Занятие 2. Интегральное исчисление Неопределенный

Занятие 2. Интегральное исчисление
1. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные
свойства неопределенного интеграла.
2. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла.
3. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
4. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного
интеграла.
Зная производную или дифференциал функции, можно найти саму эту
функцию
(восстановить
функцию).
Такое
действие,
обратное
дифференцированию, называется интегрированием.
Первообразной функцией по отношению к данной функции y  f (x)
называется такая функция F (x) , производная от которой равна данной функции,
т.е. F ( x)  f ( x)
Для данной функции y  f (x) первообразных функций бесчисленное
множество, т.к. любая из функций F ( x)  C , также является первообразной для
y  f (x) .
Совокупность всех первообразных F ( x)  C для данной функции y  f (x)
называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:
 f ( x)dx  F ( x)  C , где
f ( x)dx
называется подынтегральным выражением, функция f (x) подынтегральной функцией.
Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически,
неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых
на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции
y  F (x) вдоль оси ординат (рис. 3).
Рис. 3
Основные свойства неопределённого интеграла
Свойство 1.
Производная неопределенного интеграла
подынтегральной функции:
 f ( x)dx   f ( x)
равна
Свойство 2.
Дифференциал
подынтегральному выражению:
d
неопределенного
интеграла
равен
 f ( x)dx  f ( x)dx
Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции
плюс const:
 dF ( x)  F ( x)  C
Свойство 4. Линейность интеграла.
 (k
f ( x)  k 2 f 2 ( x)) dx  k1  f1 ( x)dx  k 2  f 2 ( x)dx
1 1
Функция
степенная
Таблица основных интегралов
Интеграл
x n 1
C
n 1
 dx  x  C
n
 x dx 
1
 x dx  ln x  C
показательная
ax
C
ln a
x
x
 e dx  e  C
тригонометрические
 sin xdx   cos x  C
x
 a dx 
 cos xdx  sin x  C
1
 cos
2
x
1
 sin
обратные
тригонометрические
2
x
1
1 x

2
dx  tgx  C
dx  ctgx  C
dx  arctgx  C
1
1 x2
dxrc sin x  C
Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на
применении тождественных преобразований подынтегральной функции, а
также основных свойств неопределенного интеграла и табличных
интегралов. Наиболее часто используются следующие преобразования
подынтегральной функции:
 деление числителя на знаменатель почленно;
 применение формул сокращенного умножения;
 применение тригонометрических тождеств.
2. Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во
введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в
табличный. Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном
выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный
аргумент и надо обозначить как новую переменную, например t  t (x) . Далее
необходимо выполнить следующие действия:
 найти дифференциал новой переменной dt  t ( x)dx ;
 записать прежний интеграл, используя только переменную t , если
подстановка сделана правильно, то полученный интеграл   (t)dt должен
быть табличным;
 используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной
функции  (t ) ;
 осуществить обратную подстановку, заменив переменную t .
3. Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в
использовании формулы:
 u  d  u       du .
Этот метод применяется в том случае, если интеграл    du является более
простым для решения чем  u  d . Как правило, этим методом решаются
интегралы вида  P( x)  f ( x)dx , где P (x ) - многочлен, а f (x) - одна из
следующих функций: sin x , cos x , ln x , a x , e x , arctgx , arcctgx .
Рассмотрим некоторую функцию y  f (x ) , определённую на
промежутке a, b, рис. 4. Выполним 5 операций.
1. Разобьём промежуток a, b точками x 0  a, x1 , x 2 ,..., x n  b произвольным
образом на n частей. Обозначим x k  x k 1  x k , а наибольшую из длин этих
частичных участков обозначим через  ,  будем называть рангом дробления.
2. На каждом частичном участке [ x k ; x k 1 ] возьмём произвольную точку  k и
вычислим в ней значение функции f ( k ) .
3. Составим произведение f ( k )  x k
Рис. 4
n 1
4. Составим сумму  n   f ( k )  x k . Эта сумма называется интегральной
k 0
суммой или суммой Римана.
5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления n ) и
устремляя при этом ранг дробления к нулю (   0 ) т.е. (увеличивая число точек
дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина
всех частичных участков x k ), будем находить предел последовательности
интегральных сумм
J  lim  n
n 
 0
Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек
 k , то он называется определённым интегралом от функции y  f ( x ) по
b
промежутку a, b и обозначается так: J   f ( x )dx .
a
Геометрический смысл определенного интеграла. Допустим, что
функция y  f (x ) непрерывна и положительна на промежутке a, b. Рассмотрим
n 1
криволинейную трапецию ABCD (рис. 4). Интегральная сумма  n   f ( k )  xk
k 0
даёт нам сумму площадей прямоугольников с основаниями xk и высотами
f ( k ) . Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной
трапеции ABCD , т.е.
n 1
S ABCD   f ( k )  x k ,
k 0
причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при
n →+∞ и λ →0 мы получим:
b
S ABCD   f ( x)dx .
a
В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.
Основные свойства определённого интеграла
Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю.
a
 f ( x)dx  0
a
Свойство 2. При
перемене местами
пределов
интегрирования
определённый интеграл меняет знак на противоположный.
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
Свойство 3. Линейность интеграла.
b
b
b
a
a
a
 (k1 f1  k 2 f 2 )( x)dx  k1  f1 ( x)dx  k 2  f 2 ( x)dx
Свойство 4. Каковы бы ни были числа
a, b, c , если функция f (x) интегрируема на
каждом из промежутков a, c , c, b , a, b
(рис. 5), то:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Рис. 5
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на промежутке a, b , то
определённый интеграл от этой функции по промежутку a, b равен разности
значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем
пределах интегрирования, т.е.
b
f
( x)dx  F ( x) ba  F (b)  F (a) (Формула Ньютона-Лейбница).
a
Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению
неопределенных интегралов. Разность F (b)  F (a) называется приращением
b
первообразной и обозначается F ( x) a .
Рассмотрим основные способы вычисления определённого интеграла:
замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.
1. Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле необходимо выполнить следующие действия:
 ввести новую переменную t  t (x) ;
 найти дифференциал новой переменной dt  t ( x)dx ;
 вычислить новые значения пределов интегрирования:
  t (a) и   t (b) ;
 записать прежний интеграл, используя только переменную t и
новые пределы  и  ;
 используя таблицу интегралов, записать решение для полученной
подынтегральной функции;
 применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение
определенного интеграла.
Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки
нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.
2. Интегрирование по частям в определённом интеграле сводится к
применению формулы:
b
b
a
a
b
 u  d  (u   ) a    du .
Примеры решения задач
Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного
интегрирования.
1.  2 x x dx . Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак
интеграла постоянный множитель. Затем, выполняя элементарные
математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к
степенному виду:
1
2
3
1
2
3
2
5
x
4
 x xdx  2 x  x dx  2 x dx  2  3  1  5 x 2  C .
2
Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены
переменной.
1.  sin 2 x  cos xdx . Сделаем замену переменной t  sin x , тогда dt  (sin x)dx  cos xdx .
Исходный интеграл примет вид:
 sin
2
x  cos xdx 
t sin x
dt  cos xdx
  t 2 dt
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида:
степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного
интеграла от степенной функции, найдем:
t
2
dt 
1 21
1
t  C  t3  C
2 1
3
Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
 sin
2
1
x  cos xdx  sin 3 x  C
3
Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования
по частям.
1.  x cos xdx . Введем следующие обозначения:
u  x

d  cos xdx
Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим:
du  dx

  sin x
Теперь подставив в формулу метода интегрирования по частям введенные
нами обозначения и, получим:
u  x d  cos xdx
 x cos xdx  dudx  sin x  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C
Задание 4. Вычислить определенный интеграл.
4
1.
x
2
 dx . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
1
4
x3
x

dx

1
3
4

2

2.
1
43 13 64 1
 
  21 .
3 3
3 3
2
 cos x  dx . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
0

2
 cos x  dx  sin x

0
2
 sin 
0
2
 sin 0  1  0  1 .
 2x
1 

  dx . Решение. На основании свойств определенного интеграла и
5 2 x 
4
9
3.
 
формулы Ньютона-Лейбница получаем:
 2x
1 
2x
1
2 x2




dx


dx


dx


4  5 2 x 
4 5
4 2 x
5 2
1
  65  1  14.
5
9
9
9
9
9
 x 
4
4
 

1 2
 9  42 
5
Задания для самостоятельного решения
1. Решить неопределенные интегралы:
3  3 x2  2x
dx ;
1. 
x
ln ( x  3)
2. 
dx;
x3
3.
4.
5.
6.
7.
x3  3x 4  2
dx ;
x
2  3cos5 x sin 5 x dx;


 x ln x dx. ;
dx
 x ln x ;
3
e2 x dx
8.

9.
4
 3
5
2
x

3
x


dx ;

x
1  e 
2x 2
.
10. 
3x 2  x3  7
dx
x3
11. 
dx
;
x 1  ln 2 x 
12. 
ln x
dx;
x3
3
2
e
sin 3 x
cos3x dx;
2. Вычислить определенные интегралы:
4
4 x

)dx
1.  (
3
x
1
1
3
2.
2

0
xdx
1  x2

9 4 
e
e
ln 2 x
 dx
3. 1 x

7.

2
 cos sin  d

3
4.
5.
8.
6
1
dx
4  3x

0

6.

2
9
cos x
dx
x
2


cos xdx
sin 3 x
4
2
9.
2 xdx
2
 1) 2
 (2 x
1

2

sin ln x
dx
x
1

4
10.
e

6
cos 2 x
sin 2 xdx