РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
advertisement
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра алгебры и математической логики
Шармин В.Г.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов очной формы обучения
НАПРАВЛЕНИЕ 010100.62 – «МАТЕМАТИКА»
профили подготовки: «Алгебра, теория чисел, математическая логика»;
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление»;
«Вычислительная математика и информатика»,
Тюменский государственный университет
2011
Шармин В.Г. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
010100.62 – МАТЕМАТИКА, профили подготовки: «Алгебра, теория чисел,
математическая логика»; «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ»; «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление»; «Вычислительная математика и информатика», форма
ОБУЧЕНИЯ – ОЧНАЯ. Тюмень, 2011, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Аналитическая геометрия»
[электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической логики доктор физико-математических наук, профессор
В.Н.Кутрунов
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Шармин В.Г., 2011.
2
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины (модуля) "Аналитическая геометрия" являются:
формирование математической культуры студента, начальная подготовка в области алгебраического анализа простейших геометрических объектов, овладение классическим математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
Задачи изучения дисциплины:
1. Формирование у студентов представлений об аналитической геометрии, как одной
из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.
2. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и использования метода координат и векторного метода при решении теоретических и прикладных задач.
3. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего самообразования в области современной математики.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Аналитическая геометрия входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Для ее успешного изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней
школе.
Освоение аналитической геометрии является основанием для успешного освоения
как дальнейших базовых курсов – линейной алгебры и геометрии, функционального анализа, дифференциальной геометрии, механики, так и специальных курсов, к примеру, алгебраической геометрии, компьютерной геометрии; приобретенные знания также могут
помочь в научно-исследовательской работе.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля):
способностью применять знания на практике (ОК-6);
способностью приобретать новые знания, используя современные образовательные
и информационные технологии (ОК-8);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, соблюдением основных требований информационной безопасности, в том
числе защиты государственных интересов и приоритетов (ОК-9);
фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11);
навыками работы с компьютером (ОК-12);
способностью к анализу и синтезу (ОК-14);
способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК-15);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением строго доказать утверждение (ПК-4);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);
пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
пониманием того, что фундаментальное знание является основой компьютерных
наук (ПК-12);
выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16);
3
владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при
анализе теоретических проблем и задач (ПК-21);
владением проблемно-задачной формой представления математических знаний
(ПК-22);
умением самостоятельно математически корректно ставить естественно-научные и
инженерно-физические задачи (ПК-25);
возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в
средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования (ПК-29).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: основные понятия аналитической геометрии, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном моделировании
геометрических объектов и явлений.
2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
геометрии трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной плоскости,
доказывать утверждения.
3) Владеть: математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими
методами исследования геометрических объектов.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр: первый и второй. Форма промежуточной аттестации: зачет – первый семестр,
экзамен – второй семестр. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц; 252 часа.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
.
Всего часов
144
72
54
Семестры
1
72
2
72
36
36
36
36
108
54
зачет
126
3,5
54
экзамен
126
3,5
252
7
4
3.
Тематический план.
1 семестр
Таблица 2.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Тема
1
2
Модуль 1
1.1. Векторная алгебра.
Всего
Модуль 2
2.1. Координаты на
плоскости и в
пространстве.
2.2. Преобразование
координат, ориентированные
площади и объем.
Всего
Модуль 3
3.1. Прямая на плоскости. Прямая и
плоскость в пространстве.
Всего
Итого (часов,
баллов):
В том числе в интерактивной форме
недели семестра
№
3
Лекции* Семинарские
(практические)
занятия*
4
5
Итого
часов
по
Самостоя- теме
тельная
работа
В том
числе
в интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
6
7
8
9
1-4 8
8
12
28
4
0-30
8
8
12
28
4
0-30
5-7 6
6
8
20
2
0-10
811
8
12
28
2
0-20
12- 14
18
14
20
48
4
0-30
14- 14
18
14
22
50
4
0-40
14
36
14
36
22
54
50
126
4
12
0-40
0–
100
4
4
4
8
12
5
2 семестр
Таблица 3.
Итого
часов
по
теме
В
том
числе в
интерактивной
фор
ме
Итого количество баллов
3
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в
час.
Ле Секц миСаии нармо*
ские
стоя(прак- тельтиче- ная
ские) разаня- бота
тия*
4
5
6
7
8
9
1-5
10
10
14
34
2
0-20
6-9
8
8
12
28
2
0-20
18
18
26
62
4
0-40
12
12
16
40
4
0-30
12
12
16
40
4
0-30
6
6
36
4
6
6
36
4
12
12
54
2
24
24
2
2
10
0-30
0-30
0 – 100
№
недели семестра
Тема
1
1.
2.
1.
1.
2
Модуль 1
Эллипс, парабола, гипербола
Линии и поверхности
второго порядка.
Всего
Модуль 2
Аффинные и изометрические преобразования.
Всего
Модуль 3
Проективная плоскость.
Всего
Итого (часов, баллов):
В том числе в интерактивной форме
10-15
16-18
126
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 семестр
Таблица 4.
№ темы
Устный опрос
коллоквиумы
Письменные работы
Информационные
системы и технологии
ответ на семинаре
контрольная
работа
тест
электронные практикумы
Итого количество баллов
Модуль
1
1.1
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
6
Модуль
2
2.1
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-10
2.2
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-20
Всего
Модуль
3
3.1
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
0-8
0-8
0-8
0-8
0-8
0-40
Всего
0-8
0-8
0-8
0-8
0-8
0-40
Итого
0-20
0-20
0-20
020
0-20
0 – 100
2 семестр
Таблица 5.
№ темы
Устный опрос
коллоквиумы
Письменные работы
Информационные
системы и технологии
ответ на семинаре
контрольная
работа
тест
электронные практикумы
Итого количество баллов
Модуль
1
1.1
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-20
1.2
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-20
Всего
Модуль
2
2.1
0-8
0-8
0-8
0-8
0-8
0-40
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
Всего
Модуль
3
3.1
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-30
Всего
0-6
0-20
0-6
0-20
0-6
0-20
0-6
020
0-6
0-20
0-30
0 – 100
Итого
7
Планирование самостоятельной работы студентов
1 семестр
Таблица 6.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Векторная алгебра.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Координаты на
.
плоскости и в пространстве.
2.2
.
Преобразование координат, ориентированные площади и
Виды СРС
обязательные
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной и дополнительной литературы;
3. Знакомство с содержанием электронных источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и
взаимоконтроль
выполненных заданий.
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной и дополнительной литературы;
3. Знакомство с содержанием электронных источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и
взаимоконтроль
выполненных заданий.
1. Проработка лекций;
2. Чтение обяза-
дополнительные
1. Разработка
программ
для решения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов
на ЗВМ.
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол
-во
баллов
1-4
12
0-30
12
0-30
1. Разработка
программ
для решения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов
на ЗВМ.
5-7
8
0-10
1. Разработка
программ
8-11
12
0-20
8
объем.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Прямая на плоско.
сти. Прямая и плоскость в пространстве.
тельной и дополнительной литературы;
3. Знакомство с содержанием электронных источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и
взаимоконтроль выполненных заданий.
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной
и дополнительной
литературы;
3. Знакомство с содержанием электронных
источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и
взаимоконтроль
выполненных заданий.
для решения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов
на ЗВМ.
1. Разработка
программ
для решения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов на
ЗВМ.
14-18
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
20
0-30
22
0-40
22
54
0-40
0100
2 семестр
Таблица 7.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Эллипс, парабола,
гипербола
Виды СРС
обязательные
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной
и дополнительной
литературы;
3. Знакомство с содер-
дополнительные
1. Разработка
программ
для ре-
Неделя
семестра
Объем
часов
Колво
баллов
1-5
14
0-20
9
шения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов на
ЗВМ.
Проработка лекций;
1. РазраЧтение обязательной и ботка
дополнительной липротературы;
грамм
Знакомство с содердля режанием электронных
шения
источников;
типовых
Самостоятельное
задач;
изучение заданного
2. Модематериала;
лироваРешение задач (тиние геоповых, исследовательских и др.);
метриСамоконтроль и
ческих
взаимоконтроль выобъекполненных заданий. тов на
ЗВМ.
жанием электронных
источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий.
1.2
Линии и поверхно- 1.
сти второго порядка. 2.
3.
4.
5.
6.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Аффинные и изо.
метрические преобразования.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Проективная плос.
кость.
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной
и дополнительной
литературы;
3. Знакомство с содержанием электронных
источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий.
1. Проработка лекций;
2. Чтение обязательной
и дополнительной
литературы;
3. Знакомство с содер-
1. Разработка
программ
для решения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов на
ЗВМ.
1. Разработка
программ
для ре-
6-9
10-15
16-18
12
0-20
26
0-40
16
0-30
16
0-30
12
0-30
10
жанием электронных
источников;
4. Самостоятельное
изучение заданного
материала;
5. Решение задач (типовых, исследовательских и др.);
6. Самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий.
шения
типовых
задач;
2. Моделирование геометрических
объектов на
ЗВМ.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
12
54
0-30
0-100
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
1.1
2.1
2.2
3.1
1.1 1.2
+
2.1
1.
Математический анализ
+
+
+
+
2.
Алгебра
+
+
+
+
3.
Дифференциальная геометрия и топология
Теоретическая механика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4.
2.2
+
+
+
Содержание дисциплины.
1 семестр
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Равенство направленных отрезков. Понятие свободного вектора. Сложение векторов. Отношение отрезков. Умножение вектора на число. Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис и координаты
вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
Модуль 2.
2.1.Координаты на плоскости и в пространстве.
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный
угол (на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.
2.2. Преобразование координат, ориентированные площади и объем.
5.
11
Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Векторное и смешанное произведение векторов.
Модуль 3.
3.1.Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и
плоскости. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных. Взаимное расположение двух
плоскостей, прямой и плоскости. Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол
между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
2 семестр
Модуль1
1.1.Эллипс, парабола, гипербола.
Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Приведение многочлена второго
порядка от двух переменных к каноническому виду. Виды линий второго порядка. Теоремы единственности для линий второго порядка. Пучок линий второго порядка.
1.2.Линии и поверхности второго порядка.
Алгебраические линии и поверхности. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды. Гиперболоиды.
Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго порядка. Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка. Центры линий и поверхностей второго порядка. Сопряженные направления и сопряженные диаметры линий второго порядка. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка.
Особые направления.
Модуль 2.
2.1. Аффинные и изометрические преобразования.
Преобразование векторов при аффинном преобразовании. Основные свойства аффинных
преобразований, формулы аффинного преобразования. Сохранение отношения площадей
и объемов при аффинных преобразованиях. Изометрические преобразования и движения.
Классификация движений плоскости. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация
линий и поверхностей второго порядка. Метрическая классификация линий и поверхностей второго порядка. Центры линий второго порядка. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка.
Модуль 3.
3.1.Проективная плоскость.
Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты на проективной плоскости.
Уравнение прямой в однородных координатах. Инцидентность. Двойственность. Теорема
Дезарга. Проективные системы координат. Проективные преобразования. Линии второго
порядка в однородных координатах. Проективная и проективно-аффинная классификация
линий второго порядка.
12
Планы семинарских занятий.
1 семестр
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Понятие свободного вектора. Сложение векторов. Отношение отрезков. Умножение вектора на число. Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов. Геометрический
смысл линейной зависимости. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
Модуль 2.
2.1.Координаты на плоскости и в пространстве.
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.
2.2. Преобразование координат, ориентированные площади и объем.
Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Векторное и смешанное произведение векторов.
Модуль 3.
3.1.Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и
плоскости. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных. Взаимное расположение двух
плоскостей, прямой и плоскости. Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол
между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
2 семестр
Модуль1
1.1.Эллипс, парабола, гипербола.
Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому виду. Виды линий второго порядка.
Пучок линий второго порядка.
1.2.Линии и поверхности второго порядка.
Алгебраические линии и поверхности. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды. Гиперболоиды.
Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго
порядка. Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка. Центры
линий и поверхностей второго порядка. Сопряженные направления и сопряженные диаметры линий второго порядка. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка.
Особые направления.
6.
13
Модуль 2.
2.1. Аффинные и изометрические преобразования.
Преобразование векторов при аффинном преобразовании. Основные свойства аффинных
преобразований, формулы аффинного преобразования. Сохранение отношения площадей
и объемов при аффинных преобразованиях. Изометрические преобразования и движения. Классификация движений плоскости. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация линий и поверхностей второго порядка. Метрическая классификация линий и поверхностей второго порядка. Центры линий второго порядка. Асимптоты и сопряженные
диаметры линий второго порядка.
Модуль 3.
3.1. Проективная плоскость.
Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты на проективной плоскости.
Уравнение прямой в однородных координатах. Инцидентность. Двойственность. Теорема Дезарга. Проективные системы координат. Проективные преобразования. Линии второго порядка в однородных координатах. Проективная и проективно-аффинная классификация линий второго порядка.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8.
Примерная тематика курсовых работ .
Не предусмотрена.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Зачёт и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех задач
контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо,
отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем
оценок.
Контрольные работы.
1 семестр
Контрольная работа № 1.
1. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе {SA, SB, SC}.
2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон.
14
4. Векторы
a
и
b образуют угол
6
. Зная, что
a 1 и b 2 , вычислить
a 3b 3a b .
Доказать, что abc b(ac) a(bc) .
2
5.
6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на
оси ординат.
Контрольная работа № 2.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
Контрольная работа № 3.
Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат.
Найти:
1. Уравнения грани АВС.
2. Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
4. Объем тетраэдра.
5. Площадь грани АВС.
6. Двугранный угол при ребре СВ.
7. Длину высоты, опущенной из вершины D.
8. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
9. Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
10. Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
2 семестр
Контрольная работа № 1.
1.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной в декартовой системе координат xOy
2.
: A * x 2 2B * x * y C * y 2 2D * x 2E * y F 0 .
3. (1)
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат.
Построить чертеж.
15
2. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1 2) , асимптотами которой
1
служат прямые y x
2
3. Составить уравнение такой хорды эллипса
, которая точкой (2,1) делится пополам.
Контрольная работа № 2.
1. Исследовать уравнение поверхности второго порядка методом сечений.
2. Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида x 2 y 2 4 * z , параллельные плоскости x y z 1 0.
2. Составить уравнение цилиндра, образующие которого касаются сферы x 2 y 2 z 2 1 и
составляют равные углы с осями координат. Система координат прямоугольная.
3. По какой линии плоскость x y z 3 0 пересекает двуполостный гиперболоид
x 2 y 2 z 2 4 ?
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
x2 y 3 z 2
2
1
0
и касающейся эллипсоида
x2 y 2 z 2
1
16 12 4
Контрольная работа №3.
1.
Найти аффинное преобразование, являющееся произведением сжатия к прямой
x+y-1=0 с коэффициентом ½ и симметрии относительно этой прямой. Система координат
прямоугольная.
2.
Привести к каноническому виду уравнение квадрики
2
2
x1 x 2 2 * x1 * x3 2 * x 2 * x3 0 на проективной плоскости.
Вопросы к экзамену.
1. Сложение векторов.
2. Умножение вектора на число.
3. Координаты на прямой.
4. Линейная зависимость векторов.
5. Геометрический смысл линейной зависимости.
6. Базис и координаты вектора
7. Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении.
8. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами.
9. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы.
10. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в
пространстве.
11. Преобразование аффинных координат вектора и точки.
12. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат вектора и
точки.
13. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда.
14. Векторное и смешанное произведение векторов.
16
15. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой
и плоскости.
16. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных.
17. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных.
18. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости.
19. Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.
20. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью.
21. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой.
22. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
23. Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы.
24. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому виду.
25. Виды линий второго порядка.
26. Теоремы единственности для линий второго порядка.
27. Пучок линий второго порядка.
28. Алгебраические линии и поверхности.
29. Распадающиеся линии и поверхности.
30. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.
31. Эллипсоиды.
32. Гиперболоиды.
33. Параболоиды.
34. Прямолинейные образующие поверхностей.
35. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду.
36. Виды поверхностей второго порядка.
37. Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка.
38. Центры линий и поверхностей второго порядка.
39. Сопряженные направления и сопряженные диаметры линий второго порядка. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка.
40. Особые направления.
41. Преобразование векторов при аффинном преобразовании.
42. Основные свойства аффинных преобразований, формулы аффинного преобразования.
43. Сохранение отношения площадей и объемов при аффинных преобразованиях. Изометрические преобразования и движения.
44. Классификация движений плоскости.
45. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация линий и поверхностей второго порядка.
46. Метрическая классификация линий и поверхностей второго порядка.
47. Центры линий второго порядка.
48. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка.
49. Пополненная плоскость и связка.
50. Однородные координаты на проективной плоскости.
51. Уравнение прямой в однородных координатах.
52. Теорема Дезарга. Проективные системы координат.
53. Проективные преобразования.
54. Линии второго порядка в однородных координатах.
55. Проективная и проективно-аффинная классификация линий второго порядка.
10. Образовательные технологии.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями
17
обучения (различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные
информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, групповая дискуссия, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в
электронной форме.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1.
Основная литература:
1. В.В.Федорчук, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Энас,
2003.
2. П.С.Моденов, А.С.Пархоменко, Сборник задач по аналитической геометрии,
М., 2005 (изд-е стер.).
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматгиз, 2009. (134
экз).
4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматгиз, 2006.
5. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- М.: Наука, 1978.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.: Профессия,
2009.
7. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – СПб.:
Лань, 2003.
8. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
11.2. Дополнительная литература:
1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.1. – СПб.: СпецЛитер
тура, 1997.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Просвещение, 1986.
3. Франгулов С.А., Совертков П.И., Фадеева А.А., Ходот Т.Г. Сборник задач по
геометрии. – М.: Просвещение, 2002.
. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Федеральный портал ≪Российское образование≫ http://www.edu.ru/
2. Федеральное хранилище ≪Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов≫ http://schoolcollection.edu.ru/
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.
11.3
18
