Урок 3. Размещения Цель: ввести понятие «размещение из n элементов по k» вывести формулу, учить её применять к решению задач, формировать умение различать понятия перестановка и размещение. I. Организационный момент. II. Устный счёт. Вопросы: 1.Что такое перестановка? 2.Чему равно число различных перестановок из n предметов? 3.Что такое факториал натурального числа? 4.Чему равно 1!, 2!, 4!, 5!? 5.Составьте задачу, в которой надо найти число различных перестановок. (машины на ремонте в автосервисе) 6. Сколько 3-х значных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? (3!=6) 7. Сколько 2-х значных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Есть ли сходство между 6 и 7 задачами? ( в 6-ой: из 3-х элементов по 3 = перестановка из n по n; в 7-ой: из 3-х элементов по 2 = размещения из n по k) II. Изучение нового материала. Мы встретились со случаем, где нужно выбрать из n элементов любые k и расставить их на k мест. Такие комбинации называются размещениями из n элементов по k и обозначатся Ank . Итак, размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. Для учителя: размещения отличаются друг от друга как составом элементов, выбранных в комбинацию, так и их расположением. Выведем формулу подсчёта числа размещений: Как и для перестановок количество размещений можно найти по правилу умножения: на первое место ставим любой из n имеющихся элементов, на 2-ое – любой из (n-1) оставшихся элементов и т.д. пока не заполнятся все k мест, т.е. Ank n! ( n k )! ; Вывод смотрите на странице 181 учебника III. Примеры. Смотрите стр 181 примеры 1и 2 – рассмотреть самостоятельно. Пример 1. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем 9! A94 6 7 8 9 3024 . Итак, мы нашли, что расписание можно составить 3024 5! способами. IV. Закрепление. №757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4x100 м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах? Решение. Выбор из 12 по 4 с учетом порядка: А124 12 11 10 9 11880 способов. Ответ: 11880 способов №762(б) Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8 ? Решение. а) Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение: А𝟒𝟓 = 𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟐𝟎 чисел. б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноЛЬ. Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем А𝟑𝟒 = 𝟒 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐 = 𝟐𝟒 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы. Количество четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно: 𝟒 А𝟓 − А𝟑𝟒 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟐𝟒 = 𝟗𝟔 чисел. Можно рассуждать, непосредственно используя правило произведения: первый выбор - 4 варианта, второй выбор - 4 варианта (включая ноль), третий выбор - 3 варианта, четвертый выбор 2 варианта. Всего 4*4*3*2= 96 чисел. Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел. V. Обучающая самостоятельная работа I вариант №760(а)На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Решение. а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме: А62 6 5 30 способов. II вариант №760(б). На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Решение. б) Выбираем 4 места для 2 фотографий из 6: А6 6 5 4 3 360 способов. №756 На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда? Решение. Выбираем из 7 запасных путей 4 пути для размещения на них поездов; порядок выбора имеет А74 7 6 5 4 840 значение: способов. Ответ: 840 способов. №758 В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Выбор из 10 по 5 с учетом порядка: À105 10 9 8 7 6 30240 способов. Ответ: 30240 способов. VI. Д/з №755; 759; 763;760в. №755. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение. Количество способов 2 30 29 870 способов. выбора равно А30 Ответ: 870 способов. № 759 Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов? Решение. Выбираем 6 столов для студентов из 20 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя, и т. п.): 6 А20 20 19 18 17 16 15 27907200 способов. Ответ: 27 907 200 способов. №763 Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля? Решение. Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем: А𝟕𝟏𝟎 − А𝟔𝟗 = 𝟏𝟎 ∗ А𝟔𝟗 − А𝟔𝟗 = 𝟗 ∗ А𝟔𝟗 = 𝟗 ∗ 𝟗 ∗ 𝟖 ∗ 𝟕 ∗ 𝟔 ∗ 𝟓 ∗ 𝟒 = 544 320 номеров. Ответ: 544 320 телефонных номеров. 760(в). На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Решение. в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий): А62 Р6 6! 720 способов. Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.