1 Конспект Лекций НачерГеом 2093
advertisement
ДОНЕЦКИЙ ИНСТИТУТ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по начертательной геометрии и инженерной графике Часть 1 НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Донецк 2007 Конспект лекций рассмотрен и рекомендован к изданию и использованию в учебном процессе на заседании кафедры теоретической и прикладной механики 22 июня 2007 г., протокол № 12 Составители: Д.т.н., профессор В. П. Шамота К.т.н., доцент Н. Н. Горобец К.т.н., доцент А. Л. Фалько Рецензенты: К.т.н., доцент Антропова Л.Н. (ДонГУЭТ) К.т.н., доцент Тимохин Ю.В. (ДонИЖТ) Председатель методической комиссии ДонИЖТ: К.т.н., доцент Ю. В. Черняк 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение или зачем нужно изучать эту дисциплину !...……....................4 Принятые обозначения ..................................................................................4 1. Предмет начертательной геометрии. Методы проецирования. Положение точки относительно плоскостей проекций. Комплексный чертеж точки…..................5 2. Чертеж прямой. Прямые частного и общего положения. Взаимное положение прямых ……………………………...........11 3. Плоскость. Задание плоскости на комплексном чертеже. Плоскости частного положения. Точка и прямая в плоскости. Прямая и плоскость. Две плоскости ......................17 4. Решение простейших задач............................................................29 5. Методы преобразования комплексного чертежа …….……........31 6. Многогранники ................................................................................37 7. Кривые поверхности .......................................................................45 8. Пересечение поверхностей………..……........................................51 9. Развертки кривых поверхностей…………………………………55 Рекомендуемая литература..........................................................................60 3 Введение или зачем нужно изучать эту дисциплину ! Начертательная геометрия и инженерная графика является фундаментальной общеинженерной дисциплиной необходимой для использования в любой технической отрасли. Она необходима в процессе обучения для понимания и практического применения других важнейших дисциплин. А будущему специалисту в профессиональной практической деятельности знания инженерной графики необходимы для чтения и создания машиностроительных и строительных чертежей, различных схем. Без умения грамотно строить графическое изображение нельзя создать конструкцию механизма или строительного сооружения, построить железную дорогу, спроектировать сложный прибор, составить смету на строительство дома или на изготовление механизма. Даже владея знаниями и навыками расчета по ряду других важных дисциплин, без черчения невозможно создать техническое изделие, поскольку невозможно применить какие-либо расчеты без чертежа конкретной конструкции проектируемого изделия, а также оформить результаты разработок в виде чертежа конкретной конструкции. Изображения, выполненные в соответствии с правилами начертательной геометрии и инженерной графики, позволяют воссоздать точную геометрическую форму различных изделий и установить их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, материалы, качество обработки и точность изготовления их поверхностей... Иными словами, данная дисциплина является языком инженерии. Этот конспект лекций ориентирован на овладение базовыми знаниями и практическими навыками студентами дневной и заочной форм обучения различных специальностей. Главным достоинством конспекта является краткость и доступность изложенного материала. Кроме необходимой теории в нем приведены примеры решения отдельных задач и сформулированы вопросы для самопроверки. Принятые обозначения Точки - А, В, С. D, Е, F, ... 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 ... Прямые и кривые линии - a, b, c, d, е, ... Горизонталь - h Фронталь - f Профильная прямая – p Натуральная величина фигуры – н.в. Поверхности (плоскости) - θ, Λ, Σ, Γ, Φ, Ω ... или α, β, γ... Углы - α, β, γ ... - угол, двугранный угол Плоскости проекций: горизонтальная – π1, фронтальная - π2, профильная – π3, дополнительная – π4, … А Φ — точка А принадлежит фигуре Φ А Φ — точка А не принадлежит фигуре Φ Σ1 Σ - фигуры Σ1 і Σ совпадают Σ Φ - объединение фигур Σ и Ф; Σ Φ - пересечение фигур Φк и Ф ║– не паралельно, ║ – параллельно, – перпендикулярно; х, у, z — оси проекций. Индексы при них указывают на соответствующие плоскости проекций. Например, ось х12 разделяет горизонтальную плоскость проекций (индекс 1) и фронтальную плоскость проекций (индекс 2). Х, Y, Z – координаты точек А' – плоско-перемещенная проекция т. А, или аксонометрическая проекция А А* - мнимое положение т.А, например, при определении н. в. отрезка методом прямоугольного треугольника F0 – индекс «0» указывает на положение точки F на развертке. 4 1. ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ. План 1.1 Предмет начертательной геометрии. 1.2 Краткий исторический обзор развития дисциплины. 1.3 Методы проецирования. 1.4 Комплексный чертеж точки. 1.5 Положения точки относительно плоскостей проекций. 1.6 Нахождение третьей проекции точки по двум известным. 1.1 Предмет начертательной геометрии Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучают с помощью изображений их графических моделей на плоскости рисунка. Знания по начертательной геометрии необходимы для создания технического рисунка инженерам любой специальности. Рисунок должен нести геометрическую информацию о форме и размерах оригинала, должен быть наглядным, простым и точным. Предмет начертательной геометрии заключается в разработке методов построения и чтения рисунков, по которым можно воссоздать размеры и форму изображаемого изделия, в графическом решении на рисунках геометрических задач, а также в геометрическом моделировании, то есть в создании предмета или оригинала, который отвечал бы заведомо заданным условиям. Знания по начертательной геометрии необходимы для построения изображений машиностроительных и строительных изделий на рисунках, которые могут оформляться как чертежи, при использовании правил инженерной графики (СКД ДСТУ). Сейчас абсолютно очевидно повсеместное использование в учебном процессе и на производстве компьютерной графики. Благодаря САПР (системам автоматизированного проектирования) процессы создания технических и строительных чертежей значительно автоматизированы и менее трудоемки. Преимущества компьютерной графики по сравнению с ручным трудом разработчика-чертежника очевидны: легкость хранения и транспортировки графической информации в электронном виде, простота выведения графической информации на бумажный носитель, легкость корректировки чертежей (или создания новых проектов на основе существующих), автоматизация операций нанесения размеров, задания параметров элементов чертежа, вычерчивания повторяющихся элементов, простота оформления основных надписей и спецификаций… Однако базируются все САПР на широком использовании законов и правил начертательной геометрии и инженерной графики, знания которых также необходимы при работе с САПР. 1.2 Краткий исторический обзор развития дисциплины Первые рисунки, выполненные с использованием прямоугольных проекций, встречаются уже на стенах древних храмов и дворцов Египта и Ассирии. В цивилизациях Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Рима, Византии в архитектурном и кораблестроительном деле использовали графические изображения, содержащие прямоугольные и центральные проекции на одну плоскость. С развитием этой науки можно связать имена Архимеда, Эвклида, Леонардо да Винчи, Декарта и других выдающихся людей различных эпох. Использование и развитие этой дисциплины в Европе и в России, в состав которой входила большая часть Украины, проходило на протяжении столетий. Известны эскизы плана постройки десятинной церкви в Киеве (конец Х ст.), планы Пскова (XVI ст.), Москвы (XVII ст.), свидетельствующие о том, что уже тогда было представление не только о способах выполнения фасадов и планов, но и об аксонометрии. 5 Начиная со времен Петра I технические рисунки для кораблестроения, гидротехники, архитектуры выполняли, по европейскому образцу, в прямоугольных проекциях. Проекты архитекторов В. В. Растрелли, В. И. Баженова, М. Ф. Казакова, проект дворцового моста И. П. Кулибина, рисунки изобретателя паровой машины И. И. Ползунова – все это сохранилось до наших дней и поражает своей проекционной безупречностью. Однако полную систему взаимосвязи и взаиморасположения прямоугольных проекций разработал Гаспар Монж (1746 – 1818). В 1795 г. он издал свой труд „Geometrie descriptive” («Описание геометрически»), как аналог координатного способа Декарта при решении геометрических задач. В книге были графически связаны отдельные прямоугольные проекции на вертикальные и горизонтальные плоскости в единую систему. С этого момента начертательная геометрия была выделена как отдельная наука, которая активно развивалась учеными различных стран вплоть до наших дней. Значительный организационный и методический вклад в развитие графических дисциплин в Украине сделал профессор В. Е. Михайленко. 1.3 Методы проецирования. Основой начертательной геометрии является метод проекций, дающий возможность получать отображение пространственных фигур на плоскости (или поверхности). Проекция – это изображение предмета на плоскости чертежа (плоскости проекций), полученное путем прохождения проецирующих лучей под определенным углом зрения через видимую часть поверхности предмета до пересечения с этой плоскостью. Плоскость проекций - плоскость, на которую проецируется предмет (плоскость чертежа). Проекции разделяют на центральные и параллельные. Идею центрального проецирования видно из рисунка А1 1.3.1. Точка S, из которой выходят проецирующие лучи, называется центром проекций. Плоскость π1, на которую А проецируется предмет, называется плоскостью проекций. Плоскость π1 и точка S составляют аппарат центральной S В В1 проекции. Проецируемый треугольник АВС называется оригиналом, или натурой. Чтобы спроецировать треугольник, надо из центра проекций S через все его C π1 вершины провести проецирующие лучи до пересечения с С1 плоскостью проекций π1. Точки пересечения А1, В1, С1 называются центральными проекциями вершин А, В, С на Рисунок 1.3.1 плоскость π1, а треугольник А1В1С1 – центральной проекцией треугольника АВС. При параллельном проецировании (рисунок 1.3.2) выбирают плоскость проекций π1, но вместо центра π1 проекций S задают направление проецирования s, т.е. А А1 считают, что точка S – центр проекций – удалена в бесконечность и поэтому проецирующие лучи взаимно S В В1 параллельны. Плоскость π1 и направление s составляют аппарат параллельной проекции. Чтобы спроецировать треугольник АВС на плоскость π1, проводят через вершины C С1 А, В, С проецирующие лучи параллельно направлению проецирования S. Треугольник А1В1С1, образованный вследствие пересечения лучей АА1, ВВ1, СС1 с плоскостью π1, является параллельной проекцией треугольника АВС. Рисунок 1.3.2 Параллельные проекции разделяют на прямоугольные и косоугольные. 6 S 900 0 90 π1 Рисунок 1.3.3 Если параллельные проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рисунок 1.3.3), то такой способ проецирования называют прямоугольным, а проекции, получаемые при этом, - прямоугольными, или ортогональными. Если угол наклона лучей к π1 отличен от 90°, то такая параллельная проекция называется косоугольной. В черчении используется параллельное прямоугольное проецирование, поскольку оно способно передавать форму и размеры оригинала без искажения. Формообразующими элементами пространства являются основные геометрические фигуры – точка, прямая и плоскость, из которых состоят более сложные геометрические фигуры. Геометрическая фигура – тело с неизменным расположением всех его точек относительно друг друга 1.4 Комплексный чертеж точки Одна прямоугольная проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Например (рисунок 1.4.1), проекция А1 соответствует в пространстве множеству А - ? положений точки А, лежащих на проецирующем луче, проходящем перпендикулярно к плоскости проекций π1 π1. Двумя прямоугольными проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости можно определить положение точки или любого другого объекта в А1 пространстве. Однако в практическом черчении при построении изображений для лучшей наглядности и читаемости чертежа обычно используют три взаимно Рисунок 1.4.1 перпендикулярные плоскости проекций. Воспользуемся тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций: (рисунок 1.4.2) π1 – горизонтальной, z π2 – фронтальной и π3 – профильной. Линии пересечения π2 А2 Аz=ZA этих плоскостей х, у, z являются осями проекций, точка пересечения осей О – начало осей проекций. Разместим точку А в пространстве трехгранного угла, А А3 образуемого плоскостями проекций π1, π2, π3, и построим её проекции на данные плоскости посредством проведения из х Ах=ХА О π3 точки А проецирующих лучей перпендикулярно к плоскостям проекций до пересечения с ними в точках А1 (на π1), А2 (на π2), А3 (на π3) . Т.о. А1 – горизонтальная, А2 – фронтальная и А3 – профильная проекции точки А (проекции А1 Аy=YA обозначают той же буквой, которой обозначена самая точка, с индексом 1 – для горизонтальной, 2 – для фронтальной и 3 – π1 для профильной проекций). Перпендикуляр АА1 – называется y горизонтально- проецирующим, АА2 – фронтальнопроецирующим и АА3 – профильно-проецирующим лучами. Рисунок 1.4.2 Проецирующие лучи АА1 π1, АА2 π2, АА3 π3. АX, AY, AZ – являются координатами т. А, или её проекциями на оси х, у, z соответственно. Считая трехгранный угол из плоскостей проекций π1, π2, π3 разрезанным по оси у (рисунок 1.4.2) и оставляя неподвижной фронтальную плоскость проекций π2, вращаем горизонтальную плоскость π1 вокруг оси х вниз на 90°, а профильную π3 – вокруг оси z вправо А - ? 7 на 90° до их совмещения с фронтальной плоскостью π2. Направления вращения показаны на рисунке 1.4.2 стрелками. Развернутое в одну плоскость чертежа изображение трех плоскостей проекций (рисунок 1.4.3) вместе с построенными на них проекциями А1, А2, А3 называют комплексным чертежом точки А. Т.к. ось у разворачивалась вместе с двумя плоскостями проекций, то на комплексном чертеже имеет два положения: вертикальное положение (вниз от точки О) и горизонтальное положение (вправо от точки О). Прямая, соединяющая две проекции одной точки на комплексном чертеже, называется линией проекционной связи. Из рисунка 1.4.3 можно сделать следующие выводы: z a) Горизонтальная А1 и фронтальная А2 π2 π3 проекции т. А всегда расположены на А2 A3 вертикальной линии связи; AZ b) Фронтальная А2 и профильная А3 проекции т. х АХ О АY y А всегда расположены на одной горизонтальной линии связи; c) Горизонтальная А1 и профильная А3 проекции т. А размещаются на линиях связи, которые А1 АY А0 пересекаются на биссектрисе угла, π1 у К образуемого обеими осями у. Эта биссектриса получила название Рисунок 1.4.3 постоянной прямой чертежа и обозначается буквой К, а линия связи А1А0А3 – называется горизонтально-вертикальной линией связи. Для точки А, лежащей в пространстве трехгранного угла, образуемого плоскостями π1, π2, π3 (рисунки 1.5, 1.6), с координатами XA, YA, ZA действительны следующие равенства: - расстояние от точки А до π1: АА1 = А2АX=А3AY= ZA. - расстояние от точки А до π2: АА2 = А1AX=А3AZ= YA. - расстояние от точки А до π3: АА3 = А2AZ=А1AY= XA. - расстояние от точки А до оси х: ААX = А3О. - расстояние от точки А до оси у: АAY = А2О. - расстояние от точки А до оси z: АAZ = А1О. - расстояние от точки А до начала координат (т.О) можно определить дважды применив теорему Пифагора (рис. 1.5): Из ∆АА3АZ : ААZ2 AA32 A3 AZ2 X A2 Y A2 Из ∆ААZО : АO 2 AAZ2 AZ O 2 X A2 YA2 Z A2 AO X A2 YA2 Z A2 . 1.5 Положения точки относительно плоскостей проекций. Принципиально возможны четыре положения точки относительно системы плоскостей проекций. В первом случае положение точки А (x,y,z) в пространстве задают тремя координатами, отличными от нуля. Все три проекции точки отдалены от осей и от плоскостей проекций (рисунок 1.5). Во втором случае точка может лежать в одной из плоскостей проекций, например в π2: т. В (x,0,z) на рисунке 1.5. В этом случае фронтальная проекция В2 совпадает с самой точкой В (В2 ≡ В), горизонтальная проекция В1 лежит на оси х, а профильная В3 – на оси z. 8 В третьем случае точка может лежать на одной из осей проекций, например на y : т. С (0,y,0) на рисунке 1.5. В этом случае расстояние от точки до π1 и π3, в которых она належит, равняются нулю, то есть точку задают лишь одной координатой у. Две проекции такой точки совпадают с самой точкой, а третья лежит в начале осей – в точке О. Рисунок 1.5 В четвертом возможном случае положение точки D совпадает с началом координат, тогда т. D совпадает со всеми тремя своими проекциями и т. О – началом координат: D≡D1≡D2≡D3≡O. 1.6 Нахождение третьей проекции точки по двум известным. В черчении часто приходится строить третью проекцию фигуры по двум известным. Чтобы выполнить это, следует научиться строить третью проекцию точки, как элемента любой фигуры, если известные две ее проекции. Это можно сделать тремя способами. Первый способ – проекционный (рисунок 1.6.1). Из известной фронтальной проекции А2, точки А, проводят горизонтальную линию связи. Из известной горизонтальной проекции А1 опускают перпендикуляр на вертикальную ось ОY, получают точку АY и с помощью циркуля или из условия равнобедренного прямоугольного треугольника находят на горизонтальной оси OY Рисунок 1.6.1 положение точки АY. Из этой АY проводят вертикальную линию связи до пересечению с горизонтальной линией связи, проведенной из А2. Точка пересечения А3 и есть профильная проекция т. А. Второй способ – координатный (рисунок 1.6.2). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние от проекции А1 до оси ОХ, т.е. координату у, и откладывают отрезок на горизонтальной линии связи по правую сторону от точки АZ. На конце отрезка получают профильную проекцию А3. 9 Третий способ – способ с использованием постоянной прямой чертежа (рисунок 1.6.3). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 проводят горизонтальную линию до пересечения в точке АО с постоянной прямой чертежа К, т.е. с биссектрисой угла YOY. Из точки АО проводят вертикальную линию до пересечения в т. А3 с горизонтальной линией связи, проведенной из фронтальной проекции А2. Из всех рассмотренных способов координатный способ имеет наименьшую погрешность, т.к. требует наименьшего количества линий построения. Рисунок 1.6.2 Выводы Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучают с помощью изображений их графических моделей на плоскости рисунка. Основой начертательной геометрии является метод проекций, дающий возможность получать отображение пространственных фигур на плоскости или поверхности. Проекция – это изображения предмета на плоскости или поверхности, полученное путем прохождения проецирующих лучей через предмет до пересечения с заданной плоскостью (плоскостью проекций) или поверхностью. Проекции делятся на центральные и параллельные. Рисунок 1.6.3 Параллельные проекции делятся на прямоугольные и косоугольные. Наиболее распространенной системой, которая применяется в машиностроении, в архитектуре и строительстве, является система прямоугольных проекций. Совокупностью двух или трех прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярные плоскости можно определить форму и положение в пространстве объектов проецирования. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Что изучает начертательная геометрия? Какой метод лежит в основе начертательной геометрии? В чем состоит суть центрального и параллельного проецирования? Какой вид проецирования применяется в черчении и почему? Каким образом называются и обозначаются три основные плоскости проекций? Что такое комплексный чертеж точки и как его получают? Какими способами можно построить третью проекцию точки по двум известным? Задачи для самостоятельной работы 1. 2. Построить комплексный чертеж двух точек, расположенных на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций π2 и π3. Запишите их координаты. Построить на комплексном чертеже три проекции точек: А(40,60,10); В(0,18,50); С(60,0,30); D(0,30,0). Построить наглядное изображение этих точек. 10 2. ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО И ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. План: 2.1 Задание и изображение прямой на комплексном чертеже. 2.2 Следы прямой. 2.3 Частные положения прямой. 2.4 Натуральная величина (н.в.) отрезка прямой общего положения. 2.5 Взаимное положение двух прямых. 2.6 Метод конкурирующих точек. 2.1 Задание и изображение прямой на комплексном чертеже. Прямую в пространстве можно задать двумя ее точками (рисунок 2.1.1), или одной точкой и углами наклона прямой к плоскостям проекций. (здесь и далее прямые могут изображаться как конечные отрезки этих прямых) Рисунок 2.1.1 Обозначаться прямая может либо двумя латинскими буквами (точками концов отрезка прямой, как на рисунке 2.1.1), либо одной малой латинской буквой (Рисунок 2.1.2). Рисунок 2.1.2 2.2 Следы прямой. Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. В соответствии с этим, прямая может иметь горизонтальный (Н), фронтальный (F), профильный (P) следы. Для примера рассмотрим порядок нахождения фронтального следа F прямой АВ на чертеже (Рисунок 2.2). 11 Рисунок 2.2 1. 2. Горизонтальная проекция A1B1 продлевается до пересечения с осью ОХ; в точке пересечения находим горизонтальную проекцию фронтального следа F1. Из F1 проводим вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией A2B2, также продленной соответствующим образом. Точка пересечения является фронтальным следом прямой, совпадающим со своей фронтальной проекцией F ≡ F2. 2.3 Частные положения прямой. Все прямые, по положению относительно плоскостей проекций, занимают общее или одно из частных положений. Прямая имеет общее положение (например, как на рисунках 2.1 и 2.2), если ее проекции не параллельны и не перпендикулярны оси Х, т.е. сама прямая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Прямые параллельные одной плоскости проекций (прямые уровня). Горизонтальная прямая – параллельна горизонтальной плоскости проекций π1 (рисунок 2.3.1). Её фронтальная проекция параллельна оси ОХ, а горизонтальная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона горизонтальной проекции к оси ОХ равен углу наклона самой прямой к π2. (На чертеже: н.в. – натуральная величина фигуры) Рисунок 2.3.1 – Горизонтальная прямая 12 Фронтальной прямой называется прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций π2 (рисунок 2.3.2). Её горизонтальная проекция параллельна оси ОХ, а фронтальная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона фронтальной проекции к оси ОХ равен углу наклона самой прямой к π1. Рисунок 2.3.2 – Фронтальная прямая Профильная прямая – прямая параллельная профильной плоскости проекций π3 (рисунок 2.3.3). Горизонтальная и фронтальная проекции такой прямой перпендикулярны к оси ОХ, а профильная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона профильной проекции к оси ОY равен углу наклона самой прямой к π1, а угол наклона профильной проекции к оси ОZ равен углу наклона прямой к π2. Рисунок 2.3.3 – Профильная прямая Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций (проецирующие прямые). Характерным признаком чертежа таких прямых будет наличие одной проекции в виде точки, а две другие проекции будут отражать натуральную величину прямой, поскольку они будут параллельны самой прямой. Горизонтально - проецирующая прямая – прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 2.3.4). Её горизонтальная проекция – точка, фронтальная и профильная проекции – прямые, перпендикулярные осям ОХ и ОY соответственно, и отображают натуральную величину прямой. 13 Рисунок 2.3.4 – Горизонтально – проецирующая прямая. Фронтально – проецирующая прямая – прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рисунок 2.3.5). Её фронтальная проекция – точка, горизонтальная и профильная проекции – прямые, перпендикулярные осям ОХ и ОZ соответственно, и отображают натуральную величину прямой. Рисунок 2.3.5 – Фронтально – проецирующая прямая. Профильно – проецирующая прямая – прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций (рисунок 2.3.6). Её профильная проекция – точка, фронтальная и горизонтальная проекции параллельны оси ОХ и отображают натуральную величину самой прямой. Рисунок 2.3.6 – Профильно-проецирующая прямая. 14 2.4 Натуральная величина (н.в.) отрезка прямой общего положения Выявление натуральной величины отрезка прямой осуществляется построением прямоугольного треугольника на одной из ее проекций (метод треугольника). Проекция отрезка прямой – это один катет треугольника. Второй катет, перпендикулярный первому, равняется алгебраической разности координат конечных точек отрезка, измеренной относительно плоскости проекций, на которой строят треугольник. Гипотенуза треугольника – натуральная величина отрезка прямой линии. Пусть дан отрезок АВ в 2х проекциях (Рисунок 2.4). Найдем его натуральную величину на горизонтальной проекции. Рисунок 2.4 – Определение н.в. отрезка АВ методом треугольника. 1. Измеряем по оси ОZ разницу в координатах концов фронтальной проекции А2В2 – ΔZАВ. 2. Перпендикулярно горизонтальной проекции А1В1 от одного из её концов (например В1) откладывается отрезок равный по величине ΔZАВ, на его конце получаем т. В*. 3. Соединяем конец отложенного отрезка В* со вторым концом горизонтальной проекции А1 и получаем В*А1 – натуральную величину отрезка АВ (на рисунке н.в. АВ). 4. Угол между н.в. АВ - В*А1 и горизонтальной проекцией А1В1 является углом наклона АВ к π1. Аналогичные построения можно провести на фронтальной и профильной проекциях отрезка АВ, измерив ΔYАВ и ΔXАВ, соответственно, и отложив отрезки равные измеренным величинам перпендикулярно названным проекциям отрезка от одного из их концов, и соединив концы отложенных отрезков со вторыми концами проекций. 2.5 Взаимное положение двух прямых Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек. На чертежах у параллельных прямых одноименные проекции параллельны (рисунок 2.5 а ). Пересекающимися называются прямые, которые имеют общую точку пересечения. На чертеже одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются (рисунок 2.5 б ). Проекции точки пересечения (т. А) лежат на одной линией связи. 15 Рисунок 2.5 Прямые на чертеже: а ) параллельные; б ) пересекающиеся; в ) скрещивающиеся. Скрещивающимися называют прямые, которые не параллельны между собой и не пересекаются, т.е. они не могут лежать в одной плоскости. На чертежах одноименные проекции таких прямых могут пересекаться (рисунок 2.5 в ), но точка пересечения одноименных проекций этих прямых – это, в действительности, две точки разных прямых, расположенных на одной линии связи. Такие точки, у которых совпадают одноименные проекции на какуюлибо плоскость, называются конкурирующими. 2.6 Определение видимости фигур методом конкурирующих точек. Определение видимости геометрических фигур относительно друг друга осуществляется методом конкурирующих точек. На фронтальной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π1 имеют наибольшую координату y, т.е. наиболее удалены от оси х. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π2 (рисунок 2.6 а ) Рисунок 2.6 – Определение видимости фигур. На горизонтальной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π2 имеют наибольшую координату z, т.е. наиболее удалены от оси х. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π1 (рис. 2.6 б ) 16 На профильной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π1 и π2 имеют наибольшую координату х, т.е. наиболее удалены от вертикальных осей. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π3 (рис. 2.6 в ) Выводы Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций, то одна проекция параллельная соответствующей оси проекций. Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекция прямой на эту плоскость – точка, две другие проекции перпендикулярны соответствующей оси проекций и отображают натуральную величину прямой. Если прямая занимает общее положение, то ни одна из ее проекций не параллельна и не перпендикулярна какой-либо оси проекций. В пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Параллельные и пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций? Какие линии уровня Вы знаете? Какая особенность чертежа линий уровня? В чем особенность чертежа проецирующих прямых? Может ли проекция отрезка быть большей, или равной по величине самому отрезку? Если да, то в каких случаях? Как могут быть расположены прямые относительно друг друга? Что такое конкурирующие точки? Как с их помощью определить видимость фигур? Задачи для самостоятельной работы: 1. Построить комплексный чертеж прямой, все точки которой отдалены от фронтальной плоскости проекций на 25 мм. Прямая составляет угол 15° с горизонтальной плоскостью проекций. 2. Построить комплексный чертеж прямых АВ и CD, определить их взаимное положение в пространстве. А(5,15,45); В(45,25,10); С(50,0,10); D(45,10,30). 3. ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ. План 3.1 Способы задания плоскости на чертеже. 3.2 Плоскости общего и частного положения. 3.3 Прямая и точка в плоскости. 3.4 Главные линии плоскости. 3.5 Построение проецирующей плоскости через прямую линию. 3.6 Параллельность прямой и плоскости. 3.7 Пересечение прямой общего положения с плоскостью 17 частного положения. Определение видимости прямой. 3.8 Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Определение видимости прямой. 3.9 Взаимное положение двух плоскостей в пространстве. 3.10 Пересечение плоскостей общего положения. 3.11 Перпендикуляр к плоскости. 3.1 Способы задания плоскости на чертеже. Плоскостью называется поверхность, которая образуется при движении прямой линии параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой. Плоскость может быть задана: 1) тремя точками, которые не лежат на одной прямой (рисунок 3.1 а ); 2) прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой (рисунок 3.1 б ); 3) двумя параллельными прямыми (рисунок 3.1 в ); 4) двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.1 г ); 5) любой плоской фигурой (рисунок 3.1 д ). 6) Следами плоскости (рисунок 3.1 е ) Рисунок 3.1 18 Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Таким образом плоскость Σ (рисунок 3.1 е ) может иметь фронтальный Σ2 , горизонтальный Σ1 , профильный Σ3 следы. Точки Σ12, Σ23, Σ13 – точки пересечения следов на осях x, y, z. 3.2 Плоскости общего и частного положения. Плоскость, расположенная под непрямыми углами к трем плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1). Все три следа этой плоскости будут наклонены к осям проекций под непрямыми углами (рис. 3.1 е ). Относительно плоскостей проекций плоскость также может занимать одно из частных положений – быть проецирующей плоскостью, которая проецируется в минимальную величину, т.е. в прямую, на перпендикулярную ей плоскость проекций π1, или π2, или π3 (рисунок 3.2.1). Рисунок 3.2.1 – Проецирующие плоскости. Частные положения положение плоскости относительно π1, π2, π3: - плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций: а) γ π1, - горизонтально – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 а ), следы γ2 и γ3 перпендикулярны осям x і y соответственно, а γ1 размещен под непрямым углом к оси x и вертикальной оси y; рядом горизонтально- проецирующая плоскость задана плоской фигурой – треугольником АВС; 19 б) β π2, - фронтально – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 б ), следы β1 и β3 перпендикулярны осям x і z соответственно, а β2 размещен под непрямым углом к осям x и z; рядом фронтально- проецирующая плоскость задана плоской фигурой – треугольником АВС; в) λ π3, - профильно – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 в ), следы λ1 и λ2 перпендикулярны осям y і z соответственно, а λ3 размещен под непрямым углом к оси z и горизонтальной оси y; рядом профильно- проецирующая плоскость задана плоской фигурой – треугольником АВС; - плоскость перпендикулярная двум плоскостям проекций и параллельная третьей, на которую проецируется в натуральную величину: а) γ ║ π1 ( π2, π3) – горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня (рисунок 3.2.2 а ); б) β ║ π2 ( π1, π3) – фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня (рисунок 3.2.2 б ); в) λ ║ π3 ( π1, π2) – профильная плоскость или плоскость профильного уровня (рисунок 3.2.2 в ). Рисунок 3.2.2 – Плоскости уровня 3.3 Прямая и точка в плоскости К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: – построение прямой, лежащей в плоскости; – построение в плоскости некоторой точки; – построение отсутствующей проекции точки; – проверка принадлежности точки плоскости. Из курса геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если (рисунок 3.3.1): – она проходит через две точки, которые лежат в плоскости: через точки 1 и А прямая 1А, в проекциях 11А1, 12А2; 20 – она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости (прямая a проходит через т.В плоскости АВС параллельно АС: в проекциях a1║А1С1 и a 2║А2С2 на рис. 3.3.1). Рисунок 3.3.1 Для построения в плоскости АВС некоторой точки K (рисунок 3.3.2), в ней проводят вспомогательную прямую 1А и на ней отмечают точку K, проекции которой лежат на одной линии связи. Если точка K (снова рисунок 3.3.2) задана только одной проекцией, например, фронтальной K2, то горизонтальную проекцию K1, которой не хватает, находят следующим образом. Через заданную проекцию K2 проводят проекцию 12А2 вспомогательной прямой 1А, строят горизонтальную проекцию 11А1 и на ней находят искомую проекцию K1 точки K. Рисунок 3.3.2 Для проверки точки L на принадлежность плоскости АВС (рисунок 3.3.3) пытаются через L провести вспомогательную прямую 1А, которая принадлежала бы плоскости АВС. Для этого через одну из проекций точки L (например, L2) проводят проекцию 12А2 прямой 1А. Затем находят горизонтальную проекцию этой прямой 11А1. Если бы горизонтальная проекция L1 лежала бы на 11А1, то точка L принадлежала бы АВС, но в данном случае L АВС. Рисунок 3.3.3 3.4 Главные линии плоскости К прямым, занимающим частное положение в плоскости, относят горизонталь, фронталь, профильную прямую и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называют главными линиями плоскости. Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная π1. На рисунке 3.4 плоскость задана двумя параллельными прямыми a и b. Горизонталь 12 – лежит в этой плоскости, т.к. плоскости принадлежат две её точки 1 и 2. Фронтальная проекция горизонтали 12 параллельна оси х (h2║х), а горизонтальная 21 проекция горизонтали отражает её н.в. (h1=н.в.h ). На чертежах горизонталь обозначается буквой h (в проекциях h1 и h2). Рисунок 3.4 Фронталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная π2. На рисунке 3.4.1 прямая 12 лежит в плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (плоскость a b); на чертежах фронталь обозначается буквой f, её горизонтальная проекция параллельна оси х (f1║х), а фронтальная проекция фронтали отражает её н.в. (f2 = н.в. f ). Рисунок 3.4.1 Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций выделим линию наибольшего наклона к π1. Эту линию называют линией ската. На чертеже линия ската – прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонталям и горизонтальному следу. На рисунке 3.4.2 в плоскости АВС построена горизонталь h, а перпендикулярно её горизонтальной проекции h1 из В1 построена горизонтальная проекции линии ската (л.с.), лежащая также в АВС. По линиям связей из точек пересечения построена фронтальная проекция линии ската. Рисунок 3.4.2 3.5 Построение проецирующей плоскости через прямую линию Через прямую общего положения можно провести любую из проецирующих плоскостей (рисунок 3.5). 22 Рисунок 3.5 Так для того, чтобы поместить прямую в (рисунке 3.5 а ) во фронтально-проецирующую плоскость Σ необходимо построить фронтальной след этой плоскости Σ2 - через в2 (рисунок 3.5б). Горизонтальный след Σ1 будет перпендикулярен оси х, как у любой фронтальнопроецирующей плоскости. Для того, чтобы поместить прямую в в горизонтально-проецирующую плоскость τ (рисунок 3.5 в ), необходимо построить горизонтальный след τ1, совпадающий с в1 , фронтальный след τ2 будет размещен перпендикулярно оси х, как у любой горизонтальнопроецирующей плоскости. Через прямую общего положения нельзя провести плоскость уровня: ни фронтальную, ни горизонтальную, ни профильную. Такие плоскости можно проводить только через соответствующие прямые частного положения. 3.6 Параллельность прямой и плоскости Прямая может лежать в плоскости (раздел. 3.3), быть ей параллельной и пересекаться с плоскостью. Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельная этой плоскости. Например, прямая в (рисунок 3.6) параллельна прямой 12, т.к параллельны одноименные проекции этих прямых: в1 II 1121 и в2 II 1222. При этом 12 лежит в плоскости АВС , т.е в II АВС. Для того, чтобы проверить, параллельна прямая плоскости или нет, нужно попытаться провести в этой плоскости прямую параллельную заданной. Если такую прямую построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны, а пересекаются. Рисунок 3.6 3.7 Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения. Определение видимости прямой. 23 Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций (проецирующая плоскость), проецируется на последнюю в виде прямой линии, на которой должна находиться проекция точки, в которой какая-либо прямая пересекает такую (проецирующую) плоскость. Например, на рисунке 3.7а прямая в пересекает в точке 1 фронтально-проецирующую плоскость АВС. Точка 1 находится по фронтальной проекции 12, в которой в2 А2В2С2, а 11 находится на в1 по линии связи. Видимость проекции в1 определяется методом конкурирующих точек (раздел 2.5). На рисунке 3.7б прямая в пересекает в точке 2 плоскость горизонтального уровня Σ. Точка 2 находится по фронтальной проекции 22, в которой в2 Σ2, а 21 находится на в1 по линии связи. Видимость проекции в1 определяется методом конкурирующих точек (раздел 2.5). Рисунок 3.7 На рисунке 3.7в дан пример пересечения прямой в с горизонтально-проецирующей плоскостью τ в т. 3. Точка 3 находится по горизонтальной проекции 31, в которой в1 τ1, а 32 находится на в2 по линии связи. Видимость проекции в2 определяется методом конкурирующих точек (раздел 2.5). 3.8 Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Определение видимости прямой. Для построения точки пересечения прямой n с плоскостью общего положения АВС необходимо выполнить приведенные далее построения (рисунок 3.8). 1. Через данную прямую n проводится вспомогательная плоскость β. 2. Находится линия пересечения плоскостей АВС и β – прямая 12. 3. Определяется положение точки К, как места пересечения прямой 12 с заданной прямой n. Поскольку обе прямые 24 лежат в одной плоскости β, то они пересекаются в т. К, а поскольку 12 вместе с т. К лежит еще и в плоскости АВС, то n пересекает АВС в т. К. Рисунок 3.8.1 На эпюре (рисунок 3.8.2 а ) показано построение точки пересечения прямой n с плоскостью, заданной треугольником АВС. Прямая n заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость β. Т.к. β проецируется в свой след β2, то на β2 проецируются точки пересечения β с АВ и АС в виде точек пересечения фронтального следа β2 с А2В2 и А2С2 - точек 12 и 22. По линиям связи на А1В1 находим 11, а на А1С1 находим 21, тем самым определяем горизонтальную проекцию 12 – линии пересечения β и АВС. Рисунок 3.8.2 Поскольку прямые 12 и n лежат в одной плоскости β, то они пересекаются в точке К, которая определяется по К1 – месту где n1 1121. Поскольку 12 вместе с т. К лежит еще и в плоскости АВС, то n АВС в т. К. По линии связи определим К2 , как лежащую на n2 (рисунок 3.8.2 б ). Видимость прямой n относительно АВС на π1 и π2 определяется методом конкурирующих точек. Для примера определим на фронтальной плоскости проекций видимость прямой n относительно АВС методом конкурирующих точек (рисунок 3.8.3). Проекции А2В2 и n2 скрещиваются в точке 12 З2. На горизонтальной плоскости проекций 11 находится ближе к оси х чем 31, лежащая на n1 ,т.е. по координате у т. 3 более удалена от π2 чем т. 1, т.е. в точке скрещивания 12 З2 видима проекция З2, лежащая на n2. (З2 закрывает для наблюдателя 12) Т.е. 25 в точке скрещивания – А2В2 невидима, а n2 – видима. На участке 32К2 – проекция n2 относительно А2В2С2 видима. После пересечения с А2В2С2 в К2 проекция n2 на участке 22К2 – невидима относительно А2В2С2. Видимость прямой n относительно АВС на горизонтальной плоскости проекций определяется аналогично с помощью конкурирующих точек 4 и 5 : 41 51. Рисунок 3.8.3 3.9 Взаимное положение двух плоскостей в пространстве. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться между собою. Если плоскости параллельны, то в любой из них можно построить по две прямых линии, которые пересекались бы между собою так, чтобы прямые одной плоскости были, соответственно, параллельны двум прямым другой плоскости (рисунок 3.9 а ). Если плоскости частного положения однотипны, например фронтально-проецирующие (рисунок 3.9 б ), то условие их параллельности – параллельность проекций в минимальную величину – фронтальных. Если хотя бы одна пара одноименных следов различных плоскостей пересекается, то такие плоскости пересекаются между собою по прямой (рисунок 3.9 в ). Рисунок 3.9 3.10 Пересечение плоскостей общего положения. Если принять, что одна плоскость задана двумя прямыми, пересекающими другую плоскость, то задачу на построение линии пересечения двух плоскостей можно решить подобно известной задаче на пересечение плоскости с прямой (раздел 3.8). Только решить эту зада надо дважды, отыскав точки пересечения прямых одной плоскости с другой плоскостью и соединив одноименные проекции этих точек, тем самым, получив проекции линии пересечения заданных плоскостей. На рисунке 3.10 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Задача сведена к определению точек пересечения прямых EF и DF (сторон треугольника DEF) с плоскостью АВС. Определив эти точки – K и N – по методике 26 раздела 3.8 и соединив их одноименные проекции, получим обе проекции линии пересечения KN плоскостей АВС и DEF. Порядок построений. 1. Прямые EF и DF заключаются во фронтально-проецирующие плоскости λ и τ, заданные фронтальными следами λ2 и τ2 (рисунок 3.10 а ). 2. Находятся фронтальные проекции точек пересечения плоскостей λ и τ с прямыми АВ и АС: точки 12, 32, 22, 42 в местах пересечения λ2 и τ2 с А2В2 и А2С2. По линиям связи определяются горизонтальные проекции 11, 31, 21, 41 на А1В1 и А1С1. 3. 1121 – горизонтальная проекция линии пересечения λ с АВС. Прямые 12 и EF лежат в одной плоскости λ, т.е. они пересекаются в т. К (К1), а поскольку 12 (вместе с К) АВС, то К – точка пересечения EF с АВС. 4. 31 41 – горизонтальная проекция линии пересечения τ с АВС. Прямые 34 и DF лежат в одной плоскости τ, т.е. они пересекаются в т. N (N1), а поскольку 34 (вместе с N) АВС, то N – точка пересечения DF с АВС. 5. (по рисунку 3.10 б ) Найдем К2 и N2 на E2F2 и D2F2 соответственно. Соединив KN в проекциях, получим искомую линию пересечения. Определим видимость фигур. Рисунок 3.10 3.11 Перпендикуляр к плоскости. Из курса геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. 27 Такими двумя прямыми могут быть следы плоскости τ (рисунок 3.11.1). Тогда проекции прямой в, исходящей из т. А и перпендикулярной плоскости τ, строят перпендикулярно к одноименным следам этой плоскости (в1 τ1, в2 τ2). Используется теорема: прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из сторон угла параллельна плоскости проекций. (Стороной угла, параллельной плоскости проекций, может быть горизонталь, фронталь или след плоскости. Например, τ1║π1 (т.к. τ1 π1), приняв угол скрещивания прямых в и τ1 прямым получим проекцию на π1 этого угла в виде в1 τ1.). Рисунок 3.11.1 Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, плоской фигурой, то проекции прямой, перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали данной плоскости. Например, если на плоскость, заданную треугольником АВС (рисунок 3.11.2), необходимо опустить из точки D перпендикуляр, то сначала в плоскости АВС проводят горизонталь h и фронталь f. После этого из проекции D2 проводят перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали f2, а из проекции D1 проводят перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали h1. Прямая, проведенная из точки D, является перпендикуляром к плоскости АВС. Рисунок 3.11.2 Выводы. При изучении темы «Плоскость. Задание плоскости в пространстве…» мы познакомились с новыми терминами – след плоскости, главные линии плоскости, выучили разные способы изображения плоскости на чертеже. Для успешного обучения необходимо хорошо уяснить порядок нахождения точки пересечения прямой и плоскости, выучить алгоритм построения линии пересечения двух плоскостей. Вопросы для самопроверки. 1. 2. 3. 4. 5. Что называется следом плоскости? Дайте определения всем проецирующим плоскостям. Какие отличительные особенности плоскостей частного положения? Что называется горизонталью и фронталью плоскости? Каким образом можно задать плоскость на комплексном чертеже? Задачи для самостоятельной работы. 1. Найдите расстояние от точки D (35;15;25) к плоскости АВС; А (80;25;35), В (55;10;60), С(40;45;45). 28 2. Найдите точку пересечения прямой MN с плоскостью общего положения АВС, а также видимость прямой на плоскостях проекций π1 и π2, М(25;5;20), N (60;55;50), А (65;25;25), В (40;7;50), С (15;50;40). 4. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ План 4.1 Проекции углов между двумя прямыми. 4.2 Проекции расстояний между двумя прямыми. 4.1 Проекции углов между двумя прямыми. При нахождении углов между двумя пересекающимися (рис. 4.1.1) или скрещивающимися (рис. 4.1.2) прямыми следует знать, что эти углы спроецируется на плоскость проекций в н.в., если прямые параллельны данной плоскости проекций. Рисунок 4.1.1 Рисунок 4.1.2 Исключение составляет прямой угол, который спроецируется в натуральную величину, если, как минимум, одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций (рис. 4.1.3) – согласно теореме о проецировании прямого угла (раздел 3.11). Прямые ОА и h пересекаются под прямым углом, при этом h║π1, т.е. h проецируется на π1 в н.в. Тогда прямой угол, образуемый прямыми ОА и h, проецируется на π1 в н.в. Рисунок 4.1.3 Определим расстояние от т. А до горизонтальной прямой (рисунок 4.1.4). 29 h Из проекции А1 опустим перпендикуляр на горизонтальную проекцию h1 (н.в. h), который пересечет h1 в К1. Согласно теореме о проецировании прямого угла (раздел 3.11) угол между прямыми АК и h – прямой (900), значит АК h. По линии связи на h2 построим проекцию К2 и соединим ее с проекцией А2 . Расстояние от т. А до прямой h – это н.в. АК, которую определим по методу треугольника (раздел 2.4). Измерим разность ZА – ZК и отложим перпендикулярно А1К1 от А1 отрезок, равный ZА – ZК. Соединив конец отложенного отрезка с К1 получим н.в. АК. Рисунок 4.1.4 4.2 Проекции расстояний между двумя прямыми При нахождении расстояний между параллельными прямыми следует знать, что искомые расстояния спроецируются в н.в. в следующих случаях: а) если прямые перпендикулярны одной из плоскостей проекций (рисунок 4.2.1); б) если прямые расположены в плоскости, параллельной плоскости проекций, т.е. прямые занимают фронтальное или горизонтальное положение (рисунок 4.2.2). Рисунок 4.2.1 Рисунок 4.2.2 При нахождении расстояний между скрещивающимися прямыми следует знать, что искомые расстояния спроецируются в н.в. в следующих случаях: а) если одна из прямых перпендикулярна одной из плоскостей проекций (рисунок 4.2.3); б) если одноименные проекции прямых параллельны между собой (рисунок 4.2.4). 30 Рисунок 4.2.3 Рисунок 4.2.4 Вопрос для самопроверки В каких случаях проецируются в натуральную величину: а) угол между двумя прямыми; б) расстояния между двумя параллельными и скрещивающимися прямыми? 5. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА План 5.1 Цель преобразования чертежа 5.2 Метод замены плоскостей проекций 5.3 Метод плоско-параллельного перемещения. 5.4. Вращение вокруг линии уровня 5.5 Вращение вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций 5.1 Цель преобразования чертежа Решение многих задач в начертательной геометрии значительно упрощается, если геометрические объекты занимают частное положение, т.е. проецируются в натуральную (или в минимальную) величину. Цель преобразований чертежа – достичь того, чтобы прямая или плоскость общего положения стала параллельной (или перпендикулярной) плоскости проекций, т.е. проецировалась в натуральную (или в минимальную) величину. К методам преобразования комплексного чертежа относят следующие: - метод замены плоскостей проекций; - метод плоско-параллельного перемещения; - методы вращения вокруг линии уровня и вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций. 5.2 Метод замены плоскостей проекций Этот метод заключается в том, что положение геометрических объектов в пространстве остается неизменным, а систему плоскостей проекций дополняют новой плоскостью проекций, параллельной или перпендикулярной заданной прямой или плоскости и обязательно перпендикулярной π1 или π2. На новую плоскость проекций заданная прямая или плоскость будет проецироваться в натуральную или минимальную величину, а после разворота новой плоскости проекций в общую плоскость чертежа эту величину можно измерить. 31 На рис. 5.2.1 показано, как введена новая плоскость проекций π4 (π4 π1), которая по оси х14 пересекает π1. Расстояние от точки А до А1 (координата ZА) сохраняется и у А4 – проекции т. А на π4, следовательно А4А14=А2А12=АА1= ZА; после совмещения плоскости π4 с π1 по оси х14 проекция А1 и новая проекция А4 лежат на одной линии связи, перпендикулярной к новой оси проекции х14. Рисунок 5.2.1 Способом замены плоскостей проекций найдем натуральную величину отрезка прямой общего положения (рис 5.2.2). Для определения натуральной величины отрезка АВ вводим новую плоскость проекций π4 так, чтобы π4 была перпендикулярна π1. При этом π4 должна быть параллельной АВ, т.е. А1В1 должна быть параллельной оси х14 – линии пересечения π4 и π1. Развернув π4 в плоскость чертежа, получим проекцию А4В4, равную н.в. АВ. Чтобы построить проекцию прямой АВ на π4 необходимо из А1 и В1 провести перпендикулярно х14 линии связи в плоскость π4 и отложить в π4 от оси х14 расстояния, равные координатам Z точек А и В. На концах отложенных отрезков получим А4 и В4. Проекция А4В4 является искомой проекцией прямой АВ в натуральную величину. Рисунок 5.2.2 Определим расстояние между параллельными прямыми (рисунок 5.2.3). двумя Для решения этой задачи необходимо выполнить замену плоскостей проекций дважды, поскольку прямые занимают общее положение относительно плоскостей проекций. Сначала вводим π4 (π4 π1 и π4║а║в, т.е х14║а1║в1) и определяем натуральную 32 величину прямых а и в, как а4 и в4. Далее вводим π5 (π4 π5, а также π5 а и π5 в, т.е. х45 а4 и х45 в4) и получаем проекции а5 и в5 в минимальную величину – каждая прямая проецируется на π5 в точку, т.к. она перпендикулярна π5. Чтобы построить проекции прямой а5 и в5 на π5 необходимо из а4 и в4 провести перпендикулярно х45 линии связи в плоскость π5 и отложить в π5 от оси х45 расстояния, равные расстояниям от а1 и в1 до х14. На концах отложенных отрезков получим а5 и в5. Откладываемые равные расстояния на рисунке отмечены одинаковыми засечками. Искомым расстоянием между параллельными прямыми а и в в данном случае является расстояние между проекциями а5 и в5. Рисунок 5.2.3 Определим натуральную величину двугранного угла при ребре АВ (рисунок 5.2.4). Известно, что двугранный угол спроецируется в натуральную величину, если его проекция будет в виде плоского угла, при этом ребро, при котором он образован, должно быть спроецировано в точку. Решение задачи начнем с анализа положения ребра АВ относительно плоскостей проекций. Ребро АВ является отрезком фронтальной прямой, т.е. на π2 АВ спроецировано в натуральную величину (АВ = А2В2). Следовательно, для решения задачи достаточно выполнить один раз замену плоскостей проекций, чтобы получить проекцию АВ в минимальную величину. Вводим плоскость π4, при условии π4 π2 и π4 АВ, т.е х24 А2В2. Откладываем в π4 от х24 расстояния, равные координатам Y точек А, В, С, D. Они где измеряются от А1, В1, С1, D1 по линиям связей до Х12 и отмечены засечками в π1 и π4. В π4 получаем плоский угол с вершиной А4 ≡ В4, который определяет натуральную величину двугранного угла. Рисунок 5.2.4 Построим н.в. треугольника АВС методом замены плоскостей проекций (рисунок 5.2.5). Для решения этой задачи необходимо преобразовать систему плоскостей проекций таким образом, чтобы треугольник АВС оказался параллельным одной из плоскостей проекций. В нашем случае все стороны занимают общее положение, следовательно, ни одна из сторон не спроецирована в натуральную величину. Поэтому, необходимо построить в треугольнике АВС прямую частного положения – горизонталь h (можно фронталь). Вводим плоскость π4 (π4 π1 и π4 h, т.е х14 h1) и получаем проекцию прямой h в точку А4, а плоскости АВС в прямую А4В4С4. Вторая замена: вводим плоскость π5 перпендикулярно π4 и параллельно АВС, т.е х45║ А4В4С4. На плоскость π5 треугольник АВС проецируется 33 без искажения (А5В5С5), в н.в. Рисунок 5.2.5 5.3 Метод плоско-параллельного перемещения. Этот метод заключается в том, что заданную прямую или плоскость общего положения перемещают таким образом, чтобы привести её в частное положение, параллельное или перпендикулярное какой-либо плоскости проекций. Для этого одну из проекций заданной прямой или плоскости перемещают в плоскости чертежа до положения параллельного иди перпендикулярного оси (х). Определим натуральную величину отрезка АВ способом плоско-параллельного перемещения (рисунок 5.3.1). Переместим в π2 фронтальную проекцию А2В2 в I I новое положение А ;2В ;2 , параллельное оси х. при этом прямая АВ займет частное положение, параллельное π1, I I т.е спроецируется на π1 в н.в (проекция А ;1В ;1). I параллельное оси х, а на π2 Рисунок 5.3.1 I Проекции А ;1 и В ;1 найдем на пересечении горизонтальных линий связи из А1 и В1 с вертикальными I I линиями связи из А ;1 и В ;1, соответственно. Аналогичным образом можно было бы переместить в π1 горизонтальную проекцию А1В1 в положение, получить проекцию АВ в н.в. Определим натуральную величину треугольника АВС способом плоско-параллельного перемещения (рисунок 5.3.2). Рисунок 5.3.2 В нашем случае все стороны занимают общее положение, следовательно, нужно построить горизонталь или фронталь и относительно этой прямой осуществлять перемещение треугольника АВС. Построим горизонталь 1А в проекциях А212 и А111. Первое перемещение проекции А1В1С1 производим в π1 таким образом, чтобы треугольник АВС занял проецирующее положение по отношению к π2, т.е чтобы 1А спроецировалась на π2 в точку а весь треугольник – 34 в прямую (т.е. в перемещенной проекции A|1B|1C|1 горизонталь А|11|1 оси х). Второе I I I перемещение – осуществим в π2: расположим А ;2В ;2С ;2 параллельно оси х плоскости π1 в новое положение A||2B||2C||2. При этом АВС будет параллелен π1 и полученная проекция A||1B||1C||1 является натуральной величиной треугольника АВС. 5.4. Вращение вокруг линии уровня Линиями уровня называют горизонталь и фронталь. Чтобы придать заданной геометрической фигуре (плоскости) частное положение (на этом принципе основано решение задач любым способом преобразования чертежа), ее вращают вокруг горизонтали или фронтали до тех пор, пока данная фигура не расположится параллельно плоскости проекции, спроецировавшись в н.в. (рисунок 5.4.1). Рисунок 5.4.1 В качестве примера рассмотрим плоскость, заданную пересекающимися перпендикулярными прямыми АО h, которая вращением вокруг горизонтали h приведена в положение параллельное π1. Если радиус вращения ОА займет положение, параллельное плоскости π1, то новая горизонтальная проекция проекция О1А|1 будет равна н. в. ОА. Значит на комплексном чертеже (правая часть рисунка 5.4.1) достаточно любым способом найти н.в. ОА (напр. методом треугольника), отложить её как О1А|1 перпендикулярно h1 (по теореме о проецировании прямого угла), и плоскость АО h будет параллельна π1. Для нахождения новых проекций любой точки, лежащей в плоскости АО h, можно использовать вспомогательную прямую, на которой лежали бы: искомая точка и точки пересечения вспомогательной прямой с АО и h. Рис. 5.4.1 иллюстрирует общий принцип построения при решении задач методом вращения вокруг линии уровня. Определим угол между двумя пересекающимися прямыми m и n (рисунок 5.4.2). Для решения задачи строим фронталь 12, вокруг которой будем вращать прямые m и n до положения, при котором угол между m и n, т.е. вся плоскость m n спроецируется в н.в. на π2. Согласно теореме о 35 Рисунок 5.4.2 проецировании прямого угла из проекции точки пересечения прямых А2 строим перпендикуляр к проекции прямой 1222 и на их пересечении получим О2. При вращении плоскости m n вокруг 12 проекция точки А2 будет описывать дугу, радиус которой r = ОА, после вращения, должен спроецироваться в н.в. Определим значение радиуса вращения r (н.в. ОА) методом прямоугольного треугольника. Для этого перпендикулярно О2А2 из А2 строим отрезок А2А* равный разнице YА – YО, измеренной на π1 (отмечен засечкой). Соединив О2 с концом отложенного отрезка А*, получим r = н.в.ОА – радиуса вращения. В π2 перпендикулярно 1222 из О2 строим отрезок О2А/2 длиной r. (вокруг прямой 1222 осуществили вращение до положения параллельного π2) и получкем н. в. угла между m и n, а также плоскости, которую эти прямые определяют. 5.5 Вращение вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций 1-у проекцию фигуры вращают вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций, чтобы 2ая спроецировалась в н.в. Найдем н.в. АВ (рисунок 5.5). Развернем вращением вокруг прямой а (а π2, т. В а) отрезок АВ до положения параллельного π1. Для этого в π2 проекцию А2В2 разворачиваем I относительно В2 в новое положение А ;2В2, параллельное оси х. При этом АВ займет частное положение, параллельное π1, т.е спроецируется на π1 I I в н.в (проекция А ;1В1). Положение А ;1 найдем на пересечении горизонтальной лини связи из А1 с I вертикальной линией связи из А ;2. Аналогичным образом можно было бы развернуть в π1 горизонтальную проекцию А1В1 в положение, ║-ое Рисунок 5.5 оси х, а на π2 получить проекцию АВ в н.в. Выводы: Метод замены плоскостей проекций реализуется путем введения новой плоскости проекций относительно неподвижной прямой или плоскости общего положения, которая спроецируется на новую плоскость проекций в натуральную или в минимальную величину в зависимости от того параллельна или перпендикулярна данная прямая или плоскость новой плоскости проекций. Метод плоско-параллельного перемещения заключается в перемещении и повороте одной из проекций прямой или плоскости общего положения до положения параллельного (или перпендикулярного) оси х, чтобы другая проекция этой прямой или плоскости стала проецироваться в натуральную (или минимальную) величину. Метод вращения вокруг линии уровня предусматривает неподвижность плоскостей проекций, а заданная плоскость должна оборачиваться вокруг своей линии уровня до положения параллельного плоскости проекций, которое соответствует проекции радиуса вращения в натуральную величину на данную плоскость проекций. Все методы обязательно требуют для плоскостей введения линий уровня: фронтали или горизонтали. Определить натуральную величину плоскости общего положения можно, применив метод замены плоскостей проекций или метод плоско-параллельного перемещения дважды; для определения н.в. отрезка достаточно одного раза. Вопросы для самопроверки 1. 2. 3. 4. 5. Для чего нужны методы преобразования комплексного чертежа? Какие способы преобразования чертежа рассмотрены в разделе? В чем заключается различие между способами преобразования чертежа? Какое положение в системе плоскостей проекций занимает дополнительная плоскость? Какое количество плоскостей нужно ввести, чтобы определить натуральную величину треугольника, занимающего общее положение? 36 6. В чем заключается метод плоско-параллельного перемещения? 7. В чем заключается метод вращения вокруг линии уровня? 8. Какие задачи можно решать, используя рассмотренные методы? Задачи для самостоятельной работы. 1. Определить н.в. плоскости АВС, - А (80;25;35), В (55;10;60), С(40;45;45) методами: а) замены плоскостей проекций; б) плоско-параллельного перемещения; в) вращения вокруг линии уровня. 2. Найдите н.в. двугранного угла, образуемого плоскостями АВС и АВD: А (65;25;25), В (40;7;50), С (15;50;40), D (25;5;20). 6. МНОГОГРАННИКИ План 6.1 Основные понятия. Точки на поверхности многогранников. 6.2 Пересечение многогранников прямыми. 6.3 Сечения многогранников плоскостями. 6.4 Пересечение многогранников. 6.5 Построение разверток поверхностей многогранников. 6.1 Основные понятия. Точки на поверхности многогранников. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого со всех сторон образована пересекающимися плоскими многоугольниками Главные элементы поверхности многогранника: - грани – плоскости, образующие поверхность многогранника; - ребра – линии пересечения сопредельных граней; - вершины – точки пересечения ребер. Многогранники бывают выпуклые и вогнутые. Выпуклым называется многогранник, вся поверхность которого расположенная по одну сторону от любой его грани. Правильным многогранником называют такой выпуклый многогранник, у которого все грани – одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы при вершинах равны (тетраэдр, гексаэдр - куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр). Построение комплексных чертежей многогранников сводится к построению проекций их геометрических элементов: граней, ребер, вершин, то есть проекций плоских фигур, отрезков прямых и точек, правила изображение которых были изучены ранее. Наиболее распространены в инженерной практике: призмы и пирамиды. Призма – многогранник, две грани которого одинаковые многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях (основания призмы), а другие грани – параллелограммы (боковые грани). Наиболее распространенные виды призм: 1. прямоугольный параллелепипед (включая куб) - боковые грани являются одинаковыми прямоугольниками, перпендикулярными прямоугольным основаниям; 2. прямая призма - боковые грани и ребра перпендикулярны основаниям (рисунок 6.1.1, а); 3. наклонная призма – боковые грани образуют с основаниями непрямые углы (рис. 6.1.1, б, в). 37 Рисунок 6.1.1 Пусть т. В (рисунок 6.1.1 а ), лежащая на передней боковой грани призмы, задана одной проекцией В2. Т.к. названная грань является горизонтально-проецирующей плоскостью, то на π1 она проецируется в прямую, на которой по линии связи определяем В1. Пусть т. А, лежащая на верхнем основании призмы, задана одной проекцией А1. Т.к. названная грань является фронтально-проецирующей плоскостью, то на π2 она проецируется в прямую, на которой по линии связи определяем А2. Пусть т. С (рисунок 6.1.1 б ) задана одной проекцией С2 и лежит на наиболее удаленной от π2 боковой грани наклонной призмы. Т.к. названная грань является плоскостью общего положения, то для нахождения С1 проводим в этой грани через известную проекцию т.С вспомогательную прямую 12, на горизонтальной проекции которой находим С1. Т.е. сначала проводим во фронтальной проекции грани 1222 через С2, после по линиям связи находим точки 11 и 21, далее на 1121 по линии связи находим С1. Пусть т. С (рисунок 6.1.1 в ) задана одной проекцией С2 и лежит на наиболее удаленной от π2 боковой грани наклонной призмы. Т.к. названная грань является плоскостью общего положения, то для нахождения С1 заключаем т. С во вспомогательную секущую плоскость горизонтального уровня, которую зададим фронтальным следом τ2. Плоскость τ пересечет ребра призмы в точках 1, 2, 3, фронтальные проекции которых 12, 22, 32 – точки пересечения τ2 с фронтальными проекциями ребер призмы. По линиям связи на соответствующих горизонтальных проекциях ребер найдем 11, 21, 31. Треугольник 123 является контуром сечения призмы плоскостью τ, образующие контур сечения прямые 12, 23, 13 – лежат в боковых гранях призмы, т. С лежит на контуре сечения (прямой 12) в заданной грани. На проекции 1 121, лежащей на наиболее удаленной от π2 горизонтальной проекции боковой грани находим по линии связи С1. Т.о., проекции точек на поверхности многогранника находят с помощью: - линий связи, если грань, на которой расположена искомая точка, является проецирующей плоскостью (рисунок 6.1.1 а ); - вспомогательных прямых (рисунок 6.1.1 б ) или вспомогательных секущих плоскостей (рисунок 6.1.1 в ), если грань, на которой расположена искомая точка, является плоскостью общего положения. Пирамида – многогранник, одна грань которого произвольный многоугольник (основание пирамиды), а другие грани – треугольники (боковые грани), которые имеют общую вершину. Пирамиды бывают прямые (рисунок 6.1.2 а, в) и наклонные (рисунок 6.1.2 б ). У прямой пирамиды вершина, в которой пересекаются боковые грани, проецируется в центр тяжести основания, лежащего в плоскости проекций. 38 Рисунок 6.1.2 На рисунке 6.1.2 а показано нахождение неизвестной проекции точки по одной известной проекции и заданному местоположению точки. Для точки А задана проекция А 1 и местоположение на ребре основания пирамиды. Т.к. основание пирамиды на π2 проецируется в прямую, то на этой прямой по линии связи находят А2. Для т. В задана В2 и местоположение на боковом ребре, на горизонтальной проекции которого по линии связи находят В1. Пусть т. С (рисунок 6.1.2 б ) задана одной проекцией, например, С2 и лежит на наиболее удаленной от π2 боковой грани наклонной пирамиды. Для нахождения С 1 проводим в этой грани через известную проекцию т. С вспомогательную прямую 1S, на горизонтальной проекции которой находим С1. Т.е. сначала проводим во фронтальной проекции грани 12S2 через С2, после по линиям связи находим точки 11 и S1, далее на 11S1 по линии связи находим С1 . Пусть т. С (рисунок 6.1.2 в ) задана одной проекцией С2 и лежит на ребре (может лежать на боковой поверхности) пирамиды. Для нахождения С1 заключаем т. С во вспомогательную секущую плоскость горизонтального уровня, которую зададим фронтальным следом τ2. Плоскость τ пересечет ребро пирамиды в точке 1, фронтальная проекция которой 1 2 – точка пересечения τ2 с фронтальной проекцией данного ребра пирамиды. По линии связи на соответствующей горизонтальной проекции ребра найдем 11, из которой параллельно линиям основания пирамиды на π1 построим контур сечения пирамиды плоскостью τ. Искомая проекция С1 лежит на контуре сечения в заданной грани поверхности пирамиды. Находим С1 на пересечении линии связи из С2 с контуром сечения в заданной грани. 6.2 Пересечение многогранников прямыми. 39 Задача сводится к построению точек пересечения прямой в с плоскостями – гранями пирамиды (рисунок 6.2 а – исходный). Порядок построений: 1. Заключаем прямую в (рисунок 6.2 б ) во фронтально-проецирующую плоскость σ (след σ2), которая пересекает ребра пирамиды в точках 1, 2, 3 (проекции 12, 22, 32). 2. По линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях ребер пирамиды находим горизонтальные проекции 11, 21, 31 и соединяем их в горизонтальную проекцию контура сечения пирамиды плоскостью σ. 3. Т.к. прямая в и контур сечения лежат в одной плоскости σ, то они пересекаются: А1, В1 – проекции точек пересечения. Т.к. контур сечения лежит на поверхности пирамиды, то А1, В1 – проекции искомых точек пересечения прямой в с поверхностью пирамиды. 4. По линиям связи на в2 находим А2 и В2. Определяем видимость в относительно пирамиды в проекциях. Рисунок 6.2 6.3 Сечения многогранников плоскостями. Важнейшей практической задачей является нахождение натуральной величины сечения многогранника плоскостью. На комплексном чертеже пирамиды (рисунок 6.3.1), основанием которой является правильный шестиугольник, пирамиду пересекает фронтально-проецирующая плоскость σ (задана следом σ2). 40 Рисунок 6.3.1 Сначала находим фронтальные проекции точек 1…6, в которых σ (σ2) пересекает ребра пирамиды. Далее по линиям связей находим горизонтальные и профильные проекции точек 1…6 на горизонтальных и профильных проекциях ребер пирамиды. Следующий шаг – соединение одноименных проекций точек 1…6 на всех трех плоскостях проекций и получение соответствующих проекций линии контура сечения пирамиды плоскостью σ. Для нахождения н.в. сечения использованы изученные ранее метод замены плоскостей проекций (π 4 совпадает с σ, т.е. х24 совпадает с σ2) и метод плоско-параллельного переноса (фронтальная проекция сечения плоско-параллельным перемещением расположена параллельно оси х). 41 Рассмотрим случай, когда многогранник пересекается плоскостью общего положения. На рисунке 6.3.2 прямая трехгранная призма пересекается плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми (горизонталью h и фронталью f). Поскольку ребра боковой поверхности призмы – горизонтальнопроецирующие прямые, то горизонтальные проекции точек их пересечения с плоскостью (А1, В1, С1) совпадут с одноименными проекциями самих ребер (ребра проецируются в точки, в которые также проецируются точки пересечения этих ребер с плоскостью). Нахождение фронтальных проекций точек пересечения осуществляется с помощью вспомогательных прямых 12 и 34, проведенных в плоскости f h. Т.е на π1 проводим 1121 через А1 и 3141 через В1, С1 в проекции плоскости f1 h1. Далее по линиям связи на f2 h2 находим 12, 22, 32, 42. Далее на 1222 по линии связи находим А2, а на 3242 по линиям связи находим В2 и С2. В итоге АВС – контур сечения призмы плоскостью f h. Рисунок 6.3.2 6.4 Пересечение многогранников. Линия пересечения многогранников – замкнутая пространственная ломаная линия. Ее построение сводится к нахождению точек, в которых ребра одного многогранника пересекают грани второго и ребра второго грани первого. Т.о. многократно решается задача на пересечение прямой с плоскостью (разделы 3.7, 3.8), после чего найденные точки соединяются в линию пересечения многогранников с учетом видимости её участков относительно поверхности пересекающихся фигур. На рис. 6.4 пересекаются прямая призма и пирамида АВСD. Боковые грани призмы – горизонтально-проецирующие плоскости, которые на π1 проецируются в прямые. Поэтому горизонтальные проекции точек пересечения ребер пирамиды с гранями призмы находятся на пересечениях их горизонтальных проекций: 11, 21, 31, 41, 51, 71. По линиям связи на фронтальных проекциях ребер пирамиды находятся Рисунок 6.4 42 фронтальные проекции этих точек. Участки ребер пирамиды между точками их пересечения с гранями призмы (между 1 и 7, 3 и 4, 5 и 2) удаляют с чертежа, т.к в теле одного многогранника ребра другого всегда отсутствуют. Для нахождения точек пересечения (6 и 8) ребра призмы с гранями СВD и АВD пирамиды сначала определим их горизонтальные проекции: 61 и 81 совпадают с проекцией ребра призмы, т.к. оно проецируется на π1 в точку. Для нахождения вторых проекций на π1 через 61 в грани СВD (в проекции С1В1D1) проведем вспомогательную прямую DY (D1Y1), по линиям связи найдем D2Y2, на которой также по линии связи определим 62. Аналогичным образом на π1 через 81 в грани АВD (в проекции А1В1D1) проведем вспомогательную прямую DХ (D1Х1), по линиям связи найдем D2Х2, на которой также по линии связи определим 82. Участок ребра призмы между 62 и 82 удаляют с чертежа, т.к в теле одного многогранника ребра другого всегда отсутствуют. На π2 найденные точки соединяются в линии пересечения многогранников 122232 и 4252627282 с учетом видимости их участков относительно поверхности пересекающихся фигур. На π1 линии пересечения совпадают с контуром призмы. Некоторые ребра многогранников целиком или частично будут невидимы относительно поверхности фигур, что можно определить методом конкурирующих точек. 6.5 Построение разверток поверхностей многогранников. Развертка поверхности многогранника – это плоская фигура, образованная последовательным совмещением всех его граней с одной плоскостью. Чтобы построить развертку поверхности призмы необходимо определить н.в. (периметр) нормального сечения и н.в. ребер боковой поверхности (способ нормального сечения). Простейший случай - развертка прямой призмы (рисунок 6.5.1 а). Рисунок 6.5.1 Ребра основания АВС являются горизонтальными прямыми и, следовательно, на π1 они спроецированы в натуральную величину. Боковые ребра призмы занимают горизонтальнопроецирующее положение и на π2 они также спроецированы в натуральную величину. Нижнее основание АВС проецируется на π1 в н.в. и перпендикулярно боковой поверхности, т.е. может быть принято как н.в. нормального сечения. Строим (рисунок 6.5.1 б) горизонтальную прямую, на которой последовательно откладываем ребра основания (разворачиваем нормальное сечение в линию), начав и закончив с точки А0 (нижний индекс «0» будем и деле применять для разверток). Из каждой точки развернутого основания (А0, В0, С0, А0) строим 43 перпендикулярно развернутому основанию отрезки, равные высоте соответствующих ребер. Вершины соединяем ломаной линией. Для построения н.в. обоих оснований удобнее использовать метод засечек: из смежных вершин оснований радиусами, равными ребрам оснований, проводятся дуговые засечки до их пересечения… В случае построения развертки наклонной призмы (рисунок 6.5.2 а) для получения н.в. нормального сечения проведем перпендикулярно ребрам боковой поверхности секущую плоскость Δ, которая пересечет ребра боковой поверхности в точках 1, 2, 3. Н.в. контура нормального сечения 123 найдем методом плоско-параллельного переноса, развернув фронтальную проекцию 122232 в положение параллельное оси х – 12!22!32!. При этом плоскость 123 займет положение параллельное π1, куда будет проецироваться в н.в. как 11!21!31!. При построении развертки периметр н.в. нормального сечения 11!21!31! разворачивается в горизонтальный отрезок с точками 10, 20, 30, 10 (рисунок 6.5.2 б). Перпендикулярно этому отрезку из точек 10, 20, 30, 10 вверх и вниз строят отрезки, равные соответствующим отрезкам боковых ребер призмы, отмеченным на комплексном чертеже и на развертке одинаковыми засечками. Основания призмы параллельны π1, куда проецируется в н.в. Достроить их на развертке можно методом дуговых засечек. Рисунок 6.5.2 Для построения развертки пирамиды необходимо иметь н.в. всех ребер (способ треугольников). На Рисунке 6.5.3 выполнен пример построения развертки боковой поверхности пирамиды. Основание пирамиды АВС, является горизонтальной плоскостью, поэтому его проекция на π 1 дана в натуральную величину. Перед построением развертки определяем н.в. всех ребер боковой поверхности методом вращения (на рисунке 6.5.3 а для примера определена только н.в. SB без указания оси вращения). Построение развертки (рисунок 6.5.3 б) начинаем с построения произвольного луча, на котором откладываем н.в. бокового ребра, например S0A0. Далее проведем из точки А0 радиусом равным н.в. АВ (измерим по А1В1) дугу до пересечения с дугой, проведенной радиусом равным н.в. SB из точки S0. На пересечении получим В0 и н.в. 44 грани АВS. Аналогично, зная н.в. всех ребер, методом дуговых засечек строим все ребра и грани, включая основание АВС. Боковая поверхность начинается и заканчивается ребром S0A0. Рисунок 6.5.3 Вопросы для самопроверки 1. Из каких геометрических элементов складывается поверхность любого многогранника? 2. Какие основные виды многогранников вам известны? 3. Как построить неизвестную проекцию точки, лежащей на поверхности многогранника и заданной одной проекцией? 4. Какие многогранники называются правильными? Сколько граней имеет каждый из пяти видов правильных многогранников? Задачи для самостоятельной работы 1. Построить фронтальную и горизонтальную проекции наклонной четырехгранной пирамиды с квадратным основанием 30*30 мм и высотой 55 мм. Передняя и задняя грани призмы горизонтально-проецирующие плоскости, параллельные π2, левая и правая грани – фронтально-проецирующие плоскости. Наклон призмы к π1 равняется 60°. 2. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой четырехгранной пирамиды с цилиндрическим отверстием. Основание пирамиды – квадрат 40*40 мм, нижнее основание лежит в π1, две стороны которого параллельные оси проекций. Высота пирамиды 60 мм. Отверстие Ø20 мм, ось которого π2 и пересекает ось пирамиды на высоте 15 мм. 45 7. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ План 7.1 Основные понятия. Точки на кривых поверхностях. 7.2 Пересечение поверхностей вращения плоскостью. 7.3 Пересечение поверхностей вращения прямой линией. 7.1 Основные понятия. Точки на кривых поверхностях. Кривая поверхность – это непрерывное множество последовательных положений линии, движущейся в пространстве. Линию, которая в каждом своем положении образует поверхность, называют образующей. Линию, по которой передвигается образующая (траекторию движения), называют направляющей. Поверхности, у которых образующая – прямая линия, называют линейчатыми (прямолинейчатыми) - цилиндрические, конические, …, а у которых образующая – кривая линия, называют нелинейчатыми (криволинейчатыми) - сфера, тор, эллипсоид… Все кривые поверхности можно также классифицировать как развертываемые, – которые можно точно развернуть в плоскость (цилиндр, конус…), и неразвертываемые которые можно только приближенно развернуть в плоскость (сфера, тор …) В числе кривых поверхностей – линейчатых и нелинейчатых – существуют широко распространенные в инженерной практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, полученную вращением какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой оси. К ним относят цилиндр, конус, сферу, цилиндр, эллипсоид… Для задания кривой поверхности на чертеже достаточно иметь проекции направляющей линии и указать, как строится образующая, проходящая через любую точку направляющей. Боковая поверхность прямого цилиндра (рисунок 7.1.1 а ) является горизонтальнопроецирующей и проецируется на π1 в окружность вместе со всеми точками, лежащими на ней (точки В и С). Верхнее и нижнее основания цилиндра (круги) перпендикулярны π 2 и проецируются на π2 в отрезки прямых вместе со всеми точками на них лежащими (точка А). Рисунок 7.1.1 46 Основание конуса с вершиной S (рисунок 7.1.1 б ) лежит в π1 в виде окружности, все точки которой проецируются на π2 в горизонтальный отрезок (т.В). Все образующие конической поверхности проецируются на π1 на окружность, совпадающую с проекцией основания (т. А – лежит на контурной образующей). Нахождение неизвестной проекции т. В (рисунок 7.1.1 в ) производится с помощью вспомогательной прямой (образующей 1S) или с помощью вспомогательной секущей плоскости (λ), которая пересекает конус по окружности радиуса R параллельной основанию. Проекция В1 находится по линии связи, как лежащая на 11S1 или на горизонтальной проекции контура сечения - окружности радиуса R. Нахождение точек на поверхности сферы (центр сферы т. О) иллюстрирует рис. 7.1.2 а : по заданным проекциям 12, 22 и 31, 41 находят недостающие проекции данных точек, исходя из формы сферы. Так, заданной проекции 22, лежащей на окружности экватора поверхности сферы точки 2, соответствуют два возможных положения 21 в π1, где окружность экватора дана в н.в. Рисунок. 7.1.2 Нахождение неизвестной проекции точки, лежащей на поверхности сферы, по одной заданной проекции осуществляется с помощью вспомогательной секущей плоскости (рисунок 7.1.2 б, в ) в следующем порядке. 1. Через известную проекцию точки (11 на рис. 7.1.2 б и 12 на рис. 7.1.2 в ) задаем секущую плоскость η так, чтобы её проекция (η1 на рис. 7.1.2 б и η2 на рис. 7.1.2 в) была параллельна оси х. 2. Плоскость η пересечет сферу по окружности параллельной другой плоскости проекций (π2 на рис. 7.1.2 б и π1 на рис. 7.1.2 в), куда эта окружность (контур сечения) спроецируется в н.в. вместе со всеми точками, лежащими на ней, включая точку 1. На рисунках даны только дуговые участки этой окружности радиусом Rη, измеренным на тех проекциях, где задана плоскость η по линии проекции секущей плоскости η от вертикальной оси сферы до контурной образующей. 3. Для построения неизвестной проекции точки из известной проекции проводим линию связи до пересечения с дуговым участком контура сечения. 47 7.2 Пересечение поверхностей вращения плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к цилиндрической поверхности в сечении получают (рисунок 7.2.1): 1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра; 2. эллипс, если секущая плоскость не перпендикулярна оси цилиндра и пересекает все образующие; 3. две параллельные прямые, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра. Рисунок 7.2.1 В случае, когда определены две проекции сечения поверхности плоскостью для построения н.в. сечения используют методы преобразования комплексного чертежа. Так (рис. 7.2.2), секущая плоскость задана следом Σ2, т.е. контур сечения проецируется на π2 в отрезок 1252, а на π1 в окружность, в которую проецируется вся цилиндрическая поверхность. Взяв произвольные точки 1-5, методом плоско-параллельного перемещения определяем н.в. сечения. Проекция сечения на π3 получена по профильным проекциям точек контура сечения, которые определены координатным способом (раздел 1.6). Рисунок 7.2.2 В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к конической поверхности (рисунок 7.2.3) в сечении получают: 1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса; 2. эллипс, если секущая плоскость не перпендикулярна оси конуса и пересекает все образующие; 3. две пересекающиеся прямые, если секущая плоскость проходит через две образующие и вершину конуса; 4. параболу, если секущая плоскость параллельна образующей конуса; 5. гиперболу, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса и оси конической поверхности. Рисунок 7.2.3 48 При сечении сферических и конических поверхностей проецирующей плоскостью определена только одна проекция контура сечения, которая на плоскость проекций проецируется в отрезок. Например, на рисунке 7.2.4, фронтальная проекция сечения конуса плоскостью (заданной 2) проецируется в отрезок А2В2. Для нахождения горизонтальной проекции используются вспомогательные секущие плоскости (например β, с помощью которой найдены точки С и D) или вспомогательные образующие прямые (с помощью одной из которых найдены точки 1 и 2). Проекция β2 выбрана так, чтобы она делила А2В2 пополам в С2 и D2, проходя через центр и малую ось эллиптического сечения. Только после этого методом плоскопараллельного перемещения находится н.в. сечения. Рисунок 7.2.4 Контур сечения сферических поверхностей плоскостью – всегда окружность (рисунок. 7.2.5). В нашем случае, фронтальная проекция сечения (окружности) совпадает с секущей плоскостью Γ2, а горизонтальная проецируется в эллипс. Центр эллипса лежит на одной линии связи с серединой фронтальной проекции сечения: С2≡D2. Данный эллипс строится с помощью вспомогательных горизонтальных секущих плоскостей, каждая из которых пересекает сферу по окружности параллельной π1, и проецируется на π1 в н.в. Точки поверхности сферы, лежащие в пересечениях секущих плоскостей с Γ2, принадлежат этим окружностям. Значит горизонтальные проекции этих точек будут на пересечении контуров сечений (окружностей в н.в.) и линий связи из фронтальных проекций этих точек. Все эти точки принадлежат эллипсу. Часть эллипса выполнена пунктиром, поскольку находится в нижней, невидимой на π1 части сферы. Эта часть эллипса соответствует участку фронтальной проекции сечения от А2 до горизонтальной оси фронтальной проекции. 49 Рисунок. 7.2.5 7.3 Пересечение поверхностей вращения прямой линией. В общем случае построение точек пересечения прямой линии с поверхностью имеет следующий порядок построений: 1. Через прямую проводим вспомогательную секущую плоскость. 2. Строим контур сечения поверхности вспомогательной секущей плоскостью. 3. Определяем точки пересечения прямой с контуром сечения, которые и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью. В частном случае (рис. 7.3.1), если прямая пересекает проецирующую поверхность, точки пересечения определяют без каких-либо построений. Точки пересечения прямой m с горизонтальнопроецирующей боковой поверхностью цилиндра проецируются вместе с ней на π1 на окружность, где определяются их горизонтальные проекции M1 и N1 в местах пересечения окружности с m1. По линиям связи на m2 находим M2 и N2. Рассмотрим построение точек пересечения прямой l с наклонным цилиндром, основание которого лежит в π1 (рис. 7.3.2). Проведем через l секущую плоскость параллельно оси цилиндра так, чтобы она пересекала цилиндр по прямолинейным образующим. Зададим эту плоскость двумя пересекающимися прямыми: l и KE, Рисунок 7.3.1 проведенной через произвольную точку К прямой l параллельно образующей цилиндра до пересечения с π1 в точке Е≡Е1. Построим линию пересечения плоскости (l KE) с плоскостью основания цилиндра в π1. Для этого через точки D≡D1 (лежит на l в π1) и Е≡Е1 проведем в π1 прямую DE, пересекающую основание цилиндра в т. 1 и 2. Из 11 и 21 проведем по поверхности цилиндра в плоскости (l KE) проекции образующих - контур сечения цилиндра плоскостью (l KE). Эти проекции образующих при пересечении с l1 дадут проекции точек пересечения l Рисунок 7.3.2 50 с цилиндром: M1, N1. На рис. 7.3.3 выполнено построение точек пересечения прямой l общего положения с конусом, основание которого лежит в π1. Построение аналогично построению точек пересечения прямой с наклонным цилиндром. Введена вспомогательная плоскость (l KS), проходящая через заданную прямую l и вершину конуса S. Эта плоскость пересекает π1 по прямой DE, которая пересекает основание конуса в точках 1 и 2. Проведя через 1 и 2 образующие 1S и 2S в плоскости (l KS), найдем точки пересечения 1S и 2S с l, которые являются точками пересечения l с конусом (точки M и N). Рисунок. 7.3.3 Определим точки пересечения прямой АВ со сферой (рис. 7.3.4). Заключим прямую АВ в горизонтальнопроецирующую плоскость α (след α1), которая пересечет сферу по окружности радиусом Rα. Введя π4 ║ α построим в π4 н.в. сечения и прямой АВ (А4В4), лежащих в α. На пересечении проекции А4В4 с окружностью сечения, получим проекции искомых точек M4 и N4. По линиям связи из M4 и N4 (из π4 в π1) на А1В1 найдем M1 и N1. Далее на А2В2 определим M2 и N2. Вопросы для самопроверки. 1. Что называется поверхностью вращения? 2. Что такое образующая? 3. В чем различие между линейчатой и нелинейчатой поверхностями? 4. Какие поверхности относится к неразвертываемым, почему? 5. Какие кривые линии могут получатся в сечении прямого кругового конуса плоскостью? 6. Каковы общие принципы построения Рисунок 7.3.4 линии пересечения тел вращения с плоскостью? 7. Как построить развертку боковой поверхности цилиндра и конуса? 51 8. Каков общий порядок построения точек пересечения прямой с кривой поверхностью? 8. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ План 8.1 Линия пересечения поверхностей, общий порядок её построения. 8.2 Способ вспомогательных секущих плоскостей. 8.3 Способ вспомогательных секущих концентрических сфер. 8.1 Линия пересечения поверхностей, общий принцип её построения. Линией пересечения поверхностей называется линия, состоящая из всех общих точек пересекающихся поверхностей. Чтобы построить линию пересечения строят ряд точек, принадлежащих обеим поверхностям, и соединяют их плавной кривой. Для построения общих точек двух пересекающихся поверхностей используют вспомогательные секущие плоскости или сферы. Общий порядок построений. 1. Задаётся вспомогательная секущая плоскость или сфера, которая пересекает обе заданные поверхности по линиям (контурам сечений), имеющим в проекциях графически простую форму прямых и окружностей. Секущие плоскости или сферы проводят таким образом, чтобы контуры сечений пересекающихся поверхностей были параллельны или перпендикулярны плоскости проекций. 2. Отмечаются точки пересечения полученных контуров сечений, лежащих в одной секущей плоскости и принадлежащих обеим заданным поверхностям, т.е. искомой линии их пересечения. 3. Повторяются достаточное количество раз операции, изложенные в пунктах 1 и 2, после чего все отмеченные точки пересечения полученных контуров сечений последовательно соединяются в линию пересечения заданных поверхностей. 8.2 Способ вспомогательных секущих плоскостей Построим линию пересечения конуса со сквозным трехгранным отверстием (рисунок 8.2.1 а). Вспомогательные секущие плоскости проведем параллельно основанию конуса (рисунок 8.2.1 б). Секущие плоскости проводятся так, чтобы каждая из них пересекала обе поверхности. В этом случае контурами сечений конуса будут окружности, проецирующиеся на π1 в н.в., а контурами сечений трехгранного выреза будут прямые, также проецирующиеся на π1 в н.в. Первая плоскость α проведена через верхнее ребро трехгранного отверстия. Данное ребро и окружность радиусом R – это контуры сечений отверстия и конуса плоскостью α, лежащие в этой плоскости и проецирующиеся на π1 в н.в. В α в проекции на π1 эти ребро и окружность (контуры сечений) пересекаются в проекциях 11 и 21. По линиям связи найдем на α2 проекции 12 и 22. 1 и 2 – точки линии пересечения заданных поверхностей. Аналогичным образом с помощью еще двух секущих плоскостей находим другие точки и последовательно соединяем их плавными кривыми в одну линию пересечения. Рисунок 8.2.1 52 Рисунок 8.2.2 Построим линию пересечения кривых поверхностей: конуса и сферы (рисунок 8.2.2). Зададим на фронтальной проекции параллельно основанию конуса 5-7 вспомогательных секущих плоскостей (на рисунке даны только γ2 и β2) между А2 и В2, - проекциями граничных точек пересечения контуров обеих поверхностей. Каждая секущая плоскость пересекает конус и сферу по окружностям с радиусами, определяемыми на фронтальной проекции как расстояния от оси поверхности до её контурной образующей по линии следа секущей плоскости. Так секущая плоскость γ пересекает конус по окружности, радиус которой – расстояние от точки пересечения γ2 с осью конуса до точки пересечения γ2 с контурной образующей конуса; для сферы – это расстояние от точки пересечения γ2 с вертикальной осью сферы до точки пересечения γ2 с контурной криволинейной образующей сферы. Оба контура сечения – окружности, проецирующиеся на π1 в н.в.; центры их горизонтальных проекций совпадают с центрами горизонтальных проекций конуса и сферы соответственно. Окружности лежат в одной плоскости γ, т.е. они пересекутся в C1 и D1, по которым на γ2 найдем C2 и D2. Остальные необходимые точки линии пересечения находим с помощью других секущих плоскостей. Рассмотрим построение линии пересечения тора с цилиндром (рисунок 8.2.3). В качестве вспомогательных секущих плоскостей использованы фронтальные плоскости. Построение показано для плоскости α (задана α1). Плоскость пересекает тор по двум окружностям, радиусы которых АО и ОВ, а цилиндр – по образующим 1 и 2. На чертеже построены фронтальные проекции этих окружностей и образующих. Точки пересечения К2, L2, M2 и N2 являются фронтальными проекциями этих точек, принадлежащих линии пересечения. Их горизонтальные проекции совпадают с окружностью, в которую проецируется цилиндр на плоскость π1. 53 Рисунок 8.2.3 8.3 Способ вспомогательных секущих концентрических сфер Слово «концентрических» означает, что все секущие сферы имеют один центр. Этот способ применяется при построении линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Вспомогательная секущая сфера пересекает поверхность вращения по окружности в случае, когда ее центр лежит на оси этой поверхности вращения. На рисунке 8.3.1 оси поверхностей вращения (конуса и цилиндра) параллельны π2, и поэтому линии пересечения их с секущими сферами (окружности) проецируется на π2 в виде прямых. На π1 (на рисунке не показано) эти линии пересечения проецировались бы в н.в. - в виде окружностей. Центры секущих сфер лежат на осях заданных поверхностей вращения. Рисунок 8.3.1 В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса с наклонным цилиндром (рисунок 8.3.2). Оси конуса и цилиндра параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в проекции О2, которая принимается за центр вспомогательных секущих сфер. А2 и В2 – проекции точек пересечения контуров пересекающихся поверхностей, определяются без дополнительных построений. Радиус секущей сферы нужно выбирать в пределах от Rmin до Rmax . Rmax – радиус наибольшей сферы – расстояние от центра до наиболее удаленной точки пересечения контурных образующих заданных поверхностей (точка А2). Rmin – радиус наименьшей сферы, вписанной в одну поверхность вращения (коническую) и пересекающей другую (цилиндр). Рисунок 8.3.2 Наименьшая сфера вписана в коническую поверхность и определяет точку С линии пересечения конуса и цилиндра.. Коническую поверхность данная сфера пересекает по окружности, параллельной горизонту и проецирующейся в виде горизонтального отрезка 1222, а цилиндрическую поверхность эта сфера пересекает также по окружности, проецирующейся в виде 3242. Места пересечений этих отрезков (проекций окружностей) определяют проекции точек (т. С и конкурирующая с ней), принадлежащих линии пересечения заданных кривых поверхностей. Последующие точки линии пересечения (например: D, N и конкурирующие с ними) получают аналогично, с помощью других вспомогательных секущих сфер (обычно 5-7 сфер). 54 Характерной особенностью рассмотренного примера является то, что проекция линии пересечения построена на одной плоскости проекций. Если в обе пересекающиеся кривые поверхности может быть вписана сфера с центром в точке пересечения осей этих поверхностей, то последние пересекаются по двум плоским кривым. (Следствие из теоремы Монжа) На рисунке 8.3.3 в пересекающиеся конус и цилиндр вписана сфера с центром в точке пересечения их осей О2. Линии пересечения конуса и цилиндра плоские кривые – эллипсы, проецирующиеся в отрезки прямых А2В2 и С2D2. Рисунок 8.3.3 В ряде случаев может быть применен метод эксцентрических секущих сфер, отличающийся тем, что секущие сферы проводят из разных центров, лежащих на оси одной из пересекающихся поверхностей (но всегда так, чтобы сечения имели графически простую форму и точки пересечения сечений легко определялись, образуя линию пересечения заданных поверхностей). Вопросы для самопроверки. 1. Какие способы применяют для построения линии пересечения кривых поверхностей, кривых и многогранных поверхностей? 2. Каков общий порядок построения линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер или плоскостей? 3. На чем базируется способ вспомогательных секущих сфер? 4. Как определяются минимальный и максимальный радиус секущей сферы Задачи для самостоятельной работы. 3. 4. 5. Построить линию пересечения двух цилиндров с одинаковыми радиусами, оси которых параллельны π1 и пересекаются под углом 300. Построить линию пересечения двух цилиндров с радиусами 60 мм и 45 мм, оси которых параллельны π2 и пересекаются под углом 450. Построить линию пересечения двух цилиндров с радиусами 50 мм и 35 мм, оси которых параллельны π3 и пересекаются под углом 900. 55 9. РАЗВЕРТКИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ План 9.1 Цилиндрические поверхности. 9.2 Конические поверхности. Развертка кривой поверхности – это плоская фигура, образованная последовательным совмещением всех точек кривой поверхности с одной плоскостью. 9.1 Цилиндрические поверхности В качестве примера рассмотрим построение развертки боковой поверхности прямого кругового цилиндра, который пересечен фронтально-проецирующей плоскостью Σ (рисунок 9.1.1). Фигура, полученная в сечении – эллипс. Фронтальная проекция сечения (эллипса) совпадает с проекцией (следом) секущей плоскости Σ2, а горизонтальная – с окружностью, в которую проецируется цилиндр на π1. Строим развертку способом нормального сечения (необходимо иметь н.в. нормального сечения (периметр) и н.в. образующей цилиндра). Основание цилиндра, перпендикулярно его боковой поверхности, т. е. является нормальным сечением, а проекции образующих на π2 даны в н.в. Рисунок 9.1.1 Основание цилиндра делим в π1 на 12 равных частей, обозначив точки деления: 11, 21…121. Точки деления являются проекциями образующих цилиндра, проецирующихся на π2 в н.в. параллельно оси цилиндра. Фактически, необходимо цилиндрическую поверхность мысленно разрезать по образующей (точка 1) и развернуть её в плоскость чертежа. Чтобы сделать развертку окружности основания цилиндра с точками 1…12 в горизонтальный отрезок, следует определить длину этого отрезка по формуле: L=2πRОСН, где RОСН – радиус основания цилиндра; затем горизонтальный отрезок длиной L разбивают на 12 равных частей, начав и закончив с точки 10. Далее перпендикулярно построенному горизонтальному отрезку из точек 10…120 строим образующие цилиндра, на каждой из которых откладываем расстояния, измеренные от нижнего основания цилиндра до Σ2 по соответствующим образующим (измеряем 56 эти расстояния на π2). Концы отложенных на развертке расстояний соединяем плавной кривой с помощью лекала, в результате чего получаем линию сечения на развертке. Для более полного представления о построении линии сечения и развертки цилиндра рассмотрим сечение наклонного (косого) цилиндра (рисунок 9.1.2). Рисунок 9.1.2 Верхнее и нижнее основания цилиндра проецируются на π2 в отрезки прямых вместе со всеми точками на них лежащими, а на π1 в н.в., однако боковая поверхность цилиндра не занимает проецирующего положения. Все предварительные построения (деление основания цилиндра на 12 частей…, построение на чертеже из 12 точек образующих параллельных π2) проводим как в предыдущем случае. Построение развертки выполним способом нормального сечения, для чего зададим секущую плоскость Σ (Σ2) перпендикулярно образующим поверхности цилиндра. Контур сечения – окружность радиусом R, измеряемым на π2 по линии проекции сечения от оси до контурной образующей. Развернем окружность сечения в горизонтальный отрезок длиной 2πR. Разобьем горизонтальный отрезок на 12 равных частей, соответствующих образующим из точек 1…12 и построим эти образующие на развертке перпендикулярно горизонтальному отрезку. На образующих развертки вверх и вниз от горизонтального отрезка откладываем расстояния, измеренные на π2 по соответствующим образующим от Σ2 до верхнего (до точек 1…12) и нижнего оснований цилиндра. Верхние (точки 10…120) и нижние концы отложенных на образующих развертки расстояний соединяем плавными кривыми с помощью лекала. 57 9.2 Конические поверхности. Рассмотрим построение развертки боковой поверхности конуса (рисунок 9.2.1). Рисунок 9.2.1 В результате пересечения конуса плоскостью Δ (след Δ2) в сечении получается эллипс. Во фронтальной плоскости проекция эллипса совпадает с проекцией секущей плоскости Δ 2. Обозначим проекции точек пересечения секущей плоскости Δ (Δ2) с некоторыми образующими, а именно: точки А2, В2, расположенные на контурных образующих, и С2 ≡ D2, расположенные на образующих, занимающих положение профильных прямых. Построим развертку боковой поверхности конуса. Фактически, разрежем конус по контурной образующей (соответствует т. 1 основания конуса) и развернем в плоскость. Для этого радиусом, равным длине контурной образующей конуса (обозначим L), построим круговой сектор, длина дуги которого всегда равна длине окружности основания конуса 2πRОСН. Для нахождения угла α при вершине сектора развертки составим пропорцию: Угол сектора угол всей окружности 3600 R 3600 ОСН 3600 длина дуги сектора 2RОСН длина всей окружности 2L 2RОСН 2L L Далее дугу сектора разбивают образующими на 12 равных частей (точки 10…120), после чего эти же образующие строят на чертеже конуса в двух проекциях (их используют как вспомогательные прямые) и определяют точки их пересечения с контуром сечения , т.е. с Δ 2.: А, В, С, D… Проекцию в н. в. каждой из этих образующих (вместе с точками А, В, С, D…) получим, проецируя их на контурную образующую (соответствует 12 или 72), которая дана в н.в., как фронтальная прямая (при этом проекция D2 займет положение D2* ). Далее отметим на развертке точки А0, В0, С0, D0… на соответствующих комплексному чертежу и развертке образующих. Все эти точки соединим плавной кривой с помощью лекала. Рассмотрим построение развертки боковой поверхности наклонного конуса (рисунок 9.2.2). Развертка строится с помощью 12-и вспомогательных образующих прямых, которыми 58 равномерно охвачена поверхность конуса путем разбиения окружности основания на 12 равных частей (точки 1…12). Определение н.в. каждой образующей выполнено на π2 благодаря вращению её горизонтальной проекции в π1 до параллельности оси х. На н.в. образующих перенесены проекции точек, полученных в результате сечения образующих конуса с Δ 2 (А0,В0…). Рисунок 9.2.2 Дальнейшее построение (рисунок 9.2.3) аналогично предыдущему построению развертки прямого конуса. 59 Рисунок 9.2.3 Вопросы для самопроверки. 1. Каков порядок построения разверток цилиндрических поверхностей? 2. Каков порядок построения разверток конических поверхностей? 3. Сформулируйте, в чем заключается способ нормального сечения и для каких поверхностей он применим? 4. Как определяется угол сегмента для развертки конической поверхности? Задачи для самостоятельной работы. 1. Построить развертку прямого цилиндра с радиусом основания 20 мм и длиной образующей 45 мм, ось которого параллельна π1 , пересекает ось Z и наклонена к π2 под углом 300. 2. Построить развертку прямого конуса с радиусом основания 20 мм и длиной образующей 45 мм, ось которого параллельна π2 , пересекает ось Y и наклонена к π1 под углом 300. 60 Рекомендуемая литература. 1. Інженерна та комп’ютерна графіка: Підручник / В.Є Михайленко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.А. Скидан; За ред. В.Є. Михайленка. – 2-ге вид., перероб. – Вища шк., 2001. – 350с.: іл. 2. Інженерна графіка: Довідник / В.М. Богданов, А.П. Верхола, Б.Д. Коваленко та ін.; За ред. А.П. Верхоли. – К.: Техніка, 2001. – 268 с. 3. В. О. Гордон, М. А. Семенцов – Огиевский. Курс начертательной геометрии. Учеб. пособие /Под ред. Ю. Б. Иванова. – 23-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1988. – 272 с.: ил. 4. А.В. Бубенников. Начертательная геометрия. М., 1985 61
