Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля – числовая схема, удобная форма записи биномиальных
коэффициентов и иллюстрация многих математических закономерностей.
Треугольник назван в честь великого французского учёного Блеза Паскаля, который
описал его свойства в книге «Трактат об арифметическом треугольнике», изданной в
1653 году. Известны упоминания треугольной последовательности биномиальных
коэффициентов до 1653 года:
Индия – X век (Халаюдха), Персия – около 1100 года (Омар Хайам) , Китай – XIII век (Ян
Хуэй), Европа – 1529 год (Петер Апиан).
1) Бином Ньютона -- название формулы, позволяющей выписывать разложение
алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени.
(a  b) n  C n0 a n b 0  C n1 a n 1b1  ...  C nk a n  k b k , , ,C nn a 0 b n .
n(n  1)...( n  k  1)
n!

,
k!
k!(n  k )!
где k –номер коэффициента от 0 до n, n – степень бинома.
С nk 
Некоторые свойства:
Cnk a  Cnk 1  Cnk1 .
С nn  k  C nk
.
C n0  C n1  ...  C nn  2 n .
2) В комбинаторике биномиальный коэффициент интерпретируется как число сочетаний
из n по k, т.е. всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.
(eg Станция пересадок в Петербурге до открытия 5-ой линии – это выборка размера 2 на
2
4-х элементном множестве. C 4 = 6 – число всех станций пересадок.)
3) Симплекс или n-симплекс – простейшая геометрическая фигура n-мерного
пространства, состоящая из n+1 точки, так что каждая точка соединена с каждой ребром
(т.е. является выпуклой оболочкой n+1 точки).
Выпуклая оболочка любых m+1 из n+1 вершин n-симплекса сама является симплексом и
называется m-гранью симплекса. 0-грани это вершины, 1-грани это рёбра, n-1 - грани
называют просто гранями.
Каждый n-симплекс – это множество из n+1 точки. Как известно, n+1 точка (если никакие
3 из них не лежат на одной прямой) задаёт n-мерное пространство. Т.е. n-мерное
пространство однозначно задаётся n-симплексом.
k
По п.2. в симплексе, состоящем из n+1 точки, можно выделить C n 1 подмножеств из k
k
1
элементов, а значит C n 1 (k-1)-граней. Т.е. C n 1 вершин,
C n21 рёбер и т.д.
C nn11 =1 соответствует всему симплексу целиком. C n01 =1 – пустое множество.
Каждый ряд треугольника Паскаля, соответствующий степени n+1, описывает nсимплекс, задающий n-мерное пространство.
4) 1, 3, 6, 10, 15 …– треугольные числа: 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4 и т.д.
1, 4, 10, 20 …– тетраэдральные числа: 4=1+3, 10=1+3+6, 20=1+3+6+10 и т.д.
Числа, составленные таким образом – симплексные числа соответствующего пространства
(натуральный ряд соответствует отрезкам на числовой оси).
Каждая линия треугольника Паскаля, начинающаяся на n-ступени треугольника
(n≥0), содержит ряд n-симплексных чисел.
S qd  C dd q 1 
(q  d  1)( q  d  2)...( q  1)q (q  d  1)!

, где d – число измерений
d!
d!(q  1)!
симплекса, q – количество точек в ребре симплекса, S qd - симплексное число.