Lekciya14

Лекция 14
Момент импульса: матричная теория
Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ
носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда
коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.
Введём следующие операторы:
Lˆ = Lˆx  iLˆ y
(1)
С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов L̂ . Имеем:
 Lˆ , Lˆ    Lˆx  iLˆ y , Lˆx  iLˆ y    Lˆx , Lˆx   i  Lˆ y , Lˆx   i  Lˆx , Lˆ y    Lˆ y , Lˆ y   2i  Lˆx , Lˆ y   2 Lˆz (2)

 
 
 
 
 



 Lˆ , Lˆz    Lˆx  iLˆ y , Lˆz    Lˆx , Lˆz   i  Lˆ y , Lˆz   i Lˆ y

 
 
 

 Lˆ , Lˆ2    Lˆx , Lˆ2   i  Lˆ y , Lˆ2   0

 
 

Lˆx 
Lˆ
(3)
(4)
Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса
и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы L̂ неэрмитовы, они не отвечают никаким
наблюдаемым величинам.
Явные выражения для операторов L̂ можно получить из определения оператора момента
ˆ
L  rˆ  pˆ и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента Lˆ x и
Lˆ y приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения
для операторов L̂ :
 
 
Lˆ = e i  
 i ctg

 
 
(5)
Пусть, далее,  l 2l - общая собственная функция операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающая собz
ственным значениям l 2 и lz (сейчас предполагается, что собственные значения операторов
квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собствен1
ных функций операторов L̂2 и Lˆ z следует из факта их коммутации). Докажем, что функции
Lˆ l 2l удовлетворяют уравнениям:
z
Lˆz Lˆ l 2l   lz 
 Lˆ l l
2
z
Lˆ2 Lˆ l 2l  l 2 Lˆ l 2l
z
z
(6)
z
то есть являются общими собственными функциями операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающими собственным значениям l 2 и lz 
(либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения
(6) также удовлетворяются).
Для доказательства подействуем операторами L̂ на уравнения на собственные значения
операторов L̂2 и Lˆ z :
Lˆ
Lˆ2 l 2l  l 2 l 2l
Lˆ
Lˆz l 2l  lz l 2l
z
z
(7)
z
(8)
z
Пользуясь тем, что операторы L̂ коммутируют с оператором L̂2 , поменяем порядок следования
операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

 
Lˆ2 Lˆ l 2l  l 2 Lˆ l 2l
z
z

(9)
В уравнении (8) поменять порядок следования операторов L̂ и Lˆ z нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного
соотношения (3) и подставим в уравнение (8):
 Lˆ Lˆ
z


Lˆ  l 2l  lz l 2l
z
(10)
z
Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение


Lˆz Lˆ l 2l   lz 
z
  Lˆ l l
2
z

(11)
Из уравнений (10), (11) следует, что функции Lˆ l 2l являются собственными функциями операz
торов L̂2 и Lˆ z , отвечающими собственным значениям l 2 и lz 
соответственно, или тожде-
ственно обращаются в нуль Lˆ l 2l  0 (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяютz
ся, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).
2
По этой причине операторы L̂ и L̂ называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось z .
Далее. Пусть j максимальное собственное значение проекции момента на ось z при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда
Lˆ l 2 , j = 0
(12)
Подействуем на это равенство оператором L̂ :
Lˆ Lˆ l 2 , j  0
(13)
Lˆ Lˆ  ( Lˆx  iLˆ y )( Lˆx  iLˆ y )  Lˆ2x  Lˆ2y  i[ Lˆx , Lˆ y ]  Lˆ2  Lˆ2z  Lˆz
(14)
С другой стороны из определения имеем
Поэтому равенство (13) сводится к
 Lˆ  Lˆ  Lˆ  
2
2
z
z
l2 , j
0
(15)
Так волновая функция  l 2 , j есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось z ,
равной j , получим:
l
2
 j 2  j  l 2 , j = 0
(16)
Отсюда
l2 = j2  j
(17)
где j - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию  l 2 , j оператором L̂ , будем получать новые собственные функции
l 2 , j
l 2 , j 
l 2 , j 2
 l 2 , j 3
(18)
...
пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию k . С одной
стороны, для числа k справедливо равенство
k  jn
(19)
где n - целое число. С другой, для функции  l 2 ,k выполнено условие
Lˆ  l 2 ,k = 0
(20)
Действуя на это равенство оператором L̂ , получаем:




Lˆ Lˆ  l 2 ,k  Lˆ2x  Lˆ2y  i[ Lˆx , Lˆ y ]  l 2 ,k  Lˆ2  Lˆ2z  Lˆz  l 2 ,k  0
3
(21)
Так как функция  l 2 ,k является собственной функцией операторов L̂2 и Lˆ z , то из формулы (21)
получаем
l
2
 k 2  k   l 2 ,k = 0
(22)
или
l2 = k2  k
(23)
Подставляя в формулу (23) k из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17),
получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным
квадратом момента
j
n
2
(24)
где n - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось z определяются соотношениями
l2 =
lz  l ,
2
l (l  1)
(l 1),
(25)
(l  2), ...  l
(26)
где l - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь
не могут.
Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора L̂ (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла 
волновой функции состояния с максимальной проекцией Yll ( ,  ) определяется соотношением
ll ( )eil , где ll ( ) - некоторая функция полярного угла  , из формул (5), (12) получаем для
функции ll ( )
d ll ( )
 l ctg ll ( ) = 0
d
(27)
ll ( ) = const  sin l 
(28)
откуда
Выражение для сферической функции Yll 1 ( ,  ) получаем, действуя на (28), понижающим оператором:
Yl ,l 1
Lˆ _ Yll
 
  l il
ei  
 ictg
 sin e
 
 
4
ei (l 1)
1
d
sin 2l
l 1
sin  dcos
(29)
Аналогично получается и общее выражение для сферической функции
Ylm
 
Lˆ
l m
Yll
eim
1
d l 2
sin 2l
m
l m
sin  d (cos )
(30)
Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:
 Lˆ , Pˆ  = 0


(31)
Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией
обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как
r  r
 r r

    
    


(32)
то
Ylm (   ,    )  Ylm ( ,  )
(33)
Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов
 Lˆ  ,
n

которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность
функции Yll ( ,  ) . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с
максимальной проекцией:
Yll ( ,  ) = const  sin l  eil
(34)
Yll (   ,    ) = const  sin l (   )eil (  )  (1)l Yll ( ,  )
(35)
Из (34) имеем
Поэтому для любых сферических функций
Ylm (   ,    )  (1)l Ylm ( ,  )
5
(34)