Задачи для решения на закрепление нового материала Задача

Задачи для решения на закрепление нового материала
Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального
забега на 5-ти беговых дорожках?
Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.
Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая
цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6
Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.
Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести
девушек на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И
варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,
считаются разными, поэтому:
А
4
6

6!
720

 360
(6  4)!
2
Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только
один раз?
Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из
трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок
расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)
и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти
элементов по три.
По формуле числа размещений находим:
А
3
9

9!
9! 6!*7 * 8 * 9
 
 7 * 8 * 9  504
(9  3)! 6!
6!
Ответ: 504 трехзначных чисел.
Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
человек?
Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все
возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7
человек. Искомое число способов равно
С
3

7
7!
7!
4!*5 * 6 * 7 210



 35
(7  3)!*3! 4!*3! 4!*1 * 2 * 3
6
Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов
распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Решение: А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.
Ответ: 1320 вариантов.
Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из
10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
10!
 10  9  8  7  5040 способов.
Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: А104 
6!
Ответ: 5040 способов.
Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый шарики?
Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на
второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из
оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.
Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.
Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Ответ:
24 способа.
Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во
время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
10! 10  9  8  7

 210 способов.
Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: С106 
4!6! 1  2  3  4
Ответ: 210 способов.
Задача № 10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для
работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,
трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора
учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из
первой совокупности (С72) может сочетаться с каждым вариантом выбора из
второй (С93) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81) по правилу
умножения получаем:
ССС
2
3
*
7
1

*
9
6 * 7 7 *8*9 8
*
*  14112
1* 2 1* 2 * 3 1
8
Ответ: 14 112 способов.
Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на
перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими
способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять
очередь для игры в настольный теннис?
Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из
оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –
девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По
правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов
занять очередь.