Урок Повторение. Перпендикулярность прямых и плоскостей 1

Урок Повторение. Перпендикулярность прямых и плоскостей
1. Определение прямой, перпендикулярной плоскости
Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости , если она
перпендикулярна любой прямой из плоскости .
Прямая перпендикулярна прямой , прямая параллельна прямой . Тогда имеем две
скрещивающиеся прямые и . Найдем угол между этими скрещивающимися прямыми:
необходимо из точки A, провести две прямые: одну – параллельную , вторую –
параллельную . Угол между построенными прямыми и будет углом между
скрещивающимися прямыми и . Возьмем точку A, лежащую на прямой и
являющуюся точкой пересечения прямой и плоскости. Тогда угол между прямыми и
равен углу между и , то есть, прямые перпендикулярны. Значит, если прямая
перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна всем прямым плоскости ,
причем как проходящим через точку пересечения прямой и плоскости, так и не
проходящим (рис. 1).
Рис. 1
2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости есть две
пересекающиеся прямые и и прямая перпендикулярна этим двум прямым и проходит
через точку их пересечения, то прямая перпендикулярна плоскости (рис. 2).
Рис. 2
Если прямая перпендикулярна плоскости
прямые и параллельны (рис. 3).
и прямая
перпендикулярна плоскости , то
Рис. 3
3. Наклонная к плоскости и ее проекция, угол между
наклонной и плоскостью
Определение: если прямая пересекается с плоскостью и не перпендикулярна этой
плоскости, то такая прямая называется наклонной к плоскости (рис. 4).
Рис. 4
Существует возможность узнать угол между наклонной прямой и плоскостью . Для
этого необходимо провести из точки B, принадлежащей наклонной, перпендикуляр BH к
плоскости , а затем соединить точки пересечения плоскости с наклонной и
перпендикуляром. Полученный отрезок AH называется проекцией наклонной на
плоскость . Угол между наклонной и ее проекцией на плоскости и называется углом
между наклонной и плоскостью (
) (рис. 5).
Рис. 5
Замечание: если провести любую прямую в плоскости , отличную от проекции, то угол,
между проведенной прямой и наклонной всегда будет больше, чем между наклонной и ее
проекцией.
4. Теорема о трех перпендикулярах с доказательством
Теорема о трех перпендикулярах: Прямая лежит в плоскости . Наклонная AB проходит
через прямую (
). Опустим на плоскость перпендикуляр BH и получим проекцию
AH. Если наклонная AB перпендикулярна прямой на плоскости , то ее проекция AH
тоже перпендикулярна прямой . Обратно: если проекция AH перпендикулярна прямой
, то и наклонная AB перпендикулярна (рис. 6).
Рис. 6
Доказательство:
Дана наклонная AB, перпендикулярная прямой
AH наклонной AB перпендикулярна .
на плоскости . Доказать, что проекция
Доказательство: прямая перпендикулярна AB по условию, и перпендикулярна BH, так
как BH перпендикулярна ко всей плоскости , а значит и к любой прямой внутри нее.
Прямая перпендикулярна прямым AB и BH, и прямые AB и BH пересекаются в точке B.
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая
перпендикулярна любой прямой из плоскости (ABH), образованной прямыми AB и BH,
а значит, она перпендикулярна и проекции AH.
5. Решение задачи
Задача №1:
Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, сторона которого равна , проведена
прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до
вершин квадрата, если
(рис. 7).
Рис. 7
Решение
– по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники
(OK перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого
квадрата) и катет OK общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из
свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит
).
Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от
точки K до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину
лишь одной из гипотенуз, например, AK.
Рассмотрим треугольник ABO: это прямоугольный треугольник с равными катетами, так
как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения
делятся пополам. Следовательно, углы
и
равны
, и из условия известно, что
гипотенуза равна – значит, можно найти катеты:
.
Рассмотрим треугольник AKO:
,
,
. Найдем гипотенузу AK:
.
Ответ: расстояние от точки K до вершин квадрата равно
.
Выводы:
Было рассмотрено взаимоотношение прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна
плоскости, рассмотрена и прокомментирована теорема о трех перпендикулярах и решена
конкретная задача, в которой эти понятия используются.
Домашнее задание
1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна ли она
скрещивающейся прямой, лежащей в этой плоскости?
2. Может ли наклонная быть перпендикулярна к плоскости?
3. Могут ли наклонная к плоскости и перпендикуляр к этой плоскости образовать
новую плоскость?
4. В формулировке теоремы о трех перпендикулярах речь идет о двух
перпендикулярах (наклонной к прямой в плоскости и проекции этой наклонной к
этой же прямой в плоскости), так о каком третьем перпендикуляре говорит
название теоремы?
5. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена
прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K
до вершин квадрата и расстояние от точки K до сторон квадрата, если
.