

(11 класс, модуль III, урок 4)
Урок 4. Непрерывность обратных функций
План урока









4.1. Множество значений непрерывной функции
4.2. Теорема о нуле непрерывной функции
4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции
4.4. Непрерывность арифметического корня
4.5. Непрерывность логарифмической функции
4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций
4.7. Заключительное замечание о непрерывности элементарных функций
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Формулируются теоремы о множестве значений непрерывной на
промежутке функции, доказывается теорема Больцано-Коши о нуле
непрерывной функции. Формулируется и доказывается достаточное
условие непрерывности для монотонной функции. Эти утверждения
применяются для обоснования непрерывности широкого класса
элементарных функций.
4.1. Множество значений непрерывной функции
При доказательстве существования функции, обратной
функции f ( x) , нужно показать, что различным значениям x
определения соответствуют различные значения функции. В
помогает монотонность.
Например, функция sin x на отрезке       строго
 2 2
к заданной
из области
этом часто
возрастает.
Отсюда следует, что если    x1   ,    x2   , и x1  x2 , то при x1  x2
2
2
2
2
будем иметь неравенство sin x1  sin x2 , а при x1  x2 — неравенство
sin x1  sin x2 , то есть различным значениям
x
из отрезка
   
 2 2 
соответствуют различные значения функции sin x .
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x)  1 , определенная при всех
x
x  0 , имеет обратную функцию?
Когда функция f ( x) , рассматриваемая на множестве D , имеет
обратную, то для определения обратной функции нужно знать множество
значений функции f ( x) . В нахождении множества значений непрерывной
функции часто помогает следующее утверждение.
Теорема 11. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] и
f ( a )  A , f (b)  B . Тогда для каждого числа C , заключенного
между числами A и B , найдется такое число c из отрезка [a b] ,
что f (c)  C .
Эту теорему иногда называют теоремой о промежуточных
значениях непрерывной функции.
Теорему о промежуточных значениях непрерывной функции можно
применять для доказательства существования корней некоторых уравнений.
Пример 1. Доказать, что уравнение x3  3x  1  0 имеет корень,
принадлежащий интервалу (01) .
Доказательство. Функция f ( x)  x3  3x  1 непрерывна на всей
числовой прямой. Рассмотрим отрезок [01] . Функция f ( x) непрерывна на
этом отрезке, f (0)  1 , f (1)  1 , а число 0 находится между числами 1 и
1 . Поэтому по теореме 11 существует такое число x0 из интервала (01) ,
что f ( x0 )  0 . Следовательно, уравнение x3  3x  1  0 на отрезке [01]
имеет какой-то действительный корень.
Вопрос. Как доказать, что уравнение x3  3x  1  0 имеет корень m‘
интервале 0 1 ?
2
+
4.2. Теорема о нуле непрерывной функции
 
Теорему 11 можно получить как следствие из теоремы о нуле
непрерывной функции.
Теорема 12. Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] и
принимает в концах значения разных знаков. Тогда найдется такое
число c из отрезка (a b) , что f (c)  0 .
Разберем доказательство теоремы 12, использующее метод деления
пополам.
Доказательство. Пусть, для определенности, f (a)  0 и f (b)  0 .
Обозначим a1  a , b1  b . Тогда f (a1 )  0 , f (b1 )  0 . Далее шаг за шагом
выполним следующие построения.
a b
I шаг. Разделим точкой c2  1 1 отрезок [a1  b1 ] на два равных
2
отрезка и вычислим f (c1 ) . Если f (c1 )  0 , то теорема доказана и процесс
заканчивается. Если f (c1 )  0 , то обозначим a2  a1 , b2  c1 ; если же
f (c1 )  0 , то обозначим a2  c1 , b2  b1 . В результате получаем, что
f (a2 )  0 , f (b2 )  0 .
a2  b2
отрезок [a2  b2 ] пополам и
2
вычислим f (c2 ) . Если f (c2 )  0 , то теорема доказана и процесс
заканчивается. Если f (c2 )  0 , то обозначим a3  a2 , b3  c2 ; если же
f (c2 )  0 , то обозначим a3  c2 , b3  b2 . В результате получаем, что
f (a3 )  0 , f (b3 )  0 .
И так далее: получив на очередном шаге отрезок [ak  bk ] , делим его
a b
точкой ck  k k пополам, вычисляем f (ck ) и, аналогично предыдущему,
2
либо заканчиваем процесс, либо строим отрезок [ak 1 bk 1 ] так, что
f (ak 1  0 , f (bk 1 )  0 .
В том случае, когда указанный процесс не заканчивается через
конечное число шагов, появляется последовательность [an  bn ] вложенных
друг в друга отрезков, длина которых стремится к нулю. По аксиоме
Кантора найдется единственная точка c , общая для всех отрезков, причем
lim an  c0 , lim bn  c0 .
II шаг. Разделим точкой c2 
n 
n 
По условию функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] , а поэтому
непрерывна в точке c . Следовательно, lim f (an )  f (c0 ) и lim f (bn )  f (c0 ) .
n 
n 
Но так как f (an )  0 , то lim f (an )  0 , откуда f (c0 )  0 . С другой стороны,
n 
f (bn )  0 , а поэтому lim f (bn )  0 , откуда
n 
f (c0 )  0 следует равенство
f (c0 )  0 . Тем самым теорема 11 доказана.
Вопрос. Как с помощью теоремы 11 доказать теорему 10?
Это интересно
Теорема о нуле непрерывной функции носит названии теоремы
Больцано-Коши. Эта теорема была опубликована в статье 1817 года
Бернардом Больцано. Он же в этой статье впервые дал определение
непрерывной на отрезке функции. Огюстен Луи Коши в курсе
«Алгебраического анализа» (1821) дал идентичное определение
непрерывной функции и доказал вышеупомянутую теорему методом
деления отрезка на равные части.
Больцано, Бернард (05.10.1781-18.12.1848) – чешский математик,
философ и теолог. Много работал над логическими основами выдвинутой
им арифметической теории действительных чисел (1817). В «Парадоксах
бесконечного» (изд. 1851) явился предшественником Георга Кантора в
исследованиях бесконечных множеств.
(Приложение – портрет, рис. 1)
Коши,
Огюстен
Луи
(21.08.1789-23.05.1857)
–
французский
математик. Труды Коши относятся к различным областям математики
(преимущественно математического анализа) и математической физики. Его
курсы анализа, основанные на понятии предела, послужили образцом для
большинства курсов позднейшего времени. В них он, в частности, дал
определение непрерывности функции, четкое построении теории
сходящихся рядов, определение интеграла как предела интегральных сумм.
(Приложение – портрет, рис. 2)
Кантор, Георг (03.03.1845-06.01.1918) – немецкий математик.
Разработал теорию бесконечных множеств и теорию трансфинитных чисел.
Ввел понятие предельной точки, развил одну из теорий иррациональных
чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности о последовательности
вложенных друг в друга отрезков. Идеи Кантора первоначально встретили
резкое неприятие со стороны многих современников, но впоследствии
оказали глубокое влияние на развитие математики.
(Приложение – портрет, рис. 3)
4.3. Достаточное условие непрерывности для монотонной функции
Для доказательства непрерывности функций, которые обратны к
непрерывным функциям, будем использовать следующее свойство.
Теорема 13. Пусть функция f ( x) определена, монотонна на отрезке
[a b] и принимает все промежуточные значения между f (a ) и
f (b ) . Тогда функция f ( x) непрерывна на отрезке [a b] .
Доказательство. Предположим для определенности, что функция
f ( x) является строго возрастающей. Возьмем произвольную точку
c  (a b) . Для любого положительного числа  рассмотрим числа
C1  f (c)   и C2  f (c)   (если f (c)    f (a) , то примем C1  A , если
f (c)    f (b) , то примем C2  B ). На промежутке [a b] найдутся такие
числа c1 и c2 , что f (c1 )  C1 , f (c2 )  C2 . Пусть   min(c  c1 , c2  c) . Тогда в
силу строгой монотонности функции для любого x из  -окрестности числа
c выполняются неравенства f (c)    f (c   )  f ( x)  f (c   )  f (c)   ,
откуда следует непрерывность функции в точке c . В случае строго
убывающей функции доказательство совершенно аналогично. Легко понять,
как изменить доказательство, если точка c является одним из концов
промежутка [a b] .
Вопрос. Как доказать, что функция y  x 2 принимает все значения из
промежутка [0) ?
4.4. Непрерывность арифметического корня
Напомним, что при любом натуральном n функция f ( x)  x n ,
рассматриваемая на луче [0) , строго возрастает и непрерывна. Теорема 11
из пункта 4.1 позволяет установить, что эта функция принимает все
значения из промежутка [0) . Поэтому обратная к ней функция n x
определена на луче [0) , строго возрастает и принимает все значения из
промежутка [0) . Тогда по теореме 13 из пункта 4.3 можно сделать вывод,
что функция
определения.
g ( x)  n x
непрерывна в каждой точке своей области
2
Вопрос. Как доказать, что lim 2n  3n  1  1?
n 
2n 2  1
4.5. Непрерывность логарифмической функции
Напомним, что при a  1 функция f ( x)  a x строго возрастает на
всей числовой прямой. Из непрерывности этой функции и теоремы 11
следует, что функция f ( x)  a x принимает все положительные значения.
Значит, функция f ( x)  a x имеет обратную функцию, которая определена на
луче (0) , строго возрастает и принимает все действительные значения.
Как известно, эта обратная функция обозначает log a x и называется
логарифмической функцией.
Из теоремы 13 следует, что функция g ( x)  log a x непрерывна в
каждой точке своей области определения.
Аналогично определяется логарифмическая функция при 0  a  1 и
доказывается ее непрерывность.
Вопрос. Как доказать, что
n


 1 
 1 
lim  n log a 1     log a  lim 1    
 n  n  
n 
 n 



4.6. Непрерывность обратных тригонометрических функций
Напомним, что функция sin x , рассматриваемая на отрезке       ,
 2 2
строго возрастает, непрерывна и принимает все значения из отрезка [11] .
Поэтому обратная к ней функция arcsin x определена на отрезке [11] ,
строго возрастает и принимает все значения из отрезка       . Отсюда по
 2 2
теореме 13 получаем непрерывность функции arcsin x в каждой точке своей
области определения.
Аналогично доказывается непрерывность функций arccos x и arctg x
на всей области определения.
Вопрос. Как доказать непрерывность функции arctg x на всей
области определения?
4.7. Заключительное
функций
замечание
о
непрерывности
элементарных
В уроках третьем и четвертом мы рассмотрели основные функции
вида x , n x , sin x , cos x , tg x , arcsin x , arccos x , arctg x , a x , log a x и
установили их непрерывность. Из них с помощью операций сложения,
вычитания, умножения, деления и образования сложных функций можно
получать много разнообразных функций. Теоремы этой раздела позволяют
сделать вывод, что каждая из функций, полученная только что описанным
способом, непрерывна в своей естественной области определения. Это
означает, что на каждом из промежутков области определения графики
таких функций изображаются неразрывными линиями.
Вопрос. Как доказать непрерывность функции lg(1  x 2 ) на интервале
(11) ?
Мини-исследование
Чтобы доказать достаточное условие непрерывности для монотонной
функции, мы применили определение непрерывности «на языке  -  ».
Предлагается доказать теорему 13, используя определение непрерывности
«на языке последовательностей»: функция f ( x) называется непрерывной в
предельной точке a из области определения D , если для всякой
последовательности ( xn ) такой, что xn  D и xn  a , последовательность
( f ( xn )) сходится к f (a ) (при n   ).
Для этого возьмем произвольную точку c  (a b) и, обозначив через
d наименьшее расстояние от c до концов промежутка [a b] , рассмотрим
последовательности
и
an  c  d
bn  c  d . Предположим для
n
n
определенности, что функция f ( x) является строго возрастающей.
1) Покажите, что последовательности ( f (an )) и ( f (bn )) имеют
пределы.
2) Обозначив эти пределы через L1 и L2 , объясните, почему L1  L2 .
3) Объясните, почему для любого x  c выполняется неравенство
f ( x)  L1 , а для любого x  c выполняется неравенство f ( x)  L2 .
4) Приведите к противоречию предположение L1  L2 .
5) Почему L1  L2  f (c) ?
6) Возьмите любое положительное число  и покажите, что для
любого достаточно большого номера K выполняются неравенства.
f (c)    f (aK )  f (c)  f (bK )  f (c)  
7)
Возьмите любую такую последовательность ( xn ) , что xn  c ,
xn [a; b] , и покажите, что найдется такое число M , что для всех n  M
будут выполнены неравенства aK  xn  bK .
8)
Придите к выводу, что для любого положительного числа 
найдется такое число M , что для всех n  M будут выполнены неравенства
f (c)    f ( xn )  f (c)   .
Какие изменения нужно внести в рассуждения, если точка c
совпадает с одним из концов промежутка [a b] ? Как изменить полученное
доказательство непрерывности монотонной функции, множество значений
которой является промежутком, для случая строго убывающей функции?
И наконец, докажите, что у произвольной монотонной функции точки
разрыва могут быть только первого рода (см. урок 2).
Проверь себя. Непрерывность обратных функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Каково множество значений функции f ( x)  1  x 2 на отрезке [1; 2] :
 1.  3;0 ;  2. [3;1] ;  3. [0;1] ;  4. (3;0) ?
(Правильный вариант: 1)
Каково множество значений функции f ( x)  x 2  2 x на отрезке [2;3] :
 1. 3;8 ;  2. (0;3) ;  3. [1;8] ;  4. (3;8) ?
(Правильный вариант: 3)
Каково множество значений функции f ( x)  sin x на отрезке   ; 5  :
3 6 






 1.  1 ; 3  ;  2.  1 ;1 ;  3.  3 ;1 ;  4.  1 ; 3  ?
2 
2 2 
 2 
2 2 
(Правильный вариант: 2)
Каково множество значений функции f ( x)  cos x на отрезке    ;   :
 3 6






 1.  1 ; 3  ;  2.  1 ;1 ;  3.  3 ;1 ;  4.  1 ; 3  ?
2 
2 2 
 2 
2 2 
(Правильный вариант: 1)
Какая из функций является обратной к функции f ( x)  1 , рассматриваемой
x
на промежутке  ;0  :
 1. g ( x)  x на промежутке  ;0  ;
 2. g ( x)   x на промежутке  0;  ;
 3. g ( x)  1 на промежутке  ;0  ;
x
 4. g ( x)   1 на промежутке  0;  ?
x
(Правильный вариант: 3)
Какая из функций является обратной
рассматриваемой на промежутке  0;  :
к
функции
f ( x)  x 2  1 ,
 1. g ( x)  x  1 на промежутке  0;  ;
 2. g ( x)  x 2  1 на промежутке 1;  ;
 3. g ( x)  x 2  1 на промежутке  0;  ;
 4. g ( x)  x  1 на промежутке 1;  ?
(Правильный вариант: 4)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какая из функций является обратной к функции sin x , рассматриваемой на
промежутке   ; 3  :
2 2 
 1.   arccos x ;
2
 2.   arcsin x ;
 3.   arccos x ;
 4.   arcsin x ?
2
(Правильные варианты: 1, 2)
Какая из функций является обратной к функции cos x , рассматриваемой на
промежутке [ ; 2 ] :
 1.   arccos x ;
2
 2.   arcsin x ;
 3.   arccos x ;
 4.   arcsin x ?
2
(Правильные варианты: 3, 4)
Домашнее задание
1. Найдите множество значений функции f ( x) на отрезке [a b] , если:
а) f ( x)  x 2  2 , a  1 , b  2 ;
б) f ( x)  1 , a  3 , b  1 ;
x
в) f ( x)  x 2  1 , a  0 , b  2 ;
г) f ( x)  sin x   , a  0 , b   ;
4
4
x
д) f ( x)  2 , a  3 , b  4 .
2. Найдите множество значений функции f ( x) на отрезке [a b] , если:
а) f ( x)  ( x  1)2 , a  1 , b  2 ;
б) f ( x)  cos x   , a   , b  1 ;
4
4




в) f ( x)  x 2  x  1 , a  0 , b  1 ;
г) f ( x)  2 1
, a  2 , b  1 .
x  2x  3
3.** Найдите множество значений функции на всей области определения:
а) f ( x)  x 2  5 x  6 ;
б) f ( x)  1 ;
2x  3
в) f ( x)  x  3 ;
x4
г) f ( x)  x 2  x  1 ;
д) f ( x)  sin x  cos x ;
е) f ( x)  3sin x  4 cos x .
4.** С точностью до 01 найдите:
а) корень уравнения x 2  2 x  2  0 из интервала (21) ;
б) корень уравнения x  21 из интервала (11) ;
x 1
3
в) корень уравнения x  x  1 из интервала (0 2) ;
г) корень уравнения cos x  x из интервала 0  .
2
5. Докажите, что функция f ( x) непрерывна в точке a , если:
 
а) f ( x)  ( x  2 x ) и a  4 ;
б) f ( x)  ( 3 x  1  3 x  1) и a  0 ;
в) f ( x)  x  x и a  0 ;
x x
г) f ( x)  x x  2 x  3 и a  9 .
x 1
6.* Найдите предел:
а) lim x  1 ; б) lim 2x  2 ; в) lim x  2  2 ;
x 1 x  1
x 6
x 4 x  16
x6
3
x
; д) lim 1  5 x ; е) lim 6  x  1 .
x 1 1 
x 5 3  4  x
x 0 1  x  1
x
7. Докажите, что функция f ( x) непрерывна в точке a , если:
а)
и
f ( x)  log 2 x  1
f ( x)  lg( x 2  2 x  7) и a  3 ; б)
x 1
в) f ( x)  lg(1  sin x) и a  0 ; г) f ( x)  log3 sin 3x и a  5 .
x
8. Найдите предел:
а) lim(log x 1 ( x  3)) ; б) lim(log x2 1 ( x2  2 x  1)) ; в) lim(log x 1 ( x 2  5)) .
г) lim 3
x 1
x 3
x 2
x 1
9. Найдите предел:
а) lim(arcsin(2 x  1)) ;
x 1


г) lim  arccos 3 x  5  ;
x 2 
x  2 

10.* Найдите предел:

 tg x  
а) lim  arcsin 
;
x 0
 2x  



д) lim arctg
x 1

x ;
x2

в) lim arcsin x ;
x 1
x 1
б) lim(arccos(3 x  1)) ;
x 0
a  4;
е) lim (arcsin(log2 x)) .
x 2
3


б) lim  arccos  x 3  3 x  2   ;
x 1 
 x  2x 1  


x 1 1   .
в) lim  arctg 

x 2
 2x  x 1  

11.** Докажите, что lim arctg 12   .
x 0
2
x
12.** Докажите, что функция f ( x)  arctg 1 не имеет предела в нуле.
x
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций,
изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго
возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция f ( x) называется
возрастающей на множестве M , если для любых чисел x1 и x2 из M
неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция f ( x)
называется строго возрастающей на множестве M , если для любых чисел x1
и x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x) называется убывающей на множестве M , если для любых чисел x1 и
x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x) называется строго убывающей на множестве M , если для любых
чисел x1 и x2 из M неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Непрерывность функции в точке. Функция f ( x) называется непрерывной
в предельной точке a области определения, если lim f ( x)  f (a) . Часто
x a
дают немного отличное от приведенного определение непрерывности
функции в точке – функция f ( x) называется непрерывной в точке a из
области определения D , если для каждого положительного числа 
найдется   0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и
 x  a   , выполняется неравенство  f ( x)  f (a)   . Это определение
позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке
своей области определения.
Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется
непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке
множества M .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
Рисунок 2. –
Рисунок 3. –
Bolzano_3.jpg
Cauchy.jpg
Cantor_2.jpg