VGasp_ExamGeometryAndTopology_2013 (новое окно)

Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ИТОГОВОГО ЭКЗАМЕНА
Междисциплинарный итоговый экзамен по направлению "Математика".
Геометрия и топология
Interdisciplinary Exam in Mathematics. Geometry and Topology
Язык(и) обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 3
Регистрационный номер рабочей программы:
2013
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий
Проверить сформированность компетенций, позволяющих присвоить квалификацию
Исследователь. Преподаватель-исследователь.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты)
Полностью завершенный курс теоретического и практического обучения по
образовательной программе.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Присвоение квалификации: Исследователь. Преподаватель-исследователь.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: готовность применять научный подход в своей профессиональной деятельности,
разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-2: готовность работать с текстами профессиональной направленности и сообщать о
результатах своей учебной и научной работы на английском/иностранном и русском
языках.
1.4. Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий
Проведение итогового экзамена.
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам. раб. с использованием
методических материалов
в присутствии
преподавателя
Самостоятельная работа
под руководством
преподавателя
итоговая аттестация
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
практические
занятия
консультации
семинары
лекции
Код модуля в составе
дисциплины,
практики и т.п.
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
3й год
обучения
ИТОГО
2
104
2
1-8
2
1-1
104
1-1
2
2
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой аттестации
Формы текущего контроля
Виды промежуточной
Код модуля в
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
успеваемости
аттестации
составе
образовательных программ)
дисциплины,
Формы
Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
практики и т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
3й год обучения
итоговый
экзамен
по графику
итоговой
аттестации
3
3
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
№
Наименование темы (раздела, части)
п/п
1
Общая топология
Очная форма обучения
по методическим материалам
Количество
часов
11
Вид учебных занятий
2
Алгебраическая топология
по методическим материалам
29
3
Топология гладких многообразий
по методическим материалам
18
4
Топология малых размерностей
по методическим материалам
5
5
Дифференциальная геометрия
по методическим материалам
24
6
Геометрические структуры на гладких
многообразиях
Геометрия групп Ли и однородных
пространств
Дискретная
и
комбинаторная
геометрия
Экзамен
по методическим материалам
7
по методическим материалам
5
по методическим материалам
5
итоговая аттестация
2
7
8
9
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Не предусмотрено
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Литература из списка информационного обеспечения
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Экзамен проводится в устно-письменной форме по билетам в присутствии членов
экзаменационной комиссии. Билет состоит из двух вопросов. На подготовку ответа
аспиранту дается 2 часа. Ответ аспиранта экзаменационной комиссии продолжается 2
часа.
Помимо экзаменационного билета, аспирант представляет экзаменационной комиссии
развернутый отчет о педагогической работе (практике) за время своего обучения.
В случае выполнения педагогической практики в полном объеме и признания отчета
удовлетворительным, аспирант может получить за итоговый экзамен положительную
оценку. В случае невыполнения педагогической практики в полном объеме или признания
отчета неудовлетворительным, аспирант получает за итоговый экзамен оценку
«неудовлетворительно».
Критерии оценивания государственного экзамена:






знание определений, математических понятий, формулировок и доказательств
утверждений
знание фактического материала
владение необходимым математических аппаратом
умение применять имеющиеся теоретические знания при решении задач
критическое и самостоятельное изложение материала
способность отвечать на дополнительные вопросы по программе экзамена.
Система оценивания государственного экзамена
Оценка «отлично» выставляется в том случае, если:





дан исчерпывающий ответ на поставленные вопросы билета
даны ответы на дополнительные вопросы
продемонстрировано наличие глубоких знаний в рамках программы экзамена
безошибочно использован математический аппарат
решены поставленные задачи.
Оценка «хорошо»:





дан достаточно полный ответ на поставленные вопросы билета
даны ответы на большую часть дополнительных вопросов
продемонстрировано наличие полных знаний в рамках программы экзамена
в целом верно использован математический аппарат
поставленные задачи решены частично.
Оценка «удовлетворительно»:





дан ответ на поставленные вопросы билета
даны ответы на отдельные дополнительные вопросы
продемонстрировано наличие знаний в рамках программы экзамена
использование математического аппарата содержит неточности
поставленные задачи решены лишь в целом.
Оценка «неудовлетворительно»:





не дан ответ на поставленные вопросы билета
не даны ответы ни на один дополнительный вопрос
продемонстрирована недостаточность знаний в рамках программы экзамена
использование математического аппарата содержит грубые ошибки
поставленные задачи не решены.
Результаты сданной первой части кандидатского экзамена по специальной дисциплине
01.01.04 – «Геометрия и топология» (минимум по специальности) могут быть перезачтены
в качестве итогового экзамена с той же оценкой. В случае перезачета первой части
кандидатского экзамена по специальной дисциплине, аспирант должен представить
экзаменационной комиссии развернутый отчет о педагогической работе (практике) за
время своего обучения.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов
1. Общая топология
1. Метрическое пространство. Полнота. Теорема Бэра о категории.
2. Топологическое пространство. Непрерывность. Гомеоморфизм. Аксиомы
отделимости. Связность и линейная связность. Фактор-топология. Топологии в
функциональных пространствах (отрыто-замкнутая топология в пространстве
непрерывных отображений и C^k-топология в пространстве гладких отображений).
3. Лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций.
4. Компактность и способы компактификации пространств. Теорема Тихонова о
компактности произведения.
5. Разбиение единицы и его приложения. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации
полиномами непрерывной функции на компакте в евклидовом пространстве.
6. Лебегово определение размерности. Нерв покрытия и аппроксимация компакта
полиэдрами.
7. Индуктивное определение топологической размерности. Теорема Урысона об
эквивалентности.
8. Хаусдорфова размерность. Ее связь с топологической. Фракталы: канторово
множество, ковер Серпинского, их хаусдорфова размерность.
2. Алгебраическая топология
1. Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы отображений.
Фундаментальная группа топологического пространства. Группа кос как
фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек на
плоскости.
2. Гомотопические группы пространств и их гомотопическая инвариантность. Точная
гомотопическая последовательность пары. Вычисление k-мерных гомотопических
групп n-мерной сферы для k меньших или равных n.
3. Пространства Эйленберга—Маклейна. H-пространства и группа гомотопических
классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной
группы H-пространствa.
4. Группы сингулярных гомологий и когомологий.
5. Симплициальные и клеточные пространства. Симплициальные и клеточные
гомологии и когомологии, иx связь с сингулярными. Эйлерова характеристика.
6. Гомотопическая инвариантность групп гомологий.
7. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая
последовательности пары. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Оператор
Бокштейна.
8. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий.
9. Двойственность Пуанкаре для многообразий.
10. Теории гомологий и когомологий. Аксиомы теории гомологий и когомологий.
Теорема единственности для гомологий и когомологий.
11. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства
Эйленберга—Маклейна.
12. Кольцо когомологий H-пространства как алгебра Хопфа. Классификация
градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел.
13. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и
гомологии многообразий Грассмана.
14. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие. Накрытие
и фундаментальная группа.
15. Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство
путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей.
16. Локально
тривиальные
расслоения.
Сечения.
Точная
гомотопическая
последовательность расслоения.
17. Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое
препятствие к сечению расслоения).
18. Действие монодромии в гомологиях расслоения. Формула Пикара-Лефшеца.
19. Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных
расслоений.
20. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения.
Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях.
21. Характеристические классы векторных расслоений.
22. Понятие о группе K(X) и периодичности Ботта. Группа K(X) как когомологический
функтор.
3. Топология гладких многообразий
1. Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения и
дифференциал. Диффеоморфизм. Подмногообразия. Ориентация. Касательные
векторы и касательные расслоения. Примеры гладких многообразий.
2. Теория Морса: функции Морса, индуцированное клеточное разбиение, неравенства
Морса.
3. Перестройки в многообразиях. Конструкция Понтрягина—Тома. Понятие бордизма
многообразий.
4. Вложения и погружения. Теорема Уитни о вложении и погружении в евклидовы
пространства.
5. Субмерсии и гладкие расслоения. Особые и регулярные точки гладких
отображений. Лемма Сарда (формулировка).
6. Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. Применения степени
отображения. Степень отображения и интеграл.
7. Теорема Гаусса—Бонне.
8. Гомотопическая классификация отображений n-мерной сферы в себя.
9. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двумерную.
Инвариант Хопфа.
10. Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера—Пуанкаре.
11. Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления.
12. Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений.
Теоремы трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее следствия:
лемма Морса, слабая теорема Уитни.
13. Локальная классификация устойчивых отображений плоскости в плоскость и в
трехмерное пространство. Число Милнора изолированной особенности функции.
4. Топология малых размерностей
 Классификация двумерных замкнутых поверхностей.
 Группы гомологий и фундаментальные группы двумерных поверхностей.
 Узлы и зацепления. Движения Райдемайстера. Полином Александера узла.
 Примеры трехмерных многообразий. Склейка полноторий по диффеоморфизму
границы. Диаграмма Хегора трехмерных многообразий.
5. Дифференциальная геометрия
1. Теория кривых в трехмерном пространстве: натуральный параметр, кривизна и
кручение кривой, формулы Френе.
2. Первая и вторая квадратичные формы поверхности, гауссова и средняя кривизны,
главные направления и главные кривизны, теорема Менье и формула Эйлера.
Деривационные формулы.
3. Риманова метрика и римановы многообразия. Подмногообразия в евклидовом
пространстве и индуцированная метрика.
4. Геометрия Лобачевского.
5. Проективная геометрия.
6. Тензоры и тензорные поля на гладких многообразиях. Алгебраические операции
над тензорами. Симметрические и кососимметрические тензоры. Производная Ли.
7. Внешние дифференциальные формы, внешнее дифференцирование.
8. Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула Стокса. Точные и
замкнутые формы.
9. Когомологии де Рама. Теорема де Рама (без доказательства).
10. Оператор Лапласа и гармонические формы.
11. Двойственность Пуанкаре.
12. Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля. Тензор кручения.
Римановы симметрические связности.
13. Тензор кривизны Римана и критерий локальной евклидовости римановой метрики,
тензор Риччи и скалярная кривизна. Теорема Гаусса о связи между скалярной и
гауссовой кривизнами.
14. Параллельный перенос и геодезические. Формула Эйлера—Лагранжа. Примеры:
геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского, поверхности
вращения. Сопряженные точки и индекс геодезической.
15. Связности и кривизна в расслоениях. Тождество Бьянки.
16. Характеристические классы и характеристические числа. Конструкция Чженя—
Вейля характеристических классов. Характеристические числа.
17. Теорема Стокса и инвариантность характеристических чисел относительно
бордизма.
18. Проективная двойственность и преобразования Лежандра.
6. Геометрические структуры на гладких многообразиях
1. Структуры на гладких многообразиях: риманова, почти комплексная, эрмитова,
комплексная, кэлерова. Понятие о препятствиях к существованию структур.
2. Симплектическая структура. Примеры симплектических многообразий. Теорема
Дарбу. Существование почти комплексной структуры на симплектическом
многообразии.
3. Скобка Пуассона. Примеры пуассоновых многообразий. Гамильтоновы векторные
поля и гамильтоновы системы. Первые интегралы гамильтоновых систем.
4. Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры. Слоения и
распределения.
5. Теорема Фробениуса.
7. Геометрия групп Ли и однородных пространств
1.
Группы Ли и алгебры Ли, присоединенное представление. Алгебра Ли векторных
полей. Действия групп Ли на гладких многообразиях. Односвязные и неодносвязные
группы Ли.
2.
Однородные пространства. Примеры: классические матричные группы Ли,
многообразия Грассмана и Штифеля, лагранжевы грассманианы U(n)/O(n) и U(n)/SO(n).
Компактные группы Ли и биинвариантная метрика.
3.
Кольцо когомологий компактной группы Ли. Группы токов и группы
диффеоморфизмов как примеры бесконечномерных групп Ли.
8. Дискретная и комбинаторная геометрия
1. Выпуклые множества и разбиения пространства. Разбиения Вороного и Делоне.
2. Кристаллы как правильные точечные системы. Кристаллографическая группа в
евклидовом пространстве. Классификация кристаллографических групп на
плоскости.
3. Правильные многогранники. Теорема Коши о единственности выпуклого
многогранника с данным набором граней.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
Не предусмотрено.
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
Экзамен принимает государственная экзаменационная комиссия, утвержденная в
установленном порядке.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не предусмотрено.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Не предусмотрено.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе
неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения
общего пользования
Не предусмотрено.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не предусмотрено.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не предусмотрено.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Бумага, А4, 10 листов на человека.
3.4. Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и
приложения. Том 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей, М.,
Дрофа, 2013.
2. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и
приложения. Том 2. Геометрия и топология многообразий, М., Дрофа, 2013.
3. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и
приложения. Том 3. Теория гомологий, М., Дрофа, 2013.
4. Дж. Милнор, Теория Морса, М. : Издательство ЛКИ, 2011.
5. А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев, Геометрия, СПб. : БХВ-Петербург, 2010.
6. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии,
СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2010.
7. Э. Картан, Геометрия римановых пространств, М. : ЛИБРОКОМ, 2010.
8. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М. : Издательство ЛКИ,
2008.
9. Г. Атанасиу и др., Дифференциально-геометрические структуры, М. : ЛИБРОКОМ,
2010.
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.:
Изд-во МЦНМО, 2003.
Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
Новиков С.П. Топология. М.—Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых
отображений. Т. 1, 2. М.: Наука, 1982, 1984.
6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука,
1973.
7. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.
8. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные
многообразия. М.: Изд-во МЦНМО, 1997.
9. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
10. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
11. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.
12. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
13. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. М.:
Наука, 1988.
14. Чжень Ш.-Ш. Комплексные многообразия. М.: Иностранная литература, 1961.
15. Роджерс К. Укладки и покрытия. М.: Мир, 1968.
16. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980.
17. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир,
1972.
18. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. М.: Мир, 1969.
19. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.
20. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.:
Факториал Пресс, 2000.
21. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. М.—Ижевск: Ин-т
компьютерныx исследований, 2002.
22. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М.: Наука,
1981.
23. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Издво МГУ, 1988.
24. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симметрий. М.—
Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
25. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.:
Наука, 1977.
26. Пресли А., Сигал Г. Группы петель. М.: Мир, 1990.
27. Атья М. Лекции по K-теории. Мир, 1967.
28. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1950.
29. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1956.
30. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.
2.
3.
4.
5.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, к.ф.-м.н., zvag@pdmi.ras.ru