1-й уровень 1. Д а н куб ABCDA1B1C1D1. Выберите правильное утверждение. А. Прямая AB параллельна плоскости, которая проходит через прямые DC и A1B1. Б. Прямая AB и плоскость B1C1D1 имеют общие точки. В. Прямая AB пересекается с плоскостью DCC1. Г. Прямая AB параллельна плоскости B1C1C. 2. Дан прямоугольный параллелепипед правильное утверждение. ABCDA1B1C1D1. Выберите А. Плоскости ABC и A1B1C1 пересекаются. Б. Плоскости ABC и DCC1 не имеют общих точек. В. Плоскости ADD1 и BCC1 имеют общие точки. Г. Плоскости ABB1 и DCC1 параллельны. 3. Отрезок A1B1 — параллельная проекция отрезка AB на плоскость . Точка C лежит на отрезке AB. Выберите правильное утверждение. А. Проекция точки C на плоскость не принадлежит отрезку A1B1. Б. Если AC : BC = 2 : 3, то A1C1 : C1B1= 2 : 3. В. Если AC = CB, то A1C1 = 2 C1B1. Г. Отрезки AB и A1B1 не лежат в одной плоскости. 2-й уровень 4. П а р а л л е л о г р а м м A B C D и треугольник ABS лежат в разных плоскостях, MN — средняя л и н и я т р е у г о л ь н и к а A B S . Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Прямая MN пересекает плоскость ABC. Б. Прямая BS параллельна плоскости ADC. В. Прямая DC и плоскость ABS параллельны. Г. Прямая MN и плоскость ABC параллельны. 5. П лос кос ти и п ар а лл е льн ы . Скрещивающиеся прямые a и b пересекают плоскость в точках A 1 , B 1 , a плоскость — в точках A2, B2. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Через точки A1, A2, B1, B2 можно провести плоскость. Б. Прямые A1B2 и A2B1 лежат в одной плоскости. В. Прямые A1B2 и B1A2 пересекаются. Г. Прямые A1B1 и A2B2 параллельны. 6. Четырехугольник A1B1C1D1 является параллельной проекцией трапеции ABCD (AD — основание трапеции) на некоторую плоскость. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Четырехугольник A1B1C1D1 является трапецией с основанием A1B1. Б. Четырехугольник A1B1C1D1 является трапецией с основанием A1D1. В. Четырехугольник A1B1C1D1 является трапецией с основанием B1C1. Г. Четырехугольник A1B1C1D1 может быть параллелограммом. 3-й уровень 7. Дан треугольник ABC. Плоскость пересекает сторону AC в точке K, а сторону BC — в точке L, причем AB || KL. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если AK = KC, то BL = LC. Б. Если AB = 24 см, AK : AC = 3 : 8, то KL = 12 см. В. Прямая AB параллельна плоскости . Г. Треугольник ABC не подобен треугольнику KLC. 8. Даны две различные плоскости и . Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а к акие — неправильные. А. Любая плоскость обязательно пересекает хотя бы одну из плоскостей или . Б. Любая плоскость, параллельная плоскости , обязательно параллельна также плоскости . В. Если прямая a лежит в плоскости , а прямая b в плоскости , то прямые a и b и обязательно параллельны. Г. Любая прямая, параллельная плоскости , обязательно параллельна также плоскости . 9. Прямые a1 и b1 являются параллельными проекциями прямых a и b на некоторую плоскость. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если прямые a и b не пересекаются, то прямые a1 и b1 обязательно не пересекаются. Б. Если прямые a 1 и b 1 параллельны, то обязательно прямые a и b тоже параллельны. В. Если прямые a и b скрещивающиеся, то прямые a 1 и b 1 могут быть параллельными. Г. Если прямые a 1 и b 1 пересекаются, то прямые a и b обязательно пересекаются. 4-й уровень 10. Отрезки AB и CD лежат на скрещивающихся прямых. Плоскость, которая параллельна прямым AB и CD, пересекает отрезки AC, BC, BD и AD соответственно в точках M, N, K, L. О тме тьте , какие и з сле ду ю щих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если AB = 2 см, CD = 3 см, то MN + NK может равняться см. Б. Прямая ML может пересекать плоскость BCD. 1 1 В. Если AM = BN, то NC = MC. 2 2 Г. MN обязательно равняется LK. 11. Прямые a и b, которые имеют общую точку, пересекают три данные параллельные плоскости , , в точках A1, A2, A3 и B1, B2, B3 соответственно (A2 лежит между A1 и A3, B2 лежит между B1 и B3). Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Если A1A2 = 25 см, B2B3 = 4 см, A2A3 + + B1B2 = 20 см, то B1B3 = 14 см. Б. Прямые A1B2 и A2B3 скрещивающиеся. В. A1A3 : A1A2 = B1B2 : B1B3. Г. Прямая a и точки B1 и B3 обязательно лежат в одной плоскости. 12. Прямоугольная трапеция A1B1C1D1 является изображением равнобокой трапеции ABCD (AB — основание трапеции), причем A1D1 = 4 см, A1B1 = 6 см, D1C1 = 9 см, M1 и N1 — середины сторон A1B1 и D1C1, B1F1 D1C1. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а к акие — неправильные. А. Отрезок M1N1 является изображением высоты трапеции ABCD. Б. Отрезок B1F1 является изображением высоты BF трапеции ABCD. В. A1B1C1D1 может быть изображением трапеции ABCD с основаниями AB = 10 см и DC = 15 см и боковой стороной 4 см. Г. AB:DC = A1B1 : C1D1.