Удивительный лист Мебиуса

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №6
имени Героя России Шерстянникова А.Н.
Усть-Кутского муниципального образования
Проект
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛА
Ученица 10 «а» класса
Высоких Маша
РУКОВОДИТЕЛЬ
Учитель математики
Агафонова Валентина Евгеньевна
г. Усть-Кут
2012г.
Содержание.
1.Введение-------------------------------------------------------------------------стр1
2.Основная часть
2.1. Наука топология-------------------------------------------------------------стр2
2.2. Лист Мёбиуса – определение---------------------------------------------стр3
2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие-------------------------стр4
2.4. Применение листа Мёбиуса-----------------------------------------------стр5
2.5. Лист Мёбиуса в литературе----------------------------------------------стр12
3. Исследовательская деятельность
3.1. Анкетирование учащихся------------------------------------------------стр15
З.2. Практическая часть
3.2.1. Изготовление листа Мёбиуса---------------------------------------стр17
3.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса--------------------------стр17
3.2.3. Общие результаты опытов – свойства листа Мёбиуса---- --стр23
4. Выводы------------------------------------------------------------------------стр23
5. Заключение-------------------------------------------------------------------стр24
6. Перспективы исследования---------------------------------------------стр24
7. Список литературы--------------------------------------------------------стр25
2
1. Введение
Лист Мёбиуса – желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.
Актуальность
Топология является одним из самых «молодых» разделов современной
геометрии. Топология изучает свойства фигур, которые не изменяются при
деформациях (растяжении, сжатии), не допускающих разрывов и склеивания.
Одним из объектов топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе
топологические объекты не изучаются. Я впервые узнала о листе Мёбиуса, на
внеклассном мероприятии по математике. У меня появились некоторые
представления о листе Мёбиуса, я заинтересовалась этим и решила расширить
свои знания об этом удивительном геометрическом объекте.
Новизна работы заключается в том, что учащиеся
нашей школы
выявлением свойств листа
Мёбиуса ранее не
занимались. Я провела
анкетирование и из анкеты видно, что многие не слышали об этом листе ничего и
не знают о его свойствах.
Объект
исследования: лист
Мёбиуса
как
модель
односторонней
поверхности.
Предмет исследования: Все знают, что такое "поверхность". Поверхность
стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны
всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком
обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.
Предметом исследования моей работы являются свойства листа Мебиуса.
Исследовательский проект по содержанию является монопредметным
(математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).
Основными этапами исследования были:
 постановка проблемы,
 анкетирование,
 изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса,
 сбор собственного материала,
 проведение экспериментов,
 разработка нового электронного продукта.
3
Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.
Для достижения данной цели я поставила перед собой следующие задачи:
 Познакомиться с понятием топологии;
 Познакомиться с биографией Мебиуса и с историей его замечательного
открытия.
 Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления.
 Изучить и исследовать свойства листа Мебиуса
 Установить области применения листа Мебиуса.
 Создать презентацию в Microsoft Power Point.
Гипотеза исследования: Я предполагаю, что лист Мёбиуса действительно
обладает неожиданными свойствами.
Для того чтобы решить эту проблему, я должна
изучить нужную
информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета,
затем
изготовить лист Мебиуса и с помощью опытов выявить его
необыкновенные свойства.
Вид проекта – информационно-исследовательский.
Методы исследования:
 поисковый;
 аналитический;
 экспериментальный;
 описательный
Готовый продукт –альбом, мультимедийная презентация.
2. Основная часть
2.1. Наука топология.
Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием
"топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства
таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие),
не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем
«Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать,
скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не
склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства
остались неизменными.
С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например,
сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел
ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие,
надо разорвать резину.
Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в
математике, технике, экономике.
2.2. Лист Мёбиуса – определение.
У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или
пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у
листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом
является лист Мёбиуса.
4
Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота
(то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.
Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е.
пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся
в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это
значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во
«внутренность».
Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего
его необычайные топологические свойства в 1858г.
2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля
математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те
времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие
астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные
астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее
директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было
всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все
как
у обычного профессора университета. Рассеянного,
доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить
лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во
всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много
размышлял о математике.
Одним
«неожиданным»
математическим
открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что
открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка,
сшившая однажды неправильно концы ленты.
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе
с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были
разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе
витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа
Фердинанда Мебиуса.
5
На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в
хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для
мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть
парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая
настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да,
Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая
поверхность. У ленточки нет изнанки!»
Эта история произошла в 1865 году.
Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность,
которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая
поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая
поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее
математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добрякапрофессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве
экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к
подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное
изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось
покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры
проводили за этим занятием немало времени.
Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым
обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом
современной математики.
2.4. Применение листа Мёбиуса.
Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных
изобретениях.
В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить
лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.
Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что
позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты
изнашивается равномерно. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую
кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту
прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время
стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс,
менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры
ленты увеличивать нельзя? В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было
выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса:
срок работы ленты увеличились вдвое.
6
В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень
передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы,
ремень передачи.
Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона,
которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не
меняя их местами.
В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид
листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.
В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа
Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой
удивительной поверхности.
7
Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.
Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный
в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на
тему листа Мёбиуса.
Например, грандиозная библиотека в Казахстане. Изгибы музея образуют лист
Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и
обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша
трансформируется обратно в стены.
Аттракцион «Американские
горки»,
являющийся
«необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг.
8
подобием
Детская железная дорога.
Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и
развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где
подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.
Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии
каждой ленты, которая была выполнена из специального покрытия. Огненная
дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты,
продетая одна в другую.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты
Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и
восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину
наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и
происходит самоуничтожение.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического
искусства. Известный голландский художник М. Эшер (1898-1971) особенно
любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому
объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих
по поверхности ленты Мёбиуса.
9
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на
пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.
У входа в Музей
истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная
лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся
международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную
марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И
монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные
памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу,
профессору Лейпцинского университета.
Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.
Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной
коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие
творческий союз искусства и науки.
Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются
украшением парков и скверов г. Минск. Скверик около Центральной Научной
библиотеки имени Якуба Коласа.
10
Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 г
Скульптура в Москве.
Разные скульптуры:
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных картин
и для графического искусства.
11
Широкое применение листа Мёбиуса нашло в искусстве:
Лиза Рей «Корабль дураков в бесконечность».
Макс Билл «Узел без конца»
Необычный вид ленты Мёбиуса приглянулся и ювелирам. Часто украшения
напоминают математический объект.
12
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных
произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто
изображают на различных эмблемах и значках.
Например, на значке механико-математического факультета Московского
университета.
Ресторан «Лента Мебиуса»
Символ вселенной
создан в виде ленты
Мёбиуса.
Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и
авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
2.5.
Лист Мёбиуса в литературе.
Чудесные свойства ленты породили многочисленные
фантастические
рассказы. Например рассказ Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научнофантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть
некоторым обобщенным листом Мёбиуса.
13
В рассказе А. Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском
метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он
стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать,
появляясь снова только через несколько месяцев.
А Кузьма Прутков подарил читателям афоризм: «Где начало того конца,
которым оканчивается начало?».
Текст и мир на листе Мёбиуса Языковая геометрия Осипа Мандельштама versus еврейская цивилизация.
Ленте Мёбиуса посвящают стихи:
Наталия Юрьевна Иванова
Лист Мёбиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.
Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:
Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой,
14
И горечь пораженья испытай.
На грани бесконечного блаженства,
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.
И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.
Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.
Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!
Стихотворение Вадима Соколова:
Как замыкается пространство
В бессрочной ленте бытия,
Где не мешает слов убранство,
Поступков лживости змея.
Бескомпромиссно, непорочно,
Бесстрастно в вечности своей.
Одностороннее построчно,
Объемно в матрице полей.
Незрима грань ума и сердца.
Её попробуй пересечь…
Придется только там вертеться,
Где точка всех разлук и встреч.
Как странна точка перегиба,
Что отделяет жизнь и смерть….
В жизнь прибегаешь торопливо,
Боясь, наверно, не успеть
Пройти весь длинный путь до срока…
Бежишь, не видя ничего,
И в том, что выбрал ты, нет прока…
И счастье-то – несчастливо,
Беда, ведь, в сущности, не горе,
А горе – вовсе не беда…
15
Вот, себялюбие – в позоре,
А глупость – горе навсегда.
И всё бежишь, не зная меры.
Дверь приоткрыта, вечность ждёт…
Ты здесь один, и всё без веры….
А благодать к тебе сойдет?
Да полно ждать благословенья,
Когда граница всех дорог
Уж пред тобой. Одно мгновенье –
И вот уже нажат курок,
Не пистолета, не винтовки,
Судьба-оружие бьет цель.
И, как всегда, наизготовку,
Кладет на черную постель.
Преодолев земные страсти,
Пути другие ты пройдешь.
Ты будешь прежним лишь отчасти,
Когда сюда ты вновь придешь.
Так замыкается пространство
В бессрочной ленте бытия.
Всегда наш путь – дорога странствий
И поиск именно себя.
***
Лист Мёбиуса – желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.
3. Исследовательская деятельность
3.1. Анкетирование учащихся.
Чтобы выяснить, что же знают ученики нашей школы о листе Мёбиуса и
его свойствах, я провела среди них анкетирование. Анкета содержала следующие
вопросы:
Анкета
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
1. Знаете ли Вы, что такое топология?
- нет
- да, это - ______________________
2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?
- я знаю, что это такое
- только слышал о таком понятии
16
- не знакомо
3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?
- нет
- да, это следующие свойства - ______________________
4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?
- нет
- да, он применяется - _______________________________
Обработав анкеты я получила следующие результаты:
Знают, что такое топология – 8 человек (8 %) (Диаграмма – рис. 1)
знают, что такое топология;
8%
не знают, что такое
топология; 92%
Рисунок 1
Знают, что такое лист Мёбиуса – 5 человек (5 %)
Только слышали о листе Мёбиуса – 14 человек (14%)
Не знакомо – 81 человек (81%)
(диаграмма – рис. 2)
знают, что такое лист
слышали о листе Мёбиуса;
Мёбиуса; 5%
14%
не знакомы с понятием;
81%
Рисунок 2
Знают о свойствах листа Мёбиуса – 4 человека (4%) (диаграмма – рис.3)
знают о свойствах листа
Мёбиуса; 4%
не знают; 96%
Рисунок 3
Знают, где применяется лист Мёбиуса – 4 человека (4%) (диаграмма – рис. 4)
знают, где применяется
лист Мёбиуса; 4%
не знают о применении;
96%
Рисунок 4
17
Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист
Мёбиуса и всё, что с ним связано.
3. 2. Практическая часть
3.2.1. Изготовление листа Мёбиуса.
Берём бумажную ленту АВВ!А!. Прикладываем её концы АВ и А!В! друг к
другу и Мёбиуса
склеиваем. Но
не поверхность,
как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой
Лист
!
В , а точка В при
с точкой
А!. (склеим
получающаяся
склеивании
двух концы ленты, предварительно повернув
один из них на
180 AB
градусов).
противоположных
сторон
и А`В` Получим перекрученное кольцо. Лист
Мёбиуса готов!
прямоугольника
ABB`A` так, что точки А и
В
совмещаются
точками B` и A`.
соответственно
с
содержание
3.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса.
Для проведения опытов я изготовила бумажные полосы длиной 30 см и
шириной 3 см.
Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводила опыты
с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).
Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим
непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в
Опыт 1
отмеченную точку.
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Линия проходит вдоль кольца по Непрерывная линия проходит по
одной стороне, сходясь в точке двум
сторонам,
заканчиваясь
в
начала.
начальной точке.
Вторая остаётся чистой.
Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной
18
На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой
точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты.
Разрывов нет – непрерывность полная.
Закрасим полностью только одну сторону колец.
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
сторона закрашена, другая Закрашенной оказалась
целиком.
Опыт 2
Одна
нет.
весь
лист
Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя.
Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не
переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы
перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну
поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения
вдоль ленты переходят друг в друга.
19
Закрасим непрерывной линией только один край колец
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Один край кольца закрашен, второй Линия
края
получилась,
край нет.
непрерывно закрашена на всём
кольце.
Опыт 3
Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!
На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней
идёт в любую сторону некто У
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Х и У никогда не встретятся, не Х и У встретятся, не пересекая
пересекая края
края в любом случае.
Опыт 4
Вывод: Поверхность листа непрерывная и односторонняя.
20
Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получилось два кольца, точнее две Получилось
одно
большое
половинки от исходного кольца. перекрученное кольцо
в виде
Каждое кольцо будет уже, но длина восьмёрки.
будет
такой
же,
как
длина
первоначального кольца.
Опыт 5
Исследуем полученные поверхности:
На полученных в 5 опыте кольцах поставим точку на одной стороне
каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не
придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Непрерывная линия будет проходить Непрерывная
линия
будет
только по одной стороне кольца.
проходить
только
по
одной
стороне кольца.
Результат опыта 1 не повторился.
Результат опыта 1 повторился.
Получилась не лента Мёбиуса!
21
Вывод: при подобном
непрерывности.
разрезании
Лист
Мёбиуса
утратил
свойство
Разрежем кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины
кольца
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получилось два кольца: одно Два
перекрученные
сцепленные
поуже, другое шире.
между собой кольца: диаметр первого
в два раза больше диаметра второго,
ширина первого кольца в два раза
меньше.
Опыт 6
Исследуем полученные поверхности:
На полученных в 6 опыте кольцах поставим точку на одной стороне
каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не
придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Непрерывная
линия
будет Непрерывная линия будет
проходить
только
по
одной проходить только по одной стороне
стороне кольца.
большого кольца (Не лист
Мёбиуса), по всей поверхности
маленького кольца будет проходить
Результат опыта 1 повторился.
линия с двух сторон (Лист
Мёбиуса)
Возьмём кольца- результаты 5 опыта. Разрежем пополам
вдоль.
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получаются отдельные кольца. Их Получилось
два
кольца,
Опыт 7
22
ширина становится всё уже и уже.
переплетённые между собой в виде
восьмёрки.
Выводы по разрезанию: Лист Мёбиуса имеет
интересное свойство –
связность.
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два
отдельных куска. Разрез ножом разделит яблоко на две части. Говорят,
квадрат- односвязн.
Если разрезать лист Мёбиуса вдоль (опыт 1), он превратится не в два
отдельных кольца, а в одну ленту. Лист Мёбиуса - двусвязн.
Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у
которого стороны примерно равны, не сминая бумаги!
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получится «Труба»
Свернуть концы квадрата,
предварительно повернув один из
них на 180 градусов, не сминая
бумаги, не возможно.
Склеим ленту из квадрата, складывая бумагу
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получится «Труба»
Получится лист Мёбиуса
Опыт 8
Опыт 9
Проведём многоразовые перекручивания, разрезания.
Обычное кольцо
Лист Мёбиуса
Получится множество колец
Получится новогоднее украшение
23
3.2.3. Общие результаты опытов - свойства листа Мёбиуса
 Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают
результаты 1,2,4 опытов.
 Лист Мёбиуса имеет один край. Результат 3 опыта.
 Очевидный лист Мёбиуса можно получить из прямоугольника, где
длина значительно больше ширины, т. е. из полосы, ленты.
 Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты, они
будут двигаться бесконечно долго, т.е. поверхность непрерывна. Это
подтверждают 1 и 4 опыты.
 Листу Мёбиуса присуще свойство – связность.
 Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих
свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его
отдельные куски.
 Лист Мёбиуса можно многократно перекручивать при склеивании, при
этом получается узор.
 Один край и одна сторона листа Мёбиуса не связаны с его положением в
пространстве, с понятиями расстояния.
4. Выводы
1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.
2. Лист Мёбиуса действительно необыкновенный. В этом я убедилась,
проводя анализ результатов опыты с обычным кольцом и перекрученным
листом.
3.Свойства листа многообразны. Они получены мной в результате
эксперимента
и были
сравнимы
со
свойствами,
описанными
в
математической литературе.
24
5. Заключение
Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнала о
жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё
гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в
математике. Мною была изучена большая разнообразная информация. Она
анализировалась и перерабатывалась.
Я получила удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были
очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом
Мёбиуса. Так я узнала об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня
это были маленькие открытия.
Все поставленные задачи были выполнены. Предположение, что лента Мёбиуса
обладает удивительными свойствами, подтвердилось.
Используя источники сети Интернет, я обратила внимание на широкое
применение Листа Мёбиуса. Он так нужен в практической жизни!
Не зря этому математическому объекту
поставили памятники в Москве,
Вашингтоне, в республике Беларусь и Литве.
Применение проекта и практическая значимость.
Я сумела получить интересный математический материал. В ходе работы я
создала альбом и мультмедийную презентацию, в
которые
включены
иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.
Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими
одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя
работа будет интересна любителям математики для расширения математического
кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во
внеклассной и кружковой работе.
6. Перспектива исследования
С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в
открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и
терпения.
К тому же, в ходе эксперимента я узнала лишь некоторые свойства листа
Мёбиуса.
Не
изученными
остались
свойства
ориентированности,
«хроматического номера».
Кроме того, свойства мало получить и увидеть в результате эксперимента,
они требуют математического обоснования, доказательства.
Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и
зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с
листом Мебиуса.
25
1.
2.
3.
4.
7. Список литературы
Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое сентября»
Горохова Л.И. «Уроки математики». Современная школа, Москва
изд. «Глобус» , 2009г.
Даль В. «Толковый словарь», Москва, 1983г.
Депман И.Я. «За страницами учебника математики».
Москва, изд. «Просвещение», 1989г.
1. Сайты сети Интернет:
– http://arbuz.uz/t_lenta.html
– http://www.frei.ru/golos/books/
– http://umiranie.chat.ru/sphere.htm
– http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm
– http://www.kvant.info/
– http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
– http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.htm
26
27