Задачи для подготовки к экзамену

2БТСиТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
Задачи для подготовки к экзамену
РАЗДЕЛ 1. Случайные события. Повторные независимые испытания
1. В урне находится 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Последовательно вытаскивают 3 шара. Найти
вероятность того, что они окажутся все белыми. Рассмотреть два случая: 1) шары не
возвращаются в урну; 2) шары возвращаются в урну
2. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка - 0,8, а для второго - 0,9. Стрелки
независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что попадут в
цель: а) оба; б) только один; в) ни один; г) хотя бы один.
3. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают
7 шаров. Какова вероятность того, что вынут 2 зеленых, 2 синих и 3 красных шара.
4. На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45%
всех изделий. Брак в их работе составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того,
что наугад выбранный болт дефектный. Наудачу выбранный болт оказался дефектным. Найти
вероятность тог, что он изготовлен на третьей машине.
5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятности следующих
событий:
1) при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз;
2) при 200 выстрелах цель будет поражена не более 160 раз;
3) при 200 выстрелах цель будет поражена не менее 140 раз и не более 160 раз;
4) при 200 выстрелах цель будет поражена не менее 170 раз
5) найдите число «успеха» при 200 выстрелах по цели и вероятность этого события;
6. Вероятность нарушения герметичности консервной банки равна 0,0005. Найти вероятность того,
что среди 2000 банок: 1) три окажутся с нарушениями герметичности; 2) по крайней мере, одна
окажется с нарушениями герметичности.
РАЗДЕЛ 2. Одномерные (дискретные и непрерывные) случайные величины. Нормальный
закон распределения непрерывной случайной величины
1. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов.
Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа промахов, если
вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание,
дисперсию и построить многоугольник распределения.
2. Задан закон распределения случайной величины X . Найти:
а) математическое ожидание M ( X ) , дисперсию D ( X ) и среднеквадратическое отклонение
 (X ) ;
б) составить функцию распределения случайной величины F ( X ) и построить ее график;
в) вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервал ( x2  X  x4 ) ,
пользуясь составленной функцией распределения F ( X ) ;
г) составить закон распределения случайной величины Y  20  2 X ;
д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины Y
двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также
непосредственно по закону распределения случайной величины Y  20  2 X
X
4
6
8
10
12
P
0,2
0,3
0,1
0,2
0,2
2БТСиТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
3. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( X ) . Требуется
убедиться, что заданная функция F ( X ) является функцией распределения некоторой случайной
величины,
проверив свойства F ( X ) . В случае положительного ответа найдите: а)
дифференциальную функцию f (x ) ; в) основные числовые характеристики; с) построить графики
интегральной F ( X ) и дифференциальной f(x) функций; d) определить вероятность попадания
величины X
в интервал (  ;  ) двумя
способами
(используя
интегральную и
дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графике f (x ) .
0, x  0
1
3

F ( X )   x 2  x, 2  x  1
4
4
1, x  1
1
3
  ; 
2
3
4. Плотность вероятности случайной величины X задана функцией f (x ). Найдите: 1) параметр a
(проверьте свойства дифференциальной функции); 2) основные числовые характеристики 3)
F ( X ) ; 5)
найдите функцию распределения F ( X ) ; 4) постройте графики функций f (x ) и
найдите вероятность события X  ( ;  ) , используя обе функции, и укажите эту вероятность на
графике функции f (x ) :
0, x  0

f ( x)  ax 2 ,0  x  2;   2;   1
0, x  2

5. В нормальном законе распределения математическое ожидание равно 50 , среднеквадратическое
отклонение равно 4. Чему равно значение случайной величины X , если вероятность того, что
случайная величина принимает значения: 1)меньше x , равна 0,72; 2) больше x , равна 0,46.
6. Длина детали распределена нормально со средним значением 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина
наугад взятой детали больше 55 мм.
РАЗДЕЛ 3. Многомерные случайные величины
Задача 1. Закон распределения системы (x, y) задан таблицей
Y
X
0
1
-2
0
2
0
0,2
0,1
0,1
0,4
0,2
Найдите:
1) законы распределения случайных величин Х и У в отдельности;
2) закон распределения Х при условии, что У  y 2 ;
3) закон распределения Y при условии, что X  x 2 ;
4) вероятность события ( Х  x1; У  y2 ) ;
5) выясните, зависимы ли случайные величины Х и У .
Задача 2. Плотности вероятностей независимых случайных величин x и y соответственно равны:
1

, если x  1,

f1 ( x )   1  x 2

0,
если x  1,

1

 (1  y 2 ) , если y  1
f 2 ( y)  
.
0, если y  1

Найти: а) функцию распределения системы (x, y); б) плотности вероятности величин x и y; в)
функции распределения x и y. Являются ли x и y независимыми?
2БТСиТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы ТВ
1. Вероятность того, что драже будет иметь массу, соответствующую стандарту, равна 0,9. Для
какого количества драже вероятность выполнения неравенства m / n  p  0,2 превысит 0,96?
2. Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает
правильно, равна 0,95. оценить вероятность того, что 1) при 2500 опусканиях монет частота
случаев правильной работы автомата отклонится (по абсолютной величине) от вероятности 0,95 не
более, чем на 0,02; 2) при 2000 опусканиях монет число случаев правильной работы автомата
будет заключено в границах от 1860 до 1940 включительно.
1.
2.
3.
4.
РАЗДЕЛ 5. Случайные процессы: пуассоновские процессы. Марковские случайные
процессы.
Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти вероятность того,
что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.
Среднее число кораблей, находящих в порт за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 4
часа в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее 6 кораблей; в) не менее 6 кораблей.
Через кассу в магазине в течение 1 минуты проходит в среднем 2 человека. Найти вероятность
того, что за 2 минуты пройдет: а) 4 человека; 6) не менее 2-х человек; в) не более 3-х.
При работе ЭВМ возникают сбои (нарушения в работе). Среднее число сбоев в сутки равно 2.
Найти вероятность того, что: а) за двое суток не произойдет сбоя; б) в течение суток произойдет
хотя бы один сбой; в) за трое суток произойдёт не менее 3-х сбоев.
РАЗДЕЛ 6. Первичная статистическая обработка выборочных данных
1. Частота пульса по данным медицинского осмотра 17 девочек-первоклассниц (1/мин): 76 76 70 66
68 70 72 74 76 78 70 82 68 74 70 70 70.
Необходимо:
1) Построить безынтервальный вариационный ряд и полигон распределения
2) Сделать точечную оценку генеральных параметров: средней, дисперсии, среднеквадратического
отклонения, моды, медианы
3) Построить доверительный интервал для генеральной средней (с вероятностью 0,95).
2. Частота пульса у 29 студентов-медиков перед экзаменом (1/мин): 64 66 60 62 64 68 70 66 70
68 62 68 70 72 60 70 74 62 70 72 72 64 70 72 66 76 68 70 58. Необходимо:
1) Построить безынтервальный вариационный ряд и полигон распределения
2) Сделать точечную оценку генеральных параметров: средней, дисперсии, среднеквадратического
отклонения, моды, медианы
3) Построить доверительный интервал для генеральной средней (с вероятностью 0,99).