Сравнение итерационных методов восстановления волнового

Ю.В. ПАНКРАТОВА, А.В. ЛАРИЧЕВ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
СРАВНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Рассмотрены итерационные методы восстановления волнового фронта оптического излучения по набору
дискретных измерений градиента фазы. Для методов Якоби, Гаусса-Зейделя и последовательной
сверхрелаксации получены значения среднеквадратического отклонения восстановленного волнового
фронта от заданного и определен метод, достигающий наибольшей точности реконструкции.
В настоящее время в оптике широкое распространение находят методы адаптивной оптики, которые
особенно актуальны при создании сверхмощных лазеров [1], диагностических медицинских систем [2] и
сверхбольших наземных телескопов. Данная работа посвящена сравнительному исследованию
итерационных методов восстановления волнового фронта (ВФ) на основе матрицы его градиентов, которая
может быть непосредственно измерена датчиком типа Шака-Гармана.
В качестве исследуемых итерационных методов были выбраны: Метод Якоби, Гаусса-Зейделя,
последовательной сверхрелаксации. При построении исходной системы уравнений были использованы
методы трапеций и метод Симпсона. Идея рассматриваемых методов состоит в использовании для
проведения реконструкции значения фазы ВФ в некоторой точке распределения, значений фазы и
градиентов в соседних с ней точках сетки. Для метода трапеций итоговое значение определяется, как
некоторое средневзвешенное четырех соседних точек [3]. В методе Симпсона для расчета значения оценки
ВФ используются не четыре соседних элемента, а восемь. Соответственно изменятся формулы для расчета
значений производных и оценок волнового фронта.
Для метода Якоби и Гаусса-Зейделя общая формула имеет вид:

S
 n,m  n,m  n,m , где
g n,m
S n,m  g n 1,m S
x
n 1, m
 g n 1,m S
x
n 1, m
g n,m
 g n,m1 S ny,m1  g n,m1 S ny,m1
 n,m   n1,m g n1,m   n1,m g n1,m   n,m1 g n,m1   n,m1 g n,m1
g – матрица известных весовых коэффициентов.
Если полученное в левой части уравнения значение хранится в отдельном массиве, пока не будет
проведен подсчет всех интересующих точек ВФ, процедура будет именоваться методом Якоби. В случае,
если левая часть уравнения обновляется постоянно, процедура соответствует методу Гаусса-Зейделя [4].
Прибавляя и отнимая φkn,m ,полученное на предыдущем шаге, а также вводя коэффициент релаксации w
получим формулу:
  n,m S n ,m


  nk,m .
 g n,m g n,m



 nk,m1   nk,m  w
Такая итерационная техника называется методом последовательной сверхрелаксации [5].
В качестве примера для сравнения описанных методов был смоделирован волновой фронт, содержащий
астигматизм вида:
x2  y2
6 xy .
  2.3717 *

( N / 2) 2
( N / 2) 2
Данный волновой фронт был восстановлен четырьмя способами для трех значений количества
проводимых итераций. В качестве параметра характеризующего степень точности восстановления
волнового фронта выбрано среднеквадратическое значение отклонения восстановленного ВФ от заданного,
полученные значения приведены в таблице ниже.
Количество Якоби
ГауссПослед.
Симпсон
итераций
Зейдель сверхрелаксация (послед.
сверхрелаксация)
16
0,4008
0,3340
0,1666
4,78*10-5
64
0.3385
0,1822
0,0181
6.28*10-16
128
0.2014
0,0717
0,0019
7.06*10-16
Результаты численного моделирования свидетельствуют, что последовательная релаксация с
использованием метода Симпсона позволяет получить более точное в сравнении с другими итерационными
методами восстановленное распределение фазы при высокой скорости сходимости.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект №11-02-01353-а).
Список литературы
1. Шанин О.И. Адаптивные оптические системы в импульсных мощных лазерных установках. М.:
Техносфера, 2012.
2. Porter J., et. al. Adaptive optics for vision science. Wiley-Interscience, 2006.
3. Malacara D. Optical shop testing.Third Edition. Wiley-Interscience, 1980.
4. Southwell W.H. Wavefront estimation from wavefront slope measurements. J.Opt. Soc. Am. 1980. V.70. №8.
P.998-1006.
5. Bahk S.W. Highly accurate wavefront reconstruction algorithms over broad spatial-frequency bandwidth. Opt.
Express. 2011. V.19. P.18997-19014.