Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми

Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.
Решение задач №1-8(условия на слайдах). Для
самостоятельного решения №9-15
В каждой задаче нужно найти расстояние и угол между выделенными синим и красным
цветами скрещивающимися прямыми.
Задача № 1 (Слайд 8). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися
диагональю грани куба и стороны параллельной грани.
Решение.
Прямые (AB) (ABB1) и (C1D) (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда
расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [AD], и т. к.
(AB) || (CD), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми
.
Задача № 2 (слайд 9). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися
диагоналями параллельных граней куба.
Решение.
Прямые (A1B) (ABB1) и (C1D) (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда
расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1D1], и т. к.
(A1B) || (D1C), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми
.
Задача № 3 (слайд 10).Постройте расстояние и угол между скрещивающимися
диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.
Решение.
Прямые (AA1) (ADD1) и (B1C) (BCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда
расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1B1], и т. к.
(AA1) || (BB1), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми
.
Задача № 4 (слайд № 11).Найдите расстояние и угол между скрещивающимися
диагональю куба и диагональю грани куба, если ребро куба равно 1.
Решение.
Прямая (CD1) (ADC1) по свойству диагонали грани куба и (CD1) (ADC1) = O, а (B1D)
(ADC1). Тогда расстояние между ними (отрезок [OK]) – это расстояние от проекции
прямой (CD1) на плоскость (ADC1), т. е. от точки O, до прямой (B1D).
Рассмотрим плоскость (ADC1)
Прямоугольные треугольники
DOK ~
DB1C1 (по общему острому углу
D):
Теперь вычислим угол между скрещивающимися прямыми (CD1) и (B1D).
Поскольку прямая (CD1) (ADC1), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в
данной плоскости, в том числе и прямой (B1D) (ADC1). Тогда
.
Задача № 5 (слайд 12. Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной
пирамиды и ребром ее основания.
Решение.
Высота пирамиды (PO) (ABC), а значит (PO) перпендикулярна любой прямой, лежащей
в плоскости (ABC), в том числе ребру (AD). Тогда по определению расстояния между
скрещивающимися прямыми отрезок [OK] (AD) и является искомым расстоянием, а
угол между высотой (PO) пирамиды и ребром основания (AD) является прямым.
Задача № 6 (слайд 13).Постройте расстояние и угол между скрещивающимися боковым
ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.
Решение.
Рассмотрим боковое ребро (PC), плоскость основания (ABC) и диагональ основания (AC).
Т. к. высота пирамиды (PO) (ABC), а значит и любой прямой, лежащей в этой
плоскости, в том числе и прямой (AC). Тогда по определению (AC) = pr(ABC)(PC). (после
того, как учащиеся озвучат данный факт, с помощью анимации объектов на слайде 15
добавляем надписи «наклонная», «проекция»).
По условию PABC – правильная пирамида, т. е. ABCD – квадрат. Тогда по свойству
диагоналей квадрата (BD) (AC) = pr(ABC))(PC). А значит по теореме о трех
перпендикулярах (BD) (PC).
Расстояние между скрещивающимися прямыми (BD) и (PC) определяется из следующих
соображений.
Построим из вершины прямого угла POC высоту [OK] на гипотенузу [PC]. Очевидно,
что прямые (OK) и (PC), содержащие эти отрезки, также перпендикулярны.
Рассмотрим плоскость (APC) сечения пирамиды и прямую (BD):
по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости.
Значит прямая (BD) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (APC), в том
числе и прямой (OK).
Тогда отрезок [OK] есть общий перпендикуляр прямых (BD) и (PC).
Задача № 7 (слайд № 14). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися боковым
ребром куба и его диагональю, если известно, что ребро куба равно a.
Решение.
В силу параллельности ребер (AA1) и (BB1) проще сначала найти угол между
скрещивающимися прямыми (AA1) и (DB1):
.
Нахождение расстояния между данными прямыми базируется на следующей идее:
рассмотрим сечение куба плоскостью (BDD1), содержащей прямую (DB1).
(AA1) || (BB1)
(BDD1) => (AA1) || (BDD1) по признаку параллельности прямой и
плоскости. Тогда расстояние
.
Замечание: на предыдущих уроках было отработано нахождение длины диагонали грани
куба (
) и диагонали куба (
) в зависимости от длины ребра куба a, поэтому при
решении задач время на обоснование этих фактов не тратится.
Задача № 8 (слайд 15). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися ребром
основания куба и отрезком, соединяющим вершину ребра верхнего основания с серединой
противоположного ребра в нижнем основании, если известно, что ребро куба равно a.
Решение.
Найдем сначала угол между скрещивающимися прямыми:
, т.е. искомый угол равен
.
Теперь определим расстоянием между прямыми в соответствии с методом «расстояние от
проекции до проекции»:
.
Из DD1P по теореме Пифагора
гипотенузу, получаем, что DD1P ~
, а по свойству высоты, опущенной на
HDP:
.