02.Рабочая программа геометрия 10 класс

Пояснительная записка
Цель изучения данного курса – систематическое изучение свойств геометрических тел в
пространстве, развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов
вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие
логического мышления учащихся.
Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность
на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в основной школе. Высокий
уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость систематического
изложения соединяется с привлечением наглядности на всех этапах учебного процесса и
постоянным обращением к опыту учащихся. Умение изображать важнейшие геометрические
тела, вычислять их объёмы и площади поверхностей имеют большую практическую
значимость.
Углублённое изучение геометрии предполагает наличие у учащихся устойчивого интереса
к математике и намерение выбрать после окончания школы, связанную с ней профессию.
Обучение в 10-11 классах должно обеспечить подготовку к поступлению в ВУЗ и
продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей
достаточно высокой математической культуры
В основе разработанной рабочей программы лежат «Примерные программы по
математике», опубликованные в книге: «Сборник нормативных документов. Математика. /
Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Григорьев. – М.: Дрофа, 2007», которая реализуется в 10а классе на
базе учебника: «Геометрия: Учебник 10кл. профильное изучение / Е.В. Потоскуев, Л.И.
Звавич – М.: Дрофа, 2007, 2008.» Учебник рекомендован Министерством образования и
науки Российской Федерации.
При составлении рабочего тематического планирования было взято планирование из
статьи С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова «Примерное тематическое планирование уроков
геометрии в 10-11 классах с углублённым изучением математики, опубликованной в журнале
«Математика в школе» - № 5, 2006 год. А так же рекомендации по составлению
тематического планирования, взятые из книги «Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы:
Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики/ Л.И. Звавич, М.В.
Чинкина, Л.Я. Шляпочник. – М.: Дрофа, 20
Тематическое планирование составлено на 102 часа (3 часа в неделю).
1
Учебно-тематический план
Всего 102 часа. 3 ч/н.
Геометрия 10 класс.
номер
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
итого
Наименование разделов тем
Введение в стереометрию. Аксиомы
стереометрии.
Взаимное расположение прямых в
пространстве
Взаимное расположение прямой и
плоскости
Перпендикулярность прямой и
плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Параллельные плоскости
Угол между двумя плоскостями
Расстояние в пространстве
Векторы в пространстве
Координаты в пространстве
Повторение
Всего
часов
Уроки
6
Контроль
ные
работы
1
Самостояте
льные
работы
1
8
8
6
1
1
10
8
10
8
10
9
11
8
12
9
7
102
8
7
9
6
10
7
6
2
1
1
1
1
1
1
1
9
1
2
1
1
1
1
1
12
Содержание рабочей программы
Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии (8 часов).
Предмет стереометрии. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия
из аксиом. Выполнение простейших чертежей. Стереометрические фигуры: куб,
параллелепипед, призма, пирамида, сфера, шар. Построение сечений куба и тетраэдра.
Взаимное расположение прямых в пространстве (8 часов).
Пересекающиеся и параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Признаки скрещивающихся прямых. Параллельные прямые в пространстве. Угол между
лучами. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые. Угол между
прямыми в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости (10 часов).
Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Теорема
о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую
параллельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из
которых проходит через одну из параллельных прямых. О плоскости, проходящей через одну
из скрещивающихся прямых, параллельно другой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости (10 часов).
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о
длинах перпендикуляра, наклонных и проекций. Теорема о трех перпендикулярах. Теорема о
двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух
прямых перпендикулярных плоскости.
Угол между прямой и плоскостью (10 часов).
Определение угла между наклонной и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью.
Методы нахождения угла между наклонной и плоскостью. Параллельное и ортогональное
проектирование, их свойства.
2
Параллельные плоскости (9 часов).
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельность плоскостей.
Признаки параллельности двух плоскостей. Теоремы о параллельных плоскостях.
Транзитивность параллельности плоскостей в пространстве.
Угол между двумя плоскостями (11 часов).
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярные плоскости. Признак
перпендикулярности двух плоскостей. Теоремы о перпендикулярных плоскостях. Угол
между двумя плоскостями. Методы нахождения двугранных углов и углов между
плоскостями. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Площадь
ортогональной проекции многоугольника.
Расстояние в пространстве (8 часов).
Расстояние между двумя точками. Расстояние между точкой и фигурой. Расстояние между
точкой и прямой. Расстояние между точкой и плоскостью. Расстояние между двумя
фигурами. Расстояние между параллельными прямыми. Расстояние между прямой и
плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями. Расстояние между скрещивающимися
прямыми.
Векторы в пространстве (12 часов).
Вектор в пространстве. Коллинеарность двух векторов; компланарность трех векторов. Угол
между векторами. Линейные операции над векторами и их свойства. Разложение вектора по
двум неколлинеарным векторам, компланарным данному вектору. Векторный базис
пространства. Разложение вектора и его координаты в данном базисе. Скалярное
произведение векторов и его свойства.
Координаты в пространстве (9 часов).
Ортонормированный базис в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в
пространстве. Координаты вектора, действия над векторами в координатах. Координаты
точки. Формулы нахождения расстояния между двумя точками в координатах, нахождение
координат середины отрезка. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в
отрезках. Угол между двумя плоскостями в координатах. Формула расстояния от точки до
плоскости. Координатный метод в решении задач.
Повторение (7 часов).
Теория, практикум по решению задач по стереометрии и планиметрии.
Календарно-тематическое планирование по геометрии 10 класс (102 часа 3 ч/н.).
Федеральный компонент ФК (68 часов, 2 ч/н.) Компонент образовательного учреждения
КОУ (34 часа 1 ч/н.).
№
№
урока
1
1
2
3
4
2
3
4
5
5
ФК,
КОУ
Тема урока
Введение
в
стереометрию.
Аксиомы стереометрии.
Предмет стереометрия. Основные
понятия.
Пространственные
фигуры.
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Самостоятельная
работа
№1
(аксиомы стереометрии)
Следствия из аксиом. Способы
задания плоскости.
Количес
тво
часов
8
Дата
план
Дата
факт
3
6
7
8
9
6
7
8
1
10
2
11
3
12
4
13
5
14
6
15
7
16
8
17
1
18
2
19
3
20
4
21
5
22
6
23
7
Построение сечений куба
Построение сечений тетраэдра
Контрольная работа №1. Введение
в стереометрию.
Взаимное расположение прямых в
пространстве
Пересекающиеся, параллельные
прямые
в
пространстве.
Скрещивающиеся
прямые.
Признак
скрещивающихся
прямых.
Свойства параллельных прямых в
пространстве.
Теорема
о
транзитивности
параллельных
прямых
в
пространстве
(признак
параллельности прямых).
Самостоятельная
работа
№2
(Свойства параллельных прямых в
пространстве).
Направление
в
пространстве.
Теорема о равенстве двух углов с
сонаправленными сторонами.
Угол между скрещивающимися
прямыми.
Решение простейших задач на
построение в пространстве.
Контрольная работа №2. Взаимное
расположение
прямых
в
пространстве.
Взаимное расположение прямой и
плоскости
Параллельность
прямой
и
плоскости. Определение.
Признак параллельности прямой и
плоскости
Теорема о линии пересечения двух
плоскостей, одна из которых
проходит
через
прямую
параллельную другой плоскости.
Теорема о линии пересечения двух
плоскостей, каждая из которых
проходит
через
одну
из
параллельных прямых.
Самостоятельная
работа
№3
(теоремы
о
параллельности
прямой и плоскости).
Теорема о прямой параллельной
каждой из двух пересекающихся
плоскостей.
Решение
задач
признак
8
10
4
24
25
8
9
26
10
27
1
28
2
29
3
30
4
31
5
32
6
33
7
34
8
35
9
36
10
37
1
38
39
2
3
40
4
41
5
42
43
6
7
параллельности
прямой
и
плоскости.
Решение задач на доказательство.
Решение задач параллельность
прямой и плоскости.
Самостоятельная
работа
№4
(задачи на параллельность прямой
и плоскости)
Перпендикулярность прямой и
плоскости
Признак
перпендикулярности
прямой и плоскости. Построение
перпендикулярных
прямой
и
плоскости.
Теорема о двух параллельных
прямых,
одна
из
которых
перпендикулярна плоскости.
Теорема
о
двух
прямых,
перпендикулярных плоскости.
Решение
задач
признак
перпендикулярности прямой и
плоскости.
Самостоятельная
работа
№5
(перпендикулярность прямой и
плоскости)
Перпендикуляр и наклонная к
плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая и обратная.
Решение задач применение теорем
о трех перпендикулярах.
Решение задач применение теорем
о трех перпендикулярах.
Контрольная
работа
№3.
Перпендикулярность прямой и
плоскости.
Угол между прямой и плоскостью
Определение
угла
между
наклонной
и
плоскостью.
Величина угла между наклонной и
плоскостью.
Угол между прямой и плоскостью.
Методы нахождения угла между
прямой и плоскостью.
Решение задач нахождение угла
между прямой и плоскостью.
Самостоятельная работа №6 (угол
между прямой и плоскостью).
Параллельное проектирование
Свойства
параллельного
проектирования.
10
10
5
44
8
45
9
46
10
47
1
48
2
49
3
50
4
51
5
52
6
53
7
54
8
55
9
56
1
57
2
58
3
59
4
60
5
61
6
Ортогональное проектирование и
его свойства.
Решение задач параллельное и
ортогональное проектирование.
Самостоятельная
работа
№7
(параллельное проектирование).
Параллельные плоскости
Взаимное расположение двух
плоскостей
в
пространстве.
Параллельность плоскостей.
Признаки
параллельных
плоскостей.
Свойства
параллельных
плоскостей. Теорема о линиях
пересечения двух параллельных с
третьей плоскостью.
Теорема о прямой, пересекающей
одну из двух параллельных
плоскостей. Теорема о плоскости,
пересекающей одну из двух
параллельных плоскостей.
Самостоятельная
работа
№8
(признаки и некоторые свойства
параллельных плоскостей).
Теорема о проведении плоскости,
параллельной данной плоскости.
Теорема
о
транзитивности
параллельности плоскостей в
пространстве
Теорема
об
отрезках
параллельных прямых. Теорема о
прямой,
перпендикулярной
к
одной из двух параллельных
плоскостей.
Решение задач на свойства
параллельных плоскостей.
Контрольная
работа
№4
Параллельные плоскости.
Угол между двумя плоскостями.
Перпендикулярность плоскостей.
Двугранный угол. Линейный угол
двугранного угла.
Теорема
о
линейном
угле
двугранного угла.
Методы нахождения двугранных
углов и углов между плоскостями.
Признак перпендикулярности двух
плоскостей.
Самостоятельная
работа
№9
(двугранный угол).
Свойства
перпендикулярных
9
11
6
62
7
63
8
64
9
65
10
66
11
67
1
68
2
69
3
70
4
71
5
72
6
73
7
74
8
75
1
76
2
77
3
78
4
79
5
80
6
81
7
плоскостей.
Нормаль к плоскости. Способ,
нахождения
угла
между
плоскостями
(угол
между
нормалями к плоскостям).
Общий
перпендикуляр
двух
скрещивающихся прямых.
Теорема о площади ортогональной
проекции многоугольника.
Решение
задач.
Площадь
ортогональной
проекции
многоугольника.
Контрольная работа №5. Угол
между двумя плоскостями.
Расстояние в пространстве
Расстояние между двумя точками.
Расстояние между точкой и
фигурой.
Решение
задач.
Приемы
нахождения расстояний.
Расстояние
между
двумя
фигурами
Самостоятельная работа №10
(нахождение расстояний).
Решение задач (расстояние в
пространстве).
Расстояние
между
скрещивающимися прямыми
ГМТ пространства связанных с
расстоянием.
Контрольная
работа
№6.
Расстояние в пространстве.
Векторы в пространстве
Вектор
в
пространстве.
Коллинеарность двух векторов.
Компланарность трех векторов.
Угол между векторами.
Линейные
операции
над
векторами (сложение, вычитание,
умножение вектора на скаляр) и
их свойства.
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам.
Компланарные векторы. Признак
компланарности трех векторов.
Самостоятельная
работа
№11(линейные
операции
над
векторами).
Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам.
Решение задач. Коллинеарные,
8
12
7
82
8
83
9
84
10
85
86
11
12
87
1
88
2
89
3
90
4
91
5
92
6
93
7
94
8
95
9
96
97
98
1
2
3
99
4
100
101
5
6
102
7
компланарные векторы.
Определение
скалярного
произведения.
Свойства
скалярного произведения.
Признак
перпендикулярности
прямой и плоскости. Теорема о
трех
перпендикулярах
(доказательство
при
помощи
векторов).
Применение векторного метода к
решению задач.
Векторный метод решения задач.
Контрольная работа №7. Векторы
в пространстве.
Координаты в пространстве
Ортонормированный
базис
в
пространстве.
Прямоугольная
декартова система координат.
Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов
в координатах.
Проекция вектора на ось в
координатах.
Решение
простейших
задач
стереометрии в координатах.
Самостоятельная работа №12
(скалярное произведение).
Уравнение
сферы,
уравнение
плоскости.
Прямая
в
пространстве
в
координатах
Расстояние от точки до плоскости
в координатах.
Контрольная
работа
№8
(векторный метод решения задач).
Повторение
Решение задач по планиметрии.
Решение задач по планиметрии.
Решение задач угол между прямой
и плоскостью.
Решение задач угол между двумя
плоскостями.
Контрольная работа №9 годовая.
Решение
задач
параллельные
плоскости.
Решение задач расстояние в
пространстве.
9
7
8
Требования к уровню математической подготовки учащихся 10 класса. Геометрия.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и их
комбинации, задаваемые условиями теорем и задач; выделять изученные фигуры на моделях
и чертежах;
- доказывать изученные в курсе теоремы;
- проводить полные обоснования в ходе теоретических рассуждений при решении задач,
используя для этого изученные в курсах планиметрии и стереометрии сведения;
- вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), используя
изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии;
- применять основные методы геометрии (проектирование, преобразований, векторный,
координатный) к решению геометрических задач.
Контроль уровня обучения.
Контрольно-измерительные материалы имеются в наличии. Самостоятельные работы,
контрольные работы по темам, итоговая контрольная работа.
К-10-1
Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии
Подготовительный набор
1. В треугольнике DEF EF=8, ED=17. Найдите площадь треугольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону FD, и точку пересечения высот треугольника можно
провести, по крайней мере, две различные плоскости;
б) через медиану DK и центр вписанной в треугольник окружности можно провести, по
крайней мере, две различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости DEF, пересекающая биссектрису DK и
содержащая центр окружности, описанной вокруг треугольника KFD.
2. EFGS – правильный тетраэдр, EF=12. Точки L и N лежат на ребрах SG и SE
соответственно. SL=3, SN=3. Точка T – середина ребра SF. Найдите:
а) точку Y1 пересечения прямой LT и плоскости EFG;
б) точку Y2 пересечения прямой NT и плоскости EFG;
в) длину отрезка Y1 Y2 ;
г) точку пересечения прямой NT и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY1 Y2 и NFE;
е) отношение, в котором плоскость LY1 Y2 делит отрезок SE (считая от точки S).
Вариант 1
1. В треугольнике ABC AC=12, BC=5. Найдите площадь треугольника если:
а) через прямую AB и центр окружности, описанной около треугольника,. можно провести,
по крайней мере, две различные плоскости;
б) через прямую АК, перпендикулярную ВС, и центр вписанной в треугольник окружности
можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
в) существует прямая, которая не лежит в плоскости АВС, пересекает медиану ВМ и
содержит центр окружности, проходящей через вершины В , С и середину стороны АС.
2. - куб с ребром 8; М - середина; N лежит на ребре; = 6. Найти:
а) точку пересечения МN и плоскости АСВ;
б) точку пересечения МN и плоскости ;
в) длину;
г) точку пересечения В и плоскости;
д) в каком отношении точка делит отрезок (считая от);
е) общую прямую плоскостей и.
Вариант 2
9
1. В треугольнике КМР КМ=4, КР=5. Найдите площадь треугольника если:
а) через прямую, содержащую сторону КР, и центр окружности, описанной около
треугольника, можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
б) через прямую АМ, перпендикулярную КР, и центр окружности, вписанной в треугольник,
можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
в) существует прямая, не принадлежащая плоскости треугольника, пересекающая медиану
РВ и проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник КМР.
2. - правильный тетраэдр. Все ребра имеют длину 8; М - середина ; К - середина ; Р лежит
на ребре ; = 6. Найти:
а) точку пересечения прямой МР и плоскости АВС;
б) точку пересечения КР и плоскости ;
в) длину ;
г) точку пересечения прямой МР и плоскости АКС;
д) прямую пересечения плоскостей ;
е) в каком отношении плоскость делит отрезок DB (считая от В).
К-10-2
Взаимное расположение прямых в пространстве
Подготовительный набор
EFGHE F G H
1 1 1 1 точки L, N и T – середины ребер соответственно
EE F F
FG , G H
H H
1 1 пересекаются в точке К.
1 1
1 1 и
1 , а диагонали грани
1. В кубе
а) Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
Прямые
Расположение
Величина угла
прямых
между прямыми
1
LN и EG
.
2
F1T и FH
.
3
F1 N и KT
.
4
TN и EG
.
5
F1T и KN
.
6
KH1 и LN
.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью KNT, если ребро куба равно а.
2. ABCD - правильный тетраэдр, AB=7. Точки M и K - середины ребер DB и AC
соответственно. Точка P делит ребро AC в отношении 5:2, считая от точки C. Через точку
Р проведена прямая параллельно прямой КМ. Найдите длину отрезка этой прямой,
заключенного внутри тетраэдра.
3. Пусть точка M - середина ребра AB пирамиды ABCD, а точка N делит ребро AC в
отношении 1:2, считая от вершины A. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни одной
прямой, параллельной прямой MN.
Вариант 1
Прямые
Расположение
прямых
Величина угла
между прямыми
10
1
2
3
4
5
6
KF и MP
KF и BC
KP и MF
BF и MP
KP и BC
CM и KF
1. Дан
правильный тетраэдр ABCD , в котором точки К, F, Р, М - середины ребер соответственно
АD, DС, ВС и АВ.
а) Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью КМF, если ребро тетраэдра а.
2. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 , диагональ B1 D которого равна 8. Точка К делит ребро В1С1 в
отношении 3:5, считая от В1. Через точку К проведена прямая параллельно прямой B1 D .
Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри куба.
3. Основание пирамиды MABCD – параллелограмм ABCD. Точка Р – середина ВС.
Докажите, что в плоскости MDC не существует прямой, параллельной прямой АР.
Вариант 2
1. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 с ребром а, в котором точки К и F - середины ребер
соответственно А1 В1 и В1С1 , а М и Р - точки пересечения диагоналей граней соответственно
A1 D1 DА и DСС1 D1 .
а) Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
б) Найдите длину наибольшей стороны многоугольника, являющегося сечением куба
плоскостью, проходящей через точки М, F и К.
Прямые
Расположение
Величина угла
прямых
между прямыми
1
KF и MP
2
KМ и FР
3
KF и ВD
DC1 и KF
4
5
6
FP и AD
MP и В1С
2. Дан тетраэдр ABCD , все ребра которого равны 12. Точка М - середина ребра BD , точка Р
делит ребро АС в отношении 5:7, считая от С. Найдите длину отрезка прямой, заключенного
внутри тетраэдра, если эта прямая проходит через точку Р параллельно прямой СМ.
3. Точка К - середина ребра A1 B1 призмы ABCA1 B1C1 . Докажите, что в плоскости ВСС не
1
существует прямой, параллельной прямой АК.
К-10-3
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Подготовительный набор (для контрольной работы
используются аналоги заданий 4; 8 и 9)
1. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 все ребра равны а. Точка М лежит на АD, при этом АМ=х.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым BD
и A1C .
б) Найдите периметр сечения.
11
в) Найдите площадь сечения.
2. В правильном тетраэдре ABCD с ребром а точка М лежит на отрезке АС, при этом МС =
х.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через М параллельно прямым АВ
и CD.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
3. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны а, точка L середина A1 B1 , а точка точка М лежит на АС, причем МС = х.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через М параллельно прямым АВ и
СL.
б) Определите площадь сечения.
4. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 , в котором Р, N, K, M – такие внутренние точки ребер
соответственно A1 B1 , A1 D1 , DD1 и BB1 , что прямые PM и NK пересекаются. При этом
прямые NK и AD пересекаются в точке Z 1 , прямые РМ и АВ – в точке Z 2 , прямые МК и ВD
Z Z
ZZ
. Найдите длину отрезка 2 3 , если Z1 Z 2 =8, 1 3 =13.
5. Равнобокая трапеция A1 B1C1 D1 является изображением трапеции АВСD с основаниями
– в точке
Z3
АD=10, ВС=5. Найдите площадь трапеции A1 B1C1 D1 , если около нее можно описать
окружность с диаметром A1 D1 , при этом A1 B1 =3.
6. Трапеция A1 B1C1 D1 является изображением трапеции АВСD с основаниями АВ = 2 и CD =
8. Найдите площадь трапеции A1 B1C1 D1 , если около нее можно описать круг с диаметром
C1 D1 , при этом A1 B1  6 .
7. Равнобокая трапеция A1 B1C1 D1 является изображением трапеции АВСD с основаниями
АВ = 2 и CD = 8. Найдите площадь трапеции A1 B1C1 D1 , если в нее можно вписать круг с
диаметром 9.
8. АВСD – четырехугольник, в котором диагонали АС и ВD перпендикулярны и равны.
Точка М не лежит в плоскости четырехугольника, а прямая МА перпендикулярна этой
плоскости. Известно, что МА=МС=МD. Найдите углы четырехугольника АВСD.
9. Дана правильная треугольная призма ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 2. Точка М –
середина ребра B1C1 .
а) Докажите, что прямая B1C1 перпендикулярна плоскости AA1 M .
б) Через точку пересечения диагоналей грани AA1C1C проведите прямую,
перпендикулярную плоскости AA1 M .
в) Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри призмы.
г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость AA1 M ?
д) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середину отрезка СМ
перпендикулярно прямой ВС.
10. Точка М – середина ребра ВС правильной треугольной призмы ABCA1 B1C1 , все ребра
которой равны между собой. Через точку N, лежащую на A1 M ( где A1 N = х, x  (0;7) ),
проведено сечение, перпендикулярное прямой А1М. Как меняется сумма внутренних углов
проведенного сечения этой призмы плоскостью, если А1М=7?
12
11. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 через внутреннюю точку М диагонали BD1 проведено сечение
перпендикулярно этой диагонали. Как меняется сумма внутренних углов сечения в
зависимости от х ( где х = МВ, x (0;6) ), если диагональ куба равна 6?
12. Все ребра тетраэдра ABCD равны между собой. Через точку М (где AM  x , x (0;6) ),
лежащую на медиане АК грани ABC , проведено сечение, перпендикулярное прямой АК.
Как меняется сумма внутренних углов сечения тетраэдра этой плоскостью, если АК=6?
Вариант 1
1. Дана треугольная призма ABCA1 B1C1 , в которой М, К, N и Р - внутренние точки ребер
ВВ1 , В1С1 , А1С1 и АА1 соответственно - выбраны так, что прямые MN и КР пересекаются.
Пусть прямые МК и ВС пересекаются в точке Х 1 , прямые NР и АС - в точке Х 2 , прямые
МР и АВ - в точке Х 3 . Найдите длину отрезка Х 1 Х 3 , если Х 1 Х 2  10, Х 2 Х 3  12.
2. Точка М выбрана вне плоскости ромба ABCD так, что отрезки АМ, ВМ и СМ равны, а
отрезок МD перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы ромба.
3. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 с ребром 2.
а) Докажите, что прямая A1С1 перпендикулярна плоскости BDD1 .
б) Докажите, что плоскость A1C1 D перпендикулярна прямой BD1 .
в) Через точку К - середину C1 D1 - проведите прямую, перпендикулярную плоскости A1C1 D .
г) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба.
д) В каком отношении, считая от точки К, плоскость A1C1 D делит этот отрезок,?
Вариант 2
1. Дан тетраэдр ABCD , в котором М, N и Р - внутренние точки ребер AD, DB и DC
соответственно- выбраны так, что прямые МР и АС пересекаются в точке Y1 , прямые РN и
ВС - в точке Y2 , прямые МN и АВ - в точке Y3 . Найдите длину отрезка Y2Y3 , если
Y1Y2  3, Y1Y3  5.

2. ABCD - трапеция ( АВ СD ), в которой ADC  50 . Точка М выбрана вне плоскости этой
трапеции так, что отрезки МD, МC и МB равны, а отрезок МА перпендикулярен плоскости
АВС. Найдите углы трапеции.
3. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М - середина ВD.
а) Докажите, что прямая В Dперпендикулярна плоскости АМС.
б) Через точку пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую,
перпендикулярную плоскости АМС.
в) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.
г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость АМС?
д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ
перпендикулярно прямой АС.
К-10-4
Угол между прямой и плоскостью. Параллельные плоскости
Подготовительный набор (для контрольной работы используются аналоги заданий 1, 2, 6
и 10)
1. Отрезок АС – ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Угол между

лучами АС и АD равен 45 . Найдите угол между лучами АВ и АD, если угол между прямой

АВ и плоскостью АСD равен 60 .
2. Сторона АВ прямоугольника АВСD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с
этой плоскостью угол  . Какой угол образует с этой плоскостью диагональ ВD, если: а)
ВD=2АВ; б) ВС=2АВ?
13
3. Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие с ней равные углы.
Угол между наклонными равен  , а угол между их проекциями на эту плоскость равен  .
Найдите угол между плоскостью и каждой из наклонных.
4. Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие между собой угол  ,
а с плоскостью - углы, равные  . Найдите угол между их проекциями на эту плоскость.
5. Две наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, образуют с ней углы, равные  .
Проекции этих наклонных на плоскость образуют угол  . Найдите угол между наклонными.
6. Плоскости  и  параллельны, плоскость  пересекает плоскость  по прямой a , а
плоскость  - по прямой b . Плоскость  пересекает плоскость  по прямой c . Как
могут быть расположены прямые a , b и c ?
7. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 все ребра равны а. На ребре АВ отмечена
точка М так, что АМ : МВ = 3 : 1; точка N – середина ребра B1C1 .
а) Через точку М проведите сечение параллельно плоскости A1 BC .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок АN,считая от А?
8. На ребре А1 В1 = а куба ABCDA1 B1C1 D1 отмечена точка М так, что В1 М : А1 М  2:1.
а) Через точку М проведите сечение параллельно плоскости AB1C1 .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок A1C , считая от точки A1 ?
9. Точка М– середина высоты DО правильного тетраэдре ABCD с ребром а.
а) Через точку М проведите сечение, параллельное плоскости BCD .
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра АF, считая от точки А ?
10. Прямая DF пересекает параллельные плоскости  ,  ,  соответственно в точках D, Е и
F, при этом DF = 3, FE = 9. Прямая EG пересекает плоскости  и  соответственно в точках
G и Н, при этом EG = 12. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка
GH.
Вариант 1
1. Отрезок АС - ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Лучи АD и АС
образуют угол 30°. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АСD, если угол между
прямыми АВ и АD равен 60°.
2. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой
плоскостью угол  . Какой угол образует с этой плоскостью сторона АС, если:
а) треугольник АВС - равносторонний?

б) АВ=АС, САВ  90 ?
3. Плоскость  1 параллельна плоскости 1 , а плоскость  2 параллельна плоскости  2 , при
этом плоскости  1 и  2 пересекаются по прямой а, а плоскости 1 и  2 -по прямой b. Как
могут быть расположены прямые а и b ?
4. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости  ,  ,  соответственно в точках А, В, С,
причем АВ=3, ВС=7. Прямая МК пересекает эти же плоскости  ,  ,  соответственно в
14
точках М, К, Р, причем МР=10. Найдите все значения, которые может принимать длина
отрезка МК.
Вариант 2
1. Отрезок АС - ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Угол DАВ равен
45°. Найдите угол между лучами АD и АС, если угол между наклонной АВ и плоскостью
DАС равен 30°.
2. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с
этой плоскостью угол  . Какой угол образует с этой плоскостью диагональ ВD, если:
а) АВСD - квадрат?

б) АВСD - ромб, в котором В  120 ?
3. Прямые а и b параллельны. Прямая а параллельна плоскости  , прямая b параллельна
плоскости  . Как могут быть расположены плоскости  и  ?
4. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости  ,  ,  соответственно в точках А, В, С,
причем АВ=14, ВС=4. Прямая МК пересекает эти же плоскости  ,  ,  соответственно в
точках М, К, Р, причем МР=10. Найдите все значения, которые может принимать длина
отрезка МК.
К-10-5
Угол между двумя плоскостями
Подготовительный набор

1. АВСD – ромб с углом 60 . Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба, причем
АВ=АМ=а. Найдите углы между плоскостями: а) АМВ и АВС; б) АМВ и АМD; в) МDС и
АВС; г) МАD и МВС; д) МDС и ВСМ.

2. Плоскости АВС и АВD образуют угол 45 . Известно, что АD=3, АВ=5, ВС= 2 , причем
DAAB, CBAB . Найдите: а)СD; б) угол между прямой СD и плоскостью АВС.
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 проведено сечение LPQ , где точка L  середина ребра BC, точка P
лежит на ребре CD так, что CP:PD=1:5, точка Q – на ребре CC1 такая, что CQ:QC 1 =1:2.
Найдите угол между плоскостями LPQ и A1 B1C1 .
Вариант 1

1.АВСD – ромб, в котором АВ=а,  А = 60 . Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба и
АМ=2а. Найдите углы между плоскостями: а) АМВ и АВС;
б) АМВ и АМD; в) МDС и АВС; г) МАD и МВС; д) МDС и ВСМ.
2. Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60 , при этом DAАВ, CBAB и АD=2,
АВ=4, СВ=3. Найдите: а) СD; б) угол между прямой СD и плоскостью АВС.
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 проведено сечение MNK , где точка M  середина ребра AD,

точка N лежит на ребре AB так, что AN:NB=1:13, точка K – на ребре AA1 такая, что
AK:KA 1 =1:4. Найдите угол между плоскостями MNK и A1 B1C1 .
Вариант 2

1. АВСD - ромб, в котором АВ=2а,  А = 60 . Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба
и АМ=а. Найдите углы между плоскостями: а) АМВ и АВС;
б) АМВ и АМD; в) МDС и АВС; г) МАD и МВС; д) МDС и МВС.
2. Плоскости АВС и АВD образуют угол 60 , при этом DAАВ, CBAB и АD=4, АВ=3,
СВ=2. Найдите: а) СD; б) угол между прямой СD и плоскостью АВС.

15
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 проведено сечение FGT , где точка F  середина ребра B 1 C 1 ,
точка G лежит на ребре C 1 D 1 так, что C 1 G:GD 1 =1:10, точка T – на ребре CC1 такая, что
C 1 T : TC=1: 9. Найдите угол между плоскостями FGT и ABC .
К-10-6
Расстояния в пространстве
Подготовительный набор (для контрольной работы используются аналоги заданий 4; 5; и
6)
1. Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 7:5, считая от точки В. Найдите
расстояние от точки А до плоскости, если расстояние от середины отрезка до этой плоскости
равно 2.
2. Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 3:7, считая от точки А.
Расстояние от середины этого отрезка до плоскости равно 4. Найдите расстояние от точки В
до этой плоскости .
3. Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 2:5, считая от толчки В. Найдите
расстояние от середины этого отрезка до плоскости, если расстояние от точки В до этой
плоскости равно 10.
4. Все вершины куба, кроме двух противоположных А и C1 (лежащих на одной диагонали),
одинаково удалены от некоторой плоскости. Найдите расстояния от каждой из этих вершин
(не считая А и C1 ) до этой плоскости, если ребро куба равно 6. (Рассмотрите два случая.)
5. В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС=а, B   . Расстояние от точки М до
плоскости треугольника также равно а. Проекцией точки М на плоскость треугольника
является точка М1 пересечения медиан треугольника АВС. Найдите расстояния от точки М
до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны.

6. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 60 и удалена от его граней на
расстояния 3 и 5. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
Вариант 1
1. Длины всех ребер тетраэдра равны 6. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от
некоторой плоскости. Найдите расстояние от вершины тетраэдра до этой плоскости
(рассмотрите два случая).
2. ABCD - ромб с острым углом А   , АВ=а. Расстояние от точки М до плоскости ромба
равно а. Ортогональной проекцией точки М на плоскость ромба является точка М1, лежащая
на отрезке АС так, что М 1 А  3 М 1С . Найдите расстояния от точки М до вершин ромба и до
прямых, содержащих его стороны.

3. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 45 и удалена от его граней на
расстояния 4 и 3 2 . Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
Вариант 2
1. Длины всех ребер тетраэдра равны между собой. Все вершины тетраэдра одинаково
удалены от некоторой плоскости на расстояние, равное 6. Найдите длину ребра тетраэдра (
два случая).
2. ABCD - ромб с тупым углом А   и АВ=а. Расстояние от точки М до плоскости ромба
также равно а, при этом точка М 1 - проекция точки М на плоскость ромба - расположена на
3
АС
2
луче АС так, что
. Найдите расстояние от М до вершин ромба и прямых,
содержащих его стороны.

3. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 120 и удалена от его граней на
расстояния соответственно 4 и 6. Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
М1 А 
16
К-10-7
Векторы в пространстве
Подготовительный набор
  

 
 

(a; b )  (a; c )  60  , b  c , a  2, b  3, c  4
1. Пусть
. Найдите:
     
а) a  b ; a  c ; b  c ;


б) 2a  3b  b  c ;
  
3a  b  c
в)
;

  

b
г) угол между векторами 3a  b  c и
;
 

 

д) все такие числа x , при которых векторы 3a  x  b  c и a  b  x  c ортогональны;




y

1
a

2
b

y

c
y
е) такое значение , при котором вектор
имеет наименьшую длину;



ж) длину проекции вектора a на плоскость, которой параллельны векторы b и c .
2. MO - высота правильной четырехугольной пирамиды MABCD , плоский угол при вершине



M A  a , MB  b , MC  c .
M которой равен  , а боковое ребро равно m . Пусть
  
а) Разложите векторы MO и MD по векторам a , b , c .
б) Найдите угол между векторами AD и MC .



 
в) Найдите угол между векторами MC и AK (где K - точка пересечения медиан
треугольника MDC ).
3. Пространственный базис состоит из трех единичных векторов O A , O B , O C , угол между

любыми двумя из которых равен 60 . Разложите в данном базисе единичный вектор O D ,
образующий с этими векторами равные углы. (Рассмотрите все возможные случаи.)
Вариант 1

 
   
а  b  2 c  3 ab , ac, (b, c) 
ав ; ас ; вс ; б) а  3в  с ; в)
1. Пусть
,
;
60°.
Найдите:
а)
 
    
угол между векторами х  а  3в  с и у  в  с ; г) все такие числа  , при которых векторы
     


m  3a  b  c и х  а  3в  с ортогональны; д) такие значения t, при которых длина




р

3
а

2
tb

(
t

1
)
c
вектора
наименьшая.
2. Дана правильная треугольная призма АВСА1 В1С1 , у которой длины всех ребер равны 1.
Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите:
а) АВ  СВ1 ; б) ( A1 B, CB1 ) ; в) А1 М  С1 В.
3. В четырехугольной пирамиде MABCD грань ABCD – параллелограмм и
MA  a, MB  b, MC  c . а) Разложите вектор МD по векторам a, b, c .
б) Точка К – середина отрезка АМ; Р – такая точка отрезка МС, что 3МР=РС; L – такая
точка отрезка MB, что ML=3LB. В каком отношении плоскость KLP делит отрезок MD,
считая от точки М?
Вариант 2

 
   
а  b  2 c  3 ab , ac, (b, c) 
ав ; ас ; вс ; б) а  3в  с ; в)
1. Пусть
,
;
120°.
Найдите:
а)
 
  
 
угол между векторами х  а  3в  с и у  2в  с ; г) все такие числа  , при которых векторы
17
     


m  2a  b  c и х  а  3в  с ортогональны; д) такие значения t, при которых длина




вектора р  2а  3(t  1)в  2tс наименьшая.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с основанием ABCD длины всех ребер
равны 1. Точка К - середина отрезка МС, Р - точка пересечения медиан треугольника АМВ.
Найдите: а) АМ  СА;
б) ( DK , AB) в) МС  DР.
3. В параллелепипеде АВСDА1 В1С1 D1 точки D и М – середины ребер соответственно D 1 К
и В1 С1 . Пусть АС  a, AD1  b, AB1  c . Разложите векторы АС1 и КМ по векторам a, b, c .
К-10-8
Координаты в пространстве
Подготовительный набор
1. В пространстве заданы две точки А(0;1;-1) и В(0;-1;0). Найдите геометрическое место
5
AM  BM
3
всех точек М пространства, для которых выполняется условие
.
2. Основание АВС правильной треугольной призмы ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны
между собой , лежит в плоскости xOy , причем А(0;1;0), В(0;-1;0). Найдите координаты
остальных вершин. (Рассмотрите все возможные случаи.)
3. В пространстве заданы четыре точки: А(3;2;1), В(1;1;0), С(0;0;4),
D(-1;0;1).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б) Напишите уравнение плоскости АВС.
в) Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AD.
г) Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
Вариант 1
1. В пространстве заданы две точки А(0;2;0) и В(0;-6;0). Найдите геометрическое место всех
точек М пространства, для которых выполняется условие: АМ=3·МВ.
2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны между собой,
известны координаты вершин А и С: А(-2;0;0); С(2;0;0). Найдите координаты остальных
вершин пирамиды, если вершина Р принадлежит оси Oz.
3. В пространстве заданы четыре точки: А(1;1;1), В(1;2;-2), С(9;0;0), D(2;3;4).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б)Напишите уравнение плоскости АВС.
в) Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок АD.
г) Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке А.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и АD.
Вариант 2
1. В пространстве заданы две точки А(-6;0;0), В(3;0;0). Найдите геометрическое место всех
точек М пространства, для которых выполняется условие: АМ=2·МВ.
2. Основание АВС правильного тетраэдра ABCD лежит в плоскости хОу, причем известны
координаты вершин А и В: А(1;0;0); В(-1;0;0). Найдите координаты остальных вершин
тетраэдра.
3. В пространстве заданы четыре точки: А(2;0;0), В(2;1;-3), С(10;-1;-1), D(3;2;3).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б) Напишите уравнение плоскости АВС.
18
в) Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок АD.
г) Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и АD.
КМ-10-9
Итоговое повторение
Подготовительный набор
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD тангенс угла наклона апофемы к
плоскости основания равен 2 . Точка К лежит на стороне основания АВ и делит ее в
отношении 1:5, считая от точки А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMC .
2. В правильной четырехугольной призме АВСDА1 В1С1 D1 ребро основания равно 15, а
высота - 15 3 . Точка К лежит на ребре основания A1 D1 и делит его в отношении 1:4, считая
от A1 , а точка Р лежит на ребре основания D1C1 и делит его в отношении 1:2, считая от D1 .
а) Постройте сечение призмы плоскостью ВКР.
б) Найдите величину двугранного угла B( KP) B1 .
в) Найдите площадь сечения.
3. АВСD – квадрат со стороной 12. Точка К лежит на стороне СD так, что СК=3. Прямая КМ
перпендикулярна плоскости квадрата, при этом длина отрезка КМ равна 4 3 . Найдите: а)
угол между прямой ВD и плоскостью МСD; б) расстояние между прямыми МК и АС; в)
угол между прямыми МD и АС.
Вариант 1
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоские углы при вершине М равны
60 . Точка К лежит на стороне AD основания и делит ее в отношении 1:3, считая от точки А
. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMC .
2. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 с ребром в точка К лежит на ребре AD и делит его в отношении
1:2, считая от точки А; точка Р - середина ребра DC .
а) Постройте сечение куба плоскостью B1 КР.
б) Найдите величину двугранного угла B1 (КР) В.
в) Найдите площадь сечения.

3. В ромбе ABCD сторона равна 6, а  A=60 . Точка К лежит на стороне CD так, что CК = 2.
Из точки К к плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина которого равна 6.
Найдите:
а) угол между прямой AD и плоскостью МCD;
б) расстояние между прямыми МК и BD;
в) угол между прямыми МC и BD.
Вариант 2
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD угол наклона бокового ребра к

плоскости основания равен 45 . Точка К лежит на стороне основания CD и делит ее в
отношении 5:3, считая от точки C . Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMA.
2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 с ребром основания 8 см и высотой
8,8 см точка К лежит на ребре основания AD и делит его в отношении 5:3, считая от D; точка
Р - середина ребра AB .
а) Постройте сечение куба плоскостью C1 КР.
б) Найдите величину двугранного угла C1 (КР)С.
19
в) Найдите площадь сечения.

3. В ромбе ABCD сторона равна 8, а  A=120 . Точка К лежит на стороне CD так, что CК =
2. К плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина которого равна 4. Найдите:
а) угол между прямой AD и плоскостью МCD;
б) расстояние между прямыми МК и BD;
в) угол между прямыми МC и BD.
Ресурсное обеспечение.
УМК Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 класс. Учебник для общеобразовательных
учреждений с углубленным и профильным изучением математики. Задачник. М.: Дрофа,
2007.
Потоскуев Е.В. Геометрия. 10 класс. Методическое пособие к учебнику «Геометрия.10
класс».
М.: Дрофа, 2007. В пособии приводятся общие рекомендации к изучению материала,
содержится примерное почасовое планирование, контрольные работы, билеты к зачетам по
каждой теме и к итоговому устному экзамену, приведены ответы к контрольным работам и
задачам из билетов, а также задачи из раздела ЕГЭ «Геометрия» за 2001-2003 гг.
Методическое обеспечение
1. Изучение геометрии в 10-11 классах: Методические рекомендации к учебнику: Кн. Для
учителя/ С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов – М.: Просвещение, 2007.
2. Ковалёва Г.И.. Геометрия. 10 класс: Поурочные планы. – Волгоград: Учитель, 2003 – 2007.
3. Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии для 7-11 классов. – М: Просвещение, 2007.
4. Зив и Б.Г. Стереометрия. Дидактические материалы. Устные задачи. 10-11 класс. – Спб.:
Черо-на -Неве
5. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. – М.: МЦНМО, 2006.
6. Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО,
2005-2007.
7. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10-11 класс. Профильный уровень. Ч.I. Учебник –
М.: Дрофа, 2007.
8. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10-11 класс. Профильный уровень. Ч..II. Задачник
– М.: Дрофа, 2007.
9. Потоскуев Е.В. Рекомендации по изучению стереометрии. Приложение к газете «Первое
сентября»: «Математика» - № 1-7, 2008.
10.
Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 класс: Пособие для школы и класса с углубленным
изучением
математики/ Л.И. Звавич, М.В. Чинкина, Л.Я. Шляпочник. – М.: Дрофа, 2000-
2007.
20
Пособие для ученика
1. Геометрия: Учебник для 10 класса профильный уровень/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. М.: Дрофа, 2007.
2. Геометрия: Задачник для 10 класса профильный уровень / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. –
М.: Дрофа, 2007.
3. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10-11 класса. – М.: Просвещение,
2007.
4. Ершова А.П. Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии
для 10 класса. – М.: Илекса, 2007.
Мониторинговый инструментарий
1. Иченская М.А Геометрия. 10-11 классы. Самостоятельные и контрольные работы к
учебнику Л.С. Атанасяна. Разрезные карточки. – Волгоград: Учитель, 2005-2008.
2. Дудницын Ю. П.Контрольные работы по геометрии: 10 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна,
В.Ф. Бутузова и др. «Геометрия 10-11». / Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз. – М.: Издательство
«Экзамен», 2007.
3. Чулков П.В. Геометрия. Стереометрия. Тесты. 10 класс. – М.: Издательство-школа, 20002007.
4. Шлыков В.В. и др. Дидактические материалы по геометрии. 10 класс пособие для учителя.
– Мн.: ТетраСистемс, 2004-2007.
5. Потоскуев Е.В. Контрольные работы по геометрии. 10-11 классы: методическое пособие/
Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – М.: Дрофа, 2007.
Цифровые образовательные ресурсы.
1. Уроки геометрии. 10-11 классы. – М.: ООО «Корил и Мефодий» , 2007.
2. Открытая математика. Планиметрия. / А.Л. Хасанов; По редакцией Т.С. Пиголкиной. – М.:
ООО «ФИЗИКОН», 2007.
3. Открытая математика. Стереометрия./ Р.П. Ушаков, С.А. Беляев; Под редакцией Т.С.
Пиголкиной. – М.: ООО «ФИЗИКОН», 2007.
4. Репетитор по геометрии. 10, 11 класс. – М.: ООО «Акелла», 2008.
5. Репетитор по геометрии. – М.: ООО «Акелла», 2008.
6. Геометрия. 7-9 класс. – М.: ООО «Новая школа», 2007.
7. Геометрия. 10-11 класс. – М.: ООО «Новая школа», 2007.
21
22