Document 868617

Тезисы выступления на Международной конференции «Тихонов и
современная математика» (Москва, 2005 г.).
КОНЕЧНО-ГЛАДКАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ В
ОКРЕСТНОСТИ ФОКУСА
Самовол В.С. (svs46@mail.ru)
Государственный университет-Высшая школа экономики
FINITELY SMOOTH NORMALISATION of AUTONOMOUS SYSTEM in
the NEIGHBOURHOOD of the FOCUS
Samovol V. S. (svs46@mail.ru)
State University – Higher School of Economics
Рассматривается задача локальной конечно-гладкой приводимости
вещественной автономной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений к нормальной форме в окрестности особой точки. Достаточно
хорошо изучены системы, спектр линейной части которых не пересекается с
мнимой осью. Здесь речь пойдет о слабо вырожденных системах, матрица
линейной части которых имеет два чисто мнимых (сопряженных)
собственных числа, в то время как другие собственные числа лежат вне
мнимой оси.
Рассмотрим вещественную автономную систему
 
где  , Q( )  R
d
 Q( ) ,
dt
(1)
n  2 , n  0, Q( )  аналитическая функция в некоторой
~
окрестности начала координат, Q(0)  0 , матрица A  Q(0) имеет n
собственных чисел, лежащих вне мнимой оси и пару чисто мнимых
собственных чисел. Наша цель состоит в определении вида нормальной
формы такой системы уравнений и в выяснении условий существования
конечно-гладкого невырожденного преобразования, приводящего систему (1)
к нормальной форме в некоторой окрестности начала координат.
В системе (1) имеется двумерное инвариантное центральное
многообразие, на котором в окрестности особой точки интегральные кривые
либо замкнуты (случай центра), либо являются спиралями (случай фокуса).
Нас интересуют системы, имеющие фокус на центральном многообразии.
~
Пусть 1,, n  собственные числа матрицы A с ненулевой
действительной частью, n 1  i , n  2  i ,   0, i  мнимая
единица. С помощью стандартного линейного преобразования система (1)
приводится к виду, где матрица
~
A имеет жорданову форму
2
dx j
dt
dy j
dt
  j x j 1   j x j  f j ( x, y ),
j  1,  , n,
(2)
 n  j y j  g j ( x, y ),
j  1,2.
Здесь x j , y j  комплексные координаты, ó  ( y1, y2 ). Переменные x j мы
будем называть невырожденными, а переменные y j , соответственно,
вырожденными.
Теорема.
Для
любого
целого
числа
k 1
существует
k
невырожденное преобразование класса C , приводящее систему (2),
имеющую фокус на центральном многообразии, к нормальной форме,
имеющей
вид
полинома
по
невырожденным
координатам,

коэффициентами которого являются функции класса C , зависящие от
вырожденных координат.
Литература
[1] Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений// Тр.
ММО. 1971. Т. 25. С. 119-262.
[2]Белицкий Г.Р. Гладкая эквивалентность ростков векторных
полей//Функциональный анализ и его приложения. 1986. Т. 20, вып. 4. С. 1-8.
[3] Самовол В.С. Нормальная форма автономной системы с одним нулевым
корнем //Математические заметки. 2004. Т. 75, вып. 5. С. 711-720.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований, грант № 03-01-00426.