Reshenie_geometricheskikh_zadach_raznymi_sposobx

УДК 514.7
"Решение геометрических задач разными способами."
Русскина Алена Алексеевна
Научный руководитель Бакуменко Наталия Владимировна
МБОУ Лицей №174
Введение:
Задание 19 в ЕГЭ включает в себя решения геометрических задач , особенно, задач,
связанных с нахождением углов. В следующем году мне предстоит сдавать ЕГЭ и я
решила выяснить какие еще методы можно использовать в решение данных задач. Для
своей работы я решила выбрать задачи с нахождением углов в пространстве. В своей
работе я рассмотрю два метода решения: координатный и поэтапно-вычислительный
метод
Цель: Изучить геометрические задачи и методы их решения.
Задачи:
1) Изучить методы решения задач
2) Решить геометрические задачи
3) Сравнить методы
Предмет исследования : многогранники , углы в пространстве.
Объект исследования: методы решения геометрических задач.
Координатный метод. Формулы:
𝑀=(
𝑥1+𝑥2 𝑦1+𝑦2 𝑧1+𝑧2
2
;
2
;
2
) , где М-середина
отрезка.
Решение задач.
Задача:В кубе АBCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС1.
Найти:угол между АВ1и (АВС1)
Решение: 1 метод.
1. Обозначим ребро куба за 1.
2. Введём прямоугольную систему координат.
3. Обозначим координаты точек A, B, C, B1.
4. Проведём В1С.
5. В1С ⊥ ВС1 , т.к. ВВ1С1С – квадрат, а В1С и ВС1 – его диагонали ⟹ можно
спроецировать точку В1 на точку О.
6. Угол между АВ1 и плоскостью АВС1 есть угол между АВ1 и её проекцией АО ⇒надо
найти угол между АВ1 и её проекцией АО (α).
7. Найдём координаты точки О.
8. Найдём координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ1 и ⃗⃗⃗⃗⃗
АО
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ1 {0; 1; 1}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АО{−0,5; 1; 0,5}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 | = √02 + 12 + 12 = √2
9. |АВ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √0,52 + 12 + 0,52 = √1,5
|АО
10. Воспользуемся скалярным произведением векторов
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ cos ∝
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 | ∗ |АО|
АВ1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АО = |АВ
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 АО
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∗ (−0,5) + 1 ∗ 1 + 1 ∗ 0,5
АВ
cos ∝ ∗ √3 = 1,5
cos ∝ =
1,5
√3
3
= 2√3 =
3√3
6
=
√3
2
⟹ α = 30°
2 метод.
Проведем диагональ В1С. Так как в квадрате диагонали перпендикулярны, то
В1С⊥ВС1. Кроме того, В1С⊥АВ (теорема о трех перпендикулярах), а поэтому В1С перпендикуляр к плоскости АВС1.
Пусть В1С пересекает ВС1 в точке О. Тогда АО - проекция АВ1 на плоскость АВС1.
Поскольку угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее
ортогональной проекцией на эту плоскость, то углом между прямой АВ1 и плоскостью
АВС1 является угол В1AО.
sin∠В1AО=В1О/АВ1=1/2
Откуда ∠В1AО =30°.
Вывод:
Таким образом мы рассмотрели 2 вида решения геометрических задач на нахождение
углов в пространстве. Когда находят углы междускрещивающимися прямыми, прямой
и плоскостью метод координат является наиболее предпочтительными, так как не
требуют геометрического доказательства, рассмотрения геометрических конфигураций
и сводят задачу к алгебраическому вычислению.
Литература:
1. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кириллов А.А. Метод координат. М.:
Наука,1968.
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. Геометрия: Учебник для 10-11
классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2003.
3. Интернет ресурсы