироваться естественным путем (при последовательной выборке МК). После выдачи СУ на ОУ происходит выполнение МК, после чего цикл (выборка-реализация) повторяется.
3.2.2.1. ВЫБОРКА И ВЫПОЛНЕНИЕ МК
Возможны три варианта взаимного расположения циклов выборка-реализация.
Последовательный способ (рис.3.9 а).
В этом случае выборка следующей МКi+1 не инициируется до момента окончания
предыдущей МКi. Достоинством метода является простота организации МК-цикла.
Параллельный способ (конвейер МК) (рис.3.9 б).
Имеет место совмещение этапов выборки МКi+1 и реализация МКi. При равенстве
периодов выборки и реализации достигается фактическое сокращение МК-цикла в 2 раза.
Параллельно-последовательный способ (рис.3.9 в).
Используется при наличии МК условной передачи управления, когда адрес следующей МК зависит от результата предыдущей МК. Выборка МКi+2, стоящей после МКi+1
условного перехода, возможна только после завершения МКi+1.
МКi
B P
МКi
B
МКi+1
P
МКi+1
B
МКi+2
P
t
а)
МКi
МКi+1
B
P
B
МКi+2
1
P
в)
P
B
P
B
P
б)
t
Рис. 3.9. Выборка и реализация микрокоманды:
последовательная (а), параллельная (б),
последовательно-параллельная (в).
В - выборка, Р - реализация; 1 и 3 - операционные
МК; 2 - МК условного перехода.
2
B P
МКi+2
B
3
t
3.2.2.2. СПОСОБ ФОРМИРОВАНИЯ АДРЕСА СЛЕДУЮЩЕЙ МК
Используются два основных способа адресации - принудительная и естественная.
Принудительная адресация сводится к тому, что в каждой микрокоманде, включая
операционные, указывается адрес следующей за ней микрокоманды (рис.3.10, а).
Естественная адресация характерна тем, что адрес следующей микрокоманды
образуется путем увеличения адреса предыдущей микрокоманды на 1. Это позволяет исключить поле адреса из операционных микрокоманд и уменьшить разрядность ПМК.
Для выполнения условных и безусловных переходов в микропрограмме используются управляющие микрокоманды, содержащие адрес перехода и поле признаков (КПР)
при обоих типах адресации.
Таким образом, операционные и управляющие микрокоманды должны различаться
некоторым признаком (рис.3.10 б и в). Признак  определяет тип МК (например,  = 1 операционная).
Коротко остановимся на формировании адреса при естественной адресации. В КПМК есть
специальный счетчик адреса микрокоманд (СчА), в котором в конечном итоге формируется
адрес следующей микрокоманды. Алгоритм формирования адреса следующей МК зависит
от ее типа, а именно:
- операционная МК - после выборки МК СчА := СчА + 1
- управляющая МК - после выборки происходит проверка условия, заложенного в
МК. Если условие выполняется - СчА := АСМК, а если условие не выполняется СчА := СчА + 1.
78
КМО
a)
б)
a
в)
a
Рис. 3.10. Форматы микрокоманды:
а - операционная МК при принудительной адресации;
б - операционная МК при естественной адресации;
в - управляющая МК при обоих типах
адресации
АСМК
КМО
КПР
АСМК
3.2.2.3. КОДИРОВАНИЕ МК
Выбор способа кодирования микрокоманд представляет собой достаточно сложную задачу
и зависит от структуры процессора и его целевого назнасения, системы команд, быстродействия, и т.д. Рассмотрим только основные способы кодирования микрокоманд.
1) Горизонтальное кодирование (рис.3.11, а). Это простейший вариант кодирования
микрокоманд, при котором каждый разряд поля кода микроопераций однозначно определяет управляющий сигнал для выполнения микрооперации.
Достоинство данного способа состоит в том, что он допускает работу нескольких
устройств, т.е. параллельное выполнение ряда МО, что повышает быстродействие.
Недостаток способа - при большом наборе МО (от нескольких десятков до нескольких сотен) возрастает разрядность МК и, следовательно, разрядность ПМК.
2) Вертикальное кодирование (рис.3.11, б). Это другой подход к кодированию МК с
целью максимального сокращения разрядности поля КМО. В этом случае требуется дешифратор МО, который увеличивает временные задержки и, следовательно, время выполнения МО.
а)
1
n
1
б)
КМО
m
КМО
.......
......
МО1 МО2
МОn
ДШМО
.......
МО1МО2
в)
КМО1
...
...
г)
. . . . КМОL
...
...
ДШМО1
ДШМОL
......
......
МО1МО2 МОi МОk
МОn
1
2 3
КМО1
ДШМО
1
1
МОn
8
КМО2
ДШМО2
....
....
Логическая
схема
4
...
...
МО1МО2 МОn
Рис. 3.11. Кодирование МК: а - горизонтальное, б - вертикальное, в - смешанное,
- косвенное
г
Помимо увеличения времени на МО, к недостаткам следует отнести невозможность параллельного выполнения МО.
3) Смешанное кодирование (рис.3.11, в). Это кодирование устраняет основные недостатки, присущие горизонтальному и вертикальному кодированиям.
При таком кодировании в отдельных полях кода МО объединяют взаимоисключающие наборы МО для обеспечения параллельного выполнения МО с разных полей. Данный способ кодирования находит широкое применение в микропрограммных УУ.
79
Способы 1), 2), 3) - это прямые способы кодирования. Здесь каждое поле КМО формирует определенный набор управляющих сигналов, интерпретируемых всегда одинаковым образом.
4) Косвенное кодирование (рис.3.11, г). Этот способ кодирования позволяет еще
больше уменьшить разрядность МК. Здесь одно и то же поле можно использовать для
формирования СУ для различных блоков, при этом его функции определяются другим
полем.
На рис.3.11 КМО1 кодирует одну из четырех групп МО, поле КМО2 определяет реализуемую в данной группе операцию.
Пример:
00 - микрооперации в АЛУ;
01 - МО в памяти и регистрах периферийных устройств;
КМО!
10 - МО безусловного и условного переходов;
11 - константы для загрузки регистров и счетчиков.
КМО2 позволяет выполнить 64 МО в любой из указанных групп оборудования.
Недостатком такого способа кодирования является увеличение объема оборудования и, следовательно, дополнительных задержек при исполнении МО.
Все рассмотренные выше способы кодирования являются одноуровневыми. В
настоящее время используют и двухуровневое кодирование (микрокоманды и нанокоманды).
3.2.2.4. СИНХРОНИЗАЦИЯ МК
С этой точки зрения МК делятся на однофазные и многофазные. При этом в МК может
быть включен дополнительный разряд, определяющий тип синхронизации.
Достоинством однофазных МК (рис.3.12, а) является простота технической реализации.
Многофазные МК (рис.3.12, б)- позволяют минимизировать число МК в памяти,
упрощают выполнение сложных МК и связь между приемником и источником информации. Недостатком является большой объем оборудования для формирования многофазных синхросигналов.
а)
б)
КМО
&
&
&
Тактовый
импульс
КМО
Фазирующ.
импульс
&
&
&
МО1
МОn
МО1
МОn
Рис. 3.12. Синхронизация МК: а - однофазная, б – многофазная
Время выполнения некоторых МО бывает существенно меньше рабочего такта
процессора (время выполнения одной МК), что позволяет при горизонтальном кодировании в одном такте выполнять не только совместимые, но и ряд несовместимых МО. Для
этого рабочий такт процессора делят на подтакты (фазы), в каждом из которых выполняется одно или несколько элементарных действий (МО) по реализации МК.
Вопросы для самопроверки
1. Опишите обобщенную структуру процессора.
2. Как принцип академика Глушкова применяется к построению процессора?
3. Почему устройства обработки цифровой информации имеют многоуровневую структуру?
4. Какие операции выполняются в АЛУ? Как в зависимости от реализации этих операций
подразделяются АЛУ?
80
5. Чем отличаются АЛУ блочного типа от многофункциональных АЛУ?
6. Опишите структуру АЛУ простейшего микропроцессора.
7. Охарактеризуйте УУ общего вида.
8. Укажите основные отличия УУ на жесткой логике от УУ с хранимой в памяти логикой.
9. Перечислите преимущества УУ с жесткой логикой.
10. В чем заключается главный недостаток УУ на жесткой логике?
11. Какое решение было найдено для устранения главного недостатка УУ на жесткой логике?
12. Для чего нужна ПЛМ?
13. Что такое ПЛИС?
14. Опишите структуру УУ с хранимой в памяти логикой.
15. Перечислите варианты взаимного расположения циклов выборка-реализация МК.
16. Охарактеризуйте основные способы формирования адреса следующей МК.
17. Какие форматы микрокоманд бывают?
18. От чего зависит алгоритм формирования адреса МК? Опишите его для каждого типа
МК.
19. Назовите способы кодирования МК. Приведите для каждого схему кодирования МК.
20. Опишите достоинства и недостатки каждого способа кодирования микрокоманды.
21. Как подразделяются МК с точки зрения синхронизации?
Контрольные задания
Задание 3. Ответы на вопросы:
1. На листах ответа должны быть указаны номер группы, фамилия студента и номер его
варианта.
2. Номера вопросов выбираются студентом в соответствии с порядковым номером из
списка группы.
3. В клетках таблицы стоят номера вопросов, на которые необходимо дать письменный
ответ.
81
Таблица 3
№ варианта
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
№№ номера вопросов
1,5,9,13,19
2,6,10,14,20
3,7,11,15,21
4,8,12,16,22
1,7,12,17,23
2,8,9,15,19
3,5,10,16,20
4,6,11,13,21
1,8,11,17,22
2,5,12,18,23
4,6,12,13,22
2,7,9,16,23
1,5,11,14,21
3,5,11,18,21
1,6,12,14,23
82