Конспект урока Свойства логарифмов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя
общеобразовательная школа №24 городского округа Тольятти
Конспект
открытого модульного (2 часа) урока алгебры в 11-А классе
по теме « Свойства логарифмов»
Дата проведения: 21.11.2013г
Подготовила Бенидзе Н.В
учитель математики
2013г
Цели:
Образовательные:

научиться применять свойства логарифмов для преобразования выражений,
содержащих логарифмы

развитие навыков самостоятельной работы;

формирование вычислительной культуры;
Воспитательные:

развитие познавательного интереса;

развитие интеллектуальных способностей учащихся;

развитие логического мышления.
Развивающие:

развитие мотивации учебной деятельности.

развитие памяти, внимательности;

формирование познавательной деятельности;

расширение математического кругозора
Тип урока: комбинированный модульный урок
Оборудование: мультимедийная установка; демонстрационная программа PowerPoint;
Урок сопровождается компьютерной презентацией.
Раздаточный материал: а) карточки «Логарифм-лото»; б) опорная схема модуля
Ход урока:
І. Экспресс-контроль (10 минут) по проверке выполнения домашней работы
Учащимся предлагается двухвариантная самостоятельная работа, проверяющая уровень
усвоения темы предыдущего урока «Определение логарифма. Основное логарифмическое
тождество»
№
Вариант 1
Вариант 2
2 log7 16
1
Вычислите: 7
Вычислите: 52 log5 20
2
Вычислите: log 27 9
Вычислите: log 8 4
3
Вычислите: log 1 log 3 9
Вычислите: log 1 log 5 125
2
4
5
При каких значениях х имеет
смысл выражение?
х−5
log 2
х+7
Решить уравнение:
82х−1 =5
Матрица ответов для быстрой проверки:
№
Вариант 1
1
256
2
2
3
3
-1
4
х< −7; х > 5
1
5
х = 2 (1 + log 8 5)
3
При каких значениях х имеет смысл
выражение?
х+3
log 3
х−4
Решить уравнение:
91−3х =4
Вариант 2
400
2
3
-1
х< −3; х > 4
1
х = 3 (1 − log 9 4)
ІІ. Объяснение нового материала ( презентация) с полным разбором и доказательствами ( 35 минут)
При работе с логарифмами применяются следующие свойства:
для любого а> 0, а ≠ 1 и любых положительных в и с выполняются равенства:
№
Свойства
Доказательства
1
log а 1 =0
По определению логарифма: а0 = 1
log а а = 1
2
3
log а вс = log а в +log а с
4
log а с = log а в - log а с
в
По определению логарифма: а1 = а
Применение
log 3 1 =0; log 0,2 1 = 0;
log 3 3 = 1;
1
log 1 2 = 1
2
Применим основное тождество
В = аlogа в и с = аlogа с
Перемножим:
в∙с = аlogа в ∙ аlogа с =
+
=аlogа в logа с
По определению логарифма:
log а вс = log а в +log а с
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log 3 15 = log 3 5 ∙ 3 =
log 3 5 +log 3 3 = log 3 5 +1
Применим основное тождество
В = аlogа в и с = аlogа с
−
в
Разделим в на с: с = аlogа в : аlogа с ==аlogа в logа с
По определению логарифма:
в
log а с = log а в - log а с
Логарифм частного равен разности логарифмов
log 3 15 = log 3 5 ∙ 3 =
log 3 5 +log 3 3 = log 3 5 +1
log а в𝑝 = p∙log а в
(p∈ 𝑅)
В частности:
1) log а а𝑝 = p
2) если p- чётное число, то:
log а в𝑝 = p∙log а |в|
в = аlogа в . Возведём обе части в степень p (p∈ 𝑅).
в𝑝 = (аlogа в )𝑝 = 𝑎𝑝∙logа в
По определению логарифма:
log а в𝑝 = p∙log а в
Логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени
log 5 81 = log 5 34 = = 4∙log 5 3
3
Формула перехода к новому
основанию
log с в
log а в =
log с а
В частности при в=с имеем:
1
log а в =
log в а
6
log а𝑛 𝑏 𝑚 =
𝑚
𝑛
log а в
1
3
1
∙log 2 ( 4) = 3 ∙ (log 2 3 − log 2 4) =
3
1
(а − 2)
аlogа в = В .
Прологарифмируем обе части по основанию с:
𝐥𝐨𝐠 с аlogа в = log с в, далее вынесем показатель степени:
log а в ∙ log с а =log с в,
отсюда:
log с в
log а в =
log с а
1
log а𝑛 𝑏 𝑚 = m∙log 𝑎𝑛 𝑏 = m∙log
𝑏
𝑚
𝑎𝑛
1
= 𝑛 log
𝑏
=
𝑎
𝑚
log а в
𝑛
3 1
3
Решение: log 2 √4 =log 2 ( 4)3 =
3
5
3
3
Вычислить log 2 √4 , если log 2 3 =а
log х
log 7 х = log5 7 =
l𝑔 𝑥
5
= lg 7
log 3 7 =
1
log 7 3
6
log √2 √32 = log
3
5
6
1
3
1
23
5
2=
= log 2 2 = =2,5
7
аlogс в = вlogс а
при а> 0, в > 0, с > 0,
с≠1
Прологарифмируем обе части по основанию с:
log с аlogс в = log с вlogс а
Далее вынесем показатели степени вперёд, получаем
верное равенство:
log с в∙log с а =log с а∙log с в
Следовательно, исходная формула верна
2
3log7 8 = 8log7 3
5
6
8
Прологарифмируем обе части по основанию а
(или в)
√log
а в = log в√logв а
log а а
а
Далее показатели вынесем вперёд:
√log а в∙ 1 =√log в а ∙log а в =
= √log в а ∙ (log а в)2 =√log а в
получаем верное равенство
следовательно, исходная формула верна
а√logа в = в√logв а
3√log3 5 = 5√log5 3
В процессе доказательств свойств логарифмов, параллельно начинаем составлять ОПОРНУЮ СХЕМУ модуля «Логарифмическая функция,
уравнения, неравенства». На партах для каждого ученика приготовлены заготовки для ОПОРНОЙ СХЕМЫ.
ОПОРНАЯ СХЕМА МОДУЛЯ
«Логарифмическая функция, уравнения, неравенства»
log а а = 1
log а вс =
= log а в +log а с
Уравнения
ТИП
в
log а в𝑝 =
=p∙log а в
log а с = log а в – log а с
функция
log а в =
Неравенства
МЕТОД
РЕШЕНИЯ
ТИП
1
2
3
4
5
log с в
log с а
МЕТОД
РЕШЕНИЯ
1
2
3
4
5
аlogс в = вlogс а
log а𝑛 𝑏 𝑚 =
𝑚
𝑛
log а в
а√logа в = в√logв а
Остальные ячейки ОПОРНОЙ СХЕМЫ будут заполняться по мере изучения МОДУЛЯ на последующих уроках
log а 1 =0
ІІІ. Учебная деятельность по закреплению свойств логарифмов: (30 минут)
На каждом столе для учащихся приготовлены задания (столбик №1), для быстрой проверки для учителя-матрица решений и ответов
(столбик №2)
К доске приглашаются учащиеся, задания разбираются с полным обоснованием
№
1
Вычислите:
log 7 196 - 2log 7 2
2
3
10l𝑔 2+𝑙𝑔3
16
log 3 72 − log 3
+ log 3 18
27
4
1
5 125
log 2 24
log 2 192
−
log 96 2
log12 2
5
Решения и ответы
196
log 7 196 − log 7 4 = log 7
= log 7 49 = 2
4
10𝑙𝑔6 = 6
72 ∙ 18
72 ∙ 18 ∙ 27
32 ∙ 8 ∙ 32 ∙ 2 ∙ 33
log 3
= log 3
= log 3
= log 3 37 = 7
16
16
16
27
𝑙𝑜𝑔32 3 = (log 3 3)2 = 12 = 1
𝑙𝑜𝑔32 log 1
log 2 24 ∙ log 2 96 − log 2 192 ∙ log 2 12 = log 2 12 ∙ 2 ∙ log 2 96 − log 2 96 ∙ 2 ∙ log 2 12 =
96
= (log 2 12 + 1) ∙ log 2 96 – (log 2 96 +1)∙ log 2 12 = log 2 96 − log 2 12 = log 2 12 =
=
6
7
8
3
∙ (log 2 32 + 27log3 4 )log69 14
7
Известно, что lg2 =а, log 2 7 = в.
Найти lg56
Известно, что lg5 = a. lg3 = b.
Найти log 30 8
log 2 8 = 3
log 2 7 =
3
3
3
∙ (5 + 64)log69 14 = ∙ 69log69 14 = ∙ 14 = 6
7
7
7
𝑙𝑔7
𝑙𝑔2
=
𝑙𝑔7
𝑎
= 𝑏.
lg7 = ab. Тогда lg56 = lg7∙ 8 = 𝑙𝑔7 + 𝑙𝑔8 = 𝑎𝑏 + 3𝑎
Сначала найдём lg2 = 𝑙𝑔
𝑙𝑔8
Тогда log 30 8 = 𝑙𝑔30 =
9
log 3 4 ∙ log 4 5 ∙ log 5 7 ∙ log 7 9
10
5
= 𝑙𝑔10 − 𝑙𝑔5 = 1 − 𝑎
3𝑙𝑔2
=
𝑙𝑔2+𝑙𝑔3+𝑙𝑔5
3(1−𝑎)
=
1−𝑎+𝑏+𝑎
𝑙𝑔4 𝑙𝑔5 𝑙𝑔7 𝑙𝑔9 𝑙𝑔9 2𝑙𝑔3
∙
∙
∙
=
=
=2
𝑙𝑔3 𝑙𝑔4 𝑙𝑔5 𝑙𝑔7 𝑙𝑔3
𝑙𝑔3
3(1−𝑎)
1+𝑏
ІѴ. Рефлексия. Логарифм-лото. Решение - 10 минут, проверка и оценивание – 3минуты
Учащимся предлагаю конверты с карточками с заданиями на свойства логарифмов и ответами на отдельных миникартах. . Дети решают
задания, выбирают на миникартах нужный ответ, закрывают задание «рубашкой» вверх. По мозаике на «рубашках» миникарт учитель
одним взглядом проверяет правильность выполнения и оценивает работу.
Примеры карточек:
Логарифм-лото-1
log 2 16
102+𝑙𝑔0,4
log 4 log 3 81
73 log7 2
log 36 84 − log 36 14
log 3 2 ∙ log 4 3 ∙∙∙ log10 9
lg2+lg5
3log√3 6
Логарифм-лото-2
log 5
1
125
49log7 2
log 9 180 − log 9 20
lg2+lg50
102+𝑙𝑔2
3 3
log 3 log 3 √ √3
log 7 6 ∙ log 6 49
11log121 9
Логарифм-лото-3
log 2 128
102+𝑙𝑔0,8
112 log11 7
log 4 log 5 √625
log
4
log √5 125 − log √5 5
3 ∙ log 4 5 ∙ log 5 7 ∙ log 7 9
lg20+lg50
7log√7 3
Ѵ. Задание на дом. ( 2 минуты)
№
Вычислите:
Ответы ( учителю для проверки)
1
1
4 1
8
∙ log 3
− log 3
2
81 3
27
-1
5
2
log13 √169
0,4
3
log 2 log 343 49
1
4
0,25∙ (1 + 4log2 5 )log26 4
1
5
log 7 6 ∙ log 6 49
2
3
6
7
8
3
0,25
Известно, что log в а = 1, вычислите log а3в √а2 в
3
Вычислите: 81log27 5∙log5 4
Дополнительное задание по повторению: Укажите
все корни уравнения sin2x +√3 cosx = 0,
принадлежащих отрезку [−𝜋; 2𝜋]
4√4
𝜋
2𝜋
2
3
- ;-
𝜋
𝜋
3
2
; - ;
;
3𝜋
2
;
4𝜋
3
;
5𝜋
3