Линейная алгебра - Официальный сайт Индустриального

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра
Б2.Б2.
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«__»_______201__ г.
(под
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой математических и
естественнонаучных дисциплин
_______________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «__»_______201__ г.
Направление подготовки 38.03.01(080100.62) Экономика
Профиль подготовки: финансы и кредит (оценка собственности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Форма обучения: заочная
Курск – 201_
1
Составитель: Т.Ю.Ходаковская
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
математического цикла студентам по направлению подготовки 38.03.01 (080100.62)
Экономика.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 38.03.01 (080100.62) Экономика, утвержденного приказом Министерства
образования и науки Российской Федерации от "21" декабря 2009 г. № 747.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «__»_______201__ г.
и
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
6
6
11
11
29
30
30
31
32
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
способен
собрать
и Знать:
основные
понятия
ПК - 1
проанализировать
исходные (определения, факты, теоремы)
данные,
необходимые
для линейной
алгебры
(высшей
расчета
экономических
и алгебры, линейной алгебры и
социально-экономических
аналитической
геометрии),
показателей, характеризующих необходимые
для
решения
деятельность
хозяйствующих экономических
задач,
субъектов;
моделировании и исследовании
экономических
явлений
и
процессов;
Уметь:
применять
методы
линейной
алгебры
(высшей
алгебры, линейной алгебры и
аналитической геометрии)
к
решению
математических
и
экономических задач с доведением
решения
до
практически
приемлемого результата (формулы,
числа,
графика,
качественного
вывода и т. д.);
Владеть:
навыками
математического моделирования и
исследования
экономических
явлений и процессов.
способен на основе типовых Знать:
теоретические
основы
ПК – 2
методик
и
действующей методов
линейной;
основные
нормативно-правовой
базы методы решения задач линейной;
рассчитать экономические и Уметь:
использовать
методы
социально-экономические
линейной
алгебры
(высшей
показатели,
характеризующие алгебры, линейной алгебры и
деятельность
хозяйствующих аналитической) при моделировании
субъектов;
и исследовании экономических
явлений и процессов;
Владеть: перевод реальной задачи
на
математический
язык
(построение модели);
способен
выполнять Знать:
теоретические
основы
ПК – 3
необходимые для составления методов
линейной;
основные
экономических разделов планов методы решения задач линейной;
расчеты, обосновывать их и Уметь:
самостоятельно
представлять результаты работы разбираться
в
математическом
в соответствии с принятыми в аппарате,
содержащемся
в
организации стандартами;
литературе,
связанной
со
4
ПК – 4
способен осуществлять сбор,
анализ и обработку данных,
необходимых
для
решения
поставленных
экономических
задач;
ПК – 5
способен
выбрать
инструментальные средства для
обработки
экономических
данных
в
соответствии
с
поставленной
задачей,
проанализировать
результаты
расчетов
и
обосновать
полученные выводы;
специальностью студента;
Владеть:
навыками
математического моделирования и
исследования
экономических
явлений и процессов:
выбор оптимального метода ее
решения и исследования;
Знать: методы линейной алгебры ;
Уметь: выбирать и использовать
необходимые
вычислительные
методы и программные средства, а
также таблицы и справочники;
Владеть:
навыками
математического моделирования и
исследования
экономических
явлений и процессов:
интерпретация
и
оценка
полученных результатов и т. п.
Знать: основы линейной алгебры,
необходимые
для
решения
экономических задач;
Уметь:
применять
методы
линейной алгебры, необходимые
для решения экономических задач;
Владеть: навыками применения
современного
математического
инструментария для
решения
экономических задач.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части учебного цикла Б.2 «Математический
цикл».
Освоение базируется на школьном (общеобразовательном) курсе математики. Для
освоения дисциплины студент должен знать все основные базовые понятия и факты
курса арифметики, алгебры, геометрии и начал анализа; уметь проводить тождественные
преобразования, решать уравнения и системы, выполнять действия над векторами.
Содержание данной дисциплины является опорой для изучения следующих
дисциплин:
Б.2.1 – базовая часть - математический анализ, теория вероятностей и
математическая статистика, методы оптимальных решений;
Б.2.2 – вариативная часть – дискретная математика, информационные системы в
экономике;
Б.3.1 – профессиональный цикл, базовая часть макроэкономика,
микроэкономика, статистика, эконометрика; маркетинг;
Б.3.2 – профессиональный цикл, вариативная часть – комплексный экономический
анализ хозяйственной деятельности.
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
5
Вид работы
Трудоемкость, часов
1 семестр
Всего
180
180
26
26
10
10
16
16
145
145
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа:
Расчетно-графическое задание (РГЗ)
Самостоятельное изучение разделов
Самоподготовка (проработка и повторение
лекционного материала и материала учебников и
учебных пособий, подготовка к лабораторным и
практическим занятиям, коллоквиумам, рубежному
контролю и т.д.),
Подготовка и сдача экзамена
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
9
Экзамен
9
Экзамен
4 Содержание и структура дисциплины (модуля)
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для заочной формы обучения
Количество часов
№
раздела
Наименование разделов
Всего
Аудиторная
работа
Л/инт ПЗ/инт
ер.ф.
ер.ф.
1
1
Внеауд.
работа
СР
1
Комплексные числа и теория многочленов
17
2
Матрицы и определители
18
1
2
15
3
Системы линейных уравнений
18
1
2/1
15
Линейные пространства и
подпространства
Линейные преобразования линейных
пространств (линейные операторы)
18
1
2/1
15
18
1
2/1
15
6
Евклидово пространство
18
1
2/1
15
7
Векторная алгебра
18
1/1
2/1
15
8
Прямая и плоскость
17
1/1
1/1
15
9
Кривые и поверхности второго порядка
17
1/1
1/1
15
10
Квадратичные формы
12
1/1
1/1
10
экзамен
9
Итого:
180
10
16
145
4
5
6
15
4.2. Содержание разделов дисциплины
Название изучаемых разделов (тем) дисциплины и их содержание, а также формы
текущего контроля представлены в таблице 1, где КР – контрольная работа, Т –
тестирование, ДЗ – домашнее задание, К – коллоквиум, РГЗ – расчетно-графическое
задание, РК – рубежный контроль.
Таблица 1 – Содержание разделов дисциплины
№
1
Наименовани
Содержание раздела
текущего
е раздела
контроля
3
2
1
Комплексны
е числа и
теория
многочлено
в
2
Матрицы и
определител
и
3
Системы
линейных
уравнений
Форма
Комплексные
числа:
основные
определения,
алгебраическая, тригонометрическая, показательная
формы записи, операции над комплексными числами,
геометрическая интерпретация. Многочлены: основные
понятия и определения, делимость, свойства корней.
Теорема Безу. Схема Горнера. Основная теорема
алгебры. Разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратичные
множители. Разложение рациональных дробей на
простейшие.
Матрицы: основные определения, классификация,
операции над матрицами
(сложение, вычитание,
умножение), элементарные преобразования матриц,
приведение к треугольному виду, транспонирование
матриц; их свойства.
Коммутативные матрицы.
Матрицы блочной структуры. Определители: формулы
для вычисления определителей 1,2,3 порядков.
Простейшие свойства определителей. Дополнительный
минор и алгебраическое дополнение для элемента
определителя, их свойства. Практические правила
вычисления определителей n 4. Определитель
произведения матриц. Обратная матрица: определение,
свойства, вывод формулы для вычисления. Минор
порядкак для матрицы (определителя). Базисный минор
и ранг матрицы. Различные теоремы о рангах. Подобные
матрицы.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными:
основные определения, классификация. Основные
методы решения систем линейных уравнений: метод
Гаусса решения системы m линейных уравнений с n
неизвестными; правило Крамера решения системы
nлинейных уравнений с nнеизвестными, применение
обратных матриц к решению систем линейных
уравнений; теорема Кронекера - Копелли о совместности
неоднородной линейной системы.
7
4
КР,
Т,
К,
ДЗ
КР,
Т,
К,
ДЗ
КР,
Т,
К,
ДЗ
4
Линейные
пространств
аи
подпростран
ства
5
Линейные
преобразова
ния
линейных
пространств
(линейные
операторы)
6
Евклидовы
пространств
а
7
Векторная
алгебра
Линейное
пространство:
определение,
примеры
линейных пространств. Понятие линейной зависимости
независимости системы векторов, критерий линейной
зависимости системы векторов в произвольном
пространстве. Конечномерное линейное пространство:
определение, базис, способ выбора базиса, координаты
вектора. Критерий линейной независимости векторов в
конечномерном пространстве. Формулы перехода от
одного базиса к другому. Формулы для связи координат
одного и того же вектора в двух базисах одного и того
же линейного пространства. Линейное подпространство.
Линейные преобразования линейных пространств:
определение, матрица, критерий невырожденности,
инвариантность определителя матрицы линейного
преобразования, формула для связи матриц одного и
того же линейного преобразования в двух различных
базисах одного и того же конечномерного линейного
пространства. Множество значений и ядро линейного
преобразования. Размерность пространства решений
линейной
однородной
системы.
Размерность
пространства решений линейной однородной системы.
Теоремы о структуре решений линейной однородной и
неоднородной
систем
линейных
уравнений.
Собственные векторы и собственные значения
линейного
преобразования.
Характеристический
многочлен. Существование базиса из собственных
векторов.
Приведение
матрицы
линейного
преобразования к диагональному виду.
Евклидово пространство: определение, неравенство
Коши-Буняковского, длина вектора, угол между
векторами, ортогональные векторы, ортонормированные
векторы. Независимость ортонормированной системы
векторов. Существование ортонормированного базиса в
евклидовом
пространстве.
Ортогональные
и
симметричные преобразования.
Векторы в R3: основные определения (равенство,
коллинеарность, компланарность), линейные операции.
Свойства множества векторов, плоскости (реального
пространства), исходящих из одной точки: линейное
пространство, базис, размерность. Прямоугольная
система координат в R3, координаты вектора, действия
над векторами, заданными в координатной форме.
Скалярная проекция вектора на ось: определение,
свойства, геометрический смысл координат. Скалярное,
векторное и смешанное произведения векторов:
определения, свойства, формулы для вычисления,
приложения.
8
РГЗ,
Т,
К,
ДЗ
РГЗ,
Т,
К,
ДЗ
Т,
К
КР,
Т,
ДЗ
Прямая
и Плоскость в R3: различные способы задания (через точку
перпендикулярно вектору, через точку параллельно двум
плоскость
неколлинеарным векторам, через три точки). Общее
уравнение плоскости и нормаль к плоскости; уравнение
плоскости «в отрезках».Взаимное расположение двух
плоскостей, угол между плоскостями.
Прямая на плоскости как частный случай плоскости.
Прямая вR3: различные способы заданий (через точку
параллельно вектору, через две точки). Общее уравнение
прямой. Взаимное расположение двух прямых, в том
числе условие принадлежности одной плоскости; угол
между прямыми. Прямая на плоскости как частный
случай прямой в пространстве. Взаимное расположение
прямой и плоскости в пространстве, угол между прямой
и
плоскостью,
определение
координат
точки
пересечения.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс,
Кривые и
поверхности гипербола, парабола, их геометрические свойства и
уравнения.
Поверхности
второго
порядка:
второго
геометрические свойства, исследование формы методом
порядка
сечений.
Квадратичн Линейные и билинейные формы: определение и
свойства.Квадратичные формы: определение, свойства,
ые формы
приведение к каноническому виду. Положительно и
отрицательно
определенные
формы,
условия
знакоопределенности.
Критерий
Сильвестра
положительной определенности квадратичной формы.
8
9
10
КР,
Т,
ДЗ
КР,
Т,
ДЗ
КР,
Т,
ДЗ
4.3 Практические занятия
Темы практических занятий, предусмотренных по дисциплине, представлены в
таблице 4.
Таблица 4 – Темы практических занятий
№
№
занятия раздела
Тема
Кол-во часов
1
1
Комплексные числа
1
2
2
Матрицы и определители
2
3
3
Системы линейных уравнений
2
4
4
Линейные пространства и подпространства.
2
5
5
Линейные преобразования. Собственные векторы.
2
6
7
Векторная алгебра
2
7
8
Плоскость в пространстве.
2
8
8
Прямая в пространстве и на плоскости.
1
9
№
№
занятия раздела
Тема
Кол-во часов
9
9
Кривые и поверхности второго порядка
1
10
10
Квадратичные формы
1
Итого:
16
4.4 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
Количество
раздела
часов
Схема Горнера. Основная теорема алгебры. Разложение
1
многочлена с действительными коэффициентами на линейные
15
и квадратичные множители. Разложение рациональных
дробей на простейшие.
Различные теоремы о рангах
15
2
Доказательство теоремы Кронекера-Коппели.
15
3
Линейное подпространство.
15
4
Приведение
матрицы
линейного
преобразования
к
15
5
диагональному виду.
Ортогональные и симметричные преобразования
15
6
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов:
15
7
определения,
свойства,
формулы
для
вычисления,
приложения.
Взаимное расположение двух плоскостей, угол между
15
8
плоскостями.
Поверхности второго порядка
15
9
Положительно и отрицательно определенные квадратичные
10
10
формы. Критерий Сильвестра.
Итого:
145
4.5 Интерактивные
аудиторных занятиях
образовательные
технологии,
используемые
в
Согласно ФГОС ВПО удельный вес интерактивных образовательных
технологий по данному направлению подготовки должен составлять не менее 20 % от
числа аудиторных занятий.
Вид
занятия
Л
ПР
Используемые интерактивные образовательные
технологии
Лекция – визуализация
Количество
часов
1
Проблемная лекция
2
Лекция - конференция
Использование электронной системы обучения
“Moodle” УСИТО
1
4
Использование
2
АИССТ
(автоматизированной
10
системы сетевого тестирования) УСИТО
Использование
пакетов
стандартных
математических
Тренинги, групповая работа, тренинги
использованием ситуационного обучения.
Итого
2
с
12
4.6 Интерактивные образовательные технологии, используемые при
организации самостоятельной работы студентов
Поддержка самостоятельной работы студентов в процессе обучения и проверка
хода и уровня усвоения соответствующего материала осуществляется с помощью
электронной системы обучения “Moodle” .
Для проверки правильности проведения расчетов при выполнении РГЗ и КР
используются стандартные математические пакеты, а также возможности сайта
http://www.wolframalpha.com/ .
5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине
Помимо рекомендованной основной и дополнительной литературы, в процессе
самостоятельной работы студенты могут пользоваться следующими методическими
материалами:
Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
[Электронный ресурс]/ Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Физматлит, 2006.— 496 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/17422.— ЭБС «IPRbooks»
Алания Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
[Электронный ресурс]/ Алания Л.А., Гусейн-Заде С.М., Дынников И.А.—
Электрон.текстовые данные.— М.: Логос, 2005.— 376 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/9121.— ЭБС «IPRbooks»
6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
При определении оценки знаний студентов во время экзамена по дисциплине
«Линейная алгебра» преподаватель руководствуется следующими критериями:
1. Оценка «отлично» ставится, если студент:
1) полно излагает изученный материал, дает правильное определение языковых понятий;
2) обнаруживает понимание материала, может обосновать свои суждения, применить
знания на практике, привести необходимые примеры не только по учебнику, но и
самостоятельно составленные;
3) излагает материал последовательно и правильно с точки зрения норм литературного
языка.
2. Оценка «хорошо» ставится, если студент дает ответ, удовлетворяющий тем же
требованиям, что и для оценки «5», но допускает 1-2 ошибки, которые сам же исправляет,
и 1-2 недочета в последовательности и языковом оформлении излагаемого.
3. Оценка «удовлетворительно» ставится, если студент обнаруживает знание и
понимание основных положений данной темы, но:
1) излагает материал неполно и допускает неточности в определении понятий или
формулировке правил;
11
2) не умеет достаточно глубоко и доказательно обосновать свои суждения и привести свои
примеры;
3) излагает материал непоследовательно и допускает ошибки в языковом оформлении
излагаемого.
4. Оценка «неудовлетворительно» ставится, если студент обнаруживает незнание
большей части соответствующего раздела изучаемого материала, допускает ошибки в
формулировке определений и правил, искажающие их смысл, беспорядочно и неуверенно
излагает материал. Оценка «2» отмечает такие недостатки в подготовке студента, которые
являются серьезным препятствием к успешному овладению последующим материалом.
6.1 Вопросы для самопроверки и подготовки к экзамену по дисциплине (по
разделам)
Раздел 1Комплексные числа и теория многочленов ПК-1, ПК-3, ПК-4.
Числа какого вида называются комплексными числами? Что называется
действительной и мнимой частью комплексного числа? Какие комплексные числа
называются равными?
2 Что называется суммой двух комплексных чисел? Какими свойствами обладает
операция сложения двух комплексных чисел?
3 Что называется разностью двух комплексных чисел? Выведите формулу для
определения разности двух комплексных чисел.
4 Что называется произведением двух комплексных чисел? Какими свойствами
обладает операция умножения двух комплексных чисел? Как на практике
осуществляется умножение комплексных чисел?
5 Что называется частным от деления двух комплексных чисел? Выведите формулу
для определения частного двух комплексных чисел. Какое число называется
комплексно сопряженным данному? Как на практике осуществляется деление
комплексных чисел?
6 Как геометрически можно интерпретировать комплексные числа? Что называется
модулем и аргументом комплексного числа? Какая форма записи называется
тригонометрической формой записи комплексного числа? Выведите формулы для
умножения и деления комплексных чисел, представленных в тригонометрической
форме. Выведите формулу для возведения в степень комплексных чисел,
представленных в тригонометрической форме.
7 Что называется корнем n-й степени из комплексного числа? Выведите формулу
для определения корней n-й степени из комплексного числа. Каково их взаимное
расположение на плоскости?
8 Какая формула называется формулой Эйлера? Какая форма записи комплексного
числа называется показательной формой записи комплексного числа? Как
осуществляются операции над комплексными числами, представленными в
показательной форме?
9 Что называется многочленом степени n? Какие многочлены называются равными?
Как осуществляются сложение, вычитание, умножение и деление многочленов?
10 Что называется корнем многочлена? Какой корень называется корнем кратностик?
Сформулируйте теорему Безу и следствия к ней. Что такое схема Горнера? Для
чего она используется?
11 Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулируйте правила подбора
рациональных корней для уравнений с целыми коэффициентами. Сформулируйте
1
12
алгоритм разложения многочленов с действительными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители.
12 Сформулируйте алгоритм разложения рациональных дробей на простейшие.
Раздел 2 Матрицы и определители ПК-1, ПК-2, ПК-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Что называется матрицей? Как классифицируются матрицы в зависимости от
размера? Как классифицируются матрицы в зависимости от значений их
элементов? Какие матрицы называются равными?
Что называется суммой матриц? Любые ли матрицы можно складывать? Как на
практике осуществляется сложение матриц? Какими свойства обладает операция
сложение матриц?
Что называется разностью матриц? Выведите формулу для определения разности
двух матриц.
Что называется умножением матрицы на число? Любые ли матрицы можно
умножать на число? Как на практике осуществляется умножение матрицы на
число? Какими свойствами обладает операция умножения матриц на число?
Что называется произведением двух матриц? Всегда ли можно определить
умножение двух матриц? Какими свойствами обладает операция умножения двух
матриц? Какие матрицы называются коммутативными? Приведите примеры
матриц, являющихся коммутативными по отношению к любым матрицам.
Какие операции над матрицами называются элементарными преобразованиями
матриц? Как называются матрицы, получающиеся одна из другой при помощи
элементарных преобразований? Сформулируйте алгоритм приведения матрицы к
треугольному виду. Любая ли матрица может быть приведена к треугольному
виду?
Какая операция над матрицами называется транспонированием матрицы?
Сформулируйте и докажите свойства операции транспонирования.
Запишите формулы для вычисления определителей 1,2,3 порядков.
В каких случаях определитель равен нулю? Сформулируйте соответствующие
свойства и докажите.
Какие операции над элементами определителя изменяют его величину?
Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.
Какие операции над элементами определителя не изменяют его величины?
Сформулируйте соответствующие свойства и докажите.
Что называется дополнительным минором и алгебраическим дополнением для
элемента определителя? Какими свойствами они обладают?
Сформулируйте и обоснуйте практические правила вычисления определителей
порядка n  4.
Выведите формулу для вычисления определителя двух квадратных матриц.
Какая матрица называется невырожденной? Какая матрица называется обратной? У
любой ли матрицы существует обратная? Какими свойствами обладает операция
нахождения обратной матрицы? Сформулируйте и докажите. Выведите формулу
для вычисления обратной матрицы.
Что называется минором порядка кдля матрицы? Что называется рангом матрицы?
Что называется базисным минором? Какие теоремы о рангах Вам известны?
Сформулируйте и докажите. Какие практические правила определения ранга
матрицы Вам известны? Сформулируйте и обоснуйте. Какие матрицы называются
подобными? Как связаны их ранги?
13
Раздел 3 Системы линейных уравнений ПК-1, ПК-2, ПК-4
1
2
3
4
5
Система какого вида называется системой m линейных уравнений с n
неизвестными? Что называется коэффициентами при неизвестных? Что называется
свободными членами? Что называется решением системы? Решение какого вида
называется тривиальным? Решение какого вида называется нетривиальным? Какая
существует классификация систем m линейных уравнений с n неизвестными в
зависимости от числа решений? Какая существует классификация систем m
линейных уравнений с n неизвестными в зависимости от свойств свободных
членов?
Что называется матрицей системы m линейных уравнений с n неизвестными? Что
называется расширенной матрицей системы m линейных уравнений с n
неизвестными? Сформулируйте и обоснуйте метод Гаусса решения системы m
линейных уравнений с n неизвестными.
Что называется определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными?
Определители какого вида называются вспомогательными определителями для
системы n линейных уравнений с n неизвестными. Сформулируйте и докажите
правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и докажите критерий существования ненулевых решений у
системы n линейных уравнений с n неизвестными. Когда система n линейных
уравнений с n неизвестными имеет только тривиальное решение? Сформулируйте
и докажите.
Сформулируйте и докажите теорему Кронекера - Копелли о совместности системы
m линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и обоснуйте правило применения обратных матриц для решения
систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Раздел 4 Линейные пространства и подпространства ПК-1, ПК-2, ПК-3
1
2
3
4
5
6
Что называется линейным пространством? Приведите примеры.
Что называется линейной комбинацией векторов? Какая система векторов
называется линейно зависимой? Какая система векторов называется линейно
независимой? Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости
системы векторов в произвольном пространстве. Сформулируйте и докажите
частные случаи линейной зависимости и независимости системы векторов в
произвольном пространстве.
Какое линейное пространство называется конечномерным? Что называется
размерностью конечномерного линейного пространства? Как обозначаются такие
линейные пространства? Какое пространство называется бесконечномерным? Как
обозначаются такие линейные пространства?
Что называется базисом линейного пространства? Как выбирают базис в
конечномерном линейном пространстве? Сформулируйте и докажите
соответствующую теорему. Сколько базисов можно выбрать в конечномерном
линейном пространстве?
Что называется координатами вектора в базисе? Докажите терему о
единственности разложения вектора по базису. Сформулируйте и докажите
критерий линейной независимости системы векторов в конечномерном линейном
пространстве.
Что называется матрицей перехода от одного базису к другому в конечномерном
линейном пространстве? Запишите соответствующие формулы. Выведите формулы
для связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же
конечномерного линейного пространства.
14
Раздел 5
Линейные преобразования линейных пространств (линейные
операторы) ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4
Что называется преобразованием линейного пространства? Преобразования какого
вида называются линейными преобразованиями? Опишите алгоритм, согласно
которому каждому линейному преобразованию в конечномерном линейном
пространстве с фиксированным базисом, ставится в соответствие единственная
квадратная матрица. Возможно ли обратное?
2 Выведите формулы для связи матриц одного и того же линейного преобразования в
двух базисах одного и того же конечномерного линейного пространства.
3 Докажите инвариантность определителя матрицы линейного преобразования.
4 Какое
линейное
преобразование
называется
тождественным?
Какое
преобразование называется невырожденным? Какое преобразование называется
вырожденным? Сформулируйте и докажите критерий невырожденности линейного
преобразования конечномерного линейного пространства.
5 Что называется линейным подпространством линейного пространства?
Сформулируйте достаточный признак того, что некоторое множество является
линейным подпространство линейного пространства. Приведите примеры
линейных подпространств.
6 Что называется ядром линейного преобразования? Какими свойствами оно
обладает? Что называется множеством значений линейного преобразования?
7 Какими особыми свойствами обладает пространство решений линейной
однородной системы? Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего
решения однородной
системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения неоднородной
системы m линейных уравнений с n неизвестными.
8 Какой вектор называется собственным вектором линейного преобразования?
Может ли он быть нулевым? Что называется собственным значением линейного
преобразования? Сколько различных собственных значений может иметь
собственный вектор?
9 Что называется характеристическим многочленом? Как он получается? Запишите
вывод. Что называется характеристическим числом линейного преобразования?
Докажите, что вид характеристического многочлена линейного преобразования не
зависит от выбора базиса.
10 Что называется спектром линейного преобразования? Какой спектр называется
простым? Докажите теорему о независимости системы векторов, составленной из
собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.
11 Когда в линейном пространстве можно выбрать базис из собственных векторов? В
каком случае матрица линейного преобразования может быть приведена к
диагональному виду?
1
Раздел 6 Евклидовы пространства ПК-1
1
2
Какое пространство называется евклидовым? Что называется скалярным
произведением? Запишите и докажите неравенство Коши – Буняковского.
Что называется длиной вектора в евклидовом пространстве? Какими она обладает
свойствами? Что называется углом между векторами в евклидовом пространстве?
Какие векторы называются ортогональными? Какая система векторов называется
ортонормированной? Докажите, что система ортонормированных векторов
является линейно независимой.
15
3
4
5
Докажите,
что
в
конечномерном
евклидовом
пространстве
можно
ортонормированный базис.
Преобразование какого вида называется ортогональным? Какими свойствами
обладает матрица ортогонального преобразования?
Преобразование какого вида называется симметрическим преобразованием?
Какими свойствами обладает матрица симметрического преобразования?
Раздел 7 Векторная алгебра ПК-1, ПК-2, ПК-5
1
2
3
4
5
Что называется вектором? Что называется длиной вектора? Какой вектор
называется нулевым вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие
векторы называются сонаправленными, противоположно направленными? Какие
векторы называются равными?
Какой вектор называется суммой двух векторов? Какими свойствами обладает
операция сложения двух векторов? Какие практические правила сложения двух
векторов Вам известны?
Какой вектор называется произведением вектора на число? Какими свойствами
обладает операция умножения вектора на число?
Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности двух векторов на плоскости.
Какие векторы на плоскости являются линейно независимыми? Сформулируйте и
докажите. Какими свойствами обладают векторы плоскости, исходящие из одной
точки?
Какие векторы называются компланарными? Сформулируйте и докажите критерий
3
компланарности векторов в R . Какими свойствами обладают векторы реального
3
пространства R , исходящие из одной точки?
3
Какая система координат в пространстве R называется прямоугольной системой
координат? Как определяются координаты точки? Какой вектор называется радиусвектором? Как определяются его координаты? Как вводятся координаты вектора в
общем случае? Как выполняются действия над векторами, заданными своими
координатами? Выведите формулу, для определения координат вектора, если
известны координаты начала и конца вектора.
7 Как определяется угол между векторами? Всегда ли его можно определить
однозначно? Что называется скалярной проекцией вектора на ось? Сформулируйте
и докажите свойства скалярной проекции на ось. Каков геометрический смысл
координат вектора?
8 Что называется скалярным произведением векторов? Сформулируйте и докажите
свойства скалярного произведения векторов. Выведите формулу для определения
скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Какие
геометрические приложения скалярного произведения векторов Вам известны?
Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности двух векторов.
9 Какая тройка векторов называется правой? Что называется векторным
произведением двух векторов? Сформулируйте и докажите свойства векторного
произведения векторов. Выведите формулу для определения векторного
произведения векторов, заданных своими координатами. Какие геометрические
приложения векторного произведения векторов Вам известны? Сформулируйте и
докажите признак коллинеарности двух векторов.
10 Что называется смешанным произведением трех векторов? Сформулируйте и
докажите свойства смешанного произведения векторов. Выведите формулу для
определения смешанного произведения векторов, заданных своими координатами.
6
16
Какие геометрические приложения смешанного произведения векторов Вам
известны? Сформулируйте и докажите критерий компланарности трех векторов.
Раздел 8Прямая и плоскость ПК-1, ПК-2, ПК-5
1
2
3
4
5
6
7
8
Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно
ненулевому вектору. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку,
параллельно двум неколлинеарным векторам. Выведите уравнение плоскости,
проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Уравнение какого вида называется общим уравнением плоскости? Каков
геометрический смысл коэффициентов данного уравнения? Уравнение какого вида
является общим уравнением прямой на плоскости? Какой вектор называется
нормальным к плоскости? Какой вектор называется нормальным вектором к
прямой на плоскости?
Уравнение плоскости какого вида называется уравнением плоскости «в отрезках»?
Каков геометрический смысл коэффициентов? Всегда ли от общего уравнения
плоскости можно перейти к уравнению плоскости «в отрезках»?
Каким может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве? Как по
коэффициентам в уравнениях плоскостей установить их взаимное расположение?
Как определить угол между плоскостями?
Выведите уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно ненулевому
вектору (каноническое и параметрическое) в пространстве. Как будет выглядеть
соответствующее уравнение на плоскости? Выведите уравнение прямой,
проходящей через две точки (каноническое и параметрическое). Как будет
выглядеть соответствующее уравнение на плоскости?
Что называется общим уравнением прямой в пространстве? Как от него перейти к
каноническому (параметрическому)? Всегда ли две плоскости в пространстве
задают прямую?
Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве? Как по
коэффициентам уравнений, задающих прямые, определить их взаимное
расположение? Сформулируйте и докажите признак принадлежности двух прямых
одной плоскости. Как определить угол между прямыми?
Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
Как по коэффициентам соответствующих уравнений определить взаимное
расположение прямой и плоскости? Как определяется точка пересечения прямой и
плоскости? Как определяется расстояние от точки до плоскости? Как определяется
расстояние от точки до прямой?
Раздел 9 Кривые и поверхности второго порядка ПК-1, ПК-2, ПК-3
Что называется окружностью? Каким уравнением задается окружность с центром в
точке M  x0 , y0  радиуса R?
10 Что называется эллипсом? Какие точки называются фокусами эллипса? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение эллипса? Что называется
фокальными радиус - векторами точки эллипса? Что называется эксцентриситетом
эллипса?
11 Что называется гиперболой? Какие точки называются фокусами гиперболы? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение гиперболы? Какие точки
называются вершинами гиперболы? Что называется эксцентриситетом гиперболы?
9
17
12 Что называется параболой? Что называется фокусом и директрисой параболы? Как
выглядит простейшее (каноническое) уравнение параболы?
13 Опишите способы приведения к каноническому виду кривых второго порядка.
14 Что называется сферой? Каким уравнением задается сфера с центром в точке
M  x0 , y0 , z0  радиуса R.
15 Запишите канонические уравнения цилиндров: эллиптического, гиперболического,
параболического.
16 Запишите уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат и
осью OZ (OX, OY).
17 Запишите канонические уравнения: эллипсоида, однополостного гиперболоида,
двуполостного гиперболоида.
18 Запишите
канонические
уравнения:
эллиптического
параболоида,
гиперболического параболоида.
19 Опишите алгоритм построения поверхностей второго порядка методом
параллельных сечений.
Раздел 10 Квадратичные формы ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-5
Что называется билинейной формой? Что называется матрицей билинейной
формы? Что называется рангом билинейной формы? Какая билинейная форма
называется симметрической?
2 Что называется квадратичной формой? Каким особым свойством обладает матрица
квадратичной формы? Что называется рангом квадратичной формы? Какая
квадратичная форма называется вырожденной (невырожденной)?
3 Что называется полярной билинейной квадратичной формой для данной
квадратичной формы? Какая существует связь между квадратичной формой и
полярной билинейной формой для данной квадратичной формы?
4 Как представить билинейную и квадратичную форму с помощью матриц? Связь
между матрицами билинейных (квадратичных) форм при невырожденных
преобразованиях: записать и обосновать.
5 Какая квадратичная форма называется канонической? Какая связь между числом
отличных от нуля коэффициентов в квадратичной форме канонического вида и
рангом формы?
6 Опишите метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
7 Сформулируйте и докажите основную теорему о квадратичных формах.
8 Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичных форм.
9 Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Какая
квадратичная форма называется отрицательно определенной? Какие миноры
называются главными минорами квадратичной формы? Сформулируйте и
докажите критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной
формы.
10 Сформулируйте алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду
(к главным осям) с помощью ортогонального преобразования.
1
6.2 Тесты проверки уровня усвоения знаний
Вариант 1
18
1 1 1
10 5
0
1. Равенство к 2 1 0  5
3 1 2
5 5 является справедливым при кравном:
15 5 10
А) –125; В) 125; С) 5; Д) –5; Е) ответ не указан.
 0  1
 0 1 2
, С  
 , то ВС равно:
1 0 
 - 1 2 0
 - 2 0 - 2
 0 - 1 - 2
А) определить нельзя; В) 
 ; С) 
 ; Д)
3
1
5
1
2
0




2. Если В  
1 - 2

0 1
0
 ; Е) ответ не указан.
2 
5 x1  3 x2  2 x3  4 x4  3
4 x  2 x  x  7 x  1
 1
2
3
4
3. Система 
несовместна при:
3
x

6
x

x

5
x

9
2
3
4
 1
7 x1  3 x2  7 x3  17 x4  
А) =1;
В) +2;
С) 0;
Д) =0;
Е) ответ не указан.

4.
Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а  {3,5,8} и

d  {1,1,4} , равны:
А) 6; 14;
В) 5; 10;
С) 2; 8;
Д) 6; 11;

Е) ответ не указан.

5. Найти координаты вектора в , коллинеарного вектору а  {2,1,1}, при условии
  
 а , в   3 .


А) {6,3,-3}; В) {2,1,-1}; С) {1, ½, -1/2}; Д) {-1, -1/2; ½}; Е) ответ не указан.
6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М0 (2,0,-3) параллельно прямой
2 x  y  3z  11  0
, имеет вид:

5
x

4
y

z

8

0

x2
y
z3
x2
y
z 3
x2 y z3
А)
; В)
; С)
;




 
11
 17  13
11
 17  13
7
3
2
x2 y z 3
Д)
; Е) ответ не указан.
 
7
3
2
7. Доказать, что оператор А: ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x3 , x2 ) является линейным и
найти его матрицу в исходном базисе:
19
1  1 1
 1 0 0




А)  0 0 1  ; В)   1 0 1  ; С)
0 1 0
 1 1 0





1  1 1


 1 0 0  ; Д)
0 1 0



0 0 1 


 1 0  1 ; Е) ответ не указан.
0 1 1 



а  {2,1,4}, b  {3,0,2}, c  {4,5,3} образуют базис.
8. Известно, что векторы

Найти координаты вектора d  {0,11,14} в этом базисе.
А) {2,-2,1); В) {-1,2,2}; С) {-1,-2,2}; Д) {3, 4,-1}; Е) ответ не указан.
z ( z  z3 )
9. Найти 1 2
, если z1  4  5i , z 2  1  i , z 3  7  9i .
z2
А) 32 –40i; В) 40-32i; С) 5+12i; Д) 12+5i; Е) ответ не указан.
10.
Найти
площадь
параллелограмма,
построенного
на
векторах

 

  


1 

a  p  3 g , b  p  2 g ; если | p | , | g | 1,( p , g )  .
5
2

А) 15; В) 10; С) 6; Д) 4; Е) ответ не указан.
11. Уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,-1,8) перпендикулярно вектору

ВС , где В(- 4,- 3,10), С(- 1,- 1, 7); имеет вид:
А) 3(x- 1)+ 2(y+ 1) –3(z- 8)=0; В) 3(x+ 1) +2(y - 1) –3(z+ 8) =0; С) 3x+2y-3z=0;
Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
12. Найти
А) 1; В)

3i
3
; С)
2
207 .
 3


 2


206
; Д) 207; Е) ответ не указан.
13. Точка пересечения прямой
x  2 y  3 z 1
и плоскости


1
1
4
x  2 y  3z  14  0 имеет координаты:
А) (2,3,-1); В) (1,2,3); С) (0,3, 0); Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
 1 2  3
 равен:
2
4
1


14. Ранг матрицы А  
А)1;
В) 2; С) 3;
Д) 0;
3
5
8 0 
3
 ; В) 
А) 
 0  2
0
15. Матрица А  
Е) ответ не указан.
5
 в базисе из собственных векторов имеет вид:
3 
0
 0 5
 3 5
 ; С) 
 ; Д) 
 ; Е) ответ не указан.
3
 5 0
 5 3
20
16. Размерность линейного пространства решений системы
 x1  x2  10 x3  x4  0

3x1  3x2  30 x3  3x4  0 равна:
А)1;
В) 2;
С) 3;
x  1
Д) 4;
2
17. Уравнение
4
Е) ответ не указан.

y  2 2

9
 1 задает на плоскости кривую, называемую:
А) окружностью с центром в точке (1; -2); В) эллипсом, С) гиперболой; Д) параболой; Е)
ответ не указан.
4 x  9 y  36 z  8 x  18 y  72 z  13  0
18. Уравнение
каноническому виду с помощью преобразований:
2
2
 x  x  2 ,
 x  x  1,


А)  y  y' 1, В)  y  y' 3, С)
 z  z' 6
 z  z' 1


2
приводится
к
 x  x  2 ,
 x  x  1,


 y  y' 1, Д)  y  y' 3, Е) ответ не указан.
 z  z' 6
 z  z' 1


Вариант 2
1 1 0
1. Равенство 2
3
А) –8;
3
1
В) 8;
0
4 к 8
5
10
С) 2;
2 2
4 справедливо при кравном:
6
6
2
Д) -2;
Е) ответ не указан.
 0 1 2


 1 - 1 3
, С   - 1 2 0  ; то АС равно:
2. Если А  
 2 0 2
 1 2 1


 4 5 5
 1 5 5
 4 5 3
А) определить нельзя; В) 
 ; С) 
 ; Д) 
 ; Е) ответ не указан.
2
6
6
2
3
6
1
6
2






x1  x2  x3  0

3. Система  x1  x2  x3  0 имеет ненулевое решение при:
 x  x  x  0
3
 1 2
В) =-2 или =1;
А) (+2)(-1)0;

С) =-2;
Д) =1;
Е) ответ не указан.

4.Если векторы АВ  2,6,4 и АС  4,2,2 определяют стороны треугольника

АВС, то вектор СД , совпадающий с медианой, проведенной из вершины С, имеет длину:
А)
6 ; В) 10; С) 10 ; Д) 6; Е) ответ не указан.
21


5. Если векторы a  7 ,6,6, b  6,2,9 можно рассматривать как ребра куба, то его
третье ребро равно:
А)  6,9,2 ; В) {13,8,3}; С) {-2, -9, 6}; Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М 1М2,
перпендикулярно к этому отрезку, если М1 (1,5,6); М2 (-1,7,10).
А) -2x +2y –6z=0; В) x-y-2z+22=0; С) -2(x-1)+2(y-5)-6(z-6)=0;
Д) –2(x+1)+2(y-7)-6(z-10)=0; Е) ответ не указан.
7. Доказать, что оператор A : ( x1 , x2 , x3 )  ( 4 x1  3x2  2 x3 , x1  x2 , x3 ) является
линейным и найти его матрицу в исходном базисе.
 4  3  2  4 1 0

 

А)  1 1
0  ; В   3 1 0  ; С)
0 0
1   2 0 1 

  2  3 4


0
1
1

 ; Д)
 1
0 0 

0 1 4 


0
1

3

 ; Е) ответ
1 0 2 


не указан.



а  5,4,1,, в   3,5,2, с  2,1,3 образуют базис.
8. Известно, что векторы

Найти координаты вектора d  7 ,23,4 в этом базисе.
А) {-1,2,3}; В) {3,2,-1}; С) {4,8,6}: Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
9. Найти
( z1  z 2 z3 )
, если z1  4  8i , z 2  1  i , 9  13i.
z2
А) 7+19i; В) 19+7i, 14+20i; С) 5+3i; Д) 3+5i; Е) ответ не указан.
10.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах









a  p  4 g ; b  3 p  g , | p | 1, | g | 2, ( p , g ) 
А)

6
.
18 ; В) 18; С) 6; Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
11. Определите уравнение прямой, проходящей через точку А(7,- ,1) перпендикулярно
плоскости 2x –5y+3z+8=0.
А)
Д)
x7

2
x5

7

y5

5
y5

5
12. Найти 1 
А) 2
500
; В)
3 i
z 1
x  7 y  5 z 1
x2 y 5 z 3
; В)
; С)
;




3
2
5
3
7
5
1
z 3
; Е) ответ не указан.
1
500 .
3501 ; С) 3 500 ; Д) 1000; Е) ответ не указан.
13.Единичный вектор, перпендикулярный плоскостиx-2y+2z-9=0, имеет координаты:
А) (1/3, -2/3,2/3); В) (1,-2,2); С) (0,0,1); Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
22
- 3 2 1
 равен:
 1 4 2
14. Ранг матрицы А  
А) 1; В)2; С) 3; Д) 0; Е) ответ не указан.
 2 2
 , соответствующий собственному
 1 3
15.Найти собственный вектор матрицы А  
значению =4:
А) (с, - с); В) (с, с); С) (0,с); Д) (2с, с); Е) ответ не указан.
16. Фундаментальная система решений системы уравнений
 x1  x2  x3  x4  0

 x1  x3  0
x  x  0
 2 4
  1  0 
1  0 
  1  0 
0 1
  
  
  
  
0
1
0

1
0

1
  
  
  
0 1
,
,
,
имеет вид: А) 
;
В)
;
С)
;
Д)
1  0 
 1 0
 1 ,  0  ; Е) ответ не
1  0
   
   
   
   
 0  1
0  1 
 0 1 
1 0
указан.
17. Уравнение
x  12   y  22
4
9
 1 задает на плоскости кривую, называемую:
А) окружностью с центром в точке (1; -2); В) эллипсом, С) гиперболой; Д) параболой; Е)
ответ не указан.
18. Уравнение 4 x  y  4 z  8 x  4 y  8 z  4  0
виду с помощью преобразований:
2
2
2
 x  x  2 ,
 x  x  2 ,


А)  y  y' 4 , В)  y  y' 4 , С)
 z  z' 6
 z  z' 6


приводится к каноническому
 x  x  2 ,
 x  x  1,


 y  y' 2, Д)  y  y' 3, Е) ответ не
 z  z' 6
 z  z' 1


указан
6.3 Критерии оценки знаний, умений и навыков
Итоговой формой контроля, знаний, умений и навыков по дисциплине является
экзамен. Экзамен проводится по билетам, которые включают два теоретических вопроса и
две задачи.
Оценка знаний студентов производится по следующим критериям:
- оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил
программный материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически
стройно его излагает, умеет тесно связывать теорию с практикой, свободно справляется с
23
заданиями и вопросами, причем не затрудняется с ответами при видоизменений заданий,
правильно обосновывает принятые решения, владеет разносторонними навыками и
приемами выполнения практических задач;
- оценка «хорошо» выставляется студенту, если от твердо знает материал курса,
грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на
вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических
вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения;
- оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет знания только
основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно
правильные формулировки, нарушения логической последовательности в изложении
программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических задач;
- оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает
значительной части программного материала, допускает существенные ошибки,
неуверенно, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с
ними самостоятельно.
6.4. Темы рефератов
1. Евклидовы пространства.
2. Билинейные и квадратичные формы.
3. Инварианты в общей теории кривых и поверхностей второго порядка.
4. Унитарные пространства.
5. Дуальные (сопряженные) пространства.
6. Двумерные пространства со скалярным произведением. Псевдоевклидова плоскость.
7. Неевклидова геометрия Лобачевского.
8. Неевклидова геометрия Римана.
9. Неевклидова геометрия и ОТО.
10. Пространство Минковского.
11. Тензор инерции.
12. Тензоры напряжений и деформации.
13. Тензоры электропроводности и теплопроводности кристаллов.
14. Три источника теории групп.
15. Симметрия плоской геометрической фигуры.
16. Диэдральные группы Dn.
17. Группа вращений тетраэдра Т.
18. Группа вращений куба О.
19. Группа симметрии тетраэдра Тd.
20. Группа симметрии куба Оh.
21. Группа вращений трёхмерного пространства вокруг неподвижной точки.
22. Группа Лоренца.
23. Лемма Шура.
24. Симметрия неограниченных фигур.
25. Симметрия в природе и искусстве.
Правила, которых следует придерживаться при написании рефератов:
- Объем не менее 10 страниц формата А4, вместе с титульной страницей и списком
литературы.
- Список литературы должен присутствовать обязательно.
- Текст и формулы набрать в редакторе WORD.
6.5. Перечень тем Контрольных работ (в письменной форме) по курсу дисциплины
«Линейная алгебра».
24
Контрольная работа №1.
Вычисление матричного полинома.
Вычисление определителей.
Решение определенных систем линейных уравнений 3-го порядка
а) методом Гаусса
в) методом нахождения Обратной матрицы.
с) методом Крамера.
Контрольная работа №2
Матричные уравнения.
Исследование систем линейных уравнений.
Решение неопределенных систем линейных уравнений.
Операции над комплексными числами.
Квадратичные формы.
Перечень примерных вариантов Контрольных работ по курсу дисциплины
«Линейная алгебра».
Контрольная работа №1
1. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= x2 - 3x + 9,
 2 3 
 .
A  
 5  1
2. Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
 3x1  4 x2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  5 .
 5x  x  2 x  5
2
3
 1
3. Посчитать Определитель матрицы системы из п.4
а) по Правилу Звезды (Правилу Треугольников)
в) разложением Определителя по строке (столбцу)
4. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
(Выписать Определитель системы, все Алгебраические дополнения,
Присоединенную матрицу системы).
25
  x1  x2  2 x3  3

 4 x1  5 x2  7 x3  15 .
 2 x  3x  6 x  11
2
3
 1
5. Решить систему уравнений из п.4 по правилу Крамера
Контрольная работа №2
1. Решить матричное уравнение:
  3  2
 2 1
  

X 
5
 8
 3 4
2. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и неопределенность,
не решая ее.
 x1  2 x2  x3  1

 3x1  x2  4 x3  11 .
 4 x  x  3x  8
2
3
 1
3. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, указать базисный
минор, базисные и свободные переменные. Решить систему методом Крамера.
Выписать общее и одно частное решение.
 4 x1  x2  x3  3x4  8

 x1  3x2  3x3  x4  5 .
 3x  4 x  4 x  4 x  3
2
3
4
 1
4. а) Комплексные числа изобразить векторами на плоскости и представить в
тригонометрической форме.
Z1   2  i ; Z 2  3  i .
в)Записать в тригонометрической форме.
Z 3  Z1  Z 2
;
Z 4  Z13 .
5. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
  3x12  x22  2 x32  6 x1 x2  2 x2 x3 .
Перечень Контрольных вопросов по курсу дисциплины «Линейная алгебра».
26
1. Системы линейных уравнений: определение, примеры. Свойства систем
уравнений: совместность, несовместность, определенность, неопределенность.
2. Эквивалентность систем, элементарные преобразования систем.
3. Матрицы, операции над ними и их свойства. Транспонирование матриц.
4. Определитель матрицы. Общая формула для вычисления определителей.
5. Свойства определителя.
6. Миноры и алгебраические дополнения, их связь с определителем матрицы.
7. Теорема Лапласа.
8. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
9. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
10. Свойства ранга матрицы.
11. Метод исключения переменных Гаусса.
12. Метод Крамера.
13. Теорема Кронекера-Капелли.
14. Общее решение системы линейных уравнений. Частные решения.
15. Базисные и свободные неизвестные.
16. Однородные системы линейных уравнений.
17. Комплексные числа и многочлены.
18. Алгебраическая форма комплексных чисел.
19. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
20. Сложение и умножение комплексных чисел.
21. Вычитание и деление комплексных чисел.
22. Основная теорема Алгебры.
23. Квадратичные формы.
24. Матрично-векторный вид квадратичной формы.
25. Канонический вид квадратичной формы.
26. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
27. Критерий Сильвестра.
6.6.Перечень экспресс-тестов по лекционному материалу дисциплины
«Линейная алгебра».
Тест 1
1. Записать Систему m Линейных Уравнений с n неизвестными в общем виде.
27
2. Перечислить названия 3-х типов Систем Линейных Уравнений (СЛУ) в зависимости от
соответствующего каждому типу множества решений.
3. Перечислить 4 вида эквивалентных преобразований СЛУ.
Тест 2
1. Написать матрицы
Am k
Bk n
и
каковы размеры матрицы С?
Написать выражение для элемента
а) через знак суммирования ∑
2. Как для данной матрицы
Am
в общем виде. Если С = А* В, то
k
cij
в) более подробно, без знака суммирования.
в общем виде будет выглядеть матрица
A
T
?
Каковы ее размеры? Выписать те 4 свойства (из 18 Свойств операций над
матрицами), где встречается операция транспонирования.
3. Записать Систему Линейных Уравнений для m=n=3 в обычном виде.
Выписать все матрицы А, Х, В, соответствующие
матричной форме
записи СЛУ: А * Х = В
Тест 3
1. Написать выражение для определителя матрицы второго порядка
  A2
в общем виде.
2. Схематично изобразить Правило Звезды для вычисления
определителя матрицы третьего порядка
3. Дать Определение Минора
  A3
M ij матрицы n-го порядка An
4. Написать формулу Алгебраического Дополнения
Aij
матрицы n-го порядка An
5. Написать выражение для вычисления определителя матрицы
третьего порядка   A3 по Теореме Лапласа, то есть
разложение по любой строке или любому столбцу:
а) либо в общем виде
б) либо для любого (уникального) численного примера.
Тест 4
1. Для системы линейных уравнений
через алгебраические дополнения
An X n1  Bn1 , A  0
Aij
Выписать формулы обратной матрицы
выписать
присоединенную матрицу
A1
28
, решения
X
.
A*
.
AX  B
2. Для системы линейных уравнений третьего порядка
выписать по методу Крамера выражения для
системы линейных уравнений
 x1 
 
X   x2 
x 
 3
i
через .
, i=1,2,3 и решение
i
.
3. Дать Определение ранга матрицы (через миноры).
4. Чему равен ранг ступенчатой матрицы?
5. Дать формулировку Теоремы Кронекера-Капелли для системы линейных
уравнений
Amn X n1  Bm1
Тест 5
1. Запишите комплексное число Z в алгебраической и тригонометрической формах.
Как связаны эти две формы записи?
2. Напишите выражение для произведения двух комплексных чисел Z1 , Z 2 , заданных в
тригонометрической форме; для частного от деления этих двух комплексных чисел.
3. Напишите Формулу Муавра, - выражение для возведения в степень
комплексного числа Z .
4. Выпишите каноническое разложение многочлена
n 1
f (Z ) степени
с
комплексными коэффициентами.
Тест 6
1 Сформулируйте Основную Теорему Алгебры для многочлена,
действующего в
комплексном пространстве.
2. Пусть Z – комплексная переменная,
число. Для уравнения
a  a (cos   i sin  )
– комплексное
Z n  a напишите выражение для k различных его корней:
Z k  ...
, k=0,1,…n-1
3. Выписать
симметрическую
матрицу
квадратичной
формы
  a11 x12  a22 x22  a33 x32  2 a12 x1 x2  2 a13 x1 x3  2 a23 x2 x3
и
записать квадратичную форму в матрично - векторном виде.
7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
29
7.1 Основная литература
1
2
3
Шафаревич И.Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Шафаревич И.Р., Ремизов А.О.— Электрон.текстовые данные.— М.:
Физматлит, 2009.— 512 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12927.—
ЭБС «IPRbooks»
Математика в экономике. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и
линейное программирование [Электронный ресурс]: учебник/ А.С. Солодовников
[и др.].— Электрон.текстовые данные.— М.: Финансы и статистика, 2011.— 384
c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12434.— ЭБС «IPRbooks»
Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник /под ред. Н. Ш.
Кремера. - М.: Юнити, 2008. - 450 с.
7. 2 Дополнительная литература
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М:
Физматлит, 2008 - 312 с.
Боревич, З. И.Определители и матрицы.- CПб.: Лань, 2004. - 192 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. – М: Наука, 1988 - 222 с.
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и
задачах. – М: Физматлит, 2002 – 248 с.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1975 408 с.
Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.- Минск: ТетраСистемс,
2008 -284 с.
Гусятников П.Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах. - М:
Высшая школа, 1985 - 232 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в задачах и
упражнениях. В 2-х частях. Ч.1. –М: ОниксМир и Образование, 2006 – 304 с.
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы.- М: Наука, 1972 - 159 с.
Икрамов Х. Д., Воеводин В.В Задачник по линейной алгебре - М: Наука, 1988 - 320
с.
Канатников А.Н. Линейная алгебра – М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 –
308 с.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М: Наука, 1986 -224 с.
Кострикин А.Н. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: - Лань, 2005 – 304 с.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты. – СПБ.:
2005 - 240 с.
Мишина А.П. Высшая алгебра: Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. –
М: Физматгиз, 1962 – 300с.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – СПб.: Лань, 2005 – 304 с.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
http://moodle.osu.ru/ - электронная система обучения;
http://lib.mexmat.ru/электронная
библиотека
механико-математического
факультета МГУ;
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm - учебно-образовательная физикоматематическая библиотека;
30
http://aist.osu.ru/ - автоматизированная интерактивная система сетевого
тестирования ОГУ;
www.exponenta.ru – Internet-класс по высшей математике: вся математика, от
пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и
проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов;
http://www.wolframalpha.com/ - сайт, где можно проверить решение огромного
количества задач.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Общие рекомендации по самостоятельной работе студентов
Методические материалы и рекомендации для преподавателя
Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является
информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий
студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с
решением различных типов задач.
Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для
организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы,
компьютерные обучающие программы, сборники задач.
Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются
приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания и приемы,
направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности.
Важно четко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом разделе
основные, базовые понятия, обозначенные минимумом содержания, определенного
государственным образовательным стандартом.
Изложение теории курса опирается на следующие понятия и факты, изучаемые в
курсе линейной алгебры:
 матрица,
 ранг матрицы.
 определители и их свойства,
 системы однородных и неоднородных уравнений,
 прямые и плоскости,
 линии и поверхности второго порядка,
 линейные пространства,
 линейные операторы,
 евклидовы пространства.
Понятия и факты, изучаемые в курсе аналитической геометрии и линейной алгебры,
применяются в последующих разделах геометрии, а также в других учебных
дисциплинах:
в математическом анализе
 метод координат,
 полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат,
 уравнения линий второго порядка в прямоугольной декартовой и полярной системах
координат,
 уравнения поверхностей второго порядка;
в алгебре
 векторные пространства,
 аффинное и евклидово пространства,
 понятие группы, примеры групп;
в физике
31




векторы,
операции над векторами,
прямая линия,
линии и поверхности второго порядка.
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
В процессе лекционных и семинарских занятий используется следующее программное обеспечение:
- программы, обеспечивающие доступ в сеть Интернет (например, «Google chrome»);
- программы, демонстрации видео материалов (например, проигрыватель « Windows
Media Player»);
- программы для демонстрации и создания презентаций (например, «Microsoft
PowerPoint»).
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
.
32