Решение задач с помощью кругов Эйлера

Третья городская научная
конференция учащихся
Секция
Информатика и математика
Исследовательская работа
Круги Эйлера и теория графов в решении задач
школьной математики и информатики
Валиев Айрат
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №10 с углубленным изучением
отдельных предметов», 10 Б класс, г.Нижнекамск
Научные руководители:
Халилова Нафисе Зиннятулловна, учитель математики
Бликин Андрей Иванович, учитель информатики
г. Набережные Челны
2010 г.
Содержание
Введение.
3
Глава 1. Круги Эйлера.
4
1.1. Теоретические основы о кругах Эйлера.
4
1.2. Решение задач, применяя круги Эйлера.
9
Глава 2.О графах
13
2.1.Теория графов.
13
2.2. Решение задач, используя графы.
19
Заключение.
22
Список литературы.
22
2
Введение
«Всё наше достоинство заключено в мысли.
Не пространство, не время, которых мы не можем заполнить,
возвышает нас, а именно она, наша мысль.
Будем же учиться хорошо мыслить.»
Б.Паскаль,
Актуальность. Основной задачей школы является не подача детям
большого объёма знаний, а обучение учащихся самим добывать знания,
умению перерабатывать эти знания и применять их в каждодневной жизни.
Поставленные задачи может решить ученик, обладающий не только умением
хорошо и много работать, но и ученик с развитым логическим мышлением. В
связи с этим во многие школьные предметы вложены различного типа
задачи, которые и развивают у детей логическое мышление. Решая эти
задачи, мы применяем различные приёмы решения. Одни из приёмов
решения – это использование кругов Эйлера и граф.
Цель исследования: изучение материала, применяемого на уроках
математики и информатики, где используются круги Эйлера и теория
графов, как один из приемов решения задач.
Задачи исследования:
1. Изучить теоретические основы понятий: «Круги Эйлера», «Графы».
2. Решить задачи школьного курса вышеназванными методами.
3. Составить подборку
материала для использования учениками и
учителями на уроках математики и информатики.
Гипотеза исследования: применение кругов Эйлера и графов
повышают наглядность при решении задач.
Предмет исследования: понятия: «Круги Эйлера», «Графы», задачи
школьного курса математики и информатики.
3
Глава 1. Круги Эйлера.
1.1. Теоретические основы о кругах Эйлера.
Эйлеровы круги (круги Эйлера) — принятый в логике способ
моделирования, наглядного изображения отношений между объемами
понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком
Л. Эйлером (1707–1783).
Обозначение отношений между объемами понятий посредством кругов
было применено еще представителем афинской неоплатоновской школы —
Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику»
Аристотеля.
Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какогонибудь понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов того
или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов
можно изобразить посредством точки, помещенной внутри круга, как это
показано на рисунке:
Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов,
изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга,
как это сделано на рисунке.
Такое именно отношение существует между объемами понятий
«небесное тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело»
4
соответствует больший круг, а объему понятия «комета» — меньший круг.
Это означает, что все кометы являются небесными телами. Весь объем
понятия «комета» входит в объем понятия «небесное тело».
В тех случаях, когда объемы двух понятий совпадают только частично,
отношение между объемами таких понятий изображается посредством двух
перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке:
Такое именно отношение существует между объемом понятий
«учащийся» и «комсомолец». Некоторые (но не все) учащиеся являются
комсомольцами; некоторые (но не все) комсомольцы являются учащимися.
Незаштрихованная часть круга А отображает ту часть объема понятия
«учащийся», которая не совпадает с объемом понятия «комсомолец»;
незаштрихованная часть круга B отображает ту часть объема понятия
«комсомолец», которая не совпадает с объемом понятия «учащийся».
3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов, обозначает
учащихся, являющихся комсомольцами, и комсомольцев, являющихся
учащимися.
Когда же ни один предмет, отображенный в объеме понятия A, не
может одновременно отображаться в объеме понятия B, то в таком случае
отношение между объемами понятий изображается посредством двух кругов,
нарисованных один вне другого. Ни одна точка, лежащая на поверхности
одного круга, не может оказаться на поверхности другого круга.
5
Такое именно отношение существует, например, между понятиями
«тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме
понятия
«тупоугольный
остроугольный
треугольник»
треугольник,
а
в
не
объеме
отображается
понятия
ни
один
«остроугольный
треугольник» не отображается ни один тупоугольный треугольник.
Отношения между равнозначащими понятиями, объемы которых
совпадают,
отображаются
наглядно
посредством
одного
круга,
на
поверхности которого написаны две буквы, обозначающие два понятия,
имеющие один и тот же объем:
Такое
отношение
существует,
например,
между
понятиями
«родоначальник английского материализма» и «автор „Нового Органона“».
Объемы этих понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же
историческое лицо — английский философ Ф. Бэкон.
Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу
несколько
видовых
понятий,
которые
в
таком
случае
называются
соподчиненными. Отношение между такими понятиями изображается
наглядно посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего
размера, которые нарисованы на поверхности большего круга:
Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка»,
«флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере
подчинены одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».
6
Круги, изображающие соподчиненные понятия, не должны касаться
друг друга и перекрещиваться, так как объемы соподчиненных понятий
несовместимы; в содержании соподчиненных понятий имеются, наряду с
общими, различающие признаки. Эта схема отображает общее, что
характерно для отношения любых соподчиненных понятий, взятых из
различных областей знания. Это применимо к понятиям: «дом», «сарай»,
«ангар», «театр», подчиненных понятию «постройка»; к понятиям: «муха»,
«комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчиненных понятию «насекомое» и
т. д.
В
тех
случаях,
противоположности,
когда
между
отношение
понятиями
между
имеется
объемами
отношение
таких
понятий
отображается посредством одного круга, обозначающего общее для обоих
противоположных
понятий
родовое
понятие,
а
отношение
между
противоположными понятиями обозначается так: А — родовое понятие, B и
C — противоположные понятия. Противоположные понятия исключают друг
друга, но входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой:
При этом видно, что между противоположными понятиями возможно
третье, среднее, так как они не исчерпывают полностью объема родового
понятия. Такое именно отношение существует между понятиями «легкий» и
«тяжелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же предмете,
взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении, сказать, что он и
легкий, и тяжелый. Но между данными понятиями есть среднее, третье:
предметы бывают не только легкого и тяжелого веса, но также и среднего
веса.
Когда же между понятиями существует противоречащее отношение,
тогда отношение между объемами понятий изображается иначе: круг делится
7
на две части так: А — родовое понятие, B и не-B (обозначается как ¬B) —
противоречащие понятия. Противоречащие понятия, исключают друг друга и
входят в один и тот же род, что можно выразить такой схемой:
При этом видно, что между противоречащими понятиями третье,
среднее, невозможно, так как они полностью исчерпывают объем родового
понятия. Такое отношение существует, например, между понятиями «белый»
и «небелый». Они исключают друг друга. Нельзя об одном и том же
предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении,
сказать, что он и белый и небелый.
Посредством Эйлеровых кругов изображаются также отношения между
объемами субъекта и предиката в суждениях. Так, в общеутвердительном
суждении, выражающем определение какого-либо понятия, объемы субъекта
и предиката, как известно, равны. Наглядно такое отношение между
объемами субъекта и предиката изображается посредством одного круга,
подобно изображению отношений между объемами равнозначащих понятий.
Разница только в том, что в данном случае всегда на поверхности круга
надписываются две определенные буквы: S (субъект) и P (предикат), как это
показано на рисунке:
Иначе выглядит схема отношения между объемами субъекта и
предиката в общеутвердительном суждении, не являющемся определением
понятия. В таком суждении объем предиката больше объема субъекта, объем
8
субъекта целиком входит в объем предиката. Поэтому отношение между
ними изображается посредством большого и малого кругов, как показано на
рисунке:
1.2. Решение задач, применяя круги Эйлера.
Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с
применением кругов Эйлера на уроках математики или информатики.
Задачи
1. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в
шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы.
Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?
2. Каждый из 35 пятиклассников является читателем, по крайней мере,
одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 учащихся берут
книги в школьной библиотеке, 20 — в районной. Сколько из пятиклассников:
а) не являются читателями школьной библиотеки;
б) не являются читателями районной библиотеки;
в) являются читателями только школьной библиотеки;
г) являются читателями только районной библиотеки;
д) являются читателями обеих библиотек?
3. Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский
язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек,
французский — 27 человек, а тот и другой —18 человек. Сколько всего
учеников в классе?
4. На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат
площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не
занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите
площадь листа.
9
5. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное,
либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20
человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?
6. В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из
них не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо
овладели трактором, 62 — комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе, и на комбайне?
7. В классе 36 учеников. Многие из них посещают кружки: физический
(14 человек), математический (18 человек), химический (10 человек). Кроме
того, известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает
два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках,
5 — в математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом.
Сколько человек не посещают никаких кружков?
8. 100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе
которого выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше:
симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали
симуляторы, 28 — квесты, 12 — стратегии. Выяснилось, что 13 школьников
отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников —
симуляторам и стратегиям, 4 ученика — квестам и стратегиям, а 9 ребят
совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из
школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и
квестами, и стратегиями. Сколько таких ребят?
Ответы
1.
А – шахматы
В – шашки
А
В
25-5=20 – чел. умеют играть
20+18-20=18 – чел играют и в шашки, и в
шахматы
2. Ш – множество посетителей школьной библиотеки
Р – множество посетителей районной библиотеки
25+20-35=10
10
Ш
15
10
Р
10
а) 10;
б) 15;
в) 15;
г)10;
д) 10.
А
7
3. 34.
18
Ф
9
А – английский, Ф – французский
25-18=7 – только английский
27-18=9 – только французский
7+18+9=34 – чел. в классе
4. 253. Sкр=78; Sкв=55; Sсумм=150; Sлиста=78+55-30+150=253
5. 46.
П
6
20
М
26
П – пирожное, М – мороженое
52-26-20=6 – детей любят пирожное
6. 38.
Т
16
38
К
24
Т – трактор, К – комбайн
54+62-(86-8)=38 – умеют работать и на
тракторе и на комбайне
7. Способ 1. Выясним, сколько ребят посещают только математический
кружок: 18-8-5-2 = 3; только физический: 14-8-3-2 = 1; только химический:
10-5-3-2 = 0. Таким образом, три кружка посещают 2 ученика; два кружка —
11
16 учеников (8 + 3 + 5); один кружок — 4 ученика (3 + 1 + 0). Всего
посещают кружки 2 + 16 + 4 = 22 ученика. Следовательно, кружки не
посещают 36 - 22 = 14 ученика.
Способ
2.
Представим
множества
учащихся,
посещающих
математический, физический и химический кружки, в виде кругов,
вырезанных из плотной бумаги. Будем считать, что площадь каждого из этих
кругов равна числу учащихся, посещающих соответствующий кружок.
Наложим круги друг на друга так, чтобы было понятно, что есть учащиеся,
посещающие один, два или три кружка. Вычислим площадь получившейся
плоской фигуры: 14 + 18 + 10 - (8 + 5 + 3) - 2 - 2 = 22 — это и есть число
учеников, посещающих кружки. Следовательно, кружки не посещают 36 - 22
= 14 учеников.
8. Пусть X — искомое число учеников, увлекающихся всеми видами
компьютерных игр. Тогда: 20 + 28 + 12 + 13 + 6 + 4 + 9 + Х = 100, Х = 6.
12
Глава 2. О графах.
2.1. Теория графов.
Теория графов - возникло в конце XVIII веке и в настоящее время
превратилось
в
весьма
мощный
и
непрерывно
развивающийся
математический инструмент.
Во многих случаях жизни старая привычка толкает нас рисовать на
бумаге точки, изображающие людей, населенные пункты, химические
вещества и т. д., и соединять эти точки линиями или стрелками,
означающими некоторые отношения. Такие схемы встречаются всюду под
разными
названиями:
социограммы
(в
психологии),
симплексы
(в
топологии), электрические цепи (в физике), диаграммы организации (в
экономике), сети коммуникаций, генеалогические деревья и т.д. Д.Кёниг, без
сомнения
первый,
предложил
называть
такие
схемы
"графами"
и
систематически изучать их свойства.
Основные понятия.
Первое из основных понятий теории графов - это понятие вершины. В
теории графов оно принимается в качестве первичного и не определяется.
Его нетрудно представить себе на собственном интуитивном уровне. Обычно
вершины
графа
наглядно
изображаются
в
виде
окружностей,
прямоугольников другими фигурами (рис.1). Хотя бы одна вершина должна
обязательно присутствовать в каждом графе.
Другое основное понятие теории графов - дуги. Обычно дуги
представляют собой отрезки прямых или кривых, соединяющих вершины.
Каждый из двух концов дуги должен совпадать с какой-нибудь вершиной.
Случай, когда оба конца дуги совпадают с одной и той же вершиной, не
13
исключается. Например, на рис.2 - допустимые изображения дуг, а на рис.3 недопустимые:
В теории графов используются дуги двух типов - ненаправленными или
направленными
(ориентированными).
Граф,
содержащий
только
ориентированные дуги, называется ориентированным графом или орграфом.
Дуги могут быть однонаправленными, при этом каждая дуга имеет
только одно направление, или двунаправленными.
В большинстве применений можно без потери смысла заменить
ненаправленную дугу на двунаправленную, а двунаправленную - на две
однонаправленных дуги. Например, так, как показано на рис. 4.
Как правило, граф либо сразу строится таким образом, чтобы все дуги
имели одинаковую характеристику направленности (например, все однонаправленные), либо приводится к такому виду путем преобразований.
Если дуга AB- направленная, то это значит, что из двух ее концов один (A)
считается началом, а второй (B) - концом. В этом случае говорят, что начало
14
дуги AB есть вершина A, а конец - вершина B, если дуга направлена от A к B,
или что - дуга AB исходит из вершины A и входит B (рис. 5).
Две
вершины
графа,
соединенные
какой-либо
дугой
(иногда,
независимо от ориентации дуги) называют смежными вершинами.
Важным понятием при исследовании графов является понятие пути.
Путь A1,A2,...An определяется как конечная последовательность (кортеж)
вершин A1,A2,...An и дуг A1, 2,A2 ,3,...,An-1, n последовательно соединяющих эти
вершины.
Важным понятием в теории графов является понятие связности. Если
для любых двух вершин графа существует хотя бы один соединяющий их
путь - граф называется связным.
Например, если изобразить в виде графа систему кровообращения
человека, где вершины соответствуют внутренним органам, а дуги кровеносным капиллярам, то такой граф, очевидно, является связным.
Можно ли утверждать, что система кровообращения двух произвольных
людей является несвязным графом? Очевидно, нет, поскольку в природе
наблюдаются т. н. “сиамские близнецы”.
Связность может быть не только качественной характеристикой графа
(связный/несвязный), но и количественной.
Граф называется K-связным, если каждая его вершина связана с K
других вершин. Иногда говорят о слабо- и сильносвязанных графах. Эти
понятия субъективны. Исследователь называет граф сильносвязанным, если
для каждой его вершины количество смежных вершин, по мнению
исследователя, велико.
Иногда связность определяют как характеристику не каждой, а одной
(произвольной) вершины. Тогда появляются определения типа: граф
15
называется K-связным, если хотя бы одна его вершина связана с K других
вершин.
Некоторые авторы определяют связность как экстремальное значение
количественной характеристики. Например, граф является K-связным, если в
графе существует хотя бы одна вершина, связанная с K смежными
вершинами и не существует ни одной вершины, связанной с более чем K
смежными вершинами.
Например, детский рисунок человека (рис. 6) представляет собой граф
с максимальной связностью равной 4.
Еще одна характеристика графа, исследуемая в ряде задач, часто
называется мощностью графа. Эта характеристика определяется как
количество дуг, связывающих две вершины. При этом дуги, имеющие
встречное направление, часто рассматриваются раздельно.
Например, если вершины графа представляю собой узлы обработки
информации, а дуги - однонаправленные каналы передачи информации
между ними, то надежность системы определяется
не суммарным
количеством каналов, а наименьшим количеством каналов в любом
направлении.
16
Мощность, как и связность, может определяться как для каждой пары
вершин графа, так и для некоторой (произвольной) пары.
Существенная характеристика графа - его размерность. Под этим
понятием обычно понимают количество вершин и дуг, существующих в
графе. Иногда эта величина определяется как сумма количеств элементов
обоих видов, иногда - как произведение, иногда - как количество элементов
только одного (того или иного) вида.
Разновидности графов.
Объекты, моделируемые графами, имеют весьма разнообразную
природу. Стремление отразить эту специфику привело к описанию большого
количества разновидностей графов. Процесс этот продолжается и в
настоящее время. Многие исследователи для своих конкретных целей вводят
новые разновидности и выполняют их математическое исследование с
большим или меньшим успехом.
В основе всего этого многообразия лежат несколько довольно простых
идей, о которых мы здесь и будем говорить.
Окраска
Окраска графов - весьма популярный способ модификации графов.
Этот прием позволяет, и повысить наглядность модели и увеличить
математическую загруженность. Способы введения окраски могут быть
различными. По тем или иным правилам окрашиваются как дуги, так и
вершины. Окраска может быть однократно определена или меняться с
течением времени (т.е. при приобретении графом каких-либо свойств); цвета
можно преобразовывать по тем или иным правилам, и т.д.
17
Например, пусть граф представляет собой модель кровообращения
человека, где вершины соответствуют внутренним органам, а дуги кровеносным капиллярам. Окрасим артерии в красный цвет, а вены - в синий.
Тогда
очевидно
справедливость
следующего
утверждения
-
в
рассматриваемом графе (рис. 8) существуют, и при этом только две,
вершины, имеющие исходящие красные дуги (на рисунке красный цвет
изображен жирно).
Дольность
Иногда
элементы
объекта,
моделируемые
вершинами,
имеют
существенно различный характер. Или к реально существующим в объекте
элементам в процессе формализации оказывается полезным добавить
некоторые фиктивные элементы. В этом, и некоторых других случаях,
вершины графа естественно разделить на классы (доли). Граф, содержащий
вершины двух типов, называют двудольным и т.д. При этом в число
ограничений графа вносятся правила, касающиеся взаимоотношений вершин
разных типов. Например: “не существует дуги, которая бы соединяла
вершины одного типа”. Одна из разновидностей графов такого рода
называется
“сеть
Петри”
(рис.
9)
и
имеет
достаточно
широкое
распространение. Более подробно сети Петри будут рассмотрены в
следующей статье этого цикла.
Понятие дольности может быть применено не только к вершинам, но и
к дугам.
18
2.2. Решение задач, используя графы.
1.
Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен
схематический
план
центральной
части
города
Кенигсберг
(ныне
Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и
семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре
части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную
точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует)
Эйлером в 1736 году. (рис. 10).
2.
Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три
колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от
каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не
пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не
существует) Куратовским в 1930 году. (рис. 11).
19
3.
Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на
непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются
соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании
карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были
закрашены одним цветом (рис. 12). С конца позапрошлого века известна
гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и
Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое
базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой
задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную
дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения
состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000)
типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и
показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был
выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера.
Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора
выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики
ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство»
действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки…
Методы формального доказательства правильности программ не применимы
к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может
гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно.
Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию
авторов и верить, что они сделали все правильно.
20
1
4.
3
2
2
4
Задачи Дьюдени.
1. Смит, Джонс и Робинсон работают в одной поездной бригаде
машинистом, кондуктором и кочегаром. Профессии их названы не
обязательно в том же порядке, что и фамилии. В поезде, который
обслуживает бригада, едут трое пассажиров с теми же фамилиями. В
дальнейшем каждого пассажира мы будем почтительно называть «мистер»
(м-р)
2. М-р Робинсон живет в Лос-Анджелесе.
3. Кондуктор живет в Омахе.
4. М-р Джонс давно позабыл всю алгебру, которой его учили в
колледже.
5. Пассажир – однофамилец кондуктора живет в Чикаго.
6. Кондуктор и один из пассажиров, известный специалист по
математической физике, хотя в одну церковь.
7. Смит всегда выигрывает у кочегара, когда им случается встречаться
за партией в бильярд.
Как фамилия машиниста? (рис.13)
Здесь 1-5 – номера ходов, в скобках – номера пунктов задачи, на
основании которых сделаны ходы (выводы). Далее следует из п.7, что
кочегар не Смит, следовательно, Смит-машинист.
21
Заключение
Анализ теоретического и практического материала по исследуемой
теме позволяет сделать выводы об успешности применения кругов Эйлера и
графов для развития логического мышления детей, привития интереса к
изучаемому материалу, применению наглядности на уроках, а так же
трудные задачи свести к легким для понимания и решения.
Список литературы
1. «Занимательные задачи по информатике» Л.Л. Босова, А.Ю.
Босова, Москва, 2005
2. «Сценарии школьных праздников» Е. Владимирова, Ростов-наДону, 2001
3. Задачи для любознательных. Д.В.Климченко, М., Просвещение,
1992г,
4. Внеклассная работа по математике, З.Н.Альхова, А.В.Макеева,
Саратов, Лицей, 2002г.
5. Удивительный мир чисел. Б.А.Кордемский, А.А.Ахадов., М.,
Просвещение, 1986г.,
6. Алгебра: учебник для 9 класса. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и
др. под ред. С.А.Теляковского,- М.: Просвешение, 2008
7. Математика: учебник для 5 класса. С.М.Никольский, М.К.Потапов
и др.,- М.: Просвешение, 2008
22