Математический анализ, Лепский

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственный университет - Высшая школа экономики
Факультет бизнес-информатики
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра
Автор: д.ф.-м.н., доцент А.Е. Лепский
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
__________________А.С. Шведов
___________________Ф.Т. Алескеров
«_____» __________________ 200 г.
«____»_____________________ 200 г
Утверждена УС факультета
бизнес-информатики
Ученый секретарь
________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоят.
работа
1 модуль
1
Комплексные числа. Множества, пути и кривые на комплексной плоскости.
20
6
6
8
2
Понятие функции комплексного переменного.  и
 дифференцируемость.
Производная. Голоморфность
функций.
12
2
2
8
3
Элементарные ФКП: дробнолинейные функции, степенные,
показательная функция, функция Жуковского.
12
2
2
8
4
Интегрирование ФКП. Интегральная теорема и формула
Коши.
16
3
5
8
5
Теорема о разложении в ряд
Лорана и ее следствия. Особые
точки и вычеты.
20
3
5
12
6
Свойства голоморфных функций.
10
2
-
8
7
Многозначные аналитические
функции.
8
2
-
6
8
Элементы геометрической
теории ФКП.
10
2
2
6
108
22
22
64
2 модуль
Всего часов
2
Формы рубежного контроля
Формы контроля знаний студентов:
текущий контроль: 2 аудиторные контрольные работы (по одной в первом и во втором
модулях);
итоговый контроль: письменный зачет (письменная контрольная работа).
Образцы типовых задач для всех форм контроля приводятся после программы.
Содержание программы
1. Введение множества комплексных чисел. ([1], гл.1, §1; [5], гл.1, §1; [6], §1; [7], §1)
Алгебраические структуры на числовых множествах    . Необходимость такого
расширения поля , в котором существовало бы решение уравнение x2  1  0 . Матричная,
векторная и алгебраическая модели расширений. Алгебраическое определение комплексного
числа. Понятие комплексного сопряжения, модуля и их свойства. Тригонометрическая форма комплексного числа. Понятие комплексного аргумента. Действия над числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее следствия (корень n-й степени).
2. Комплексная экспонента и др. комплексные значения. ([1], гл.2, §3; [7], §1)
Равносильность различных определений (через ряд, через предел) комплексной экспоненты.
Формула Эйлера. Свойства комплексной экспоненты. Применения комплексной экспоненты
в тригонометрии. Определение комплексного логарифма, как обратного значения экспоненты. Многозначный логарифм и его главное значение. Свойства логарифма. Тригонометрические, гиперболические, показательные и обратные тригонометрические значения комплексного числа. Комплексная степень комплексного аргумента.
3. Открытые и замкнутые множества на комплексной плоскости. Пути и кривые в .
([6], §3; [7], §1)
Окружность, круг в комплексной области. Предельные и внутренние точки множества. Топология в . Открытость и замкнутость . Понятие компактного множества. Компактификация . Сфера Римана. Понятие стереографической проекции. Метрики в
и . Понятие
комплекснозначной функции. Виды путей и кривых: гладкие, класса C k , жордановы, эквивалентные, гомотопные. Границы и области в . Связные и n-связные множества.
4. Функции комплексного переменного. Понятия  и  дифференцируемых функций. Производная ФКП. ([5], гл.1, §4; [6], §7; [7], §2)
Однолистные функции. Предел и непрерывность ФКП. Формальные производные.  и
 линейность. Условия Коши-Римана в декартовой и полярной формах. Связь с гармоническими функциями. Восстановление одной части  дифференцируемой функции по другой.
Сопряженная пара функций.
Производная ФКП, связь с  дифференцируемостью. Понятие голоморфной функции. Геометрические свойства дифференциала. Понятие конформности. Свойства конформных отображений. Геометрические свойства производной: консерватизм углов и растяжений.
5. Элементарные ФКП: ([1], гл.3, §2,3; [2], гл.2, §6; [5], гл.3, §1; [7], §4)
а) линейная функция; б) дробно-линейная функция: дробно-линейный гомеоморфизм, конформность, алгебраические (групповые) свойства, геометрические свойства (сохранения
окружностей и симметрии), дробно-линейный изоморфизм и автоморфизм; в) степенная
функция; г) функция Жуковского; д) показательная функция.
6. Интеграл от ФКП. Теория интеграла Коши. ([1], гл.4, §1,2; [2], гл.2, §2; [5], гл.1, §5,6;
[7], §5)
3
Определение и основные свойства интеграла: линейность, аддитивность, ориентированность,
инвариантность относительно эквивалентного пути, оценка модуля. Ослабленный вариант
интегральной теоремы Коши (через формулу Грина), усиленный вариант (схема доказательства Гурса), теорема для многосвязной области, для гомотопных путей. Понятие первообразной ФКП. Теорема о существовании первообразной. Общий вид первообразной. Формула
Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Интеграл типа Коши,
теорема о голоморфности интеграла типа Коши.
7. Ряд Лорана. ([1], гл.5, §1,2; [2], гл.4, §4; [5], гл.4, §1; [6], §17; [7], §7)
Теорема о представлении голоморфной в кольце функции в виде ряда Лорана. Следствия из
представления в виде ряда Лорана: неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема
алгебры, теорема о представлении в виде ряда Тейлора, теорема Морера, теоремы Вейерштрасса о голоморфности ряда из голоморфных функций.
8. Особые точки голоморфной функции. ([1], гл.5, §2; [2], гл.4, §1,2,3; [5], гл.4, §2; [6], §18;
[7], §7)
Понятие и классификация изолированных особых точек (ИОТ). Характеризация ИОТ по виду главной части ряда Лорана. Теорема Сохоцкого. Бесконечно удаленные ИОТ. Классификация голоморфных функций по типу имеющихся у них особенностей: целые функции, мероморфные функции.
9. Элементы теория вычетов. ([1], гл.5, §3; [2], гл.4, §4, гл.6; [5], гл.5, §1,2; [6], §28,29; [7],
§7)
Понятие вычета. Вычисление вычетов в ИОТ. Теорема Коши о вычетах. Вычет в бесконечно
удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Приложения вычетов к вычислению
определенных, несобственных интегралов и рядов. Лемма Жордана и ее применения.
10. Свойства голоморфных функций. ([1], гл.4, §3; [5], гл.1, §6, гл.2; [6], §12,14; [7], §6)
Нули голоморфных функций и теоремы единственности: изолированность нулей голоморфной функции, единственность разложения в ряд Тейлора, единственность голоморфной
функции, равной нулю на множестве, имеющем предельную точку. Принцип максимума модуля, минимума модуля и лемма Шварца. Теорема Рунге (схема доказательства). Теорема
Мергеляна (формулировка) и ее следствия (интегральная теорема Коши).
11. Геометрические принципы ТФКП. ([1], гл.7, §3; [2], гл.5, §4; [5], гл.6, §1; [6], §32, 33,
36; [7], 11-13)
Принцип сохранения области. Теорема Римана. Принцип сохранения границ (теорема Каратеодори) и обратное утверждение. Принцип симметрии. Логарифмический вычет. Принцип
аргумента. Теорема Руше. Теорема Вейерштрасса. Применение принципа аргумента к исследованию устойчивости многочленов. Годограф Михайлова.
12. Многозначные аналитические функции. ([1], гл.7, §1; [2], гл.3; [5], гл.3; [6], §20-22, 24,
26; [7], §8-10)
Понятие аналитического продолжения (по Вейерштрассу), аналитичность на кривой, аналитический элемент, полная аналитическая функция, теорема о монодромии. Примеры многозначных аналитических функций: логарифм и многозначная степенная функция. Ветвь аналитической функции. Понятие римановой поверхности.
Основная литература
1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. – М.:
Наука, 1984, 320 с.
2. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1991, 448 с.
4
3. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник задач по теории аналитических функций. – М.: Наука, 1972, 416 с.
4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981, 304 с.
5. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука,
1979, 320 с.
6. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного. – М.: Наука, 1976, 336 с.
7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного. – М.:
Наука, 1985, 336 с.
Дополнительная литература
8. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. – М.: Мир, 1986,
216 с.
9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.:
Наука, 1987, 688 с.
ОБРАЗЦЫ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. Решите уравнения (ответ - в алгебраической форме):
(1  i)7 ( 3  3i)12
3
2
а) z  6 z  12 z  8 
 0 ; б) cos( z  i )  4i ; в) lni z  i  1.
5
(4  4i)
 zz  (1  3i) z  (1  3i) z  1  0,
2. Решите систему, укажите ее геометрический смысл 
 (1  5i) z  (1  5i) z  10i.
3. Укажите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих системе
 z  4  z  1  5i , 1  z  2  2i  3,

 Re z  2, arg( z  2  2i )   6.
4. Покажите, что функция голоморфна в
и найдите ее производную:
i
2
а) w  sin( z i ) ; б) w  z .
5. Вычислить с помощью формулы Коши
sin 2 zdz
а)  2
, если  : z  2i  1, k  2 и  : z 1  2i  2, k  1 ;
 ( z  (3i  1) z  2i  2) k
shzdz
б)  3
,  : z  1  i  2cos t  i 32 sin t , 0  t  2 .
 z  8i
e3 z dz
в)  5
,  : z  z  3i  4 .
 z  9z3
6. Найти все разложения в ряд Лорана с центром в точке z0 , указать области сходимости полученных рядов, выделить главную и правильную части разложений
z 4 1
а) f ( z )  3
, z0  2i ; б) f ( z )  ( z 2  2) cos( 4 z) , z0  1 .
z  4z
7. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую угол z  :  6  arg( z 1  2i)   3 на
круг w  : w  2  i  3 .
5
8. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую единичный круг
z 
: z  1 на угол
w 
:  2  arg(w  1  2i)   4 .
9. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую полосу 1  Re z  3 в замкнутую нижнюю
полуплоскость с выколотой точкой z  4 .
10. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую замкнутую верхнюю полуплоскость с выколотой точкой z  3 в полосу Im z  Re z  2 .
11. Вычислить интегралы (ответ – в алгебраической форме)
y
z
1

x
-1
0
3
а)


z ( z  1  i)dz ; б)
 (z

2
 4 z)sin 2 zdz .
12. Вычислите интегралы с помощью теоремы Коши о вычетах:
ch( z 4)dz
а) 
; б)  (2 z 2  z  1) cos(2 ( z  i))dz ;
2
z  2 3 z  (3i  1) z  2  i
z i 1
sin( iz )
7 z 23  2 z
dz
;
г)
 z 4i 2 z 4  50 z 2  625
 z 3 (5z10  64)(3z14  1)dz .
13. Вычислить интегралы с помощью вычетов:

3

2 cos xdx
 x sin 2 xdx
1
( x  3)dx
а) 
; б)  3
;
в)
;
г)
.

2
2
4

0 5  2 cos x
0
( x  27)
x  256
n  12n  16n  3

в)
МИНИМУМ ВОПРОСОВ И ЗАДАЧ К ЗАЧЕТУ
1. Решить уравнение sin  z i   i (ответ - в алгебраической форме).
2. Решить уравнение Ln( z i  1)   i (ответ - в алгебраической форме).
2
 i (ответ - в алгебраической форме).
3. Решить уравнение 3
z z
_____________________________________________________________________________
4. Докажите, что e z - периодическая функция.
n
z

5. Докажите, что lim  1    e Re z .
n 
 n
n

z 

6. Докажите, что arg  lim  1     Im z .
 n  n  


_____________________________________________________________________________
7. Запишите (i  1)i в алгебраической форме.
8. Запишите Arcsin(i  1) в алгебраической форме.
9. Запишите Ln(i i  1) в алгебраической форме.
_____________________________________________________________________________
10. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравен 2i 
ству Im 
  1.
 zi
11. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравен z  z  2i  3, z  3  2i  z  3  2i
ству 
z  z  2i  1.

6
12. Найдите расстояние между образами точек i и i  1 при стереографической проекции
на сфере Римана.
_____________________________________________________________________________
13. Открытое множество это …
14. Замкнутое множество это …
15. Компактное множество это …
_____________________________________________________________________________
16. Путь на комплексной плоскости это …
17. Кривая на комплексной плоскости это …
18. Жорданова кривая это …
19. Спрямляемая кривая это …
20. Кривая класса C k это …
21. Гомотопные кривые это …
_____________________________________________________________________________
22. Покажите, что множество  z  : z  i  2 - открытое, а множество  z  : z  i  2
замкнутое.
23. Область на комплексной плоскости это …
24. Граница множества это …
_____________________________________________________________________________
25. Однолистная функция это …
26. Укажите какую-либо область однолистности функции z 2  2 z .
27. Укажите какую-либо область однолистности функции 2  z  z 1  .
_____________________________________________________________________________
28.  и  линейные функции это …
29.  и  дифференцируемые функции это …
30. Условия Коши-Римана это …
____________________________________________________________________________
x
31. Проверьте гармоничность функции 2
.
2
x  y  2y 1
32. Может ли функция e x
функции?
2
 y2
cos(2 xy ) быть мнимой частью некоторой голоморфной
 y 1
- ее мнимая часть.
( x  3)2  ( y  1) 2
____________________________________________________________________________
34. Голоморфная функция в точке это …
35. Производная функции комплексного переменного это …
36. На какой угол повернется касательная к кривой z(t )  t 2  3ti в точке z  1  3i при
33. Найдите функцию f ( z ) , если
отображении f ( z )  z 2  2 z ?
37. Конформное отображение это …
_____________________________________________________________________________
38. Перечислите алгебраические свойства дробно-линейной функции.
39. Перечислите геометрические свойства дробно-линейной функции.
zi
40. Функция w 
отображает окружность z  1 на …
iz  1
41. Найдите дробно-линейную функцию, отображающую точки z1  i , z2  1  i , z3  1  i
на w1  1 , w2  i и w3  1 соответственно.
42. Найдите отображение полосы z :1  Re z  2 на угол z :  6  arg z   2 .
_____________________________________________________________________________
43. Формулировка интегральной теоремы Коши.
7
44. Формулировка интегральной теоремы Коши для многосвязной области.
dz
45. Найдите 
.
3
z 1 1 z  i
_____________________________________________________________________________
46. Интегральная формула Коши это …
dz
47. С помощью интегральной формулы Коши вычислите 
.
2
z 1i  z 1i 3 z  (1  3i ) z  2  i
48. Теорема о среднем это …
49. Интеграл типа Коши это …
_____________________________________________________________________________
50. Ряд Лорана, правильная и главные части ряда Лорана это …
z 1
51. Разложите функцию f ( z )  2
в кольце 1  z  i   в ряд Лорана.
z  iz
 2  3z 
52. Разложите функцию f ( z )  sin  3  в ряд Лорана в окрестности точки z   .
 z 
_____________________________________________________________________________
53. Докажите неравенство Коши с помощью оценок коэффициентов ряда Лорана.
54. Докажите теорему Лиувилля с помощью неравенства Коши.
55. Докажите основную теорему алгебры с помощью теоремы Лиувилля.
56. Сформулируйте теорему Морера.
57. Докажите с помощью теоремы Морера теорему Вейерштрасса о голоморфности ряды
из голоморфных функций.
58. Сформулируйте теорему единственности.
59. Сформулируйте принцип максимума модуля.
60. Сформулируйте теорему Рунге и теорему Мергеляна.
_____________________________________________________________________________
61. Дайте классификацию изолированных особых точек.
62. Как связана классификация особых точек с видом главной части ряда Лорана?
cos( z )
63. Найдите все особые точки функции f ( z )  3 2  e1 ( z 2) и укажите их характер.
2z  z
64. Сформулируйте теорему Сохоцкого.
65. Целые и мероморфные функции это …
_____________________________________________________________________________
66. Вычет функции f ( z ) в особой точке a это …
67. Сформулируйте теорему Коши о вычетах и теорему о полной сумме вычетов.
68. Докажите формулу вычисления вычета в полюсе n -го порядка.
cos(2 z ) 1 ( z 1)
e
69. Найдите вычеты функции f ( z ) 
во всех ее особых точках.
4z3  z2
70. Покажите, как применяется теория вычетов к вычислению несобственных интегралов.
_____________________________________________________________________________
71. Что такое логарифмический вычет?
z 2  3iz  4
f ( z )
dz , если f ( z )  3
72. Вычислите 
.
z 1 3 f ( z )
z  5iz 2  6i
73. Сформулируйте принцип аргумента.
74. Сформулируйте теорему Руше.
75. Сформулируйте теорему Римана.
8