Урок 6.Тема Координаты и векторы в пространстве

Урок 6.Тема Координаты и векторы в пространстве.Прямоугольная система
координат.Расстояние между точками.Координаты середины отрезка.
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые,
назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы
получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат
называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся
система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются
три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.
Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат
(см. Рис. 1).
Рис. 1. Построение точки B в пространстве
Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую
параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким
образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет
координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И
прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали
параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку
B.
Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см.
Рис. 2).
Рис. 2.
Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти
точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения,
получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости
Oxy.
Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2,
значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей
Oxy и Oyz.
Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до
точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую,
параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и
проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как
ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.
Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые
проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении
получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит
в плоскости Oyz.
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала
координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный
вектор оси абсцисс , единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат
(см. рис.
1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны –
попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.
Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Возьмем вектор
, поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем
некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на
плоскость Oxy, и найдем координаты векторов
,
и
. Получаем:
.
Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор
лежит на оси Ox, значит, согласно
свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на
координатный вектор
поступим и с векторами
векторам:
.
, а длина вектора
и
ровно в x раз больше длины
, и получаем разложение вектора
. Так же
по трем координатным
Рис. 2.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор
как разность
векторов
и
по свойству векторов. Причем,
и
- радиус-векторы, и их координаты
совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты
вектора
как разность соответствующих координат
векторов
и
:
мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.
. Таким образом, координаты вектора
Рис. 3.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем
векторы
,
,
. Нас спрашивают вектор
. В данном
случае найти
это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют.
Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:
Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с
2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:
Ответ:
Пример №2.
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно
перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.
Найти:
,
,
,
,
,
,
,
.
Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию
обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим
координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора
- это разность координат его конца и начала,
получаем:
векторов
. Таким же образом находим координаты
и
.
;
Чтобы найти координаты вектора
.
, нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку
видно, что точка N имеет координаты
, так как она лежит на оси аппликат.
Рассмотрим
. MN – средняя линия,
. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь
проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит
по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их
разность:
.
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5
по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P
имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора
векторов:
и
- радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих
,
.
.
Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две
точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).
Рис. 1. Координаты середины отрезка
Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB.
Вектор
является половиной суммы векторов
и
, потому что OC – это
половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах
и
.
Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB точек A и B. Найдем координаты точки С:
,
,
.
Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2).
Если у нас есть вектор
формуле:
, то его модуль вычисляется по
.
Рис. 2.
Рассмотрим вывод этой формулы.
1) Начертим вектор
и совместим его начало с началом координат, чтобы
координаты точки M совпадали с координатами вектора.
2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.
3) Рассмотрим
. OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая
координата точки M. Гипотенуза
,
- по теореме Пифагора.
4) Рассмотрим
- прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости
Oxy.
, MK=z.
- по теореме Пифагора.
Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы
координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.
Рис. 3.
Решение:
1) Найдем координаты вектора
2) Найдем модуль вектора
.
.
по его
координатам:
Задача №1.
Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB,
.
. Найти: m, n.
Решение: Так как
, мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем
формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три
уравнения:
;
;
.
Ответ:
,
.
Задача №2.
Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала
координат до точки C.
Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме
соответствующих координат.
.
Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы
должны найти длину отрезка OC или модуль вектора
. Так как
вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки
Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его
координатам:
.
- радиус.