Двугранный угол многогранника. Пересечения скатов крыши образуют двугранные углы. Самостоятельная работа. Двугранный угол. 1. Сформулируйте определение двугранного угла [Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей (модель). 2. Перечислите элементы двугранного угла [ребро, грани (показать на модели)]. 3. Сформулируйте определение линейного угла [Угол с вершиной на ребре, стороны которого перпендикулярны этому ребру (показать на модели)]. 4. Для чего применяется линейный угол? [Для измерения величин двугранных углов] 5. Зачем доказывается утверждение, что все линейные углы данного двугранного угла равны? Откуда это следует? [Корректность определения величины двугранного угла; следует из равенства углов с сонаправленными сторонами] 6. Как построить линейный угол другим способом? [Провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла] 7. Верно ли, что двугранные углы с соответственно параллельными гранями равны? [Нет, так как их линейные углы – с соответственно параллельными сторонами, то либо они равны, либо в сумме составляют 180] 8. Что такое прямой двугранный угол? Почему плоскости его граней перпендикулярны? [Угол, величиной 90. По определению перпендикулярных плоскостей] 9. В каких границах лежит величина двугранного угла? [(0; 180)] 10. Сформулируйте определение угла между плоскостями [A) Угол между параллельными плоскостями равен 0. Б) Угол между пересекающимися плоскостями равен величине наименьшего из двугранных углов, образующихся при их пересечении] У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре. Величины двугранных углов правильных многогранников: Название точный двугранный угол в радианах приближённое значение в градусах arccos(1/3) 70.53° π/2 90°(точн.) π − arccos(1/3) 109.47° 2·arctg(φ) 116.56° 2·arctg(φ + 1) 138.19° Тетраэдр Гексаэдр или куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение. Через любые три точки, не лежащие Аксиома 1. на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. В А С Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 2: В А Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М m 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М m 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. b а Свойство параллельных плоскостей: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Прямой и точкой, не лежащей Тремя точками, не лежащими на одной прямой на ней Двумя параллельными прямыми Двумя пересекающимися прямыми Какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра? Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? Задача №1. Построить сечение, определенное точками K, L, M. Р K L В А M Треугольник КМL – сечение D1 C1 O N B1 A1 D C M А B D1 N C1 O B1 A1 M D C А B D1 C1 O B1 A1 N D C M X А B P K O D1 C1 Z B1 N A1 X D C M А P B Анализ этапа введения понятия двугранный угол. Тема: « Двугранный угол» Цель: Ввести понятие двугранного угла, дать студентам возможность сформулировать алгоритм построения линейного угла двугранного угла. Этап введения понятия можно разбить на 9 подэтапов . Работа осуществляется по плану нахождения ответов на вопросы о любом угле : «Как назвать ? (определение )» «Как построить?» «Как измерить?» 1. «Мотивация» Цель: Рассмотреть новый вид углов в стереометрии (в пространстве). Выясняем план работы над новой темой (вопросы учитель выписывает на доске). Ученики настраиваются на работу Устанавливается связь прошлого с новым по линии «единый план». 2. «Связи - проблема» Цель: Установить связь прошлого материала с новым через прослеживание логической и конструктивной цепочки «углы в геометрии» с выходом на проблему «новый угол в пространстве».Организована практическая работа для актуализации прошлого, мотивированная фразой: «чтобы найти новых ...практическую работу проведем». Цели заданий носят подготовительный характер. Ученики работают с моделями плоскостей и прямых, вспоминают определения различных углов и на плоскости и в пространстве. Наглядно (важно в стереометрии видеть фигуру) приходят к выводу, что углы существуют, и значит, их надо охарактеризовать. Используем аналогию (связь) с углом на плоскости. 3. «Практическая работа по построению двугранного угла» Цель: Преодолеть проблему «стереометрического видения» через практический опыт учеников (наглядно) построить двугранный угол. Выделить характерные признаки угла (граница, 2 полуплоскости). Мотивом служит фраза «Изучим один из этих углов». Работа с классом ведется фронтально по наводящим вопросам учителя. Заполняется таблица «Угол на плоскости - угол на модели». 4. «Работа по изображению двугранного угла» Цель: Изобразить на бумаге двугранный угол. Ответить на вопрос «Как построить?» Связываем практику с теорией, наглядную фигуру с ее чертежом. Ученики учатся чертить двугр. угол. Учитель дает возможность изобразить двугр. углы, находящиеся у учеников на столах. Далее называют и одновременно изображают основные элементы двугр. угла используя выше заполненную таблицу. 5. «Работа над введением определения» Цель: Проанализировав ход и результат построения дать имя углу и сформулировать его определение. Мотивом является фраза «Попытайтесь проанализировав ... дать имя».Ученики устанавливают логическую связь (через мыслительные операции) практики с теорией. Разрешают первый вопрос плана урока. Учитель выделяет эту запись цветным мелом на доске. Результатом работы также является формулировка темы урока: «Двугранный угол». В тетрадях ученики делают записи темы и определения двугр. угла. 6. «Отвечаем на третий вопрос плана урока» Цель: Используя практический опыт учеников с помощью известных им чертежных инструментов (транспортира и чертежного треугольника) ответить на вопрос сначала о мере двугранного угла, а потом о способе его измерения. Через постановку проблемы (интрига): «Как использовать транспортир? » задаем мотив деятельности по разрешению вопроса № 3.Ученики работают с моделями и чертежным треугольником. Учитель выполняет все операции параллельно классу. 7. «Введения понятия линейного угла двугранного угла» Цель: Ответить на вторую часть вопроса о способе измерения двугранного угла. Организована практическая фронтальная работа, мотивированная вопросом «Как измерить любой двугранный угол?» Уточнив основные действия операции по использованию чертежного треугольника выходим на правило (алгоритм ) построения линейного угла (используем конкретно-индуктивный метод).Вводим вспомогательную схему имени двугр. угла. 8. «Работа с учебником» Цель: Продолжить рассмотрение свойств линейного угла двугранного угла, используя другой источник информации - учебник. Мотивом этой деятельности стала фраза (вопрос): «Интересно,а зависит ли величина двугр. угла от того какой линейный угол будем строить? » С помощью рисунков в учебнике учащиеся делают вывод о равенстве всех линейных углов двугр. угла. Учитель дает домашнее задание: самостоятельно доказать это утверждение (оно предварительно записывается в тетрадь). Восстанавливая связи с видами линейных углов, приходим к необходимости классифицировать по видам и двугр. углы. 9. «Промежуточное подведение итогов введения понятия двугранный» Цель: Обобщить все знания полученные на уроке в ходе работы над разрешением вопроса: «Двугранный угол - это.. . Что о нем надо знать?» «Еще раз вспомним, все ли ...» - это мотив этого этапа. В ходе повторения задействуем слово (вслух повторяем определение, построения линейного угла двугр. угла) комментируем шаги действие ( изображаем двугр. угол ,строим его линейный угол) зрение (модели лежат на партах, рисунки в учебнике и тетрадях, выделенные цветным мелом вопросы плана исследования двугр. угла) Работа организована фронтально. На всех этапах использовался поисковый метод:студенты находят связи, актуализируют свои действия, ставятся проблемы, решаемые с помощью практического опыта учащихся.