Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
Математический анализ
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.01.00 Математика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Штраус Леонид Авраамович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.-м.н., доцент
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 4
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1: Множества и функции. ......................................................................... 5
Тема 2: Поле действительных чисел ................................................................. 5
Тема 3. Предел последовательности ................................................................ 5
Тема 4. Предел функции .................................................................................... 5
Тема 5. Непрерывные функции ......................................................................... 5
Тема 6. Дифференцируемые функции .............................................................. 5
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 6
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 9
7.1. Список литературы: ................................................................................. 9
Форма А
Страница 2 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Математический анализ» является одной из
фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами первых курсов,
обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной
общепрофессиональной дисциплиной. «Математический анализ и алгебра, переплетаясь,
образовали ту корневую систему, на которой держится разветвлённое дерево
современной математики и через которую происходит его основной живительный
контакт с внематематической сферой. Именно по этой причине основы анализа
включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так
называемой высшей математике». На языке математического анализа построены модели
и изучаются закономерности многих процессов реального мира.
Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях и умениях,
полученных студентами в школе.
1.1. Цели
Целями изучения дисциплины являются:
1. овладение начальными знаниями по математическому анализу, необходимыми
для изучения других дисциплин специальности
2. развитие навыков решения задач по математическому анализу
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
1. формирование у будущих математиков комплексных знаний об основных
структурах и методах исследования в математическом анализе.
2. приобретение студентами навыков и умений по решению простейших задач
математического анализа.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны
знать основные понятия (и соответствующие факты ) данного курса:
множества и функции, поле действительных чисел, предел последовательности и
функции, непрерывность функции, точки разрыва, дифференцируемая функция,
дифференциал, производная, монотонная функция, экстремум, выпуклость, точки
перегиба, асимптоты;
уметь решать простейшие задачи по данному курсу:
1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и
иррациональных
выражений
непосредственно
и
с
помощью
табличных
эквивалентностей.
2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.
3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования
сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать
параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.
4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том
числе с заданной степенью точности.
5. Находить пределы (раскрывать неопределённости) с помощью правила Лопиталя и
формулы Тейлора.
6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.
Форма А
Страница 3 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
144
144
72
72
72
72
144
144
288
288
3
3
зачет,
экзамен
зачет,
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения очная
Название и разделов и тем
Всего
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1
2
1. Множества и функции
2. Поле действительных чисел
3. Предел последовательности
4. Предел функции
5. Непрерывные функции
6. Дифференцируемые функции
7. Основные теоремы дифференциального
исчисления
8. Исследование функций с помощью
производных. Построение графика функции.
9
7
16
26
16
24
20
6
6
10
10
10
10
10
3
1
6
16
6
14
10
9
7
16
26
16
24
20
26
10
16
26
Итого
144
72
72
144
Форма А
Страница 4 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Множества и функции.
Множества и операции над ними. Отношения на множествах. Функции. Простейшая
классификация функций. Свойства функций. Функция как отношение. Мощность
множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Счётные множества и их свойства. Мощность
множества рациональных чисел. Существование несчётных множеств. Континуум.
Мощность множества всех подмножеств данного множества.
Тема 2: Поле действительных чисел.
Принципы минимума и математической индукции для  . Определение поля и
упорядоченного поля. Примеры. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота
поля Q. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R. Принципы
полноты поля R. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства. Понятие
секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Понятие
компактности. Лемма Бореля-Лебега.
Тема 3. Предел последовательности.
Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность сходящейся
последовательности. Арифметические свойства. Предельный переход в неравенствах.
Фундаментальность. Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной
последовательности. Число е. Подпоследовательность и частичный предел
последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Нижний и верхний пределы
последовательности. Их свойства.
Тема 4. Предел функции.
Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши. Бесконечно
малые и финально ограниченные величины. Их свойства. Арифметические свойства
предела функции. Предельный переход в неравенствах. Первый и второй замечательные
пределы.Предел функции по базе. Предел композиции функций. Критерий Коши
существования предела функции. Сравнение асимптотического поведения функций.
Свойства o f , O f .
Тема 5. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных
элементарных функций. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.
Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра. Локальные свойства
непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака, непрерывность суммы,
произведения, частного, композиции. Глобальные свойства: теорема Больцано-Коши о
промежуточном значении и её следствие. Теорема Вейерштрасса о максимальном
значении. Критерий непрерывности монотонной функции. Равномерная непрерывность.
Теорема Кантора. Теорема об обратной функции.
Тема 6. Дифференцируемые функции.
Форма А
Страница 5 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры
вычисления. Односторонние производные. Касательная. Производные суммы,
произведения, частного. Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием
производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал,его свойства,
геометрический смысл. Производная сложной функции. Инвариантность формы
дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля и теорема Лагранжа о конечном приращении. Теорема Коши.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши. Локальная формула
Тейлора. Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного
члена. Приближённые вычисления. Правило Лопиталя.
Тема 8. Исследование функций с помощью производных. Построение графика функции.
Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума.
Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных).
Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды
дифференцируемой функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема полного
исследования функции. Построение графиков.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Множества и функции. Поле действительных чисел.
2. Предел последовательности и подпоследовательности.
3. Предел функции.
4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
5. Равномерная непрерывность функции.
6. Техника дифференцирования.
7. Геометрический смысл производной.
8. Дифференциал.
9. Производные и дифференциалы высших порядков.
10. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
11. Формула Тейлора.
12. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.
13. Нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, наибольших и
наименьших значений, промежутков выпуклости, точек перегиба. Доказательство
неравенств.
14. Построение графиков функций, а также кривых, заданных параметрически и в
полярных координатах.
5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требования к уровню знаний и умений студентов на зачете.
Необходимо владеть основными понятиями и решать простейшие задачи по данному
курсу:
Форма А
Страница 6 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и
иррациональных
выражений
непосредственно
и
с
помощью
табличных
эквивалентностей.
2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.
3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования
сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать
параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.
4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том
числе с заданной степенью точности.
5. Находить пределы (раскрывать неопределённость) с помощью правила Лопиталя и
формулы Тейлора.
6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Множества и операции над ними. Отношения на множествах.
2. Функции. Простейшая классификация функций. Свойства функций. Функция как
отношение.
3. Мощность множества.Теорема Кантора-Бернштейна.
4. Счётные множества и их свойства. Мощность множества рациональных чисел.
5. Существование несчётных множеств. Континуум.
6. Мощность множества всех подмножеств данного множества.
7. Принципы минимума и математической индукции для  .
8.Определение поля и упорядоченного поля. Примеры.
9. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота поля Q.
10. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R.
11.Принципы полноты поля R.
12. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.
13. Понятие секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса.
14. Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
15. Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность
сходящейся последовательности.
16.Арифметические свойства предела последовательности.
17. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
18. Фундаментальность. Критерий Коши сходимости последовательности.
19. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е.
20. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Лемма БольцаноВейерштрасса.
21. Нижний и верхний пределы последовательности. Их свойства.
22. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши.
23. Бесконечно малые и финально ограниченные величины. Их свойства.
24. Арифметические свойства предела функции.
25. Предельный переход в неравенствах для функций.
26. Первый и второй замечательные пределы.
27. Определение предела функции по базе. Примеры.
28. Предел композиции функций.
29. Критерий Коши существования предела функции.
Форма А
Страница 7 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
30.Сравнение асимптотического поведения функций. Свойства o f , O f .
31. Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных
элементарных функций.
32.Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их классификация.
33.Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.
34. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака,
непрерывность суммы, произведения, частного, композиции.
35.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и её следствие.
36. Теорема Вейерштрасса о максимальном значении.
37. Критерий непрерывности монотонной функции.
38. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
39.Теорема об обратной функции.
40. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры
вычисления. Односторонние производные.
41. Касательная. Различные подходы к её определению.
42. Производные суммы, произведения, частного.
43.Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием производной.
Непрерывность дифференцируемой функции.
44.Дифференциал,его свойства, геометрический смысл.
45.Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
46. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
47.Теоремы Ферма и Роля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
48. Теорема Лагранжа о конечном приращении и её геометрический смысл.
49. Теорема Коши и её геометрический смысл.
50. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.
51. Локальная формула Тейлора.
52.Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного члена.
Приближённые вычисления.
53. Правило Лопиталя.
54.Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума.
55. Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных).
56.Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды
дифференцируемой функции. Точки перегиба.
57.Асимптоты кривых.
Пример экзаменационного билета
Кафедра_Алгебро-геометрических
вычислений.
Факультет
информационных технологий_
Специальность: прикладная математика и информатика, математика.
Дисциплина математический анализ. Форма обучения: очная. Курс 1.
математики
и
Билет №1
1.Счётные множества. Существование несчётных множеств. Континуум.
2. Определение предела последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе
монотонной последовательности. Число е.
3. Односторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификация.
Форма А
Страница 8 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4. Найти предел
lim
x  
sin 3 x
.
x2   2
1
 3 x 2  6 x  9   x  3 2

5. Найти предел lim 
.
x 3
2x2


6. Непрерывность функции в точке. Свойство сохранения знака.
7. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
8. Найти производную
sin x  .
9. Найти производную
x e 
x
2  x 10 
.
10. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически:
 x  cos t  t ,

 y   sin t  t.
11. Указать точки недифференцируемости функции y  5 x6  x  1  x  1 .
3
12. Теорема Ролля и её геометрический смысл.
Формула
13.
Маклорена
(Тейлора)
для
функции y  sin x
с остаточным членом в форме Лагранжа.
14. Нарисовать эскиз графика функции y 
x  13
x2  5x  6
.
15. Нарисовать эскиз графика функции y  3 x  3x  1 .
2
При
выполнении
экзаменационного
задания
требуется
решить
задачи,
сформулировать соответствующие определения и теоремы и привести доказательство
одной из них по выбору студента.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1-М.: Наука,1981.-544с.
2. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т 1.:Учебник.-М.:Изд-во МГУ,
1993-400 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство
АСТ», 2002.- 558 с.
Форма А
Страница 9 из 10
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в
примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское
объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
5.Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное
пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.
6. Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы: методические указания для студентов
факультета математики и информационных технологий и факультета управления.Издательство УлГУ, 2007-25 с.
Форма А
Страница 10 из 10