§8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве V (3) (V ( 2 ) ) декартов прямоугольный базис i , j , k ( i , j ). Рассмотрим следующие задачи. ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны декартовы координаты начала и конца вектора. Пусть точки A и B лежат в плоскости xOy и имеют координаты A( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . Рассмотрим векторы AB , y A B OA и OB . Имеем: AB OB OA . Но OB ПрOx OB; ПрOy OB x2 ; y2 , OA ПрOx OA ; ПрOy OA x1; y1. x O AB x2 x1; y2 y1. Следовательно, Аналогично получаем, что если AB V (3) и A( x1; y1; z1 ) , B ( x2 ; y2 ; z2 ) , то AB x2 x1; y2 y1; z2 z1. ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. Пусть a V ( 2) и a axi a y j {ax ; a y } . Имеем: y a x Пр Ox a , a y Пр Oy a . Рассмотрим треугольник ABC . Имеем: AB a , AC ПрOx a ax , A CB Пр Oy a a y . AC 2 CB 2 ay ax O Следовательно, по теореме Пифагора, AB B 2 C x 2 ПрOx a ПрOy a , a (a x ) 2 (a y ) 2 . Аналогично получаем, что если a V (3) и a axi a y j azk {ax ; a y ; az } , то a (a x ) 2 (a y ) 2 (a z ) 2 . ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта. 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора a называется вектор a0 , сонаправленный с вектором a и имеющий единичную длину. Пусть a axi a y j azk {ax ; a y ; az } . Так как векторы a и a0 сонаправленны, то существует 0 такое, что a0 a . Следовательно a0 { ax ; a y ; az } . Найдем . Имеем: a0 a a a 1, 1 . a Таким образом, получаем: a a y az a0 x ; ; . a a a Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический смысл. Обозначим через , и углы, которые вектор a образует с координатными осями Ox , Oy и Oz соответственно. cos , cos , cos называются направляющими косинусами вектора a . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем: если 90; a cos , a x Пр Ox a A1B1 a cos1 a cos , если 90. a a 1 x x B1 A1 Аналогично находим: a y Пр Oy a a cos , az ПрOz a a cos . Следовательно, ay a a cos x , cos , cos z . a a a Таким образом, получили, что координаты орта вектора a являются его направляющими косинусами. Замечание. Так как a0 1 и a0 cos ; cos ; cos , то cos 2 cos 2 cos 2 1 . Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора. 2 ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 в отношении ( 1) если M1M0 M0M1 . Если 0 , то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2 . В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 во внутреннем отношении. Если 0 , то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M1M 2 и говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 во внешнем отношении. Пусть M1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Обозначим через r1 , r2 , r0 – радиус-векторы точек M 1 , M 2 и M 0 соответственно. Тогда M1M0 r0 r1 , M 0M 2 r2 r0 . M1 r1 r0 M0 r2 M2 O Так как M1M0 M0M1 , то r0 r1 r2 r0 , r0 r0 r1 r2 , r0 (1 ) r1 r2 , r0 r1 r2 1 или в координатной форме: y y2 x x2 z z2 , y0 1 , z0 1 . x0 1 1 1 1 В частности, если M 0 – середина отрезка M1M 2 , то (1) (2) M1 M 0 M 0 M 2 , т.е. 1 и формулы (1) и (2) примут вид: r r r0 1 2 2 x1 x2 y1 y2 z z и , y0 , z0 1 2 . x0 2 2 2 Замечание. Если точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2 , то обычно говорят, что M 0 делит отрезок M1M 2 в отношении m : n . В m этом случае , а формулы (1) и (2) можно переписать в виде: n 3 n r1 m r2 nm n x1 m x2 n y1 m y2 n z1 m z2 , y0 , z0 . x0 nm nm nm r0 и §9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число a b cos . Если a 0 или b 0 , то скалярное произведение векторов a и b полагают равным нулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначают (a, b ) или a b . СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. ( a , b ) (b, a ) . Это свойство очевидно из определения. 2) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно произведению длины вектора a на проекцию вектора b на вектор a (длины вектора b на проекцию a на b ). a ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора a на b вектор b называется проекция вектора a на ось, определяемую вектором b . Имеем: Но (a, b ) a b cos . a cos Пр b a . b cos Пр a b , Следовательно, (a, b ) a Пр a b , и (a, b ) b Пр b a . 4 3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е. (a, b ) (a, b ) (a, b) . Действительно, пусть 0 . Тогда a ( a , b ) ( a , b ) , (a, b ) a b cos a b a b cos (a, b) . Пусть 0 . Тогда (a, b ) , ( a , b ) , (a, b ) a b cos( ) a b ( cos ) a b a a b cos a b cos (a, b) . 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: (a1 a2 , b) (a1, b) (a2 , b) , (a, b1 b2 ) (a, b1) (a, b2 ) . Действительно, a1 a2 (a1 a2 , b) b Пр b (a1 a2 ) b Пр b a1 Пр b a2 b Пр b a1 b Пр b a2 (a1, b ) (a2 , b) . a1 a2 b 5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. 2 (a, a ) a . Это свойство очевидно из определения. 6) Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (критерий перпендикулярности векторов). Действительно, пусть векторы a и b перпендикулярны. Тогда ( a , b ) 90 и (a, b ) a b cos90 0 . Обратно, пусть (a, b ) 0 и a 0 , b 0 . Тогда 5 a b cos 0 и a 0 , b 0 , cos 0 и 90 . 7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a и b имеют координаты: a {ax ; ay ; az }, b {bx ; by ; bz }, (1) (a, b ) axbx a yby az bz . Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов. Она легко выводится из свойств 4, 5, и 6. то 8) Если под действием постоянной силы F точка перемещается по прямой из точки M 1 в M 2 , то работа силы F будет равна A F, M1M 2 (физический смысл скалярного произведения). 6