Решения задач 3 тура: Задача 1. Решение.

Решения задач 3 тура:
Задача 1.
32 2
3 2 2
3 2 2
 32 2 
Ответ:
32 2

32 2
6 2
17  2


17
2
6 2

6 2
6 2
6 2


Решение.
Решить уравнение
x  2
ОДЗ: 
.
x  3

6 2
6 2
6 2

17
.
2
(3 балла)
17

2

17 3  2 2 6  2
17




2
98
36  2
2
6  4 2  6  2 12  3 2
.

2
2
12  3 2
.
2
Задача 2.
6 2

3 2 2
3 2 2
Решение.

3 2 2
Вычислить
1 x
1
. (3 балла)
1 
(2  x)( x  3)
2 x
1 x
1
1 
(2  x)( x  3)
2 x
1  x  (2  x)( x  3)  ( x  3)
0
(2  x)( x  3)
1  x  2 x  x 2  6  3x  x  3  0
 x 2  3x  2  0 .
D  9  8  1, x1  1, x2  2 не входит в ОДЗ.
Ответ: x  1.
Задача 4. Решить неравенство
x 1
Решение.
1
1
 
 
 2
 2
x 1  2 x 1
1
 
 2
x 1
2 x 1
( x  1) 2  4( x  1) 2
x 2  2 x  1  4 x 2  8x  4  0
1
 
 4
x 1
.
(4 балла)
 3x 2  10 x  3  0.
 3x 2  10 x  3  0.
Решим уравнение
1
D  100  36  64, x1   , x 2  3.
3
+
-3

_
1
3
_
1
Решением неравенства является множество (;3)  ( ;).
3
1
Ответ: x  (;3)  ( ;).
3
Задача 5. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади
основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
(6 баллов)
S îñí .êîí .  R 2 . По условию задачи
r 1
1
4r 2  R 2 . Откуда 4r 2  R 2 или R  2r . Поэтому tg   ,   arctg .
R 2
2
1
Требуемый угол равен 2  2arctg .
2
S ïîâ .ø .  4r 2 ,
Решение.

R
r
1
Ответ: 2arctg .
2
 
log 2 ( x(1  x))  2  sin   . (9 баллов)
 x
Решение. Ветви параболы y  x(1  x) направлены вниз и, значит, наибольшее значение
1
1
1
1
эта функция примет в точке x 0  и оно будет равно y 0   (1  )  . Так как функция
2
2
2
4
Задача 6. Решить уравнение
y  log 2 x возрастает на (0,) , то левая часть примет наибольшее значение равное
1
 
 
 2 . Поскольку sin    0 , то правая часть  2  sin    2 . Отсюда
4
 x
 x
заключаем, что исходное уравнение равносильно системе
1

log 2 ( x(1  x))  2
(
x
(
1

x
))


4
1

или 
, решением которой является x  .

 
2
sin     0
 2  sin  x   2
 

  x 
1
Ответ: x  .
2
log 2