Прогиб балки таврового сечения при равномерно

Прогиб балки таврового сечения при равномерно-распределенной нагрузке
Исходные данные:
Размеры элемента:
- Длина элемента l = 570 см = 570 /100 = 5,7 м;
Предельный прогиб:
- Величина обратная к предельному значению относительного прогиба 1/[f/L] kf = 200 ;
Размеры сечения:
- Высота сечения h = 30 см = 30 /100 = 0,3 м;
Размеры таврового или двутаврового сечения:
- Ширина ребра таврового или двутаврового сечения
b = 8 см = 8 /100 = 0,08 м;
- Высота полки в сжатой зоне h'f = 3 см = 3 /100 = 0,03 м;
- Ширина полки в сжатой зоне b'f = 78 см = 78 /100 = 0,78 м;
Толщина защитного слоя:
- Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S до грани сечения
a = 3,1 см = 3,1 /100 = 0,031 м;
- Расстояние от равнодействующей усилий в арматуре S' до грани сечения
a' = 0 см = 0 /100 = 0 м;
Площадь наиболее растянутой продольной арматуры:
(Стержневая арматура, диаметром 22 мм; 1 шт.):
- Площадь растянутой арматуры As = 3,8 см2 = 3,8 /10000 = 0,00038 м2;
Площадь сжатой или наименее растянутой продольной арматуры:
- Площадь сжатой арматуры A's = 0 см2 = 0 /10000 = 0 м2;
Нормативная нагрузка:
- Постоянная и временная длительная нормативная равномерно-распределенная нагрузка
ql, n = 0,4461 тс/м = 0,4461 /101,97162123 = 0,004375 МН/м;
- Полная нормативная равномерно-распределенная нагрузка
qn = 0,4461 тс/м = 0,4461 /101,97162123 = 0,004375 МН/м;
Результаты расчета:
Определение нормативного сопротивления бетона
Класс бетона - B25.
Нормативное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний первой
группы:
По табл. 5.1
Rbn = 18,5 МПа .
Нормативное значение сопротивления бетона осевому растяжению для предельных состояний первой
группы:
По табл. 5.1
Rbtn = 1,55 МПа .
Расчетное сопротивление бетона
Группа предельных состояний - вторая.
При второй группе предельных состояний
Расчетное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний второй группы:
Rb, ser = Rbn =18,5 МПа (формула (5.1); п. 5.1.9 ).
Расчетное значение сопротивления бетона осевому растяжению для предельных состояний второй
группы:
Rbt, ser = Rbtn =1,55 МПа (формула (5.2); п. 5.1.9 ).
Значение модуля упругости арматуры
Модуль упругости арматуры:
Es=200000 МПа .
Прогиб изгибаемых элементов постоянного сечения при равномерно-распределенной нагрузке
Расчетная схема - свободно-опертая балка.
Коэффициент, зависящий от расчетной схемы элемента и вида нагрузки:
S=0,1042.
Изгибающий момент от полной нормативной нагрузки:
M = qn l2/8=0,004375 · 5,72/8 = 0,017767 МН м .
Изгибающий момент от постоянной и длительной нормативной нагрузки:
Ml = ql, n l2/8=0,004375 · 5,72/8 = 0,017767 МН м .
Определение кривизны при прогибе железобетонного элемента
I. Проверка условия образования трещин при действии полной нагрузки
Начальный модуль упругости:
По табл. 5.4
Eb = 30000 МПа .
Элемент - изгибаемый.
Определение момента образования трещин
Определение характеристик приведенного сечения
Коэффициент приведения арматуры к бетону:
a = Es/Eb=200000/30000 = 6,666667.
Рабочая высота сечения:
ho = h-a=0,3-0,031 = 0,269 м .
h'o = h-a'=0,3-0 = 0,3 м .
Сечение - тавровое с полкой в сжатой зоне.
Площадь сечения:
A = b (h-h'f)+b'f h'f =
=0,08 · (0,3-0,03)+0,78 · 0,03 = 0,045 м2 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = A +(As+A's) a=0,045+(0,00038+0) · 6,666667 = 0,047533 м2 .
Статический момент бетонного сечения относительно наиболее сжатого волокна:
Sc = b (h-h'f)2/2+b'f h'f (h-h'f/2) =
=0,08 · (0,3-0,03)2/2+0,78 · 0,03 · (0,3-0,03/2) = 0,009585 м3 .
Статический момент растянутой арматуры относительно наиболее сжатого волокна:
Ssc = As a=0,00038 · 0,031 = 0,00001178 м3 .
Статический момент сжатой арматуры относительно наиболее сжатого волокна:
S'sc = A's h'o=0 · 0,3 = 0 м3 .
Статический момент приведенного сечения относительно наиболее сжатого волокна:
Sc, red = Sc+Ssc a+S'sc a=0,009585+0,00001178 · 6,666667+0 · 6,666667 = 0,009664 м3 .
Расстояние от наиболее сжатого волокна в бетоне до центра тяжести приведенного сечения:
yc = Sc, red/Ared=0,009664/0,047533 = 0,203311 м .
Расстояние от наименее сжатого волокна в бетоне до центра тяжести приведенного сечения:
y'c = ho-yc=0,269-0,203311 = 0,065689 м .
Координата центра тяжести приведенного сечения:
y = Sc/A =0,009585/0,045 = 0,213 м .
Момент инерции бетонного сечения относительно центра тяжести приведенного сечения:
I = b (h-h'f)3/12+b'f h'f3/12+A (yc-y )2 =
=0,08 · (0,3-0,03)3/12+0,78 · 0,033/12+0,045 · (0,203311-0,213)2 = 0,000137 м4 .
Расстояние от наиболее растянутого волокна бетона до центра тяжести приведенного сечения:
yt = yc-a=0,203311-0,031 = 0,172311 м .
Момент инерции площадей сечения растянутой арматуры:
Is = As (ho-yc)2=0,00038 · (0,269-0,203311)2 = 0,00000164 м4 (формула (7.33); п. 7.3.10 ).
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = I +Is a+I's a =
=0,000137+0,00000164 · 6,666667+0 · 6,666667 = 0,000148 м4 (формула (7.9); п. 7.2.9 ).
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = A +As a+A's a =
=0,045+0,00038 · 6,666667+0 · 6,666667 = 0,047533 м2 (формула (7.10); п. 7.2.9 ).
Момент сопротивления сечения:
W = Ired/yt=0,000148/0,172311 = 0,000859 м3 (формула (7.7); п. 7.2.9 ).
Расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от
расстянутой зоны:
ex = W/Ared=0,000859/0,047533 = 0,018072 м (формула (7.8); п. 7.2.9 ).
Изгибающий момент, воспринимаемый нормальным сечением элемента при образовании трещин:
Mcrc = Rbt, ser W=1,55 · 0,000859 = 0,001331 МН м (формула (7.6); п. 7.2.8 ).
Т.к. M=0,017767 МН м > Mcrc=0,001331 МН м:
Трещины образуются.
Вид нагрузки - постоянная и длительная.
Т.к. кратковременная нагрузка отсутствует (1/r)1 и (1/r)2 - определять не требуется.
II. Определение кривизны от продолжительного действия постоянных и временных
длительных нагрузок
Изгибающий момент от постоянной и длительной нормативной нагрузки:
Ml = M =0,017767 МН м .
Действие постоянных и временных длительных нагрузок
Изгибающий момент:
M = Ml =0,017767 МН м .
Жесткость железобетонного элемента на участках с трещинами в растянутой зоне при
продолжительном действии нагрузки
Предварительно определяют коэффициент ys по формуле (7.22) п. 7.2.15.
Определение коэффициента ys
Определение напряжений в растянутой арматуре
Принимаемая относительная деформация бетона:
eb1, red=0,0015.
Расчетное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний второй группы:
Rb, ser = Rbn =18,5 МПа .
Приведенный модуль деформации сжатого бетона:
Eb, red = Rb, ser/eb1, red=18,5/0,0015 = 12333,333333 МПа (формула (7.16); п. 7.2.13 ).
Коэффициент приведения сжатой арматуры к бетону:
as1 = Es/Eb, red=200000/12333,33 = 16,216221(формула (7.15); п. 7.2.13 ).
Напряжения в растянутой арматуре определяются при as2 = as1
При этом принимается для изгибаемых элементов yc= xm - высота сжатой зоны бетона, определяемая по
п. 7.3.12.
Коэффициент приведения растянутой арматуры к бетону:
as2 = as1 =16,21622.
Определение средней высоты сжатой зоны для изгибаемых элементов
Сечение - тавровое или двутавровое.
Рабочая высота сечения:
ho = h-a=0,3-0,031 = 0,269 м .
Коэффициент армирования:
ms = As/(b'f ho)=0,00038/(0,78 · 0,269) = 0,001811 % .
Коэффициент:
m's = A's/(b'f ho)=0/(0,78 · 0,269) = 0.
Площадь поперечного сечения свесов сжатой полки:
A'f = (b'f-b ) h'f=(0,78-0,08) · 0,03 = 0,021 м2 .
Коэффициент:
m'f = A'f/(b'f ho)=0,021/(0,78 · 0,269) = 0,100086.
Средняя высота сжатой зоны бетона:
xm = ho (; (ms as2+m's as1+m'f)2+2 (ms as2+m's as1 a'/ho+m'f h'f/(2 ho)) -(ms as2+m's as1+m'f)) =
=0,269 · (; (0,001811 · 16,21622+0 · 16,21622+0,100086)2+2 · (0,001811 · 16,21622+0 · 16,21622
· 0/0,269+0,100086 · 0,03/(2 · 0,269)) -(0,001811 · 16,21622+0 · 16,21622+0,100086)) = 0,044363 м .
Расстояние от наиболее сжатого волокна до центра тяжести приведенного сечения без учета растянутой
зоны:
ycm = xm =0,044363 м .
Расстояние от наиболее сжатого волокна в бетоне до центра тяжести приведенного сечения:
yc = xm =0,044363 м .
Момент инерции площадей сечения растянутой арматуры:
Is = As (ho-yc)2=0,00038 · (0,269-0,044363)2 = 0,000019175 м4 (формула (7.33); п. 7.3.10 ).
Определение момента инерции сжатой зоны бетона
Т.к. xm=0,044363 м > h'f=0,03 м:
Ib = b'f xm3/3=0,78 · 0,0443633/3 = 0,000022701 м4 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = Ib+Is as2+I's as1 =
=0,000022701+0,000019175 · 16,21622+0 · 16,21622 = 0,000334 м4 (формула (7.39); п. 7.3.11 ).
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = (M (ho-yc)/Ired) as1 =
=(0,017767 · (0,269-0,044363)/0,000334) · 16,21622 = 193,775361 МПа (формула (7.14); п. 7.2.13 ).
Напряжения ss, crc определяются при M=Mcrc.
Напряжения в продольной растянутой арматуре в сечении с трещиной сразу после образования
нормальных трещин:
ss, crc = (Mcrc (ho-yc)/Ired) as1 =
=(0,001331 · (0,269-0,044363)/0,000334) · 16,21622 = 14,51652 МПа (формула (7.14); п. 7.2.15 ).
Коэффициент, учитывающий неравномерное распределение относительных деформаций:
ys = 1-0,8 ss, crc/ss =
=1-0,8 · 14,51652/193,7754 = 0,940069(формула (7.22); п. 7.2.15 ).
Значение модуля деформации сжатого бетона принимают по формуле (5.9) для нагрузок
продолжительного действия.
Определение приведенного модуля упругости при продолжительном действии нагрузки
Относительная влажность воздуха окружающей среды - 40 - 75%.
Принимаемая относительная деформация бетона:
По табл. 5.6
eb1, red = 0,0028.
Приведенный модуль деформации сжатого бетона:
Eb, red = Rb, ser/eb1, red=18,5/0,0028 = 6607,142857 МПа (формула (5.9); п. 5.1.19 ).
Коэффициент приведения сжатой арматуры к бетону:
as1 = Es/Eb, red=200000/6607,143 = 30,27027(формула (7.48); п. 7.3.11 ).
Приведенный модуль деформации растянутой арматуры:
Es, red = Es/ys=200000/0,940069 = 212750,340666 МПа (формула (7.50); п. 7.3.11 ).
Коэффициент приведения растянутой арматуры к бетону:
as2 = Es, red/Eb, red=212750,3/6607,143 = 32,200045(формула (7.49); п. 7.3.11 ).
Модуль деформации сжатого бетона:
Eb1 = Eb, red =6607,143 МПа .
Определение момента инерции приведенного сечения
Определение средней высоты сжатой зоны для изгибаемых элементов
Рабочая высота сечения:
ho = h-a=0,3-0,031 = 0,269 м .
Коэффициент армирования:
ms = As/(b'f ho)=0,00038/(0,78 · 0,269) = 0,001811 % .
Коэффициент:
m's = A's/(b'f ho)=0/(0,78 · 0,269) = 0.
Площадь поперечного сечения свесов сжатой полки:
A'f = (b'f-b ) h'f=(0,78-0,08) · 0,03 = 0,021 м2 .
Коэффициент:
m'f = A'f/(b'f ho)=0,021/(0,78 · 0,269) = 0,100086.
Средняя высота сжатой зоны бетона:
xm = ho (; (ms as2+m's as1+m'f)2+2 (ms as2+m's as1 a'/ho+m'f h'f/(2 ho)) -(ms as2+m's as1+m'f)) =
=0,269 · (; (0,001811 · 32,20005+0 · 30,27027+0,100086)2+2 · (0,001811 · 32,20005+0 ·
30,27027 · 0/0,269+0,100086 · 0,03/(2 · 0,269)) -(0,001811 · 32,20005+0 · 30,27027+0,100086)) =
0,062569 м .
Расстояние от наиболее сжатого волокна до центра тяжести приведенного сечения без учета растянутой
зоны:
ycm = xm =0,062569 м .
Расстояние от наиболее сжатого волокна в бетоне до центра тяжести приведенного сечения:
yc = xm =0,062569 м .
Определение момента инерции сжатой зоны бетона
Т.к. xm=0,062569 м > h'f=0,03 м:
Ib = b'f xm3/3=0,78 · 0,0625693/3 = 0,000064 м4 .
Момент инерции площадей сечения растянутой арматуры:
Is = As (ho-yc)2=0,00038 · (0,269-0,062569)2 = 0,000016193 м4 (формула (7.33); п. 7.3.10 ).
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = Ib+Is as2+I's as1 =
=0,000064+0,000016193 · 32,20005+0 · 30,27027 = 0,000585 м4 (формула (7.39); п. 7.3.11 ).
Определение модуля деформации сжатого бетона в зависимости от продолжительности действия
нагрузки при продолжительном действии нагрузки
Коэффициент ползучести:
По табл. 5.5
fb, cr = 2,5.
Модуль деформации сжатого бетона:
Eb1 = Eb /(1+fb, cr) =
=30000/(1+2,5) = 8571,428571 МПа (формула (7.38); п. 7.3.10 ).
Изгибная жесткость:
D = Eb1 Ired=8571,429 · 0,000585 = 5,014286 МН м2 (формула (7.31); п. 7.3.11 ).
Кривизна:
(1/r)3 = M/D=0,017767/5,014286 = 0,003543 м (-1) (формула (7.30); п. 7.3.8 ).
III. Определение прогиба
Т.к. кратковременная нагрузка отсутствует (1/r)1 = (1/r)2.
(1/r) = (1/r)1-(1/r)2+(1/r)3 = (1/r)3
f =S
l2
Прогиб:
(1/r)=0,1042 · 5,72 · 0,003543 = 0,011995 м (формула (7.27); п. 7.3.6 ).
f =0,011995 м r (1/kf) l=(1/200) · 5,7=0,0285 м (42,087719% от предельного значения) - условие
выполнено .
Во всех случаях прогиб изгибаемого элемента не должен превышать 1/150 пролета или 1/75 вылета
консоли:
f =0,011995 м r l/150=5,7/150=0,038 м (31,565789% от предельного значения) - условие выполнено .
Проверка требования минимального процента армирования
Арматура расположена по контуру сечения - не равномерно.
Рабочая высота сечения:
ho = h-a=0,3-0,031 = 0,269 м .
Рабочая высота сечения:
ho = h-a=0,3-0,031 = 0,269 м .
Коэффициент армирования:
ms = As/(b ho) 100=0,00038/(0,08 · 0,269) · 100 = 1,765799 % .
ms t 0,1 % (1765,799% от предельного значения) - условие выполнено .