Некоторые задачи на турнирах А. А. Долгов Турниром Саратовский государственный университет, Саратов, Россия

Некоторые задачи на турнирах
А. А. Долгов
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Турниром называется полный направленный граф без петель. Турнир
называется сильным, если любые две его вершины взаимно достижимы.
Здесь и далее основные определения даются по работе [1].
Говорят, что граф является реконструируемым, если он может быть
с точностью до изоморфизма восстановлен по списку своих максимальных подграфов.
Для неориентированных графов известная гипотеза Келли-Улама
(1945 г.) утверждает, что если два графа G и H с числом вершин большим
двух имеют одинаковые максимальные подграфы, то G и H изоморфны.
Граф H называется точным k-расширением графа G, если G изоморфен каждому подграфу H, получающемуся путем удаления любых его k
вершин.
В 2005 году была спроектирована система распределенных вычислений для поиска нереконструируемых турниров. Разработав ряд алгоритмов, позволяющих сократить и ускорить перебор, при помощи системы
удалось получить все турниры с числом вершин до 10 (собранная статистика по турнирам до 9 вершин подготовлена на депонирование), а затем,
используя их, найти все нереконструируемые турниры с числом вершин до
11 (предварительные результаты по турнирам с числом вершин до 9 опубликованы в [2]). Таким образом, были перепроверены результаты Стокмейера для турниров с числом вершин до 8 [3], и исследована реконструируемость турниров с числом вершин 9-11. Последний полученный результат состоит в том, что все 11-вершинные турниры реконструируемы.
Заметим, что турнир, колода которого содержит только изоморфные
подтурниры, является точным 1-расширением. Это замечание позволяет
использовать результаты, полученные при исследовании реконструируемости турниров, для задачи поиска точных 1-расширений турниров. Выделив турниры с упомянутой колодой, удалось получить все точные 1расширения турниров с числом вершин до 11 [4].
На основе полученных экспериментальных данных удалось предложить схемы построения трех бесконечных семейств точных 1-расширений
турниров.
1) Полутранзитивные турниры. В работе [5] М.Б.Абросимовым было
показано, что транзитивные турниры являются точными kрасширениями турниров при любом натуральном k. Семейство
полутранзитивных турниров состоит из турниров с числом вершин кратным 3. Каждый элемент семейства строится на основе
подходящего транзитивного турнира инвертированием части дуг.
2) Вершинно-симметрические турниры. Предлагается алгоритм,
позволяющий построить все вершинно-симметрические турниры
нечетной степени.
3) Семейство турниров степени 4n + 2.
Полученные данные показывают, что не все результаты по точным kрасширениям для неориентированных графов можно перенести на ориентированные. В классе неориентированных графов встречаются графы,
имеющие только точное 1-расширение, и графы, имеющие точное kрасширение при любом натуральном k. Среди турниров удалось найти два
графа, которые имеют точное 1- и точное 2-расширение, однако не имеют
точного 3-расширения.
Список использованных источников
1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. 1997. С. 368.
2. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Гипотеза Келли-Улама и малые турниры // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч.-метод. конф., посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале (Пермь, 9-15 окт. 2006 г.). Пермь: ПГУ,
2006. 300 с. С. 33-34.
3. Stockmeyer P.B. My quest for non-reconstructable graphs // Congressus
Numerantium, 1988. Vol. 63. P.188-200.
4. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник ТГУ, в печати.
5. Абросимов М.Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 17. С. 187-190.