Материалы VII турнира

VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Составители:
Никифорова Н.С., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Устинов А.В., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Компьютерный набор:
Никифорова Н.С.
В данном сборнике представлены задачи и результаты VII Магнитогорского турнира юных
математиков «Кубок управления образования», а также задачи и решения V математической
регаты, проходившей для 6 классов школ города и материалы II открытой олимпиады по
математике для 5 классов.
Сборник рекомендован Управлением образования г. Магнитогорска, ГМЦ, ШИООД для
работы педагогам по подготовке учащихся к математическим турнирам, олимпиадам,
конкурсам, а также для проведения факультативных занятий и внеклассных часов по
математике.
© Никифорова Н.С., Устинов А.В., 2006
2
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Содержание
От составителей
4
Правила
математического боя
блиц-боя
математической регаты
6
10
10
Математическая регата
Задания
Результаты
Решения
11
12
12
II открытая олимпиада по математике для 5 классов
16
VII МГТЮМ «Кубок управления образования»
Командная олимпиада
Итоги командной олимпиады
Задания математических боев
Решения задач математических боев
Задачи и ответы блиц-боя
Результаты турнира
Победители турнира
20
21
22
25
34
35
36
3
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
От составителей.
Математические соревнования как личные, так и командные, имеют много общего со
спортивными соревнованиями. Такие же систематические тренировки, интенсивный курс
подготовки на сборах, необходимая сплоченность команды и, конечно, радость победы.
Сегодня существует множество математических соревнований – это различные олимпиады,
турниры, заочные конкурсы. Среди наиболее интересных командных соревнований
школьников можно назвать регулярно проходящие турниры математических боев.
Основными целями таких турниров являются стимулирование интереса школьников к
математике, завязывание и укрепление профессиональных и дружественных контактов.
Большой популярностью пользуются, например, Уральские (Кировские) турниры и турниры
имени А.П.Савина. Это яркие и многогранные мероприятия: трудные, но интересные задачи,
математические (и не только) игры, новые знакомства. Благодаря всему этому школьники
получают огромный заряд бодрости и интеллектуального здоровья, который надолго
остается их невидимым преимуществом над окружающими. В то же время ребятам
приходится много трудиться, ведь на турнирах от них требуется не только умение решать
нестандартные задачи, но и проявлять навыки слаженной коллективной работы, публичного
выступления и аргументированной полемики.
В данном сборнике представлены задачи и результаты VII Магнитогорского турнира юных
математиков «Кубок управления образования», который проходил с 17 по 20 марта на базе
МОУ СОШ № 5. Турниру предшествовала командная олимпиада, в которой приняли участие
44 команды (по 6 человек в команде) из 44 общеобразовательных учреждений города. По
результатам командной олимпиады к турниру были допущены 8 команд, которые и
разыграли между собой главный приз – переходящий кубок.
В состав жюри турнира вошли: председатель жюри – Никифорова Н.С. (педагог
дополнительного образования ШИООД), члены жюри – педагоги дополнительного
образования ШИООД Устинов А.В. и Христева А.В., педагог школы олимпийского резерва
Великих А.С., учащиеся школы олимпийского резерва Билибенко Кристина, Дятлов
Дмитрий, Тропин Леонид, Торчинская Элина, Наумова Надежда, Рогожин Илья, педагог
школы № 65 Сунко Д.В., педагог школы № 47 Маковеева Н.С.
Большую работу провел оргкомитет в составе Полуниной Т.Л., Зубковой Н.А., Дронова
В.Л., Малыхиной Т.А.
При составлении заданий для каждого математического боя жюри турнира старалось, чтобы
каждый участник нашел для себя что-нибудь интересное.
Кроме этого в сборник вошли задачи и решения V математической регаты, проходившей для
6 классов школ города 15 апреля, а также материалы II открытой олимпиады по математике
для 5 классов, которая прошла 22 апреля.
Задачи под номерами 28, 30, 32, 38 взяты из книги «Математика: Интеллектуальные
марафоны, турниры, бои 5-11 классы: Книга для учителя. Авторский коллектив: Блинков
А.Д., Семенов А.В. и др.»
Задачи под номерами 13, 19, 21, 34 предложены Устиновым А.В.
Задачи под номерами 18, 20, 26 взяты из материалов Пермских турниров юных математиков.
Задачи под номерами 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 23, 24, 27, 29, 31, 35, 37 взяты из материалов
Московских олимпиад.
Задача под номером 17 взята из материалов Математического праздника (г. Москва)
4
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Задача под номером 2 взята из книги И.Огнева «Мозгодробилки и прикольные задачи для
детей и взрослых».
Задача под номером 8 взята из книги Смыкаловой Е.В. «Дополнительные главы по
математике для учащихся 5 класса».
Задачи под номерами 7, 14, 22 взяты из книги И.Ф. Шарыгина, Р.К.Гордина «Сборник задач
по геометрии».
Задача под номером 33 взята из книги Перельмана Я.И. «Веселые задачи».
Задача под номером 39 взята из учебника «Геометрия 7-9. Атанасян Л.С. и др.».
Задачи математической регаты под номерами 1.1, 2.1, 3.1, 3.2 предложены Устиновым А.В.
задачи под номерами 1.3, 2.3, 3.3 взяты из книги О.А.Ивашовой, М.Ю.Полниковой
«Математика. Литературные задачи», задача под номером 2.2 взята из книги Смыкаловой
Е.В. «Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса».
Задачи открытой олимпиады для 5 классов предложены Устиновым А.В.
Указывая источник, из которого взята задача, жюри имело в виду только то, что раньше эта
задача им нигде не встречалась. Источники задач под номерами 1, 10, 15, 16, 25, 40 , а также
задачи из математической регаты под номером 1.2. жюри обнаружить не удалось.
5
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
ПРАВИЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО БОЯ
Общие положения. Математический бой – это соревнование двух команд в решении
математических задач. Он состоит из двух частей. Сначала команды одновременно получают
условия задач и определенное время на их решение. При решении задач команда может
использовать любую литературу, но не имеет права общаться по поводу решения задач ни с кем,
кроме жюри. Представитель жюри обязан давать командам все необходимые пояснения по
текстам задач. Он также следит за тем, что те существенные пояснения в тексте задачи, которые
могут повлиять на ее решение, доводились до сведения всех команд, решающих эту задачу.
Команда выбирает капитана команды и его заместителя. Во время решения задач главная
обязанность капитана – координировать действия членов команды так, чтобы имеющимися
силами решить как можно больше задач. Для этого капитан, с учетом пожеланий членов команды,
распределяет между ними задачи для решения, организует проверку найденных решений,
определяет тактику команды на предстоящем бое.
По истечении заданного времени команды, их болельщики, зрители и жюри боя
собираются в одном помещении. Команды передают жюри боя списки команд с указанием
названия команды, капитана и заместителя капитана.
Ход боя. Бой начинается с конкурса капитанов команд. В конкурсе капитанов может
участвовать любой представитель команды. Жюри боя предлагает капитанам задачу. Если какойто капитан даст правильный ответ, то он победил, а если неправильный – победил его соперник.
Если за время, отведенное на конкурс капитанов, ни один капитан не ответил, то победитель
определяется жребием. Вместо задачи жюри может предложить капитанам сыграть в игру. В
этом случае победителем считается тот, кто выигрывает игру. Возможны и другие схемы
проведения конкурса капитанов.
Команда, капитан которой победил на конкурсе капитанов, получает право первого хода.
Она может вызвать другую команду на какую-то задачу или пожелать быть вызванной.
Затем команды в соответствии с правилами боя рассказывают друг другу решения задач.
Команда, получившая вызов, выставляет докладчика задачи, который должен у доски рассказать
полное решение задачи. Другая команда выставляет оппонента, который ищет в решении
докладчика ошибки, недостатки и т.д. При этом выступления оппонента и докладчика
оцениваются жюри в баллах (за решение и за оппонирование). Если команды, обсудив
предложенное решение, все-таки до конца задачу не решили или не обнаружили допущенные
ошибки, то часть баллов (или даже все баллы) может забрать себе жюри боя. Если по окончании
боя результаты команд отличаются не более чем на 3 балла, то считается, что бой закончился
вничью. В противном случае побеждает команда, которая по окончании боя набирает больше
баллов. Если же по условиям боя он не может закончиться вничью, то жюри до боя объявляет это
командам и оглашает процедуру определения победителя.
Капитаны команд имеют право попросить жюри о предоставлении перерыва в ходе боя на 5–
10 минут (примерно через каждые полтора часа). Перерыв может предоставляться только между
обсуждением двух различных задач (между раундами). При этом команда, которая должна
сделать вызов, делает его в письменной форме (без оглашения) непосредственно перед началом
перерыва и сдает жюри, которое оглашает этот вызов сразу после окончания перерыва.
Вызовы. Бой состоит из нескольких раундов. В начале каждого раунда одна из команд
вызывает другую на одну из задач, решения которых еще не рассказывались (например: “Мы
вызываем команду соперников на задачу номер 8”). После этого вызванная команда сообщает,
принимает ли она вызов, т.е. согласна ли рассказывать решение задачи, на которую была вызвана
(ответ можно обдумывать, но не более 1 минуты). Если да, то она выставляет докладчика, который
должен рассказать решение, а вызвавшая команда выставляет оппонента, обязанность которого –
искать в решении ошибки. Если нет, то происходит проверка корректности вызова вызывающая команда обязана выставить докладчика, а отказавшаяся отвечать команда выставляет
оппонента. После раунда жюри определяет, был вызов корректным или нет. Команда, вызывавшая
некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех остальных случаях
6
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
в следующем раунде вызывает команда, которая была вызвана до этого. Команда, желающая
сохранить выходы к доске, может отказаться выставлять оппонента. Тогда она в этом раунде не
участвует (и изменить своего решения уже не может).
В любой момент боя команда, которая должна вызывать, может отказаться это сделать.
Тогда другая команда получает право рассказать решение оставшихся задач, а команда,
отказавшаяся делать вызов, может выставлять оппонента и получать баллы за оппонирование.
Бой заканчивается, когда не осталось не обсужденных задач, или когда одна из команд
отказалась от вызова, а другая команда отказалась рассказывать решения оставшихся задач.
Ход раунда. В начале раунда докладчик рассказывает решение. Доклад должен содержать
ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты
полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им
промежуточное утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное, т.е. входящее в
обычный школьный курс. Докладчик должен стремиться к ясности изложения, в частности, он
обязан повторить по просьбе оппонента или жюри любую часть своего доклада. Время на доклад
ограничивается 15 минутами, после чего жюри решает, разрешать ли докладчику рассказывать
дальше.
Докладчик может иметь бумагу с чертежами и (с отдельного разрешения жюри)
вычислениями, но не имеет права брать с собой текст решения. В докладе нельзя ссылаться
на вычисления, проведенные с помощью калькулятора или иной вычислительной техники и
не подтвержденные иным способом.
Докладчик имеет право:
– до начала выступления вынести на доску всю необходимую информацию (чертежи,
вычисления и т.п.);
– не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала обсуждения;
– просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, докладчик может предложить
свою версию вопроса: “Правильно ли я понимаю, что вы спросили о том-то и том-то?”);
– отказаться отвечать на вопрос, сказав, что: (а) он не имеет ответа на этот вопрос; (б) он
уже ответил на этот вопрос (объяснив, когда и как); (в) вопрос некорректен или выходит
за рамки научной дискуссии по поставленной задаче. В случае несогласия оппонента с
основаниями (б) и (в) арбитром выступает жюри.
Докладчик не обязан:
– излагать способ получения ответа, если он может доказать правильность и полноту
ответа другим путем;
– сравнивать свой метод решения с другими возможными методами, в том числе с точки
зрения краткости, красоты и пригодности для решения других задач.
Докладчик обязан рассказывать решение в вежливой, корректной форме, критикуя действия
оппонента, не допускать критики его личности, обращаться к оппоненту только на “Вы”.
Пока доклад не окончен, оппонент может задавать вопросы только с согласия докладчика, но
имеет право просить повторения части решения и разрешать докладчику не доказывать какиелибо очевидные с точки зрения оппонента факты. После окончания доклада оппонент имеет право
задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то
считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает отвечать на
вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может :
– потребовать у докладчика повторить любую часть доклада;
– попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе: (а) попросить
дать определение любого термина (“Что Вы понимаете под ...”); (б) переформулировать
утверждение докладчика своими словами и попросить подтверждения (“Правильно ли я
понимаю, что Вы утверждаете следующее: ...”);
– попросить докладчика доказать сформулированное тем неочевидное необщеизвестное
утверждение (в спорных случаях вопрос об известности или очевидности решает жюри;
7
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
во всяком случае, известными считаются факты, изучающиеся в общеобразовательной
школе);
– после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или мотивированную
неудовлетворенность ответом.
Если оппонент считает, что докладчик тянет время, придумывая решение у доски, или что
существенная часть доклада не является изложением решения обсуждаемой задачи, он имеет
право (но не ранее, чем через 10 минут после начала доклада) попросить докладчика предъявить
ответ (если таковой в задаче подразумевается) или план дальнейших рассуждений.
Оппонент обязан:
– формулировать свои вопросы в вежливой, корректной форме, обращаться к
докладчику только на “Вы”;
– критикуя доклад, не допускать критики докладчика;
– повторять и уточнять свои вопросы по просьбе докладчика или жюри.
По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент имеет право дать свою оценку докладу и
обсуждению в одной из следующих форм: (а) признать решение правильным; (б) признать
решение (ответ) в основном правильным, но имеющим недостатки и/или пробелы с обязательным
их указанием; (в) признать решение (ответ) неправильным с указанием ошибок в обоснованиях
ключевых утверждений доклада или контрпримеров к ним (или ответу), или указанием
существенных пробелов в обоснованиях или плане решения. Если оппонент согласился с
решением, он и его команда в этом раунде больше не участвуют.
Если оппонент имеет контрпример, опровергающий решение докладчика в целом, и этот
контрпример сам является решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда вопрос
задачи звучит как “Можно ли …?”, “Верно ли, что …?” и т.п.), то оппонент имеет право заявить:
“Я с решением не согласен, у меня есть контрпример”, но сам контрпример пока докладчику не
предъявлять (хотя жюри имеет право потребовать от оппонента предъявления контрпримера в
письменном виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента). В этом случае, если
докладчик не изменит своего решения в течение минуты или после взятого командой перерыва,
оппонент получает право предъявить докладчику упомянутый контрпример, причем докладчик и
его команда уже не имеют права менять решение или ответ.
Аналогично, если решение требует перебора случаев, оппонент имеет право заявить “Я с
решением не согласен, рассмотрены не все случаи”, не указывая пока докладчику явно, какой
именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия докладчика, жюри и оппонента такие же, как
в ситуации с контрпримером.
Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога докладчика и оппонента жюри
задает свои вопросы. При необходимости оно может вмешиваться и раньше.
Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут обращаться к своим капитанам с
просьбой о замене или перерыве для консультации. Другое общение между командой и
докладчиком (оппонентом) допускается только во время полуминутного перерыва, который любая
команда может взять в любой момент (при этом соперники тоже могут пользоваться этим
временем). Каждая команда может взять в течение одного боя не более 6 полуминутных
перерывов (см. также ниже пункт “Число выходов к доске”). Команда имеет право полностью
использовать полуминутный перерыв, взятый командой соперников, даже если та закончила его
досрочно.
Перемена ролей. Некорректный вызов. Порядок вызовов. Если по ходу дискуссии
жюри установило, что оппонент доказал отсутствие у докладчика решения и ранее не произошел
отказ от вызова, то возможны два варианта. Если вызов на этот раунд был принят, то оппонент
получает право (но не обязан) рассказать свое решение. Если оппонент взялся рассказывать свое
решение, то происходит полная перемена ролей: бывший докладчик становится оппонентом и
может зарабатывать баллы за оппонирование. Если же вызов на этот раунд не был принят, то
говорят, что вызов был некорректным. В этом случае перемены ролей не происходит, а команда,
вызывавшая некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех
8
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
остальных случаях в следующем раунде вызывает та команда, которая была вызвана в текущем
раунде.
Принятый вызов всегда считается корректным!
Если же оппонент не доказал, что у докладчика нет решения, но выявил в предложенном
решении некоторые конкретные недостатки, то, если ранее не произошел отказ от вызова и вызов
на этот раунд был принят, оппонент получает право (но не обязан) устранить все (или некоторые)
из этих недостатков (“залатать дыры”). Такое же право оппонент получает, если он доказал, что
у докладчика нет решения, но отказался рассказывать собственное решение. Если оппонент взялся
“залатывать дыры”, то происходит частичная перемена ролей: оппонент обязан сформулировать
предварительно, что именно он будет делать (например, разбирать такой-то не разобранный
докладчиком случай, доказывать такое-то недоказанное докладчиком утверждение или что-либо
еще), а бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование
сформулированных утверждений. При проверке корректности вызова частичная перемена ролей
невозможна.
Обратной перемены ролей ни в каком случае не происходит!
Число выходов к доске. Каждый член команды имеет право выйти к доске в качестве
докладчика или оппонента не более двух раз за бой. Команда имеет право не более трех раз за бой
заменять докладчика или оппонента, причем каждый раз выход засчитывается как тому, кого
заменили, так и тому, кто вышел на замену. Кроме того, при замене время, отведенное команде на
перерывы, уменьшается на 1 минуту (эту минуту можно использовать непосредственно перед
заменой, а можно и не использовать – в последнем случае команда соперников тоже не имеет
права пользоваться ею).
Начисление баллов. Каждая задача оценивается в 12 баллов, которые по итогам раунда
распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри. Если докладчик, не опираясь
существенно на наводящие вопросы и иные соображения жюри и/или оппонента, рассказал
правильное и полное решение, все 12 баллов достаются ему. Если же в решении были выявлены
"дыры" (пробелы), то жюри по окончании дискуссии определяет их стоимость. После этого
оппонент, как правило, сразу получает половину стоимости обнаруженных им дыр. Если
некоторые из этих "дыр" были в ходе дискуссии полностью или частично закрыты,
соответствующая часть остатка их общей стоимости распределяется между докладчиком и
оппонентом пропорционально их вкладу в закрытие "дыр". При этом вкладом оппонента может
признаваться не только закрытие им дыры (в случае полной или частичной перемены ролей), но и
помощь докладчику в закрытии дыр путем высказанных по окончании доклада наводящих
соображений. Все оставшиеся баллы жюри забирает себе.
Если не было полной перемены ролей, то оппонент не может получить больше 6 баллов.
Если ошибки или пробелы в докладе указаны самим докладчиком и не устранены его
командой, то оппонент получает за них баллы так, как если бы он сам нашел эти недостатки. В
частности, если, получив отказ от вызова, капитан вызывающей команды сразу признается, что у
его команды нет решения, то команда соперников получает 6 баллов за оппонирование (которое в
этом случае могло бы состоять из одной фразы: “У Вас нет решения”), а вызов признается
некорректным. Докладчик и оппонент в этом случае не назначаются и выходы к доске не
засчитываются.
Капитан. Во время боя только капитан может от имени команды обращаться к жюри и
соперникам: сообщать о вызове или отказе, просить перерыв и т.д. Он имеет право в любой
момент прекратить доклад или оппонирование представителя своей команды. Если капитан у
доски, он оставляет за себя заместителя, исполняющего в это время обязанности капитана. Имена
капитана и заместителя сообщаются жюри до начала решения задач.
Жюри. Жюри является верховным толкователем правил боя. В случаях, не
предусмотренных правилами, оно принимает решение по своему усмотрению. Решения жюри
являются обязательными для команд.
9
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Жюри может снять вопрос оппонента (например, если он не по существу), прекратить
доклад или оппонирование, если они затягиваются. Если жюри не может быстро разобраться
в решении, оно может с согласия обоих капитанов выделить своего представителя, который
продолжит обсуждение задачи совместно с докладчиком и оппонентом в другом помещении.
При этом бой продолжается по другим задачам, а очки по этой задаче начисляются позже.
Жюри ведет протокол боя. Если одна из команд не согласна с принятым жюри решением по
задаче, она имеет право немедленно потребовать перерыв на несколько минут для разбора
ситуации с участием Старшего по лиге. После начала следующего раунда счет предыдущего
раунда, как правило, изменен быть не может.
Жюри следит за порядком. Оно может оштрафовать команду за шум, некорректное
поведение, общение со своим представителем, находящимся у доски.
Жюри обязано мотивировать свои решения, не вытекающие непосредственно из правил боя.
Определение победителя. Победитель турнира определяется по сумме баллов,
набранных командами за время боев (за выигранный бой команде начисляется 2 балла, за
ничью – 1 балл, за проигрыш – 0 баллов). При равенстве сумм баллов места определяются по
результатам личных встреч, если результаты личных встреч не позволяют определить места,
занятые командами, проводится блиц-бой и места команд определяются по сумме баллов,
набранных в блиц-бое. При равенстве сумм баллов места определяются по результатам в
командной олимпиаде. Если и эти результаты равны, места определяются жребием.
Правила проведения блиц-боя
1. Блиц-бой проводится для определения мест команд в случае равенства баллов в
групповом турнире у двух или более команд, если по результатам личных встреч это
определить невозможно.
2. Командам выдается 8 задач на 20 минут.
3. Ответы сдаются в письменном виде.
4. За каждый верный ответ начисляется три очка, за каждый неверный снимается 1 очко.
5. Места команд определяются по сумме баллов.
Правила проведения математической регаты
1. В математической регате участвуют команды учащихся 6 – 8 классов. В составе
команды – 4 человека.
2. Соревнование проводится в четыре тура. Каждый тур представляет собой
коллективное письменное решение трех задач. Любая задача оформляется и сдается в
жюри на отдельном одинарном листе, причем каждая команда имеет право сдать
только по одному варианту решения каждой из задач. Эти листы раздаются командам
перед началом каждого тура. На листе указаны: номер тура, «ценность задач» в
баллах и время, отведенное командам для решения. Получив листы с заданиями,
команда вписывает на каждый из листов свое название, а уже потом приступает к
решению задач.
3. Проведением регаты руководит Координатор. Он организует раздачу заданий и сбор
листов с решениями; проводит разбор решений задач и обеспечивает своевременное
появление информации об итогах проверки.
4. Проверка решений осуществляется жюри после окончания каждого тура.
5. Параллельно с ходом проверки, Координатор осуществляет для учащихся разбор
решений задач, после чего школьники получают информацию об итогах проверки.
После объявления итогов тура, команды, не согласные с тем, как оценены их
решения, имеют право подать заявки на апелляции. В результате апелляции оценка
решений может быть как повышена, так и понижена, или же оставлена без изменений.
6. Команды-победители определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во
всех турах.
Примечание. Регата, материалы которой представлены в данном сборнике, проходила в 3 тура.
10
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1. Расставьте в кружках цифры от 0 до 9 так, чтобы во всех квадратах сумма цифр
равнялась 20. Каждую цифру можно использовать ровно один раз.
1.2. Несколько мальчиков и одна девочка стоят в хороводе. Петя стоит от Маши третьим,
если считать по часовой стрелке, и восьмым, если считать против часовой стрелки. Сколько
мальчиков стоит в хороводе?
1.3. Знакомая Гарри Поттера фея Динь-Динь была такая маленькая, что ее могло заполнять
только одно чувство: или доброе, или злое. Сейчас она была полна злости и ее масса
составляла 16 унций. Если же из феи вытряхнуть половину злости, то ее масса будет 13
унций. Какова масса самой феи?
Второй тур (12 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. На круглом торте расположены 6 розочек так, как показано на рисунке. Двумя
прямолинейными разрезами разрежьте торт на
а) три куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.
б) четыре куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.
а)
б)
2.2. Докажите, что из любых трех натуральных чисел можно найти два, сумма которых
делится на 2.
2.3. Однажды Гарри Поттер с друзьями полетели на метлах посмотреть белый свет. В первый
день полета они были в пути 6 часов, а во второй – 8 часов, двигаясь с одинаковой
скоростью. Сколько километров они пролетели за два дня, если во второй день их путь был
на 18 км длиннее?
Третий тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. Треть персика весит столько же, сколько весят две с половиной сливы, а половина сливы
весит столько же, сколько весят три вишни. Сколько нужно взять вишен, чтобы
уравновесить пять персиков?
3.2. В математической регате участвует 21 команда. Каждой команде для решения
предлагаются 9 задач. Докажите, что найдутся 3 команды, решившие одинаковое количество
задач.
11
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
3.3. Убегая от злого волшебника, Гарри Поттер обежал по дорожке дом с квадратным
2
основанием, площадью 81 м . Какой путь проделал Гарри, если дорожка находилась на
расстоянии 2 метра от стен дома?
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Команда
школа 67
школа 6
школа 56
школа 60
школа 14
школа 5 (5 кл.)
школа 65
школа 3
школа 10
школа 32
школа 40
школа 9
школа 59
школа 47
школа 1(1)
школа 1(2)
школа-интернат 2
школа 20
школа 12
1.1
0
0
0
0
0
6
6
0
6
6
6
0
6
0
6
0
0
0
0
1.2
0
2
6
6
0
6
6
6
6
6
4
6
6
6
3
0
6
1
1.3
6
6
6
6
6
6
6
6
2
6
6
0
6
2
6
1
1
2.1
0
0
7
0
0
3
7
0
0
0
0
4
7
4
0
0
7
4
3
2.2
0
0
6
0
0
7
6
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
2.3
6
7
7
7
6
5
7
7
7
7
6
7
7
7
7
7
0
1
3.1
8
4
8
0
1
8
8
4
4
3
0
8
1
8
0
8
8
1
3.2
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
3
0
0
3
0
0
3.2
0
0
0
0
0
0
8
0
8
0
0
1
0
2
0
0
0
0
1
Сумма
20
19
40
19
7
41
62
23
37
24
22
32
26
36
26
7
24
19
8
6
6
6
0
7
7
8
8
8
56
команда учителей
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГАТЫ
1.1. Решение. Например, так:
0
8
1
9
3
2
6
4
Критерии для проверки:
приведена верная расстановка цифр – 6 баллов,
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов.
12
5
7
Место
II
II
I
III
III
вне
конкурса
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
1.2. Ответ. 10 мальчиков.
Решение.
С одной стороны между Петей и Машей находится 2 мальчика (т.к. Петя стоит от Маши
третьим, если считать по часовой стрелке). С другой стороны между Петей и Машей
находится 7 мальчиков (т.к. Петя стоит от Маши восьмым, если считать против часовой
стрелки). Таким образом, получаем: 2 мальчика + 7 мальчиков + Петя = 10 мальчиков.
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
просто ответ без пояснений – 1 балл,
получено, что между Петей и Машей стоит 2 или 7 мальчиков – по 2 балла за
каждый результат,
полное решение – 6 баллов.
1.3. Ответ.10 унций.
Решение.
Половина злости весит 16-13=3 унции. Тогда вся злость весит 3∙2=6 унций, следовательно,
фея весит 16-6=10 унций.
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
просто ответ без пояснений – 1 балл,
получено, что половина злости весит 3 унции – 2 балла,
получено, что вся злость весит 6 унций – 2 балла,
полное решение – 6 баллов.
2.1. Решение. Например, так:
а)
б)
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
правильное разрезание в первом пункте – 3 балла,
правильное разрезание во втором пункте – 4 балла,
в первом пункте показано, что количество розочек на кусках может быть равно 0, 1,
5 или 0, 2, 4 или 1, 2, 3. но не приведено разрезание – 1 балл,
во втором пункте показано, что количество розочек на кусках должно быть 0, 1, 2,
3, но не приведено разрезание – 2 балла.
Внимание! Для полного решения достаточно привести нужное разрезание в каждом из
пунктов!
2.2. Доказательство.
Среди трех чисел обязательно найдутся два числа одинаковой четности, их сумма будет
четной, и, следовательно, будет делиться на 2.
13
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
в решении присутствуют утверждения: четное+четное=четное или
нечетное+нечетное=четное - 2 балла,
полное решение – 7 баллов.
2.3. Ответ. 126 км.
Решение.
По условию, путешественники пролетели 18 км за 8-6=2 часа, т.е. скорость передвижения
Гарри с друзьями равна 18:2=9 км/ч. Таким образом весь путь составил 9  6  8  126 км.
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
просто ответ без рассуждений – 1 балл,
найдена скорость движения – 3 балла,
полное решение – 7 баллов.
Внимание! Не снимать баллы за арифметические ошибки!
3.1. Ответ. 225 вишен.
Решение.
Будем обозначать персик буквой П, сливу – буквой С и вишню – буквой В.
Узнаем, сколько слив уравновешивает один персик:
1
1
15
15
По условию П  2 С  С , то есть П  С .
( )
3
2
2
2
Узнаем теперь, сколько вишен уравновешивают одну сливу:
1
По условию С  3В , то есть С  6В .
2
15
В равенстве (  ) заменим сливы на вишни: П   6 В  45 В , получаем, что 5П  225В .
2
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
просто ответ без пояснений – 1 балл,
15
получено выражение П  С - 2 балла,
2
получено выражение С  6В - 2 балла,
15
получено выражение П   6 В  45 В - 2 балла,
2
полное решение – 8 баллов.
Внимание! Не снимать баллы за арифметические ошибки!
3.2. Доказательство.
Команда может решить 9 задач, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 задачу и не решить ни одной задачи (то
есть решить 0 задач). Всего – 10 вариантов. Предположим, что нет трех команд, решивших
одинаковое количество задач. Пусть 0 задач решили 2 или меньше команд. Также, пусть
1задачу, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 задач решили не более двух команд. Тогда всего в регате
принимало участие не более 20 команд, а их было 21. Противоречие, значит, найдутся три
команды, решившие одинаковое количество задач, что и требовалось доказать.
14
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
показано, сколько задач может решить команда (10 возможностей) – 3 балла,
полное решение – 8 баллов.
3.3. Ответ. 52 метра.
Решение.
Так как площадь основания дома 81 м 2 , то длина одной стены 9 метров. Так как дорожка
находится на расстоянии 2 метра от стен дома, то Гарри пробежал 9  2  2 4  52 метра.
Критерии для проверки:
отсутствие решения или неверное решение – 0 баллов,
просто ответ без пояснений – 1 балл,
найдена длина одной стороны дома – 2 балла,
полное решение – 8 баллов.
15
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
II ОТКРЫТАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 5 КЛАССОВ
ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ
1. Фанни Каплан стреляет так, что среди любых пяти сделанных подряд выстрелов в цель
попадают ровно три. Каплан сделала восемь выстрелов подряд по важной цели. Известно,
что первые два выстрела в цель не попали. Попали или нет в цель седьмой и восьмой
выстрелы Фанни Каплан?
2. Владимир Ильич слепил из хлеба 50 одинаковых кубиков. Несколько кубиков он съел, а из
оставшихся смастерил чернильницу, изображенную на рисунке (толщина стенок и дна
чернильницы – 1 кубик). Сколько кубиков съел Владимир Ильич?
3. В своем доме в Шушенском Надежда Константиновна расставляет по комнатам зеленые
лампы. В гостиной она поставила в два раза больше ламп, чем в библиотеке, а в кабинете – в
четыре раза больше ламп, чем в гостиной. Всего Надежда Константиновна расставила 22
лампы. Сколько ламп она поставила в кабинете?
4. Владимир Ильич пришел на субботник с пятью товарищами. Бревно должны нести ровно
три человека, причем необходимо, чтобы Владимир Ильич шел впереди. Сколькими
способами можно составить команду для переноски бревна?
5. Надежда Константиновна и Владимир Ильич вспоминали, в каком месяце 1917 года
произошла революция. Надежда Константиновна говорит, что революция произошла не
раньше ноября, а Владимир Ильич говорит, что революция произошла позднее сентября. В
каком месяце на самом деле произошла революция 1917 года, если известно, что один из
говоривших всегда говорит правду, а другой всегда лжет?
РЕШЕНИЯ
1. Ответ. Седьмой выстрел не попал в цель, восьмой выстрел попал в цель.
Решение.
Третий, четвертый и пятый выстрелы обязательно попадут в цель, иначе найдутся пять
подряд идущих выстрела, среди которых меньше трех попаданий, что противоречит
условию. Далее, шестой и седьмой выстрелы обязательно не попадут в цель, иначе найдется
пять подряд сделанных выстрела, среди которых больше трех попаданий, что противоречит
условию. И, наконец, восьмой выстрел обязательно попадет в цель, иначе найдутся пять
подряд идущих выстрела, среди которых меньше трех попаданий, что противоречит
условию.
2. Ответ. 10 кубиков.
Решение.
16
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Разделим чернильницу на три слоя: нижний, средний и верхний. Сосчитаем, сколько кубиков
в каждом слое. В нижнем слое 4  4 = 16 кубиков. В среднем и верхнем слое – 4  4 – 2  2 =
12 кубиков. Таким образом, для изготовления чернильницы понадобилось 16 + 12 + 12 = 40
кубиков, а Владимир Ильич съел 50 – 40 = 10 кубиков.
3. Ответ. 16 ламп.
Решение.
Пусть в библиотеке поставлено x ламп, тогда в гостиной поставлено 2x ламп и в кабинете –
8x ламп. Имеем: x + 2x + 8x = 22, откуда x = 2, то есть в кабинете Надежда Константиновна
поставила 2  8 = 16 ламп.
4. Ответ. 10 способов.
Решение.
На первое место после Владимира Ильича можно выбрать любого из пяти товарищей. На
второе место независимо от выбора первого товарища можно выбрать любого из четырех
оставшихся. При этом каждая пара учитывается дважды (сначала выбрали первого товарища,
затем второго или, наоборот, сначала выбрали второго товарища, а затем первого – это одна
и та же команда.) Получаем: 5  4 / 2 = 10 способов.
5. Ответ. В октябре.
Решение 1.
Если революция произошла раньше октября, т.е. с января по сентябрь, то получается, что и
Владимир Ильич и Надежда Константиновна лгут, что невозможно. Если революция
произошла позднее октября, т.е. в ноябре или декабре, то получается, что и Владимир Ильич
и Надежда Константиновна говорят правду, что невозможно. Легко проверить, что месяц
октябрь удовлетворяет условию – Надежда Константиновна лжет, а Владимир Ильич говорит
правду.
Решение 2.
Предположим, что Владимир Ильич лжет, а Надежда Константиновна говорит правду. Тогда
революция произошла не раньше ноября (т.е. в ноябре или декабре) и не позднее сентября
(т.е. с января по сентябрь), что невозможно. Пусть наоборот, Владимир Ильич говорит
правду, а Надежда Константиновна лжет. Тогда революция произошла раньше ноября (т.е. с
января по октябрь) и позднее сентября (т.е. с октября по декабрь). Видно, что подходит
только один месяц – ноябрь.
☺☺☺
НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ, ПРЕДЛОЖЕННЫЕ УЧАСТНИКАМИ ОЛИМПИАДЫ
Решение задачи 2.
☺Скорее
всего седьмой и восьмой выстрелы попали, это была важная цель Каплан
сосредоточилась после промаха и попала.
Решение задачи 4
☺1) Пройдут три человека, потом Владимир Ильич вернется и пройдет еще два человека и
после этого он вернется за четвертым.
2) Пройтись по очереди.
17
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Решения задачи 5.
☺ Революция произошла в октябре, потому что Надежда Константиновна всегда лжет.
☺
Наверно, революция произошла в октябре, потому что в октябре отмечается такой день
– день Революции.
☺
Например, если знать когда была революция, то узнаешь, кто лжец, а кто правду. Я
знаю, когда была революция и Надежда Константиновна не права, а Владимир Ильич прав.
☺ Есть февральская и октябрьская революция. Но сказано, что один врет, а другой говорит
правду. Значит в феврале отпадает потому что получается что все они врут. Ответ.
революция была в октябре (в ноябре по новому времени).
☺ Скорее всего правду говорит Надежда Константинова, ведь она как женщина должна
сказать правду. Мне кажется что она ответственная женщина и никогда не врет.
☺
Я думаю, что прав Владимир Ильич, потому что вероятность что женщина лжет
больше.
Примечание. Сохранена пунктуация авторов.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОЛИМПИАДЫ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Школ
а
5
12
8
31
31
36
5
6
5
5
10
5
6
31
14
31
36
28
12
5
10
5
Фамилия, имя
Наркунас Таня
Грушо-Новицкая Анастасия
Ахтямов Павел
Ткач Евгения
Баринова Дарья
Комаринский Василий
Курылева Алена
Сидристый Данил
Столяров Саша
Якупова Екатерина
Хафизов Анвар
Пучков Евгений
Куропаткина Ирина
Худайбердин Егор
Губенко Илья
Гарифуллин Роман
Миронов Георгий
Кравчук Ксения
Кудрицкая Татьяна
Елисеев Дмитрий
Енютина Мария
Кузнецов Дмитрий
1
0
4
7
7
7
0
0
4
0
0
0
0
2
4
0
4
0
4
0
4
0
0
баллы
2 3 4
7 7 3
7 7 1
7 2 4
3 7 5
1 7 5
7 7 5
7 2 3
7 2 2
7 0 2
7 2 5
7 7 0
7 0 0
7 1 2
0 6 2
3 6 3
1 6 0
6 6 0
1 1 5
3 2 6
6 1 0
2 7 0
3 6 0
18
5
7
3
2
0
1
1
6
2
7
0
0
7
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Сумма
Место
24
22
22
22
21
20
18
17
16
14
14
14
13
13
12
12
12
12
11
11
10
10
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
5
6
6
7
7
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
5
12
14
14
12
36
67
5
7
10
36
8
5
12
12
12
65
5
47
31
47
36
47
51
28
26
63
28
67
58
67
5
5
7
37
47
5
67
60
20
20
20
7
5
37
26
20
Романькова Кристина
Карабашева Настя
Дерябин Данил
Муртазина Яна
Короваевич Елена
Горбунов Юра
Мамбетов Ерлик
Мартьянова Вилена
Кузнецова Света
Гиззатова Регина
Цыгулева Инна
Сырова Ксения
Гиревая Вика
Рындин А.В.
Мартынов Женя
Каюмова Виктория
Ефимова Ксения
Ищенко Таня
Хузягалеева Оксана
Абрахамия Гоча
Финошина Анастасия
Желтякова Рита
Шуляк Вячеслав
Мяловский Виталик
Антипов Михаил
Пошляков Александр
Саралиев Мансур
Волков Максим
Ханенко Татьяна
Гончаров Антон
Лобанова Елена
Галак Георгий
Барабанщикова Аня
Гротха Мартин
Борисов Яков
Перлов Денис
Чемерис Дарья
Долгушина Александра
Велижанцева Алена
Елкин Артем
Слободянников Егор
Михалевский Дмитрий
Сафонов Иван
Белоусов Василий
Немашкалова Настя
Рукалин Сергей
Штефиенко Дарья
Майоров Владимир
0
0
0
0
0
0
1
6
2
0
0
6
4
0
0
1
2
0
0
0
0
0
3
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
3
1
6
1
7
0
5
0
6
0
1
7
1
0
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
19
2
7
2
7
1
7
0
1
1
7
2
1
2
1
6
6
4
2
2
1
2
1
0
0
1
1
1
2
1
0
2
1
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
3
1
1
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
6
5
5
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
10
10
10
11
12
12
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
17
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА
1. Раскрасьте клетки доски 4 4 в 10 цветов так, чтобы в каждом квадрате 2 2 нашлась
пара клеток одного цвета.
2
пути, лопнула шина. На остальной путь
3
пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз Пух
ехал быстрее, чем шел?
2. Когда Винни-Пух на велосипеде проехал
3. Леня задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на
34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Леня?
4. Какое наибольшее количество уголков вида
, состоящих из
трех квадратов 1 1 , можно поместить в
прямоугольнике 5  7 ? (Уголки можно
поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга).
5. В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год. В Европе же
сначала идет число, потом месяц и год. Сколько дней в году, дату которых нельзя прочитать
однозначно, не зная, каким способом она написана?
6. Можно ли записать натуральные числа от 1 до 16 в строку так, чтобы сумма любых
четырех подряд идущих чисел делилась на 3?
7. На сторонах AB , BC и СA равностороннего треугольника ABC отложены равные
отрезки AD , BE и СF . Точки D , E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник
DEF - равносторонний.
8. В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея; Николай и слесарь
занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в
домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.
20
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
ИТОГИ КОМАНДНОЙ ОЛИМПИАДЫ
№
Школа
Название команды
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
56
47
33
55
18
65
10
59
6-тиклассники
7а+7б+7в=7(а+б+в)
Банzай
Эрудиты
Умницы и умники
Юные математики 18
Олимп
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
39
6
32
36
60
67
20
64
21
40
41
63
12
53
9
48
3
50
51
62
28
7
инт2
66
19
54
34
4
42
37
38
14
61
43
30
Внучата Пифагора
Математики
Юные математики
Юные математики
Знатоки
Бумер
Огненный легион
Мозголомы!
Юные математики
Bed people!
БЭМС
Знатоки
Умножайки
Высший разум
Легионеры
Модуль-4
Металлург
Умники и умницы
Regalia
Олимпийцы
Армагедон*
Орлы
Математики
Головломы!*
Металлург
Великолепная пятерка
Орлы
Умники и умницы
Юные математики
Мозголомы
Ученые
Великолепная шестерка
Азия-2006 год
Юнные Евклиды*
баллы
4 5
1
2
3
7
7
7
0
7
7
0
7
7
7
7
7
7
5
7
7
2
1
7
7
7
7
2
7
7
1
7
7
7
6
3
7
5
3
7
7
7
7
0
7
7
7
7
7
7
0
0
0
0
7
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
7
0
0
0
0
0
0
7
5
5
1
2
2
2
0
0
2
7
5
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
5
7
7
5
5
2
7
0
7
7
7
7
7
0
0
7
5
7
0
2
7
7
1
0
7
7
0
5
1
0
1
0
0
0
0
3
3
3
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
7
3
3
7
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
3
2
3
0
0
* - орфография команды - автора названия.
21
Сумма
6
7
8
7
7
4
4
4
4
4
0
4
7
0
0
6
0
0
0
3
0
0
5
7
4
5
5
6
7
0
7
5
7
6
7
1
7
7
7
49
45
45
37
37
36
34
34
33
4
1
1
0
0
0
1
1
1
2
5
0
3
1
0
0
1
1
4
1
1
4
6
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
6
6
0
6
5
0
5
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
1
4
1
1
1
0
1
1
7
1
1
0
5
2
1
6
1
1
6
2
0
1
7
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
32
32
26
25
23
20
20
19
19
19
18
18
18
18
18
17
17
16
16
15
15
14
13
12
12
11
11
9
7
7
4
4
4
1
1
Место
вне
конкурса
1-2
1-2
3-4
3-4
5
6-7
6-7
8
9-10
9-10
11
12
13
14-15
14-15
16-18
16-18
16-18
19-23
19-23
19-23
19-23
19-23
24-25
24-25
26-27
26-27
28-29
28-29
30
31
32-33
32-33
34-35
34-35
36
37-38
37-38
39-41
39-41
39-41
42-43
42-43
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ
ПЕРВЫЙ БОЙ
9. Расставьте 16 коней на доске 5 5 клеток, так чтобы каждый из них бил ровно двух
других.
10. В числах МИХАЙЛО и ЛОМОНОСОВ каждая буква обозначает цифру (разным буквам
соответствуют разные цифры). Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут
ли оба числа быть нечётными?
11. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Найдите все такие
числа.
12. Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8 8 так, чтобы в любом квадрате 3 3
было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2 4 (вертикальном или
горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?
13. В контрольной работе по математике было 12 задач. Известно, что 2/3 учеников класса
решили не менее 1/2 задач и 1/2 учеников класса решили не менее 2/3 задач. Сколько
учеников могло быть в классе, если всего было сдано 100 правильных решений задач?
(Каждый ученик решил хотя бы одну задачу.)
14. Найдите углы треугольника, если известно, что его стороны лежат на прямых, углы
между которыми равны 20 0 , 30 0 и 50 0 .
15. Верно ли, что среди любых десяти отрезков найдутся три, из которых можно составить
треугольник?
16. В двух кучах лежат камни. Люся и Леня по очереди берут из любой кучи произвольное
число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Леня разрешает Люсе
выбрать: играть ей первой или второй. Как играть Люсе, чтобы наверняка выиграть?
ВТОРОЙ БОЙ
17. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее
чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?
18. Известно, что Леня может разрезать квадрат n  n на полоски 1 6 . Докажите, что Люся
может разрезать этот квадрат на «уголки», состоящие из трех клеток.
19. Два натуральных числа назовем родственными, если в десятичной записи обоих чисел
использованы различные цифры и каждая цифра первого числа является делителем второго,
а каждая цифра второго числа является делителем первого. Докажите, что родственными
могут быть только четные числа.
20. На столе стоит 9 пустых корзин. Каждую минуту Леня выбирает любые 5 из них и
кладет в них по яблоку. Через некоторое время во всех корзинах оказалось различное число
яблок, причем ни одна корзина не осталась пустой. Какое наименьшее число яблок может
быть во всех корзинах в сумме в этот момент?
22
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
21. Круглый полуторакилограммовый яблочный торт разрезали на несколько различных
кусков тремя прямолинейными разрезами. Оказалось, что самый маленький кусок вдвое
меньше второго по величине куска, втрое меньше третьего по величине куска и т. д. На
сколько кусков мог быть разрезан торт, если известно, что каждый кусок весит целое число
грамм?
22. В треугольнике ABC проведены биссектрисы из вершин A и B . Точка их пересечения
обозначена через D . Найдите угол ADB , если C  1300 .
23. В выпуклом пятиугольнике выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать
четырехугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе
выбранные точки.
24. В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный
вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех
яблок.
ТРЕТИЙ БОЙ
25. Разрежьте фигуру на три равные части. Резать можно только по сторонам клеточек. Части
должны быть равны не только по площади, но и по форме.
26. На белой доске 4 4 одну клетку закрасили в черный цвет. Разрешается в любой
полоске 1 3 у всех клеток поменять цвет на противоположный. Укажите все возможные
варианты расположения черной клетки, чтобы за несколько ходов доску можно было сделать
одноцветной.
27. Сколько существует пар двузначных чисел a и b , для которых произведение ab
является числом, записанным одинаковыми цифрами?
28. Последовательность чисел строится по следующему закону: вслед за каждым числом
стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу. На первом месте стоит число 7,
поэтому на втором месте стоит число 14 ( 7 2  49 , а 4+9+1=14). На третьем месте стоит
число 17 и так далее. Какое число стоит на 2006 месте?
29. Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал
из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У
него получилось число 2006. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что при подсчете Вася
ошибся. Ошибся ли Вася на самом деле?
30. В треугольнике ABC угол A равен 1350 . Вне треугольника взята точка D , такая, что
DBA  DCA  450 и отрезок AD не пересекает отрезок BC . Докажите, что прямая AD
перпендикулярна прямой BC .
23
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
31. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты точки X и Y соответственно так, что
ABX  YAC , AYB  BXC , XC  YB . Найдите углы треугольника ABC .
32. В городе отличников от каждой площади отходит ровно пять улиц, причем каждая улица
соединяет ровно две площади. Докажите, что количество площадей в этом городе четно, а
количество улиц кратно пяти.
ЧЕТВЕРТЫЙ БОЙ
33. Найдите два неравных числа a и b таких, что a  b  a  b .
34. В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук.
Одновременно все жуки переползают на соседние клетки, через одну
минуту снова все жуки переползают на соседние клетки и т. д. Найдите
наименьшее возможное число клеток, в которых через некоторое время
смогут оказаться все жуки. Соседними считаются клетки, имеющие
общую сторону.
35. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11
дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?
36. Люся берет некоторое трехзначное число приписывает к нему такое же число.
Получается шестизначное число. Потом Люся делит получившееся число на 7, результат
делит на 11, новое число делит на 13. И у Люси получается то трехзначное число, с которого
она начала. Леня говорит, что так будет для любого трехзначного числа. Прав ли Леня?
37. Имеется 30 бревен, длины 3 и 4 метра, суммарная длина которых равна 100 метров.
Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длины 1 метр? (Каждым
распилом пилится ровно одно бревно).
38. Биссектриса угла ABC образует со стороной угол, который равен углу, смежному с
углом ABC . Найдите градусную меру угла ABC .
39. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит
по крайней мере еще одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной
прямой.
40. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит
только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды
за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего
левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же
фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они
говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно,
говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
девять жителей Пустоземья.
24
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. Решение.
Обозначим цвета числами: 1, 2, …, 10. Раскраска может быть такой:
5
3
6
10
4
3
7
10
2
3
7
9
1
3
7
8
2. Ответ. В 4 раза.
Решение.
1
пути, т.е. вдвое меньше того, что проехал, а времени затратил
3
вдвое больше. Следовательно, он ехал в 4 раза быстрее, чем шел.
Винни-Пух прошел пешком
3. Ответ. 35.
Решение.
Пусть x - число, полученное в результате деления, тогда задуманное число 100 x . Т.к.
задуманное число на 34,65 больше, то: 100 x  x  34,65 , откуда x  0,35 . Т.е. задумано число
100  0,35  35 .
4. Ответ. 11.
Решение.
Площадь уголка равна 3, а площадь прямоугольника – 35, поэтому в прямоугольнике не
может поместиться 12 уголков. Нетрудно привести пример размещения в прямоугольнике 11
уголков.
5. Ответ. 132.
Решение.
Очевидно это те дни, у которых дата может быть номером месяца, т.е. принимает значения
от 1 до 12. Таких дней 12  12  144 . Но те дни, у которых число совпадает с номером месяца,
понимаются однозначно. Таких дней 12. Поэтому искомых дней 144  12  132 .
6. Ответ. Нельзя.
Решение.
Разобьем записанные числа на четверки: первое – четвертое, пятое – восьмое, девятое –
двенадцатое, тринадцатое – шестнадцатое. Если бы числа можно было бы записать так, как
требуется в условии, то сумма чисел в каждой четверке делилась бы на три и, следовательно,
сумма всех чисел делилась бы на три. Но сумма 1+2+3+…+16=136 – не делится на 3.
25
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
7. Доказательство.
B
AD  BE  CF по условию, следовательно DB  EC  FA (т.к. ABC равносторонний).
DBE  ECF  FAD (по двум сторонам и углу между ними), значит
DE  EF  FD , т.е. DEF - равносторонний.
E
D
A
F
8. Ответ. Вадим – токарь, Сергей – слесарь, Николай – электрик, Антон – шофер.
Решение.
Сергей не шофер (т.к. он младше шофера), не электрик и не токарь (т.к. он играет с ними в
домино), следовательно, Сергей – слесарь. Антон не может быть токарем и электриком (он
играет с ними в домино), и не может быть слесарем (т.к. слесарь – Сергей), т.е. Антон –
шофер. Вадим не самый младший из друзей (он старше Сергей), значит он не может быть
электриком, следовательно, Вадим – токарь. Получаем, что Николай – электрик.
9. Ответ. Например, так:
к к к
к к
к к
к
к
к к
к к
к к к
Буквой «к» обозначен конь.
10. Ответ. Нет.
Решение.
Заметим, что использованы 10 различных букв, поэтому каждая цифра обозначена какойнибудь буквой, в частности, среди этих цифр есть нуль. Таким образом, произведение цифр
одного (а значит, и второго) числа равно нулю. Следовательно, в записи обоих чисел есть
нуль. В словах МИХАЙЛО и ЛОМОНОСОВ общие буквы М, Л и О, поэтому нуль
обозначает одна из них. Это не могут быть Л и М, поскольку числа не могут начинаться с
нуля. Значит, нуль обозначен буквой О. В числе МИХАЙЛО на конце нуль, то есть оно
чётное.
11. Ответ. 92.
Решение 1.
Пусть дано двузначное число ab . Возможны два случая:
1) зачеркнули вторую цифру. Тогда
10a  b  46a ,
b  36a ,
но т.к. a и b - цифры, то этот случай невозможен.
2) зачеркнули первую цифру. Тогда
10a  b  46b ,
2a  9b .
9b9  2a 9  a 9  a  9  b  2 .
26
C
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Решение 2.
По условию задачи искомое двузначное число нацело делится на 46. Таких двузначных
чисел всего два: 46 и 92. Нетрудно проверить, что подходит только 92.
12. Ответ. Нельзя.
Решение.
Предположим, что такая раскраска возможна. Доска 8 8 разбивается на 8
непересекающихся прямоугольников 2 4 . По условию, в каждом таком прямоугольнике
ровно 4 закрашенные клетки, следовательно, на всей доске закрашено ровно 32 клетки.
Разобьем доску следующим образом (на 4 квадрата 3 3 , 3 прямоугольника 2 4 и квадрат
2 2 ):
Т.к. в каждом квадрате 3 3 закрашено ровно 5 клеток, а в каждом прямоугольнике 2 4
ровно 4 клетки, то в четырех квадратах и трех прямоугольниках закрашено 4  5  3  4  32
клетки. Значит, левый нижний квадрат 2 2 не содержит ни одной закрашенной клетки.
Рассмотрев левый нижний квадрат 3 3 и левый нижний горизонтальный прямоугольник
2 4 , получим единственную возможную раскраску этой части доски, удовлетворяющую
условию:
Но тогда найдется квадрат 3 3 , содержащий 6 закрашенных клеток. Противоречие.
13. Ответ. 12 или 18.
Решение.
Число учеников в классе делится на 2 и на 3, значит, оно делится на 6. Если учеников 6, то
тогда решено не более 6 × 12 = 72 задач. Если учеников 24 и более, то тогда решено не менее
12 × 8 + 12 × 1 = 108 задач. Значит в классе 12 или 18 учеников. Легко построить примеры.
14. Ответ. 20 0 , 30 0 , 130 0 .
Решение.
Данные углы могут быть вертикальными к углам треугольника
(1,2,3 на рисунке), могут быть внешними углами треугольника
(4,5,6 на рисунке).
1
6
2
27
4
5
3
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Все три данных угла не могут быть вертикальными к углам треугольника, т.к. тогда сумма
углов в треугольнике равна 200  300  500  1000  1800 , что невозможно.
Также три данных угла не могут одновременно быть внешними углами треугольника, т.к.
тогда все углы треугольника тупые, чего быть не может.
2 из данных углов также не могут быть внешними, т.к. тогда в треугольнике 2 тупых угла,
чего быть не может.
Остается случай, когда 2 из данных углов – вертикальные к углам треугольника, а третий
угол внешний. Легко показать, что внешним может быть только угол в 50 0 , а значит, углы
треугольнике равны 20 0 , 30 0 и 1800  500  1300 .
15. Ответ. Нет.
Решение.
Возьмем набор отрезков со следующими длинами: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512. Видно,
что из такого набора нельзя выбрать три отрезка, из которых можно было бы составить
треугольник (неравенство треугольника).
16. Решение.
Возможны два случая:
1) Число камней в кучах одинаково. В этом случае Люся должна предоставить первый
ход Лене. Если Лене берет x камней из первой кучи, то Люся берет x камней из
второй кучи, и наоборот. Т.е. Леня будет нарушать равенство камней в кучах, а Люся
будет их уравнивать. Таким образом, если у Лени есть ход, то у Люси он тоже есть,
значит, она выиграет.
2) Число камней в кучах неодинаково. В этом случае Люся должна играть первой и
первым своим ходом ей надо уравнять число камней в кучах. Тем самым она сведет
игру к первому случаю и снова выиграет.
17. Ответ. Да.
Решение.
Кузнечик должен 5 раз прыгнуть назад на 50 см и один раз вперед на 80 см. Тогда он
удалится от начальной точки на 5  50  80  170 см.
18. Доказательство.
Пусть квадрат разрезается на k полосок, тогда n 2  6k , то тогда n делится на 6, и квадрат
можно разрезать на прямоугольники 2  3 , которые, в свою очередь, разрезаются на уголки.
19. Доказательство.
Если одно из чисел нечетное, то в записи второго числа нет четных цифр, следовательно,
второе число – нечетное и в записи первого числа также нет четных цифр. Заметим, что
цифры 5 в записи обоих чисел быть не может, то есть оба числа записаны только цифрами 1,
3, 7 и 9. Ни одна из этих цифр не делится на три других, значит, оба числа должны быть
двузначными. Несложным перебором убеждаемся, что это невозможно.
20. Ответ.45.
Решение.
Пусть общее количество яблок во всех корзинах - S . Т.к. во всех корзинах различное число
яблок, то S  1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 . Покажем, как разложить 45 яблок. В
приведенной ниже таблице цифрой 1 обозначены яблоки, положенные в первую минут,
цифрой 2 – во вторую и т.д.
28
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Корзины
К1
9
К2
8
9
К3
7
8
9
К4
6
7
8
9
К5
1
2
3
4
5
К6
1
2
3
4
5
6
К7
1
2
3
4
5
6
7
К8
1
2
3
4
5
6
7
8
К9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
21. Ответ. На 4 или на 5 кусков.
Решение.
Тремя прямолинейными разрезами круглый торт можно разрезать на 4, 5, 6 или 7 кусков.
Пусть x – масса самого маленького куска (в граммах). Тогда второй по величине кусок весит
2x, третий - 3x, четвертый - 4x, пятый - 5x, шестой - 6x и седьмой - 7x грамм. Если кусков
четыре, то их массы равны 150, 300, 450 и 600 грамм. Если кусков пять, то их массы равны
100, 200, 300, 400 и 500 грамм. Шесть и семь кусков быть не могло, поскольку уравнения
x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 1500 и
x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x +7x = 1500
не имеют решения в целых числах.
22. Ответ. 1550 .
Решение.
В ABC : A  B  C  1800 ,
B
2BAD  2ABD  1300  1800 ,
2BAD  ABD   500 ,
D
C
BAD  ABD  250 .
Рассмотрим ABD :
A
ADB  1800  BAD  ABD   1800  250  1550 .
23. Доказательство.
Проведем прямую через эти точки. В одной из полуплоскостей лежит
три вершины пятиугольника (из которых хотя бы две не лежат на
одной прямой). Отрезаем этот треугольник и получаем нужное
разбиение.
24. Решение.
Взвесим яблоки парами, например, первое и второе, третье и четвертое, …, одиннадцатое и
двенадцатое. Это – 6 взвешиваний. Седьмое взвешивание – одиннадцатое и тринадцатое
яблоки; восьмое – двенадцатое и тринадцатое. Тогда, сложив результаты последних трех
взвешиваний, получим удвоенный вес яблок 11, 12 и 13, и, значит, сумеем вычислить и
суммарный вес всех яблок.
29
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
25.Ответ.
26. Решение.
На доске 4 4 есть три существенно различных расположения черной клетки (не
получающиеся друг из друга поворотом или симметрией).
а) Поменяв цвет в выделенных полосках, легко сделать всю доску
черной.
б) Припишем черной клетке (-1), белой (+1). Рассмотрим произведение
чисел в центральном квадратике 2 2 . Вначале оно равно (-1), и при
любом изменении цветов в полоске 1 3 не меняется. Но если доска
одноцветная, то в этом квадратике все клетки должны быть либо
черные,
либо белые, значит, произведение чисел (+1). Следовательно, доску нельзя
сделать одноцветной.
в) Аналогично случаю б) рассмотрим произведение чисел в
выделенных
клетках. Вначале оно равно (-1), после любой операции не меняется.
Значит, и в этом случае доску нельзя сделать одноцветной.
27. Ответ. 7.
Решение.
Если a и b - двузначные числа, то произведение ab либо трехзначное, либо четырехзначное
число. Предположим, что ab - четырехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами.
Тогда должны выполняться равенства ab  x  1111  x  11  101, где x - ненулевое
однозначное число, что невозможно для двузначных числе a и b , поскольку 101 – простое
число.
Пусть ab - трехзначное число, тогда ab  x  111  x  3  37 , где x - одно из чисел 1, 2, …, 9.
Перебором убеждаемся, что подходят только значения x  4, 5, 6, 7, 8, 9, при этом в случае
x  8 имеем ab  8  3  37  24  37  12  74 , т.е. две искомые пары.
Следовательно, всего имеется 7 искомых пар.
30
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
28. Ответ. 5.
Решение.
Выпишем уже найденные числа и найдем еще несколько: 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5…Как только
одно из чисел повторилось, возникает «цикл». Легко найти, что на 2006 месте стоит число 5.
29. Ответ. Вася ошибся.
Решение.
На каждом из вырванных листов – две страницы. Номер одной из них – четное число, а
другой – нечетное. Поэтому в сумме номеров всех вырванных страниц 25 четных и 25
нечетных слагаемых, следовательно, вся сумма нечетна. Значит, она не может равняться
четному числу 2006.
30.Доказательство.
Луч BA пересекает CD в точке G , а луч CA в точке H .
Так как CAG  BAH  450 , то CH и BG - высоты треугольника
BCD . Следовательно, DE - высота.
B
Случай, когда точка A лежит не в треугольнике BDC , очевидно,
невозможен.
C
E
G
A
H
D
B
31. Ответ. A  B  C  60 0 .
Решение
Пусть ABX  YAC   , AYB  BXC   .
В AYC : YCA  180 0  YAC  AYC     .
H
В XBC : XBC  180 0  BXC  BCX  180 0    2 .
O
В ABC : A  180 0  C  B     , т.е. ABC - равнобедренный.
A
Пусть BH  BY , O - точка пересечения HC и BX .
X
Y
ABY  CBH (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, BYA  BHC   .
В HCB : HCB  180 0  CHB  HBC    2 .
OXC  OHB (по стороне и двум углам), следовательно, OC  OB , т.е. OBC равнобедренный.
Получаем OBC  OCB , т.е. :
180 0    2    2 ,
3  3  180 0 ,
    60 0 .
Т.е. A  C  60 0 , а значит B  60 0 .
31
C
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
32. Доказательство.
Пусть количество площадей
n , а количество улиц - m , тогда количество улиц,
5n
соединяющих все площади, должно быть равно
. Получим уравнение в натуральных
2
числах 5n  2m , следовательно, n кратно 2, а m кратно 5.
1
33. Ответ. Например, 3 и 1 ; 11 и 1,1.
2
34. Ответ. 2.
Решение.
Докажем, что в одной клетке жуки собраться не смогут. Покрасим клетки доски в черный и
белый цвета так, чтобы любые две соседние клетки были покрашены в разные цвета. Если
изначально жук находится на клетке белого (черного) цвета, то он переползает на клетку
черного (белого) цвета. Так как сначала жуки находятся и на белых и на черных клетках, то в
любой момент времени жуки также будут находиться на клетках двух цветов, следовательно,
они никогда не окажутся на одной клетке. Несложно привести пример, когда все жуки
соберутся в двух клетках.
34. Ответ. Десять дробей.
Решение.
Покажем, что больше 10 дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим
простые числа 13, 17 и 19. Они могут дать целое число только при делении на 1. Поэтому
даже если одно из чисел 13, 17, 19 поделено на 1, то оставшиеся два «испортят» по крайней
мере одну дробь. Всего же дробей 11. Следовательно, больше десяти дробей, равных целым
числам, получить нельзя.
Пример десяти дробей:
4 12 14 15 16 18 20 21 22 13
, , , , , ,
, ,
, .
2 6 7 5 8 9 10 3 11 1
36. Ответ. Леня прав.
Решение.
Приписав к трехзначному числу такое же число, Люся умножает его на 1001:
abc 1001  abcabc . Деля полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, Люся
делит число на 1001, т.е. получает число, с которого она начала.
37. Ответ. 70.
Решение 1.
«Склеим» все бревна в одно 100-метровое бревно. Для его раздела на 100 частей нужно
сделать 99 распилов, из которых 29 уже было сделано.
Решение 2.
Если бы все бревна были бы длиной три метра, то тогда их суммарная длина равнялась бы 90
метрам. Недостающие 10 метров получим, удлинив несколько трехметровых бревен на 1
метр. Понятно, что удлинить нам нужно 10 бревен. Получим, что трехметровых бревен 20, а
четырехметровых бревен – 10. Каждое трехметровое бревно распилим двумя распилами, а
каждое четырехметровое – 3 распилами. Всего получим: 20  2  10  3  70 распилов.
32
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
38. Ответ. ABC  1200
Решение.
Углы ABD и CBD равны, так как BD - биссектриса угла
ABC . Угол EBC - смежный с углом ABC , по условию
углы ABD и EBC равны. Значит, ABD  DBC  CBE ,
т.е. 3CBE  1800 , следовательно, ABC  1200 .
D
C
E
B
A
39. Доказательство (Павел Полтарак, 7 класс).
Возьмем две из данных точек. Прямая, проходящая через эти две точки, содержит по
крайней мере еще одну из данных точек (по условию).
Предположим, что какая-то из оставшихся точек не лежит на этой прямой.
Тогда можно провести еще три прямые, на каждой из которых (по условию), должно быть
еще по одной точке из данных.
Но это невозможно, т.к. осталось только 2 точки. Противоречие. Следовательно, все точки
лежат на одной прямой.
40. Ответ. Все были хоббитами.
Решение.
Рассмотрим того, про кого сказали, что он - хоббит, и для удобства назовём его Боб. Боб не
согласился с тем, что он хоббит, следующий не согласился с ним, а значит, подтвердил, что
Боб хоббит, и так далее - все говорящие через раз подтверждали или отрицали, что Боб
хоббит. Если пирующих было 9 (нечётное число), то на следующем круге каждый говорил
противоположное к тому, что сказал на предыдущем, так что все они хоббиты, а первый
хоббит про Боба сказал сначала правду, что вполне возможно.
33
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ БЛИЦ-БОЯ
1. В клетках квадрата 4  4 расставьте числа, не равные нулю, так, чтобы сумма всех чисел
данного квадрата и каждого квадрата 2  2 была равна нулю.
Ответ. Например, так:
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
2.Сколько существует двузначных чисел, у которых вторая цифра больше первой?
Ответ. 36.
3.Миша ходит в бассейн один раз в три дня, Вася – в 4 дня, а Коля – в 5 дней. Они
встретились в бассейне в понедельник. В какой день недели они встретятся снова?
Ответ. В пятницу.
4. Задуманное число увеличили в 3 раза, а затем уменьшили на 12. В результате получилось
число на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?
Ответ. 7.
5.Электронные часы показывают время 19:57:33. Через какое наименьшее число секунд все
цифры на часах изменятся?
Ответ. 147 секунд.
6. При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен
2
суммы остальных
7
углов. Найдите величину каждого из этих углов.
Ответ. 80 0 , 100 0 , 80 0 , 100 0 .
7.Длина прямоугольника в 1,25 раза больше ширины. Найдите его площадь, если периметр
прямоугольника равен 66,6см.
Ответ. 273,8см 2
8. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди
Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни
с Викой, ни с Борей. Кто стоит в этой очереди первым?
Ответ. Алла.
34
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
РЕЗУЛЬТАТЫ ТУРНИРА
Турнирная таблица
1
2
3
4
5
6
7
8
Команда
Школа №56.
7а + 7б + + 7в
= 7(а + б + в)
Школа №47.
Банzай
Школа №33.
Эрудиты
Школа №55.
Умницы и
умники
Школа №18.
Юные
математики 18
Школа №65.
Олимп
Школа №10.
Школа №59.
Мозголомы
1
2
3
4
5
6
7
23:36 58:11 52:26
36:23
20:46
11:58
17:28
26:52
28:17
46:20
12:54
30:0
12:17 14:35
0:30
35:14
2
6:46
2
46:6
Результаты блиц-боя.
Школа №47:школа №18:школа №65 – 13:13:10.
35
4
6
14:26
29:39
24:30
17:12
26:14
30:24
Очки
54:12
12:18
18:12
8
17:37
24:20
Место
I
39:29
6
II
37:17
6
III
20:24
2
4
VII Магнитогорский турнир юных математиков
«Кубок управления образования»
Победители Турнира
Диплом I степени - команда школы №47:
Карюкина Екатерина – капитан
Бачурина Мария – заместитель
Быкова Ольга
Алиева Сафура
Маковеева Валерия
Головочесов Михаил
Диплом II степени - команда школы №18:
Ященко Олег – капитан
Черепанов Алексей – заместитель
Бугаева Ксения
Горбунова Анна
Колоколова Александра
Губарева Юлия
Диплом III степени - команда школы №65:
Башкиров Юрий – капитан
Санков Константин – заместитель
Папкова Надежда
Нояксова Надежда
Савченко Михаил
Стрельников Иван
Все участники турнира были награждены призами.
По правилам турнира переходящий кубок был передан команде школы № 47 .
36