zanyatie47_EGE_Geometricheskiy_smysl_proizvodnoy ()

Занятие №47. Геометрический смысл производной.
Геометрический смысл производной: Тангенс угла наклона касательной проведённой к точке x 0 графика
функции f (x) равен значению производной этой функции в точке x 0 . Т.е. tg  f ' ( x0 ) .
Т.к.
f ' ( x0 )  k , окончательно получаем: tg  f ' ( x 0 )  k
.
После подстановки значений данное уравнение можно привести к виду: y  kx  b .
Прим.1: найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0  3 к графику функции f ( x)  3x 2  2 x  5 .
Найдём производную функции: f ' ( x)  6 x  2 ;
Найдём значение производной в точке x 0  3 : f ' (3)  6  3  2  20 ;
 tg  f ' ( x 0 )  f ' (3)  20 .
Прим.2: найти угол наклона касательной проведённой к точке x 0  3 графика
функции f ( x)  3x 2  2 x  5 .
Найдём производную функции: f ' ( x)  6 x  2 ;
Найдём значение производной в точке x 0  3 : f ' (3)  6  3  2  20 ;
 tg  f ' ( x 0 )  f ' (3)  20
  arctg 20
Прим.3: найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции f ( x)  3x 2  2 x  5 находится
под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.
tg  f ' ( x0 )
1
tg 45  1; f ' ( x)  1; f ' ( x)  6 x  2; 6 x  2  1; x   .
6
Прим.4: найти точки в которых касательная к графику функции f ( x)  3x 2  2 x  5 параллельна оси Ох.
 0
2
1
tg 0  0; f ' ( x)  0; f ' ( x)  6 x  2; 6 x  2  0; x     .
6
3
1. Найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0  3 к графику функции:
1)
2) f ( x) 
f ( x)  4 x 2  x ;
1
2x  5 ;
3
3) f ( x) 
2. Найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0 
1)
f ( x)  cos 3 x ;
2) f ( x)  3 sin 2 x ;
x x 5
; 4) f ( x)  3x 4  3x 2  5 ;
x3

3
:
3) f ( x)  2ctg(3x) ; 4) f ( x)  tg 2 x ;
3. Найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0  0 :
1)
f ( x)  3e 3 x ;
4) f ( x)  5 x ;
2) f ( x)  0.5 ln x ; 3) f ( x)  6 log 5 x ;
4. Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции находится под углом 45 градусов
к положительному направлению оси Ох.
5 x
1
;
2) f ( x) 
;
3
x6
5. Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции параллельна оси Ох.
1)
f ( x) 
1) f ( x) 
2x  1
; 2) f ( x)  7 x 2  x ;
x  2x  1
2
Домашнее задание:
1. Найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0  0 к графику функции:
1)
f ( x)  2 x  4 x  2 x ;
3
2
2) f ( x)  3  2 x 2 ;
3) f ( x) 
2. Найти тангенс угла наклона касательной в точке x 0 
1)
f ( x)  5 sin x ;

2
3x 2
; 4) f ( x)  7 x  x 3  6 ;
x2
к графику функции:
2) f ( x)  2 cos x  1 ;
3. Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции находится под углом 45 градусов
к положительному направлению оси Ох.
1)
f ( x) 
2
;
5 x
2) f ( x) 
x6
;
3
4. Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции параллельна оси Ох.
1) f ( x)  x 2  2 x  1 ; 2) f ( x)  2 x 2  x ;